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专题12 椭圆的几何性质
题型一：根据椭圆的标准方程研究其几何性质
题型二：根据椭圆的几何性质求其标准方程
题型三：求椭圆的离心率的值
题型四：求椭圆的离心率的最值或范围
题型五：根据椭圆离心率求参数
题型六：直线与椭圆的位置关系
题型七：直线与椭圆相切
题型八：弦长
题型九：中点弦和点差法
题型十：椭圆中三角形面积问题
题型一：根据椭圆的标准方程研究其几何性质
1．已知椭圆
的右焦点为
，离心率为
．若
，点
是
上的任意一点，
则
的最大值为（ ）
A．
B．6
C．
D．
【答案】D
【分析】设
的左焦点为
，先得半焦距的值，从而由离心率得
的值，根据椭圆的定义可得所求.
【详解】设
的左焦点为
，半焦距为
，
由题意得
，又离心率
，所以
，
由椭圆的定义得：
，
所以
，
当点
为线段
的延长线与
的交点时取等号，
故
的最大值为
.
故选：D.
2．已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
，
，上顶点为A，点M 在C 上，若
周长
的最大值为8，则C 的焦距为 ．
【答案】2
【分析】根据椭圆的定义及三角形不等式求出
，再根据椭圆的方程即可得到
，进而即可得到C
的焦距．
【详解】由椭圆的定义知
，
，
所以
的周长为
，
则
，当且仅当M，A，
三点共线时，等号成立，
所以
，解得
，
由椭圆方程可知
，则
，所以
．
故答案为：2．
3．短轴长为2，离心率
的椭圆的两焦点为
，
，过
作直线交椭圆于A，B 两点，则
的周
长为 .
【答案】
/
【分析】根据题意，求出长半轴长
，再由
周长为
求解.
【详解】设椭圆的长半轴长为
，短半轴长为
，则
，
又离心率为
，则
，解得
，
所以
周长为
.
故答案为：
.
题型二：根据椭圆的几何性质求其标准方程
4．点
为椭圆
的两个焦点，若椭圆
上存在点
，使得
，则椭圆
方程可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依题意可知可知
，由椭圆性质以及余弦定理计算可得需满足
，再对选项逐
一检验即可得出结论.
【详解】如下图：
不妨设椭圆
的方程为
，椭圆
的上顶点为
.
因为椭圆
上存在点
，使得
，所以需
；
在
中，由余弦定理得
，
又
，化简得
.
同理可得，椭圆焦点在
轴上时，也有
，经检验可知选项B 满足.
故选：B.
5．与椭圆
有相同焦点，且短轴长为2 的椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用条件求得所求椭圆的
、
值，即可得到其标准方程.
【详解】椭圆
可化为
，
可知椭圆
的焦点在y 轴上，焦点坐标为
，
故可设所求椭圆方程
，
则
，又
，即
，所以
，
所以所求椭圆的标准方程为
．
故选：B．
6．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆
周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆
的对称轴为坐标轴，焦点在
轴上，且椭圆C 的离
心率为
，面积为
，则椭圆C 的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组
，
，进而可解答.
【详解】根据题意设椭圆的标准方程为
.
则
，解得：
，
，
所以椭圆C 的标准方程为
.
故选：C.
7．已知椭圆
的离心率为
，且过点
，则椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据离心率公式以及椭圆经过的点，结合椭圆中
的关系即可求解.
【详解】由题意可得
，解得
，
故椭圆方程为
，
故选：A
8．已知椭圆
：
的离心率为，左、右焦点分别为
，
，
在
上，
轴，
，写出一个
的方程为 ．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据椭圆可知
，
，结合条件得
，
，再勾股定理化简得
，
满足此关系的椭圆方程即可．
【详解】易知
，因为
轴，所以
．
由
得
，则
．
由勾股定理得
，即
，
，
解得
．令
，则
，故满足题意的一个C 的方程为
．
故答案为：
.
9．（1）求与椭圆
的焦点相同，且经过点
的椭圆的标准方程.
（2）求与椭圆
离心率相同，且经过点
的椭圆的标准方程.
