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专题13 双曲线的标准方程
题型一：双曲线定义的理解
题型二：利用双曲线定义求方程
题型三：利用双曲线定义求点到焦点距离及最值
题型四：利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值
题型五：判断方程是否表示双曲线
题型六：求双曲线方程
题型七：双曲线中的轨迹方程问题
题型八：双曲线中的焦点三角形问题
题型一：双曲线定义的理解
1．已知
是双曲线
上的动点，则
到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
可得
，即
；
再由双曲线定义可得
到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为
.
故选：B
2．双曲线
的两个焦点分别是
与
，焦距为8；M 是双曲线上的一点，且
，则
的值为（ ）.
A．9
B．1
C．1 或9
D．2
【答案】A
【分析】根据焦距，可得值，根据
的关系，可得
值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案.
【详解】因为
，所以
，
所以
，解得
，
根据双曲线定义可得
，
所以
，解得
或
，
当
时，
不合题意，故舍去，
当
时，
，满足题意，
综上，
.
故选：A
3．（多选）在平面直角坐标系
中，已知点
，
，
是一个动点，则（ ）
A．若
，则点
的轨迹为椭圆
B．若
，则点
的轨迹为双曲线
C．若
，则点
的轨迹为直线
D．若
，则点
的轨迹为两条射线
【答案】AD
【分析】利用椭圆、双曲线、圆的定义，逐项判断即可.
【详解】对于A，
，则点
的轨迹为以
为焦点的椭圆，A 正确；
对于B，
，则点
的轨迹是以
为焦点双曲线的右支，B 错误；
对于C，由
，得
，则点
的轨迹是以
为直径的圆，C 错误；
对于D，
，则点
的轨迹是以
为端点，且不过
的两条射线，D 正确.
故选：AD
4．已知双曲线C：
的两个焦点为
，
，双曲线C 上有一点P，若
，则
．
【答案】18
【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求解即可.
【详解】双曲线C：
的实半轴
，半焦距
，
而
，则
，所以
.
故答案为：18
5．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，
上有一点
到左焦点
的距离为9，则点
到
的距离是 .
【答案】17
【分析】利用双曲线定义计算可得结果.
【详解】由双曲线方程可知：
，
因为
，所以点
在
的左支上，
由双曲线定义可得
.
故答案为：17
6．已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，并且经过
点，则
＝
【答案】
【分析】根据给定条件，求出
，再利用点
的位置特点及双曲线定义求出结果.
【详解】由点
在双曲线
：
上，得
，解得
，
即双曲线方程为
，显然点
在双曲线左支上，
所以
.
故答案为：
题型二：利用双曲线定义求方程
7．已知
，
，动点
满足
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义可知点
的轨迹为以
为焦点，实轴为
的双曲线的上支，求出
、
，
即可得到轨迹方程.
【详解】由
及双曲线的定义可知，
点
的轨迹为以
为焦点，实轴为
的双曲线的上支，则
，
因为
，所以
，故点
的轨迹方程为
．
故选：A
8．化简方程
的结果是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由双曲线定义即可求解.
【详解】设动点
，则由题意可得
，
所以动点
到两个定点
的距离的差的绝对值等于常数8，又
，
所以由双曲线定义可知P 点的轨迹是以
为焦点，实轴长为
的双曲线，
所以
，
，
所以双曲线的方程为
.
故选：D.
9．已知圆
和圆
，动圆
同时与圆
及圆
相外切，则动圆圆心
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用两圆外切的判定方法列出方程，推出
，即得动圆圆心
的轨迹和轨迹
方程.
【详解】设动圆
的半径为，因动圆
同时与圆
及圆
相外切，
则
，
，
则
，
故动圆圆心
的轨迹是以
为两焦点的双曲线的左支.
又因
，解得
，故其轨迹方程为
.
故选：D.
10．已知点
，若动点
满足
，则点
的轨迹方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
中
为定值，故先化简
再分析满足的
距离关系即可.
【详解】设
，因为
，
故
，即
.
故点
的轨迹是以
为焦点的双曲线的下支，
且
，故
.
