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专题15 抛物线的标准方程
题型一：抛物线定义的理解
题型二：利用抛物线定义求方程
题型三：抛物线上点到定点距离及最值
题型四：抛物线上点到定点与焦点距离的和（差）最值
题型五：根据抛物线方程求焦点和准线
题型六：抛物线的焦半径公式
题型七：求抛物线方程
题型八：抛物线的实际问题
题型一：抛物线定义的理解
1．已知抛物线
：
的焦点为
，抛物线上有一点
，过点
的直线交抛物线的准线于点
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．已知A 为抛物线C：
上一点，点A 到C 的焦点的距离为4，到x 轴的距离为2，则p=
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
3．已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，
轴于点
，若
，
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．6
4．已知抛物线C：
的焦点为F，准线为l，过坐标原点
作直线
交
于点
（异于点
），过
作的垂线，垂足为
，若
，则直线
的方程为 ．
5．已知抛物线
的焦点为
，点
在
上，且
，则
到
轴的距离为 ．
题型二：利用抛物线定义求方程
6．顶点在原点，焦点是
的抛物线的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若抛物线的准线与直线
之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程： ．
8．准线为直线
，且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 .
9．已知抛物线
的准线是圆
与圆
的公共弦所在的直线，则抛物线
的标准
方程为 ．
10．以双曲线
的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为
题型三：抛物线上点到定点距离及最值
11．抛物线
上一点
到其焦点的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．已知点
是抛物线
上一动点，点
在圆
上运动，则
与
两点间最短距离为
.
13．抛物线
上的点到其焦点F 的距离的最小值为 .
14．已知点
在抛物线
上，则抛物线
上的点到其焦点距离的最小值为 .
15．抛物线
的焦点为
，准线为，点
是准线上的动点，若点
在抛物线
上，且
，则
（
为坐标原点）的最小值为 .
16．抛物线
上任意一点P 到点
的距离的最小值为 .
题型四：抛物线上点到定点与焦点距离的和（差）最值
17．已知
为抛物线
上一动点，定点
，则
的最小值为（ ）
A．20
B．13
C．16
D．34
18．已知点
是抛物线
上的一个动点，则点
到点
的距离与点
到该抛物线准线的距离之和
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
19．已知
，
为抛物线
的焦点，点
在抛物线上移动，当
取最小值时，点
的坐
标为（ ）
A．
B．
C．
D．
20．已知抛物线
的焦点为F，
为抛物线C 内侧一点，M 为C 上一动点，
的最小值为10，则
.
21．已知
是抛物线
上的一个动点，则
到
的距离与
到准线的距离之和的最小值为
.
22．已知抛物线
的焦点为
，点
为抛物线上的一个动点，点
的坐标是
，则
的
最小值为 .
题型五：根据抛物线方程求焦点和准线
23．已知抛物线
，
上一点
到焦点距离为5，则点
的纵坐标为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
24．已知抛物线
恰好经过圆
的圆心，则
的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
25．下列抛物线中，准线方程为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
26．已知点P 在抛物线C：
上，且点P 到C 的焦点F 的距离为
，则点P 到x 轴的距离为 .
27．若抛物线
经过点
，则该抛物线的焦点坐标为 .
题型六：抛物线的焦半径公式
28．已知
是抛物线
：
的焦点，
是
上一点，
，则
到
轴的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
29．已知
为抛物线
的焦点，点
（异于坐标原点）在
上，若点
到
轴的距离等于
其到
轴的距离，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
30．已知
是抛物线
的焦点，
是
上不同的两点，且都在第一象限，若
轴，
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
31．已知抛物线
上的一点P 到焦点的距离为9．且点P 在第一象限内，则点P 的坐标为 ．
32．已知抛物线
上一点
到
轴的距离为 1，则点
到此抛物线焦点
的距离为 .
题型七：求抛物线方程
33．已知抛物线
的焦点
与椭圆
的一个焦点重合，则抛物线的标准方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
34．过点
且焦点在y 轴上的抛物线方程为（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
35．抛物线
的焦点为F，M 是抛物线
上的点，
为坐标原点，若
的外接圆与
抛物线
的准线相切，且该圆的面积为
，则
（ ）
A．4
B．8
C．6
D．10
36．已知抛物线
上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离大1，则抛物线的标准方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
37．已知抛物线
的焦点
关于其准线的对称点为
，则抛物线
的标准方程为 .
38．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，准线方程为
；
(2)顶点在原点，且过点
；
(3)焦点在
轴上，且抛物线上一点
到焦点的距离为5.
39．已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点
，若点M 到该抛物线焦点的
距离为3，求抛物线的方程．
题型八：抛物线的实际问题
40．图1 为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径
，深度
，信号处理中心
位于焦点处，以顶点
为坐标原点，建立如图2 所示的平面直角
坐标系
，则焦点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
41．如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物
线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P 到江面的距离为100m，且
，则顶端
到桥面的距离为（ ）
A．50m
B．
C．55m
D．
42．一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转
而得的一种空
间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行
于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收
天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（ ）
A．
B．
C．1m
D．
43．如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的
截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与
隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为
m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆
通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m）
44．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管
，水从喷头
喷出后呈抛物线状，先向上至最高点
后落下，若最高点距水面2m，
距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为 m．（精确到
1m）
45．在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．
这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛
物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30 米，碎片距离爆炸中的最远水平距
离为60 米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米．
