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专题16 抛物线的几何性质
题型一：抛物线的简单性质
题型二：直线与抛物线的位置关系
题型三：抛物线的弦长
题型四：抛物线的中点弦和点差法
题型五：抛物线的焦点弦
题型六：抛物线的定值、定点、定直线问题
题型七：抛物线的向量问题
题型八：抛物线的三角形问题
题型一：抛物线的简单性质
1．已知抛物线
，直线
经过抛物线
的焦点，且与
相交于
，
两点．若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】首先得
，然后联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦长公式列方程即可求解.
【详解】因为直线
经过点
，则
，由
得
，
则
，故
，所以
．
故选：D．
2．已知点
在曲线
上，
，其中
点的坐标为
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】C
【分析】根据题意可知
为抛物线的焦点，再由焦半径等于
，列等式即可得到
的值，进而确定曲
线方程，再讲点
的横坐标代入，即可得到纵坐标的绝对值.
【详解】因为
，所以
为抛物线的焦点，且
，则
，得
，
则抛物线方程为
.点
在曲线上，所以
，则
.
故选：C.
3．（多选）抛物线
的焦点为
，准线为
为
上两个动点，则下列结论正确的有（ ）
A．焦点
的坐标为
B．准线的方程为
C．若直线
经过点
，则
的最小值为
D．以
为直径的圆与准线最多有1 个公共点
【答案】BCD
【分析】由抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，即可判断A、B，根据焦点弦的性质判断C，设
的中
点为
，
、
、
到准线的距离分别为
、
、
，根据抛物线的定义得到
，即可判断D.
【详解】对于A、B：抛物线
的焦点为
，准线方程为
，故A 错误，B 正确；
对于C：直线
经过点
，当
轴时，
取得最小值，且最小值为
，故C 正确；
对于D：设
的中点为
，
、
、
到准线的距离分别为
、
、
，
所以
，又
，所以
，
所以以
为直径的圆与准线最多有1 个公共点，故D 正确.
故选：BCD.
4．已知抛物线
上的点
到焦点的距离为5，则
.
【答案】8
【分析】根据抛物线的焦半径公式计算即可.
【详解】因为点M 到焦点的距离为5，所以
，解得
.
故答案为：
5．已知抛物线
的焦点为
，准线为，抛物线
上的点
到点
的距离等于点
到的距离，则
.
【答案】
【分析】由条件结合抛物线定义可得
，由此可求
，根据点
在抛物线
上，列方程可求
.
【详解】抛物线
的焦点
的坐标为
，准线的方程为
，
根据抛物线的定义可得
，
又点
到准线的距离
，
所以
，解得
.
因为点
在抛物线
上，所以
，又
，
所以
.
故答案为：
.
题型二：直线与抛物线的位置关系
6．已知直线l 过点
，且与抛物线
有且只有一个公共点，则符合要求的直线l 的条数为（ ）
条
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【分析】根据直线与抛物线的位置关系判断．
【详解】当直线平行于
轴（即抛物线的）时，直线与抛物线只有一个公共点，
直线与抛物线的轴不平行时，由于
在抛物线的外部（与焦点在不同区域），因此过点有的抛物线的
切线有两条．
综上，符合要求的直线有3 条．
故选：D．
7．在过点
的所有直线中，与抛物线
仅有一个公共点的直线有（ ）条
A．3
B．2
C．1
D．不能确定
【答案】A
【分析】当直线的斜率为0 时，直线的方程为
，满足与抛物线只有1 个交点，当斜率存在且不为0 时，
设直线的方程为
，代入抛物线方程中，根据判别式与0 的关系，可求得直线方程，从而可
得答案
【详解】解：由题意可知与抛物线有交点的直线的斜率存在，设过点
的直线的斜率为
，
当
时，直线的方程为
，此直线平行于抛物线的对称轴，与抛物线只有1 个交点，
当
时，设直线的方程为
，
代入抛物线方程得
，
由
，得
，即
，
解得
，所以过
与抛物线相切的直线有2 条，
综上所求直线有3 条，
故选：A
8．（多选）已知直线
与抛物线
相切，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】将直线方程与抛物线的方程联立，由
可求得
的值.
【详解】联立
可得
，由题意可得
，解得
.
故选：BC.
9．已知抛物线
，若过点
的直线l 与抛物线恒有公共点，则p 的值可以是 ．（写
出一个符合题意的答案即可）
【答案】
（答案不唯一，不小于2 的实数均正确）
【分析】点
在抛物线
的内部或在抛物线上时，过点
的直线l 与抛物线恒有公共点，
由此建立不等式即可.