所以点
的轨迹方程为
.
故选：B.
11．在平面直角坐标系中，已知
的顶点
，其内切圆圆心在直线
上，则顶点
的
轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角形内切圆的性质，结合双曲线的定义，可得答案.
【详解】如图，设
与圆的切点分别为
，则有
，所以
.
根据双曲线定义，所求轨迹是以
为焦点，实轴长为2 的双曲线的右支（右顶点除外），
即
，又
，所以
，所以方程为
.
故选：B.
12．已知圆
，圆
，动圆
与圆
都外切，则动圆圆心
的轨迹
方程为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的定义，判断出双曲线的参数的值，写出轨迹方程.
【详解】对圆
，圆心为
；对圆
，圆心为
.
设动圆
的半径为，则
，所以点
的运动轨迹为以
为焦点的双曲线
的左支.
易知
，解得
；
又
，解得
；
，所以动圆圆心
的轨迹方程为
.
故答案为：
13．在平面直角坐标系
中，已知点
点
的轨迹为
.则
的方
程为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的定义待定系数法求解即可，由于是双曲线的一支，注意横坐标的范围.
【详解】由题，点M 的轨迹是
为焦点，实轴长为2 的双曲线的右支，
故可设C 的方程为
，
由题：
，解得：
,
故C 的方程为
.
故答案为：
．
题型三：利用双曲线定义求点到焦点距离及最值
14．双曲线
：
上的点
到右焦点的距离为19，则它到左焦点的距离为（ ）
A．9
B．7
C．9 或29
D．7 或19
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义来求解点
到左焦点的距离.
【详解】对于双曲线
，可得
，则
.
设双曲线的左右焦点分别为
，已知点
到右焦点
的距离为19，即
.
根据双曲线的定义
，则有
.
可得
或
.
当
时，
；
当
时，
.
所以点
到左焦点的距离为或
.
故选：C.
15．设
是双曲线
上一点，
分别是双曲线的左，右焦点，若
，则
等于（ ）
A．2
B．18
C．2 或18
D．以上均不对
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义求解即可.
【详解】由
，得
，
根据双曲线的定义得
，则
或18，
又
，故
.
故选：B.
16．双曲线
上的点
到点
的距离为
，则点
到点
的距离为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义分析即可求解.
【详解】由双曲线
，可得
，所以
，
所以
与
是双曲线的焦点，
因为双曲线
上的点
到点
的距离为
，且
，
所以
或
，又
，所以
.
故选：A.
17．已知
为曲线
上任意一点，
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】运用双曲线定义转化，再结合三点位置关系分析即可.
【详解】由
，得
，所以
为双曲线
的右支，
为该双曲线的左焦点．设右焦点为
，则
，
所以
．所以
，
当且仅当点
在线段
上时，等号成立，所以
的最小值为
．
故选：D.
18．已知双曲线
的左，右焦点分别为
，点
在双曲线的右半支上，点
，则
的最小值为（ ）
A．
B．4
C．6
D．
【答案】D
【分析】首先利用双曲线的定义转化
，再结合图象，求
的最小
值，再联立方程求交点坐标.
【详解】由题意并结合双曲线的定义可得
，
当且仅当
，
，
三点共线时等号成立.
而直线
的方程为
，由
可得
，所以
，
所以点
的坐标为
.
所以当且仅当点
的坐标为
时，
的最小值为
.
故选：D.
19．已知点
是双曲线
的上焦点，
是
下支上的一点，点
是圆
上
一点，则
的最小值是 .
【答案】6
【分析】根据题意，结合圆的性质和双曲线的定义，即可求解.
【详解】由圆
可化为
，则
，半径为1，
设
是
的下焦点，则
，由双曲线定义可得
，如图：
所以
，又
，
当且仅当
四点共线时，取得最小值，即
的最小值是
.