【答案】（1）
；（2）
或
【分析】（1）根据给定的椭圆方程设出所求椭圆的方程，将已知点的坐标代入求解即得.
（2）求出已知椭圆的离心率，进而求得所求椭圆长短半轴长的关系，按焦点的位置分类设出椭圆方程求
解.
【详解】（1）椭圆
焦点为
，设所求椭圆的标准方程为
且
，
由点
在椭圆上，得
，整理得
，
而
，解得
，所以所求椭圆的标准方程为
.
（2）椭圆
离心率
，
令所求椭圆的长短半轴长分别为
，则
，
，
当所求椭圆的焦点在
轴上时，设椭圆方程为
，
于是
，解得
，方程为
；
当所求椭圆的焦点在
轴上时，设椭圆方程为
，
于是
，解得
，方程为
，
所以所求椭圆的标准方程为
或
.
10．求满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点
；
(2)经过两点
和
；
(3)经过
两点.
(4)过点
且与椭圆
有相同焦点.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）由题意可得
，然后利用椭圆的定义得到
，进而即可求解；
（2）椭圆的方程为
（
，
，
），将点
的坐标代入，解方程组即可求解；
（3）椭圆的方程为
（
，
，
），将点
的坐标代入，解方程组即可求解；
（4）根据题意可知椭圆的焦点坐标为
，设所求方程为
，
将点
代入得即可求解.
【详解】（1）由题意知
，且焦点坐标分别为
，
.
由
，得
，可得
，所以
.
又焦点在y 轴上，所以所求椭圆的标准方程为
.
（2）设椭圆的方程为
（
，
，
）.将
两点的坐标代入方程，
得
，解得
，
故所求椭圆的标准方程为
.
（3）设所求的椭圆方程为
．
把
两点代入，
得：
，解得
，
∴椭圆方程为
．
（4）依题意，知椭圆的焦点坐标为
.
设所求方程为
，
将点
代入得
，所以
，
则所求椭圆的标准方程为
.
题型三：求椭圆的离心率的值
11．已知
是椭圆
的两个焦点，
为
上一点，且
，则
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义及条件，表示出
，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为
，由椭圆的定义可得
，
所以
，
，
因为
,由余弦定理可得
所以
，
整理可得
，所以
，即
.
故选：A.
12．已知
、
分别为椭圆C 的左、右焦点，过
的直线与C 交于A、B 两点，
，且
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，根据题目条件和椭圆定义表示其他边长，利用勾股定理得出和
的关系，分别在
和直角
中表示
，建立等量关系求出椭圆离心率.
【详解】设
，则
，由椭圆的定义，得
，
由
，得
，即
，
整理得
，解得
，则
，即点
在
轴上，
如图，在直角
中，
，
在
中，
，化简得
，
所以椭圆的离心率
.
故选：D
13．椭圆
的左，右焦点分别为
、
，右顶点为A，点P 为第一象限内椭圆上一点，
满足
，
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先过
作x 轴的垂线，再结合
得出点
的坐标，最后应用点
在椭圆上，解齐次方程，
求出离心率.
【详解】
先过
作x 轴的垂线，垂足为
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
，又因为
，所以
，
所以
，因为点P 在椭圆上，所以
，
所以
，所以
，化简得
，
所以
，所以
，
因为
，所以
.
故选：D.
14．已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，过点
且斜率为
的直线与椭圆C
在第一象限交于点M，若
，则椭圆C 的离心率
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
得
，再结合直线
的倾斜角表示出点
坐标，根
据点
在椭圆上，可得关于
的齐次式，整理可得椭圆的离心率.
【详解】如图：
∵
，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
∴
，设直线
的倾斜角为
，
，
则
，则
，
，
则
，
，
将点M 的坐标代入椭圆方程，整理得
，
解得
或
（舍），∴
.
故选：D.
15．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
点A 在C 上，点B 在y 轴上，
，
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义，通过假设一条焦半径长，就可以得到其他焦半径的表示，再利用勾股定理来消
元假设的字母，最后利用一个角和余弦定理来建立一个
的齐次式，求解离心率.