【详解】解：若点
在抛物线
的内部或在抛物线上，则过点
的直线l 与抛物线恒有
公共点，
所以当x=1 时，
，解得
，
故答案为：
（答案不唯一，不小于2 的实数均正确）.
10．若直线
与抛物线
只有个公共点，则抛物线
的准线方程为 ．
【答案】
【分析】联立直线与抛物线方程，利用
求出
即可得出准线方程.
【详解】由
可得
，将
代入
，消去
可得
，
因为直线与抛物线
只有个公共点，
所以
，即
，解得
（舍去）或
，
所以抛物线
的准线方程为
．
故答案为：
．
11．设直线
，抛物线
，当
为何值时，与
相切 ？相交？相离？
【答案】当
时，与
相切；当
时，与
相交； 当
时，与
相离.
【分析】联立直线方程和抛物线方程，分类讨论即可.
【详解】解：联立方程，得
消去
并整理，得
.
当
时，方程
为一元二次方程.
所以
.
当
，即
时，与
相切；
当
，即
且
时，与
相交；
当
，即
时，与
相离.
当
时，直线的方程为
，显然与抛物线
交于点
.
综上所述，当
时，与
相切；当
时，与
相交； 当
时，与
相离.
12．已知抛物线C:
，焦点为
，点
在抛物
上，设
，其中
．
（I）求焦点
的坐标；
（Ⅱ）试判断直线
与抛物线
的位置关系，并加以证明．
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）相切，证明见解析.
【解析】（Ⅰ）求出
的值，可得焦点
的坐标；
（Ⅱ）分别求出直线
的斜率与抛物线C：
上过点
的切线的斜率，可得其相等，可证明
直线
与抛物线C 相切.
【详解】解：（Ⅰ）由抛物线C：
，可得：
，
，
可得焦点
的坐标为
；
（Ⅱ）直线
与抛物线C 相切，证明如下：
由点
及点
，可得
，
又
，可得
，可得
，
同时由抛物线C：
，
，
，
所以过
的切线的斜率为：
，
所以直线
与抛物线C 相切.
题型三：抛物线的弦长
13．已知抛物线
的焦点
为椭圆
的右焦点，且
的左、右顶点分别为
，
．
(1)求
的方程；
(2)求以
为直径的圆的标准方程；
(3)设过点
且倾斜角为
的直线与
交于
，
两点，求
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先计算求出椭圆的焦点，再结合抛物线的焦点得出抛物线方程；
（2）根据
为直径得出圆心及半径即可得出圆的方程；
（3）先联立方程组，再应用弦长公式计算求解.
【详解】（1）因为
，所以
的右焦点坐标为
，
所以
，即
，
所以
的方程为
．
（2）依题意得
的坐标为
，
所以线段
的中点坐标为
．
因为以
为直径的圆的半径
，
所以以
为直径的圆的标准方程为
．
（3）依题意可得直线的方程为
．
由
得
．
设
，
，则
，
，
，
则
．
14．曲线
上的每一点到定点
的距离与到定直线
的距离相等.
(1)求曲线
的方程；
(2)过点
的直线与曲线
交于
两点，若
，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由抛物线定义可知曲线类型，然后可得方程；
（2）直线方程联立抛物线方程消元，然后利用韦达定理，结合弦长求出直线方程.
【详解】（1）因为曲线
上的点到
的距离与到
的距离相等，
所以轨迹为焦点在
轴上，以
为焦点的抛物线，
所以
的方程为
.
（2）设
，直线的方程为
，
联立
得
，
所以
.
所以
，
解得
，
所以直线的方程为
.
15．已知点
到点
的距离比到直线
的距离小1，记点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线与
交于
两点，且
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义可知所求轨迹为抛物线，结合条件可写出方程；
（2）设直线
的方程为
，联立抛物线方程消元后根据韦达定理可得关系式，结合
，
可解出方程组，继而利用弦长公式求解即可.
【详解】（1）由题意，
到
的距离和到直线
的距离相等.
故点
的轨迹是以
为焦点，直线
为准线的抛物线，
故曲线
的方程为
；
（2）设直线
的方程为
，
联立
，消去
得
，
设
，
则
，
因为
，则
，
解方程组
，可得
，或
所以
16．已知抛物线
，其焦点到准线的距离为
，斜率为
的直线与
的交点为
两点，与
轴的交点为
.