故答案为：6
题型四：利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值
20．已知
是双曲线
的下焦点，
，
是双曲线上支上的动点，则
的最小值为
（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【答案】A
【分析】求出上焦点
的坐标，由双曲线的定义可得
，求得
的值，即得结果．
【详解】由
得
，
，
，
所以下焦点
，上焦点为
，
由双曲线的定义得
，
当
，
，
三点共线时，
取得最小值9．
故选：A．
21．过双曲线
的右支上一点
，分别向圆
和圆
作切线，切
点分别为
、
，则
的最小值为（ ）
A．10
B．11
C．12
D．15
【答案】B
【分析】根据双曲线定义可得
，结合圆的切线性质可得
，结合图形，即得答案.
【详解】如图所示，双曲线方程
的两焦点坐标为
，
，
连接
，
，
，
，则
，
因为
，
，
所以
，
当且仅当
为双曲线右顶点时等号成立，
故选：B.
22．设点
为双曲线
右支上的动点，
为该双曲线的右焦点，已知点
，则
的
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义将
转化成
，数形结合求得
最值得解.
【详解】如图，设双曲线的左焦点为
，
由双曲线的定义得
，
所以
的最小值为
.
故选：B.
23．
是双曲线
的右支上一点，
、
分别是圆
和
上的点，则
的最大值为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】D
【分析】根据题设及双曲线定义、圆的性质确定点到圆上点距离差的最大值.
【详解】双曲线
中，如图所示：
，
，
，设左、右焦点为
，
，
，
，
，
，
三点共线且
在
之间时取等号，
，则
，
共线且
在
之间时取等号，
所以
.
故选：D
24．双曲线
的左焦点为F，点
，若P 为C 右支上的一个动点，则
的最小值
为 ．
【答案】9
【分析】利用双曲线的定义将
进行转化，再结合三角形三边关系求
的最小值；
【详解】设双曲线
的右焦点为
.
对于双曲线
，可得
，则
.
因为点
在双曲线的右支上，所以
，即
.
则
.
根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得
，当且仅当
，
，
三点共线时取
等号.
已知
，
，根据两点间距离公式，可得
.
所以
，即
的最小值为.
故答案为：
25．已知
是双曲线
的右焦点，
是
左支上一点，
是圆
上一点，
则
的最小值为 .
【答案】
【分析】利用双曲线定义，将
转化为
，结合圆的性质求解即可.
【详解】设双曲线
的左焦点为
，连接
，
.
由题知，实轴长
，
由双曲线定义知，
，
则
，
当P，D，
三点共线时，
取得最小值，
且最小值为
.
故答案为：
26．已知F 是双曲线
的右焦点，动点P 在双曲线的左支上，点Q 为圆
上一
动点，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】设
是左焦点，由双曲线定义转化
，取最小值时
，
的最
小值是
在线段
上即得．
【详解】双曲线
，
，
，
，
，
，
即为
，
圆
的圆心为
，半径
，
P 在双曲线的左支上，
，
，
所以
，
根据圆的几何性质可知，
的最小值是
，
所以
的最小值是
.
故答案为：6
27．已知双曲线E：
的左焦点为F，点M 是E 右支上的动点，点N 是圆
上的动点，
则
的最大值为 .
【答案】
【分析】结合双曲线的定义与三角形三边关系可得
，再根据定点到圆上一动点的
距离最值的解法即可求解.
【详解】设双曲线E：
的右焦点为
，则
，
.
由双曲线定义可得
，即
.
，
当且仅当
三点共线时，
取得最大值
.
∵点N 是圆
上的动点，
∴
圆心设为
，半径
，
，
.
故答案为：
.
题型五：判断方程是否表示双曲线
28．对于方程
，表示的曲线
，下列说法正确的是 （ ）
A．曲线
只能表示圆、椭圆或双曲线
B．若
为负角，则曲线
为双曲线
C．若
为正角，则曲线
为椭圆
D．若
为椭圆，则曲线
的焦点在
轴上
【答案】B
【分析】对于A，根据
的取值，即可判断；对于B 若
为负角，即
，结合双曲线标准方程
的形式，即可判断；
对于C，当
时，结合圆的标准方程的形式，即可判断；对于D，变形后结合椭圆的标准方程的形式，
即可判断选项.