【详解】
因为
，所以
三点共线，
又
，所以
为直角三角形，
记
，则
，
由椭圆定义和对称性可得
，
则有
，解得
或
（舍去），
则
，
记
，则
，
在
中，由余弦定理得
，整理得
，
则椭圆C 的离心率为
.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：椭圆过焦点的三角形问题，关键是充分利用椭圆定义，结合余弦定理、勾股定理得
到关于
的齐次式，然后可求离心率.
16．已知双曲线C:
的一条渐近线l 与椭圆E:
交于A，B 两点，若
（
是椭圆的两个焦点），则椭圆E 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意不妨设l 的方程为
，根据题意可得
的坐标，代入椭圆方程，进而计算可求得椭圆
的离心率.
【详解】易知双曲线C 的渐近线方程为
，不妨设l 的方程为
.
如图，由
，
，可得
，
代入椭圆方程，得
，又
，
故
，解得
（
舍去），所以
.
故选：A.
17．如图，已知
，
是椭圆
的左、右焦点，过
的直线与E 交于点M，N 两点，
垂直平分
，若
，则
的离心率等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依题意可得
平分
，从而求出
，从而得到
，再由椭圆的定义得
到
，即可求出
、
，再在
中利用余弦定理求出
、的关系，即
可得解.
【详解】因为
垂直平分
，所以
，
，且
平分
，
所以
，所以
.
由椭圆的定义知
，
在
中，
，
所以
，解得
.
由椭圆的定义得
，
在
中，由余弦定理得
，
即
，化简得
，所以
.
故选：B.
题型四：求椭圆的离心率的最值或范围
18．已知
，
分别是椭圆
的左、右焦点，若该椭圆上存在不同两点
，
，使
得
，则该椭圆的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设
，
，利用
得到两点坐标之间的关系，再结合点在椭圆上，代入方
程，进而得
，根据题意
，构建
的齐次式，解不等式即得结果.
【详解】设
，
，
则由
，可得
，所以
①．
又因为点
，
都在椭圆上，满足椭圆方程，所以
②，
由方程组①②可得
，因为
，
所以
，即
，解得
．
∴该椭圆的离心率的取值范围是
．
故答案为：
．
19．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，若以
为圆心，
为半
径作圆
，过椭圆上一点
作此圆的切线，切点为
，若
恒成立，则该椭圆离心率的取
值范围为 .
【答案】
【分析】由题意作图，根据圆的切线性质以及勾股定理，可建立方程，根据焦半径的取值范围以及题干中
的不等式，通过化简整理，代入离心率，可得答案.
【详解】如下图所示：易知
，
又焦半径
的最小值为
，且
恒成立，
则
，又
，所以
，
整理可得
，即
，可得
，即
，
又
，解得
，又半径
，则
，解得
，
所以
.
故答案为：
20．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，若以
为圆心，
为半径作圆
，过
椭圆上一点P 作此圆的一条切线，切点为T，且
的最小值不小于
，则椭圆的离心率e 的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】根据切线性质和勾股定理可得
，利用椭圆的性质可得
的最小值
为
，由题意得
的最小值不小于
，即可得出离心率满足的不等式，再利用
，则
，又得出离心率满足的不等式，联立即可解出.
【详解】
连接
，
．
因为
，
的最小值为
，
所以
的最小值为
，
依题意，有
，即
，
所以
，即
，所以
，
所以
，所以
，①
又
，则
，所以
，所以
，②
由①②，得
．
故答案为：
.
21．设椭圆
的一个焦点为
，
为
内一点，若
上存在一点
，
使得
，则椭圆
离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令椭圆
的左焦点为
，利用椭圆的定义可求出
的最大值和最小值，即
可得出
的取值范围，即可求得椭圆
的离心率的取值范围.
【详解】令椭圆
的左焦点为
，则
，
由椭圆的定义知
，则
，
设直线
交椭圆
于
、
两点（如图），
而
，即
，
当且仅当点
、
、
共线时取等号.
当点
与
重合时，
，则
，
当点
与
重合时，
，则
，
所以
，即
，经检验，此时点
在
内，
所以
.
故答案为：
.
【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得
、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于
、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
22．已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，其中
，直线
与椭圆C 交于P，Q 两点，记
的面积为S，若
时，
，则椭圆C 的离心
率的取值范围为 .