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)若
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得
，求得抛物线方程；
（2）根据
得到
两点纵坐标的关系，联立直线的方程和抛物线的方程，写出韦达定理，从而
求得两点的坐标，根据两点间的距离公式求得
.
【详解】（1）由题意焦点到准线的距离为
，所以
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）设
，
，
，直线的方程为
，
联立
，消去
得
，
则
，即
，
，
又
，则
，可得
，
解得
，
，代入抛物线方程得
，
，
所以
，
，代回直线的方程解得
合题意，
.
17．已知F 是抛物线C：
（
）的焦点，
是抛物线C 上一点，且
.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，且线段AB 的中点坐标为
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据点在抛物线上以及抛物线的焦半径公式即可求解，
（2）根据点差法求解斜率，即可得直线方程，进而联立直线与抛物线方程得韦达定理，根据弦长公式即
可求解.
【详解】（1）由题可知，
，解得
，
故抛物线C 的方程为
.
（2）设
，
，则
，
两式相减，得
，即
.
因为线段AB 的中点坐标为
，
所以
，则
，
故直线l 的斜率为2.
所以直线l 的方程为：
.
联立直线与抛物线方程
，得
，
由韦达定理可得
，
.
由弦长公式得
.
18．已知曲线
上任一点到
的距离等于它到直线
的距离．
(1)求曲线
的方程；
(2)直线与抛物线
相切于点
，且与曲线
交于
两点，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设曲线
上任意一点
，再根据题意建立方程
，化简即可求出结
果；
（2）根据题设求出直线直线的方程
，联立
，消
得
，再利用弦长
公式即可求出结果.
【详解】（1）设曲线
上任意一点
，
由题有
，化简得到
，
所以曲线
的方程为
.
（2）因为直线与抛物线
相切于点
，
设直线的方程为
，
，
由
，消
得到
，
所以
，即
，得到
，
所以直线的方程为
，
由
，消
得
，所以
，
则
，
所以
，
所以
.
题型四：抛物线的中点弦和点差法
19．过直角顶点
的两直角边交抛物线
于
两点，求
中点
的轨迹方程．
【答案】
【分析】设
，利用已知及直径圆方程列式化简即可求解轨迹方程.
【详解】设
，
由已知及直径圆方程得
将⑤式变形得
，
将③④式代入得
，
整理得
，即
．⑥
①式变形得
，⑦
②式平方得
．⑧
⑧-⑦得
．⑨
⑨式和②式均代入⑥式得，
的轨迹方程为
．
20．已知抛物线C：
的焦点为
，且抛物线的焦点到准线的距离为2．
(1)求该抛物线的方程；
(2)在抛物线
上求一点
，使得点
到直线
的距离最短；
(3)过点
的直线与抛物线
交于
两点，且
为
的中点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由抛物线的性质可得p 的值，即求出抛物线的方程；
（2）设与
平行的直线
：
，代入抛物线的方程求得t 的值，进而求出点
；
（3）设A，B 的坐标，由中点坐标公式，可得A，B 的坐标的关系，结合点差法可得直线l 的方程．
【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故
，
所以
．
（2）设与
平行的直线
：
，
联立
，得
，
由
，得
，∴切线
：
，
此时切线
到直线
的距离最短，
由
，解得
，即
．
（3）设
，
，则
，
由
，得
，
若
，则A、B 关于x 轴对称，
为AB 中点不符合题意；
若
，则
，
所以直线的方程为
，即
，
经检验，满足题意.
21．已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离小2，记动点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线与
相交于
，
两点，若线段
的中点坐标为
，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意以及抛物线的定义，可得答案；
（2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案.
【详解】（1）由题意知动点
到点
的距离等于到直线
的距离，
则动点
的轨迹是以
为焦点，
为准线的抛物线，
所以
的方程为
.
（2）设
，
，则
，
两式相减得
，整理可得
.
因为线段
的中点坐标为
，所以
，
所以直线的斜率
，
故直线的方程为
，即
.
22．（1）
、
两点在抛物线
上，直线是
的垂直平分线，当直线的斜率为2
时，求在
轴上截距的取值范围；
（2）已知双曲线
，经过点
能否作一条直线，使与双曲线交于
、
，且点
是线段
的中点．若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
；（2）不存在，理由见解析.