【详解】对于A，当
，即
时，曲线
的方程为
，即
，
此时曲线
为两条平行的直线，故A 错误；
对于B，若
为负角，即
，则
，
此时曲线
为双曲线，故B 正确；
对于C，若
为正角，即
，当
时，
，
则曲线
的方程为
1，是圆，故C 错误；
对于D，若
为椭圆，当
，
，又
可变形为
，
则
为焦点在
轴上的椭圆，故D 错误．
故选：B.
29．（多选）在平面直角坐标系
中，若一曲线的方程为
，则（ ）
A．当
时，该曲线为椭圆
B．当
时，该曲线为焦点在
轴上的双曲线
C．当
时，该曲线为焦点在
轴上的双曲线
D．无论
取何值，该曲线不可能为等轴双曲线
【答案】BCD
【分析】据
的不同取值范围对曲线方程进行变形分析，根据椭圆、双曲线以及等轴双曲线的标准方程来
判断曲线的类型即可.
【详解】当
时，
，方程
可化为
因为
，所以
，
，当
，即
时，方程
，所以此时该曲线为圆，A
选项错误.
当
时，
，方程
可化为
因为
，
，满足焦点在
轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在
轴上的双曲线，
B 选项正确.
当
时，
，方程
可化为
因为
，所以
，
，满足焦点在
轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在
轴
上的双曲线，C 选项正确.
若曲线
为等轴双曲线，则
，两边平方可得
，解得
.
当
时，方程为
，即
，表示圆，不是等轴双曲线，D 选项正确.
故选：BCD.
30．（多选）已知
，曲线
：
，则（ ）
A．当
时，
是
轴
B．当
时，
是椭圆
C．当
时，
是双曲线，焦点在
轴上
D．当
时，
是双曲线，焦点在
轴上
【答案】CD
【分析】通过
的取值范围，判断选项正误即可.
【详解】
，曲线
：
，
对于A，当
时，方程化为
，
是
轴，故A 错误；
对于B，当
时，方程化为
，当
时，曲线是圆，故B 错误；
对于C，当
时，
是双曲线，方程化为
，焦点在
轴上，故C 正确；
对于D，当
时，
是双曲线，方程化为
，焦点在
轴上，故D 正确，
故选：CD.
31．（多选）已知方程
表示的曲线为
，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当
时，曲线
是椭圆
B．当
或
时，曲线
是双曲线
C．若曲线
是焦点在
轴上的椭圆，则
D．若曲线
是焦点在
轴上的双曲线，则
【答案】BCD
【分析】利用曲线C 所表示的曲线类型求出参数的值或取值范围，由此可得出合适的选项.
【详解】选项A：若曲线为椭圆，则
，即
且
，故A 错误；
选项B：若曲线为双曲线，则
，即
或
，故B 正确；
选项C：若曲线为焦点在x 轴上的椭圆，则
，即
，故C 正确；
选项D：若曲线为焦点在y 轴上的双曲线，则
，即
，故D 正确；
故选：BCD.
32．（多选）已知方程
表示的曲线为
，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当
时，曲线
是椭圆
B．当
或
时，曲线
是双曲线
C．若曲线
是焦点在
轴上的双曲线，则
D．若曲线
是焦点在
轴上的椭圆，则
【答案】BC
【分析】按双曲线和椭圆的标准方程逐项判断即可
【详解】A：
，
时，若
即
，则
是圆，故错误
B：
时，
且
，
，故
是双曲线；
时，
且
，
是双曲线，故正确
C：若曲线
是焦点在
轴上的双曲线，则
且
，解得
，故正确
D：
，若曲线
是焦点在
轴上的椭圆，则
，解得
，
故错误
故选：BC
33．（多选）已知A､B 两点的坐标分别是
，
，直线AP､BP 相交于点P，且两直线的斜率之积
为m，则下列结论正确的是（ ）
A．当
时，点P 的所在的曲线是焦点在x 轴上的双曲线
B．当
时，点P 的所在的曲线是焦点在y 轴上的双曲线
C．当
时，点P 的所在的曲线是焦点在y 轴上的椭圆
D．当
时，点P 的所在的曲线是圆
【答案】AD
【分析】设出
点的坐标，利用斜率乘积转化为求解轨迹方程，通过
的范围，判断选项的正误即可.