【答案】
【分析】连接
，
，由题意可得四边形
为矩形，利用已知可得
，利用椭圆的
几何性质与勾股定理可得
，可得
，结合题意可得有
，可求椭圆C
的离心率的取值范围.
【详解】连接
，
，由题意得，
，
所以四边形
为矩形，所以
，故
，
又
，由勾股定理得
，
即
，
则
，故
，
即
，即
，解得
，
又点P 在直线
上，且
，所以
，即
，
所以
，
，解得
，
综上，椭圆C 的离心率的取值范围是
.
【点睛】关键点点睛：关键在于利用已知得到
，进而利用椭圆的几何性质与勾股定理可得
，进而计算即可，需注意
.
23．已知椭圆
的焦距为2c，若直线
恒与椭圆
有两个不同的公
共点，则椭圆
的离心率范围是 .
【答案】
【分析】根据椭圆焦点坐标以及直线过定点可得点
在椭圆内部，整理不等式
，可得离心率
.
【详解】将直线
整理可得
，
易知该直线恒过定点
，
若直线
恒与椭圆
有两个不同的公共点，
可知点
在椭圆内部，
易知椭圆上的点当其横坐标为
时，纵坐标为
，即可得
，
整理可得
，即
，
解得，
.
故答案为：
.
题型五：根据椭圆离心率求参数
24．设椭圆
的离心率分别为
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由
，得
，因此
，而
，所以
.
故选：A
25．如果椭圆
的离心率为
，则
（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【答案】B
【分析】分焦点在x 轴和在y 轴两种情况，分别得到a,b 的表达式，进而求得c 的表达式，然后根据离心率
得到关于k 的方程，求解即可．
【详解】解：因为椭圆
的离心率为
，
当
时，椭圆焦点在
轴上，可得：
，解得
，
当
时，椭圆焦点在
轴上，可得：
，
解得
．
或
.
故选：B．
26．已知椭圆E：
的离心率的取值范围是
，其左右焦点分别是
，
，若P 为
椭圆上位于y 轴右侧的一点，则
的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】设
，由椭圆的定义求得
，结合
，整理得
，进而得
到
，即可求解.
【详解】由题意，点P 是椭圆上位于y 轴右侧的一点，可得
，
设
，则
，
由椭圆的定义可知
，因此
，
又因为
是右焦点，所以
，即
，整理得
，
所以
，解得
，
即
.
故选：D.
27．已知
，
为椭圆
（a＞b＞0）的左、右焦点，椭圆的离心率为
，M 为椭圆上一动点，
则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用余弦定理列式，结合椭圆的定义以及基本不等式求得
的最大值.
【详解】设
，
，
在三角形
中，由余弦定理得：
.
由于
，所以
的最大值为
.
故选：A
28．若椭圆
比椭圆
更扁，则椭圆
的长轴长的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由椭圆方程分别写出离心率，由题意建立不等式，可得答案.
【详解】由椭圆
可得其离心率
，
由椭圆
可得其离心率为
，
由于
比椭圆
更扁，
故
的离心率满足
，即
，解得
，
故长轴长为
.
故答案为：
．
29．若椭圆
的离心率为
，则椭圆
的长轴长为 .
【答案】
或
【分析】根据题意，分类讨论
和
两种情况，结合椭圆方程的性质与离心率公式求解即可.
【详解】因为椭圆
的离心率为
，易知
，
当
时，椭圆焦点在
轴上，
，
，
所以
，解得
，则
，所以椭圆的长轴长为
.
当
时，椭圆焦点在
轴上，
，
，
所以
，得
，满足题意，
此时
，所以椭圆的长轴长为
.
故答案为：
或
.
30．已知椭圆
的离心率
，则实数m 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由
可知
.分别讨论椭圆的焦点在
轴与
轴上，分别将
、
带入不等式，即
可求出m 的取值范围.
【详解】椭圆
的标准方程为
．
因为
，
，所以
．
当椭圆的焦点在x 轴上时，
，
，则
；
当椭圆的焦点在y 轴上时，
，
，则
．
所以实数m 的取值范围是
．
故答案为：
.