【分析】（1）依题意设直线的方程为
，
的中点为
，利用设而不求点差法求得
，代入直线的方程求得
，然后利用点
在抛物线的内部列不等式求解即可；
（2）设存在被点
平分的弦
，且
、
，利用设而不求点差法求得
，进而求得
直线方程
，与双曲线联立，利用判别式即可判断被点
平分的弦不存在．
【详解】（1）由题意
、
两点在抛物线
上，直线是
的垂直平分线，
设直线在
轴上的截距为
，依题意直线的方程为
．
又设
的中点为
，则有
，两式相减可得
，
所以
，所以
，所以
，
代入直线方程
，得
．
因为线段
的中点
在抛物线（含焦点）的内部，
所以
，解得
．
即直线在
轴上截距
的取值范围为
．
（2）设存在被点
平分的弦
，且
、
，
则
①、②两式相减，得
．⑤
把③、④代入⑤得
，故直线
的方程为
．
由
消去
，得
，
而
．
这说明直线
与双曲线不相交，
故被点
平分的弦不存在，即不存在这样的直线．
23．已知
为抛物线
的焦点，点
在该抛物线上且位于
轴的两侧，
（其中
为坐标原
点）.直线
在绕着定点转动的过程中，求弦
中点
的轨迹方程.
【答案】
【分析】求出直线
过的定点，设出
三点的坐标，利用点差法求得三个坐标之间的关系将定点坐
标代入化简可得中点
的轨迹方程.
【详解】设直线
为
，设
，
由
，得
，
因为点
在抛物线上，
所以
，
所以
，解得
或
（舍去），
由
，得
，
由
，得
，
则
，得
，
所以直线
恒过定点
，
设
，则
，
因为点
在抛物线上，
所以
，
两式相减得
，
当
时，
，即
，
因为直线
恒过定点
，所以
，
所以
，所以
，
当
，
亦满足上式
所以所求为
.
24．已知O 为坐标原点，抛物线
的焦点为
，点
在C 上，且
(1)求C 的标准方程；
(2)已知直线l 交
于
两点，且
的中点为
，求直线l 的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由点在抛物线上得A 坐标，结合正弦定理得
，即可求解；
（2）利用点差法结合中点坐标求解.
【详解】（1）过点A 作
轴于B，易知点
则
所以
在
中，由正弦定理得
得
所以
解得
，
所以C 的标准方程为
（2）当直线l 的斜率不存在时，MN 的中点不可能为
，故直线l 的斜率存在且不为零，
设直线l 的斜率为
则
,两式相减得
，整理得
因为
的中点为
,所以
，所以
所以直线l 的方程为
，即
题型五：抛物线的焦点弦
25．已知点F 为抛物线
的焦点，过点F 且倾斜角为
的直线与抛物线交于A、B 两点，则
等于
（ ）
A．16
B．6
C．
D．4
【答案】C
【分析】求出焦点坐标，点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程利用根与系数的关系，由弦长公式求
得
．
【详解】由题意可得，抛物线的焦点
，
由直线的斜角为
，可知直线AB 的斜率为
，
∴直线AB 的方程为
，
设
，
联立方程
，可得
，解得
，
由抛物线的定义可知，
.
故选：C.
26．已知抛物线
的焦点为
，倾斜角为
的直线过点
．若与
相交于
两
点，则以
为直径的圆被
轴截得的弦长为 ．
【答案】
【分析】首先求出抛物线方程及直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到
，再
由抛物线的定义、中点公式求圆的半径和圆心横坐标，最后应用几何法求弦长.
【详解】因为抛物线
的焦点为
，
所以
，解得
，则抛物线
，
直线的方程为
，由
，
则
，显然
，
所以
，故
，
所以以
为直径的圆的圆心的纵坐标为，半径为
，
故以
为直径的圆被
轴截得的弦长为
.
故答案为：
27．已知曲线
上任意一点
与定点
的距离比它到直线
的距离小1.
(1)求曲线
的轨迹方程；
(2)若直线经过点
，与曲线
交于
两点，且
，求直线的方程.
【答案】(1)
；
(2)
或
．
【分析】（1）根据抛物线的定义求轨迹方程；
（2）由抛物线方程知直线
的斜率一定存在，设出直线方程后代入抛物线方程，应用韦达定理结合抛物
线定义得弦长
，从而求得参数值得直线方程．
【详解】（1）由题意动点
与定点
的距离和它到直线
的距离相等，
所以，曲线
是以
为焦点，直线
为准线的抛物线，
，
，
所以曲线
的轨迹方程是
；
（2）若直线
斜率不存在，则
不合题意，因此直线
斜率存在，
设直线
方程为
，代入曲线
方程整理得
，
设
，
，则
，
，
，
所以直线
方程为
，即
或
．
28．若抛物线
的焦点为
，过点
且斜率为
的直线与
交于
，
两点.