【详解】设点
的坐标为
，则直线
的斜率为
，
直线
的斜率为
，
由已知可得，
，
化简得点
的轨迹方程为
，
当
时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线(除去与x 轴的交点)，所以A 正确；
当
时，点P 的轨迹是焦点在x 轴上的双曲线 (除去与x 轴的交点)，所以B 错误；
当
时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆(除去与x 轴的交点)，所以C 错误；
当
时，点P 的轨迹为圆(除去与x 轴的交点)，所以D 正确.
故选： AD.
题型六：求双曲线方程
34．求满足下列条件的双曲线的标准方程．
(1)经过点
，且
；
(2)经过点
、
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分析可知双曲线的焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为
，代入
运算
求解即可；
（2）设双曲线的标准方程为
，代入点
、
运算求解即可.
【详解】（1）因为
，可知双曲线的焦点在x 轴上，
设双曲线的标准方程为
，
代入
，即
，解得
，
所以双曲线的标准方程为
.
（2）设双曲线的标准方程为
，
代入点
、
可得
，解得
，
所以双曲线的标准方程为
.
35．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
，焦点在
轴上，且过点
；
(2)经过两点
，
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据焦点位置及曲线所过的点求出
，
即可得标准方程；
（2）依题意可设双曲线的方程为
，利用待定系数法求解即可.
【详解】（1）由于双曲线的焦点在
轴上，
可设其标准方程为：
，
因为双曲线过点
，
所以
，
又因为
，所以
，
解得：
，
，
故所求双曲线的标准方程为：
.
（2）设双曲线方程为
，
把点
与点
代入，
有
，解得：
，
故所求双曲线的标准方程为：
.
36．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)焦点在
轴上，
，经过点
；
(2)经过
、
两点．
(3)过点
，且与椭圆
有相同焦点双曲线方程.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设双曲线的标准方程为
，将点
代入双曲线的方程，求得
，
即可求解；
（2）设双曲线的方程为
，将点
代入双曲线方程，求得
的值，即可求解；
（3）根据题意，设双曲线标准方程为
，代入点
，结合
，求得
的值，即可求解.
【详解】（1）解：因为
，且双曲线的焦点在
轴上，
可设双曲线的标准方程为
，
将点
的坐标代入双曲线的方程得
，解得
，
因此，双曲线的标准方程为
.
（2）解：设双曲线的方程为
，
将点
的坐标代入双曲线方程可得
，解得
，
因此，双曲线的标准方程为
.
（3）解：由题意知，椭圆
的焦点坐标为
，
所以可设双曲线标准方程为
，其中
，
代入点
可得
，联立解得
；
所以双曲线标准方程为
.
37．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是
，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于；
(2)焦点在
轴上，经过点
和点
．
(3)经过点
和
．
(4)已知与椭圆
共焦点的双曲线过点
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据焦点坐标、双曲线的定义可得答案；
（2）设双曲线的方程为
，将
两点代入可得答案；
（3）设双曲线的方程为
，将
两点代入可得答案；
（4）求出椭圆的焦点坐标可得双曲线的焦点坐标，设所求双曲线的标准方程为
，
代入点
可得答案.
【详解】（1）由已知得，
，即
，∵
，∴
，
∵焦点在
轴上，∴所求的双曲线的标准方程是
；
（2）设双曲线的方程为
，则
，所以
，
∴双曲线方程为
；
（3）设双曲线方程为
，将
两点代入可得
，
解得
，所以双曲线的标准方程为
；
（4）设椭圆
的半焦距为，则
，∴
，
所以椭圆
的焦点坐标为
，
，
所以双曲线的焦点坐标为
，
，
设所求双曲线的标准方程为
，则
，
故所求双曲线方程可写为
，∵点
在所求双曲线上，
∴代入有
，化简得
，解得
或
；
当
时，
，不合题意，舍去；
∴
，
∴所求双曲线的标准方程为
.