题型六：直线与椭圆的位置关系
31．已知直线
，椭圆
，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．无法确定
【答案】C
【分析】联立直线和椭圆方程，根据所得到的方程的解的个数来判断直线和椭圆的位置关系.
【详解】联立
，消去
，整理得到
，该方程判别式
，于是此方程无解，即直线和椭圆没有交点，故直线和椭圆相离.
故选：C
32．直线
与椭圆
的交点个数为（ ）．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【答案】C
【分析】根据椭圆的方程求得其右顶点为
，上顶点为
，结合直线的截距式方程，即可求解.
【详解】由题意，椭圆
，可得
，
则椭圆的右顶点为
，上顶点为
，
又由直线
恰好过点
，所以直线与椭圆有且仅有2 个公共点.
故选：C.
33．（多选）无论k 为何值，直线
和椭圆
交点情况有可能为（ ）
A．没有公共点
B．一个公共点
C．两个公共点
D．无法确定
【答案】BC
【分析】根据题意，由条件可得直线过定点
，然后分直线的斜率为零与直线的斜率不为零讨论，即可
得到结果.
【详解】因为
过定点
，且椭圆
的上顶点也为
，
所以当直线的斜率为0 时，此时直线与椭圆相切，仅有一个公共点，
当直线的斜率不为零时，此时直线与椭圆有两个交点，
故选：BC．
34．直线
与椭圆
的公共点个数为 ．
【答案】2
【分析】求出直线恒过的定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的交点的个数．
【详解】直线
恒过
，
由于
，所以
是椭圆内部的一点，
所以直线与椭圆恒有2 个交点．
故答案为：2．
35．直线
和曲线
的位置关系为 .
【答案】相交
【分析】根据直线过点且在椭圆内部可得出结论.
【详解】曲线
为：
可得
直线
恒过
，由
知定点
在椭圆内部，
所以直线
与椭圆
的位置关系为相交.
故答案为：相交.
题型七：直线与椭圆相切
36．已知椭圆
，直线
，则椭圆
上的点到直线的距离的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设出与l：
平行的直线
，当
与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到
直线l 的距离最值，联立
与椭圆方程，由根的判别式等于0 求出
的方程，从而求出答案.
【详解】设与l：
平行的直线为
：
，
当
与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l 的距离最值，
联立
与
可得，
，
由
，可得
，
当
时，直线
：
，此时两平行线距离为
，
当
时，直线
：
，此时两平行线距离为
，
故椭圆上任意一点到直线l 的距离最大值为
.
故选：A
37．已知
是椭圆
上动点，则
点到直线
的距离的最大值为 .
【答案】
/
【分析】找到与平行，且与椭圆相切的最远的一条直线，利用平行线的距离公式求距离的最大值.
【详解】要使
点到直线的距离最大，只要找到与平行，且与椭圆相切的最远的一条直线，
令与平行且与椭圆相切的直线为
，
联立
，消去
整理得
，
由
，即
，解得
或
，
对于直线
，与直线的距离为
，
对于直线
，与直线的距离为
，
所以
点到直线的距离最大值为
.
故答案为：
.
38．长为3 的线段
的两个端点
和
分别在
轴和
轴上滑动，点
为线段
靠近点
的三等分点，
则点
的轨迹方程为 .若直线的方程为
，则点
到直线的距离的最小值为
.
【答案】
【分析】首先分别设三点的坐标，即
，
，
，再根据坐标间的关系，
，即可求解；利用数形结合，转化为平行线间的距离，即可求解.
【详解】设
，
，
由题意可知，
，即
，
又由
，得
，化简为
；
如图，向椭圆平移直线
，设平移直线为
，
当直线
与椭圆
相切时，此时切点到直线
的距离最近；
联立
，得
，
此时
，得
，由图可知，正的舍去，
直线
与
之间的距离
，
即点
到直线的距离的最小值为
.
故答案为：
；
39．已知点P（x，y）是椭圆
上任意一点，则点P 到直线l：
的最大距离为 .