(1)求抛物线
的方程；
(2)求
.
【答案】(1)
(2)20
【分析】（1）根据题意可知，
，即可抛物线
的方程；
（2）首先求得直线的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及抛物线的焦点弦公式，即可求得
.
【详解】（1）由抛物线
焦点为
，所以
，
，
所以抛物线
的方程：
；
（2）由题意可知，直线
的方程为：
，设
，
，
联立方程组
，消去
，整理得
，
则
，
由抛物线的焦点弦公式
，
所以
的值为20.
29．已知抛物线方程为
，焦点在直线
上．
(1)求抛物线的方程；
(2)记直线与抛物线交于
，
两点，求线段
的长度．
【答案】(1)
；
(2)5.
【分析】（1）根据焦点在直线上，令直线中
，可得焦点坐标，进而可得抛物线的方程．
（2）将直线的方程与抛物线的方程联立，计算
，然后利用焦点弦长公式计算
．
【详解】（1）因为抛物线方程为
，焦点在直线
上，
所以令
，解得
，则
，所以
，
所以抛物线的方程为
；
（2）因为直线与抛物线交于
，
两点，
联立
，消去
整理得，
，
所以
，
所以
，
即线段
的长度为5．
30．已知抛物线C：
的焦点F 与双曲线E：
的一个焦点重合．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点F 的直线与抛物线C 交于A，B 两点，且
，求线段AB 的中点M 到准线的距离．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）先由双曲线的焦点，可得
，解出
即可求解;
（2）根据抛物线的定义可得
，从而可得点M 的横坐标，再根据抛物线的定义
可求解.
【详解】（1）∵双曲线E：
的焦点坐标为
，
又抛物线
（
）的焦点
，
∴
，即
.
∴抛物线C 的方程为
.
（2）设
，
，由抛物线定义，
知
，
∴
，于是线段
的中点M 的横坐标是1，
又准线方程是
，
∴点M 到准线的距离等于
.
题型六：抛物线的定值、定点、定直线问题
31．已知抛物线
（常数
），
是
轴正半轴上一点，过点
作直线交抛物线于
两点．
探究：是否存在定点
，使
为定值？
【答案】存在
【分析】设
，
，
，
，联立抛物线并应用韦达定理及两点距离公式
化简得
，由
即可得定值.
【详解】设
，
，
，
，
由
，得
，则
，
，
，
当且仅当
时，即存在定点
使得
为定值
．
32．已知抛物线
（
）的焦点为
，
为
上一点，且
.
(1)求
的方程；
(2)过点
且斜率存在的直线与
交于不同的两点
，
，且点
关于
轴的对称点为
，直线
与
轴交于点
.求点
的坐标.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）由条件结合抛物线的定义列方程求
，由此可得抛物线方程.
（2）设的方程为
，联立方程组并化简，设
，应用韦达定理得
，写出直线
方程，求出它与
轴的交点坐标即得.
【详解】（1）依题意，
，解得
，
所以
的方程为
.
（2）依题意，直线的斜率不为0，且过点
，设的直线的方程为
，
由
消去
得
，
，
设
，则
，不妨设
，则
，
直线AD 的方程为：
，即
，
即
，令
，得
，
因此
，解得
，
所以
.
33．抛物线
的焦点为
，过
的直线
交抛物线于
，
两点，在
处的切
线与在
处的切线交于点
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)证明：点
在定直线上
【答案】(1)
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用给定的焦点坐标求出抛物线方程.
（2）利用导数的几何意义求出抛物线
在点
处的切线方程，进而得直线
方程即可推理得证.
【详解】（1）抛物线
的焦点坐标为
，则
，解得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）设
，直线
的方程为
，由
，求导得
，
抛物线在
处的切线方程为
，即
，
依题意，直线
过
，则
，
同理在
处的切线过
，则
，
显然点
在
上，即直线
与
是同一直线，
因此
，则
，所以点
在定直线
上.