38．求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
，
，焦点在x 轴上；
(2)
，经过点
，焦点在y 轴上．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意设出双曲线的标准方程，将条件
，
代入即可得出答案.
（2）由题意设出双曲线的标准方程，将点的坐标代入方程即可得出答案.
【详解】（1）依题意
，
，且焦点在x 轴上，
所以双曲线的标准方程为
．
（2）因为焦点在y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为
．
由
，且点
在双曲线上，可得
，解得
．
因此，所求双曲线的标准方程为
．
39．写出适合下列条件的圆锥曲线的标准方程：
(1)两个焦点在坐标轴上，且经过
和
两点的椭圆方程；
(2)过点
，且与椭圆
有相同焦点双曲线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可知为避免讨论焦点位置带来的麻烦，可设出椭圆一般方程代入点坐标即可求得
结果；
（2）利用椭圆可求得焦点坐标，设出双曲线标准方程代入点
即可求得其标准方程.
【详解】（1）根据题意可设椭圆一般方程为
，
将
和
两点代入可得
，解方程组可得
；
所以椭圆的标准方程为
.
（2）由题意可知椭圆
的焦点坐标为
；
所以可设双曲线标准方程为
，其中
；
代入点
可得
，联立解得
；
所以双曲线标准方程为
.
题型七：双曲线中的轨迹方程问题
40．已知
，
，直线
相交于点
，且直线
与直线
的斜率之积为1，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设点
,根据题意建立方程，化简即得点
的轨迹方程，同时要注意条件
的满足即得.
【详解】设点
，则
，
化简即得：
.
即点
的轨迹方程为：
.
故选：B.
41．设
两点的坐标分别为
，
，直线
与
相交于点
，且它们的斜率之积为
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用给定条件直接求解动点的轨迹方程即可.
【详解】设点
，则
的斜率为
，
的斜率为
，
故
，
所以
，故D 正确.
故选：D
42．已知
，圆
，动圆
经过
点且与圆
相切，则动圆圆心
的轨迹方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆
的半径为
，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲
线的定义计算可得.
【详解】圆
，即
，圆心为
，半径
，
设动圆
的半径为
，
若动圆
与圆
相内切，则圆
在圆
内，所以
，
，
所以
，
所以动点
是以
、
为焦点的双曲线的右支，且
、
，
所以
，
所以动圆圆心
的轨迹方程是
，
若动圆
与圆
相外切，所以
，
，
所以
，
所以动点
是以
、
为焦点的双曲线的左支，且
、
，
所以
，
所以动圆圆心
的轨迹方程是
，
综上可得动圆圆心
的轨迹方程是
.
故选：C
43．已知
的两个顶点A，B 的坐标分别是
、
，且
，
所在直线的斜率之积等于2，
则顶点C 的轨迹方程是（ ）
A．
（
）
B．
C．
D．
（
）
【答案】A
【分析】首先设点
，根据条件列式，再化简求解.
【详解】设
，
，
所以
，整理为：
，
，
故选：A
44．在平面直角坐标系中，已知
的顶点
，
，其内切圆圆心在直线
上，则顶点C
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据图可得：
为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以
、
为焦点，实轴长为6
的双曲线的右支，从而写出其方程即得．
【详解】解：如图设
与圆的切点分别为
、
、
，
则有
，
，
，
所以
．
根据双曲线定义，所求轨迹是以
、
为焦点，实轴长为4 的双曲线的右支（右顶点除外），
即
、
，又
，所以
，
所以方程为
．
故选：A．
45．点P 到点
的距离与它到点
的距离的差等于16 的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】轨迹为焦点在
轴的双曲线的右支，直接根据双曲线的定义计算得到答案.
【详解】根据题意，轨迹为焦点在
轴的双曲线的右支，
，
，
，
故
，故轨迹方程为：
.
故答案为：
46．已知圆
，圆
，动圆
与圆
、圆
都外切．圆心
的轨迹为曲
线
.求
的方程；
【答案】
【分析】
由动圆与两定圆外切得到圆心距与半径之间的关系，作差后得到动圆圆心
的轨迹符合双曲线的定义，
由已知求出实半轴和焦半距，则动圆圆心的轨迹方程可求.