【答案】
/
【分析】求出与直线平行的直线方程，离直线较远的直线与的距离即为所求．
【详解】设直线y＝x＋m 与椭圆相切，由
得13x2＋18mx＋9m2－36＝0，
∴Δ＝（18m）
2－4×13（9m2－36）＝0，解得m＝±
，
切线方程为y＝x＋
和y＝x－
，与l 距离较远的是y＝x－
，
∴所求最大距离为d＝
＝
.
故答案为：
题型八：弦长
40．已知椭圆
的一个焦点是
，过原点的直线与
相交于点
，
，
的面积是
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设直线
方程
，联立直线与椭圆，根据
的面积求出
，利用
弦长公式求出弦长.
【详解】如图：
由题，不妨设
，直线
斜率存在，
设直线
方程
，
联立
，
，
，
解得
，
故
，
故选：D.
41．已知直线
与椭圆
交于A，B 两点，点F 是椭圆C 的左焦点，若
，
，则
．
【答案】
【分析】根据直线与椭圆都关于原点对称则的可得到，若
，
，即可解出
，
求得椭圆的标准方程，将直线的方程与椭圆的方程联立求解即可.
【详解】由对称性可得，
，
，
所以
，
，
，
所以椭圆方程为
，
，解得
，
，
．
故答案为：
.
42．已知直线
与椭圆
相交于M，N 两点，则MN 的长为 ．
【答案】
/
【分析】联立直线与椭圆方程，结合弦长公式求解即可.
【详解】由
消去
，得
，解得
，
所以
.
故答案为：
43．已知椭圆
的方程为
，
、
为其左、右焦点．
(1)求椭圆
的离心率；
(2)若直线
被椭圆
截得的线段长为
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由离心率定义求解；
（2）设直线
与椭圆
交于
，
两点，联立方程组，利用韦达定理和弦长公式求
解.
【详解】（1）由椭圆
的方程为
，
可得
，
所以
；
（2）设直线
与椭圆
交于
，
两点，
联立方程组
，
得
，
则
，
由于
即
，
解得
.
44．已知动点
与平面上两定点
，
连线的斜率的积为定值
，试求：
(1)动点
的轨迹
的方程；
(2)求直线
与（1）中曲线
相交所得弦的弦长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用轨迹法，结合条件列式，即可求解；
（2）联立直线与椭圆方程，代入弦长公式，即可求解.
【详解】（1）设
，
，
所以
，整理为
，
；
（2）设直线
与曲线
的两个交点分别为
，
，
联立
，得
，得
，
，
所以弦长
.
45．已知离心率为
的椭圆
的顶点所构成的四边形的面积为
，过右焦点且斜率
为1 的直线交C 于M，N 两点．
(1)求C 的方程；
(2)求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意列出方程组求出
，即可求得椭圆
的标准方程；
（2）由题先求出
所在直线方程为
，联立椭圆方程与直线方程，由韦达定理和弦长公式即可求
得
的值.
【详解】（1）由题得
，解得
.
∴椭圆
的标准方程为：
.
（2）由（1）知椭圆
的右焦点坐标为
，∴
所在直线方程为
.
联立方程组
，消去
并整理得
.
设
，
，则
，
，
.
题型九：中点弦和点差法
46．已知椭圆
，过点
的直线交椭圆于A，B 两点，且P 为线段
的中点，则直线
的
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】判断点
在椭圆内，利用点差法求出直线
的斜率即可得其方程.
【详解】椭圆
，由
，得点
在椭圆内，设
，
则
，两式相减得
，
而
，因此
，即直线
的斜率为
，
所以直线
的方程为
，即
.
故选：A
47．已知椭圆
的离心率为
，过点
的直线与椭圆
交于A，B 两点，且满
足
，则直线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用离心率先求出参数a，再利用点差法求出直线
的斜率，即可得到答案.
【详解】由题设，
，即
，可得
，
过
的直线与椭圆
交于
且满足
，则
为线段
的中点，
所以
，
，又
，
，
则
，即
，
所以
，
故直线
的方程为
，即
.
故选：C.
48．已知椭圆
，直线与椭圆
相交于
两点.若线段
的中点为
，则直线的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，并得到
，利用点差法得到
，由点斜式写出直线方程，化为
一般式即可.
【详解】设
，
若
，则
的中点在
轴上，而
的中点坐标为
，显然不合要求，故
，
则
，两式相减得
，
即
，
由于弦
的中点坐标为
，故
，
所以
，即
，故
，
故直线
的方程为
，即
.
故选：A
49．已知椭圆
过点
的直线与椭圆
交于
、
两点，
为线段
的中点，则直线
的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求出直线
的斜率.
【详解】设点
、
，由题意可得
，
若
的斜率不存在时，则线段
的中点在
轴上，不合乎题意，
由题意可得
，两式相减得
，
即
0，所以
所以
，即直线
的斜率为
.
故选：A.
50．已知椭圆
的中心为坐标原点，一个焦点为
，过
的直线与椭圆
交于
两点．若
的
中点为
，则椭圆
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
的中点坐标利用点差法求得
，再由
计算可得答案.
【详解】设椭圆方程为
，
易知直线
的斜率为
；
设
，则
，所以
，
；
易知
，两式相减可得
；
即
，可得
，
又
，可得
，所以
；
即椭圆
的方程为
.
故选：A
51．已知椭圆
的右焦点为
，过
的直线与椭圆相交于
两点，线段
中
点的坐标为
，则此椭圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】因为
的中点坐标为
，设
，
代入椭圆方程相减，利用
，
，求出直线
的斜率，得出
等量关系，再由
关系，即可求解.
【详解】设
，
，过点
的直线交椭圆于
，
两点，
若
的中点坐标为
，所以直线
的斜率
，
，
代入椭圆方程得
，
两式相减得
，
即
，
也即
，
所以
，
又
，
所以
，
所求的椭圆方程为
.
故选：D.
52．若椭圆
的一条弦AB 的中点为
，则直线AB 的斜率为 ．
【答案】
/0.4
【分析】利用点差法得
，再代入M 点坐标即可得答案.
【详解】易知
，
，设椭圆中心为O，
不妨设
坐标为
，则
，
两式作差可得：
，
设
，OM 的斜率
，
则
，解得
．
故答案为：
.
53．已知椭圆
内一点
，直线与椭圆
交于
两点，且
为线段
的中点，则
．
【答案】
【分析】利用“点差法”求得直线的斜率，写出直线方程，联立方程组结合弦长公式即可求解.
【详解】设
,
则
，两式作差可得：
，
因为
为线段
的中点，所以
，
则
，
所以直线的方程为
，
联立
，则
，
所以
，
故答案为：
题型十：椭圆中三角形面积问题
54．已知椭圆E：
（
）的左、右焦点分别为
，
，且过点
．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)过椭圆E 的左焦点
且斜率为1 的直线与椭圆E 交于A，B 两点，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆定义列方程求得参数a，由a、b、c 关系求得b.
（2）写出直线方程，联立椭圆与直线方程，由弦长公式及点线距离求得高，即可求得面积.
【详解】（1）由椭圆定义得
，∴
，又
，得
，
∴椭圆E 的标准方程为：
；
（2）过椭圆E 的左焦点
且斜率为1 的直线方程为
，
由
，得
．
设
，
，有
，
，
∴
，
又点P 到直线AB 的距离
，∴
面积
．
55．已知椭圆
经过
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)若直线
交椭圆
于不同两点
，
，
是坐标原点，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将两点坐标代入椭圆方程中，求出
，
的值，可求出椭圆的方程；
（2）直线方程与椭圆方程联立，消去
，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标
，
，
设直线与
轴交于点
，利用
进行求解．
【详解】（1）椭圆
经过
，将两点坐标代入椭圆方程中，得
，解得：
，
，
即椭圆
的方程为
；
（2）记
，
，可设
的方程为
，
由
，消去
得
，解得
，
直线与
轴交于点
，则
.
56．在平面直角坐标系中，椭圆
：
的离心率为
，焦距为
.
(1)求椭圆
的方程.
(2)若过椭圆
的左焦点，倾斜角为
的直线与椭圆交于
，
两点，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)根据离心率和焦距就可得到
，再根据
可求得
.
(2)根据题意设出直线方程，与椭圆方程联立方程组，求出两根之和，两根之积，再表示出三角形的面积，
代入两根之和，两根之积，即可求出结果.