【详解】
圆
的圆心为
，半径为
，
圆
的圆心为
，半径为
，
设动圆
的半径为
，因为动圆
与圆
，圆
都外切，
所以
所以
，
所以点
在以
，
为焦点，以
为实轴长的双曲线的右支上，
设双曲线的方程为
，
所以
，所以
，
注意圆
与圆
外切于点
，所以
不可能为
，
所以
的方程为
47．已知
中的两个顶点是
，
边与
边所在直线的斜率之积是
，求顶点
的
轨迹．
【答案】去掉顶点的双曲线
【分析】设点
，进而根据斜率之积直接计算即可得轨迹方程，再根据轨迹方程求解即可.
【详解】解：设点
，因为
中的两个顶点是
，
所以，
，
因为
边与
边所在直线的斜率之积是
，
所以
，整理得
所以，顶点
的轨迹方程为
，
所以，顶点
的轨迹是以
为焦点，实轴为
，且去掉顶点的双曲线
.
题型八：双曲线中的焦点三角形问题
48．已知
是双曲线
的左，右焦点，点
在双曲线上，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据双曲线定理及余弦定理可求
.
【详解】由题设，双曲线的实半轴长
，且
，
因为
，故
在右支上且
，
而
，故
，
由余弦定理可得：
，
故选：C.
49．设
满足
，且
，则
的面积为（ ）
A．3
B．
C．9
D．
【答案】A
【分析】根据点
的轨迹方程及
可得
，结合勾股定理及
可得
从而得
的面积.
【详解】依题意
，所以
，
所以
．
又
，即
，
所以
，所以
.
故选：A．
50．如图，
、
是双曲线
的左、右焦点，过
的直线与双曲线分别交于点
、
，
若
为等边三角形，则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由双曲线的定义，可得
，
，由三角形面积公式
，即可
求出
的面积．
【详解】在双曲线中：
，所以
，
根据双曲线的定义，可得
，
是等边三角形，即
又
，
，
的面积为
．
故选：C．
51．设
，
分别是双曲线
的下、上焦点，
是该双曲线上的一点，且
，则
的面积等于（ ）
A．12
B．24
C．
D．
【答案】B
【分析】利用条件及双曲线的定义求出
，进而可得
为直角三角形，然后直接求面积即可.
【详解】由双曲线
得
，
又
，且
，
得到
，
所以
，
即
为直角三角形，
所以
.
故选：B.
52．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，且椭圆与双曲线在第一象限的交点为
，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据双曲线以及椭圆的定义可得
，即可利用余弦定理求解.
【详解】由双曲线方程知，焦点为
，则椭圆中
，
由双曲线和椭圆的定义知：
，
，
所以
，又
，
则
.
故选：C
52．已知双曲线C：
的左右焦点为
，过
的直线与双曲线
的右支交于
两点，若
，则
的周长为（ ）
A．12
B．14
C．10
D．8
【答案】A
【分析】由双曲线的定义求解即可；
【详解】
由题意可得
，
的周长为
，
由双曲线定定义可得
，
又
所以
，
所以
的周长为12，
故选：A
53．若
是双曲线
的两个焦点，
为坐标原点，点
在双曲线上，且
，离心率为
，则
的面积为 .
【答案】4
【分析】由题意，易知
为直角三角形，根据勾股定理和双曲线的定义计算可得
，结合
三角形的面积公式计算即可求解.
【详解】双曲线中
，解得
，
所以
，得
，所以
，
故
为直角三角形，得
，
由双曲线的定义知
，
所以
，
得
，所以
.
故答案为：4
54．双曲线
的左，右焦点分别为
，点
在双曲线右支上，若
，则
.
【答案】
【分析】根据双曲线的定义求得
，再利用余弦定理求解.
【详解】因为点
在双曲线右支上，且
，
则
，又
，
在
中，由余弦定理可得
，
，
所以
.
故答案为：
.