【详解】（1）因为椭圆离心率为
，焦距
，则解得
，所以椭圆方程为
.
（2）已知椭圆方程
，左焦点为
，若倾斜角为
，则斜率为
，过左焦点
且倾斜角为
的直线方程为：
设
点的坐标分别为
，则
联立方程组
得，
，
所以
，
所以
.
所以
的面积为
.
57．已知椭圆
过点
，且离心率
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)若P 是椭圆C 上一点，
是椭圆的两个焦点，且
，求
的面积.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据椭圆离心率的公式，结合代入法、椭圆中
的关系进行求解即可；
（2）根据椭圆的定义，结合余弦定理和三角形面积公式进行求解即可.
【详解】（1）由题意椭圆的离心率
，
∴椭圆C 的方程为
，
又点
在椭圆上，∴
，解得
，
∴椭圆C 的方程为
；
（2）由椭圆定义知
，①
由余弦定理知
，
即
②，
联立①②得
，
58．已知平面内一动点
到点
的距离与它到直线
的距离之比为
，过点
的直线与动点
的轨迹
相交于
两点．
(1)求动点
的轨迹
的方程．
(2)是否存在直线，使得
的面积为
？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
【分析】（1）根据题意可列出方程，化简，即可得答案；
（2）设直线方程并联立迹
的方程，可得根与系数的关系式，进而表示出
的面积的表达式，利用
导数可求得其最值，比较大小，即可得结论.
【详解】（1）因为点
到点
的距离为
，
点
到直线
的距离为
，
所以
，
化简得
，即
，
所以动点
的轨迹
的方程为
．
（2）由题意可知直线的斜率不为0，
故设直线的方程为
．
联立
，得
．直线l 过点F，必有
，
由韦达定理可得，
，
所以
的面积
，
．
令
，则
，所以
．
令
，则
在
上单调递减，
所以
，即
面积的最大值为
．
因为
，所以不存在直线，使得
面积为
．
59．已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
，
，且
，P 是C 上一点，且
的最大值为
．
(1)求C 的方程；
(2)已知Q 为C 的上顶点，过点Q 的直线l 交C 于另一点M，若
与
的面积相等，求l 的方程．
【答案】(1)
(2)
或
．
【分析】（1）根据焦距以及当
最大时
的关系，可以得到关于
的方程组，由此可得椭圆方程；
（2）根据三角形面积相等可以确定点
所在直线方程，再根据直线方程与椭圆方程联立求出点
的坐标，
再根据点
的坐标即可确定直线的方程.
【详解】（1）由
得
，①
又当
最大时，点P 位于C 的上顶点或下顶点，
此时
②，
联立①②解得：
，
，
所以C 的方程为
．
（2）因为
，
为公共边，
所以点
到
的距离等于点M 到
的距离，
由（1）得
，
，
，
则直线
的方程为
．
又点
到
的距离
，
故点M 到
的距离为
，所以点M 在与
平行且到
的距离为
的直线上，
可设直线方程为
，
则
，解得
或
，
故点M 在直线
或
上．
①若点M 在直线
上，
又点M 在椭圆C 上，联立
，消去
得
，
由
，得直线与C 无公共点，
故此时不存在满足题意的点M．
②若点M 在直线
上，
又点M 在椭圆C 上，联立
，消去
得
，
解得
或
，则
或
．
又直线l 过点
，故直线l 的方程为
或
．
综上，l 的方程为
或
．
60．过椭圆
的焦点的直线交椭圆于
两点，求
面积的最大值．
【答案】
【分析】将
看作
与
组合而成，联立直线和椭圆方程，结合韦达定理表示
的面积
并利用基本不等式求得最终结果.
【详解】椭圆焦点
，由于椭圆的对称性，不妨设过焦点
，当
斜率不存在时，
不存在．
设直线方程为
，
，
，联立
，
消去
，得
，则
，
，
将
看作
与
组合而成，
是公共边，它们在公共边上的高长为
．
，其中
．
．
当且仅当
即
时，取等号，
即当直线为
时，得到
的面积最大值为
．