34．已知抛物线Ω：
焦点为F，过F 作两条互相垂直的直线，
，且直线与Ω 交于M，N 两点，
直线
与Ω 交于E，P 两点，M，E 均在第一象限，设A，B 分别为弦MN，EP 的中点，直线ME 与直线NP
交于点H．
(1)直线AB 是否过定点？请说明理由；
(2)证明：点H 在直线
上．
【答案】(1)过定点
，理由见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设直线和
的方程，与抛物线联立方程组，利用韦达定理表示出A，B 两点坐标，得直线
AB 方程，由方程判断所过定点坐标；
（2）表示出直线ME 与直线NP 方程，联立方程组求交点坐标即可.
【详解】（1）抛物线Ω：
的焦点
，
互相垂直的直线，
与抛物线各有两个交点，知直线，
斜率存在且不为0，
设直线的斜率为
，则直线
，设
，
由
，消去
并整理得
，
，
，
，弦MN 的中点
，
由垂直的条件，可将
换为
，设
，
同理得
，
，有
，
当
或
时，直线
的方程为
，
当
且
时，直线
的斜率为
，方程为
，
即
，当
时，恒有
，
所以直线
过定点，其坐标为
.
（2）直线
的斜率
，同理得直线
的斜率
，
此时直线
的方程为
，即
，
同理，直线
的方程为
，即
，整理得
，
由
，消去
解得
，
所以直线ME 与直线NP 的交点
在直线
上.
35．已知圆
，抛物线
的准线与圆
相切，过抛物线焦点
的动直线
与抛物线交于
、
两点，线段
的中点为
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)当
轴时，求直线的斜率；
(3)求证：
为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，定值为
【分析】（1）求出圆心坐标和圆
的半径，根据抛物线的准线与圆
相切求出
的值，即可得出抛物线
的方程；
（2）根据题意，设直线的方程为
，设点
、
、
，将直线的方程与
抛物线方程联立，列出韦达定理，求出点
的坐标，根据
轴可求出的值，由此可得出直线的斜
率；
（3）利用抛物线的焦点弦长公式以及平面内两点间的距离公式可证得结论成立.
【详解】（1）由题意可得，圆
的圆心为
，半径为，且抛物线的准线为
，与圆
详相切，
则
，因为
，解得
，故抛物线的方程为
.
（2）设点
、
、
，
显然直线
的斜率不为零，设直线的方程为
，
联立
可得
，则
，
由韦达定理可得
，
，
则
，
，即点
，
因为
轴，则
，解得
，
因此，直线的斜率为
.
（3）由抛物线焦点弦长公式可得
，
由（2）可得
，
所以
.
36．已知抛物线
的焦点
到准线的距离为2，点
，过
的直线交
于
，
两
点，过
，
分别作的垂线，垂足分别为
，
，直线
，
与直线
分别交于点
，
.
(1)求
的方程；
(2)记
，
的纵坐标分别为
，
，当
时，求直线
的斜率；
(3)设
为
轴上一点，记
，
分别为直线
，
的斜率.若
为定值，求点
的坐标.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由题意得到
，即可求解；
（2）设直线
的方程为
，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解；
（3）由（2）结合两点斜率公式即可求解.
【详解】（1）由题意知
，所以抛物线方程为
.
（2）
由题意可设直线
的方程为
，
，
，则
，
，
.
所以
，得
，
所以
，
.
所以直线
的方程为：
，与直线
的方程
联立消去
，
解得
，同理
.
所以
.所以
.
所以直线
的斜率为
.
（3）设
，
因为
.
因为
，
.
所以
，
当
时，
为定值.所以
.
题型七：抛物线的向量问题
37．设
，
是抛物线
：
上异于原点
的两点，且
，
直线
与x 轴相交于E.
(1)若P，Q 到x 轴的距离的积为4，求抛物线
的准线方程；
(2)F 是x 轴上的点，直线
与抛物线交于另一点
，直线
与
轴相交于
，若
，求
.
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）利用数量积的坐标表示可得
，再结合抛物线方程求出
即可.
（2）联立直线
、
与抛物线的方程，结合已知求出
的横坐标关系即可得解.
【详解】（1）由
，得
，
整理得
，又
，则
，
而
，因此
，由P，Q 到x 轴的距离的积为4，得
，则
，
所以抛物线
的准线方程为：
.
（2）设
，
，
，
，
由
，得
，
设直线
方程为：
，由
消去
得
，则
，
设直线
的方程为：
，同理得
，则
，
所以
，
.
38．已知抛物线
，斜率为
的直线交抛物线于
两点，且
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)试探究：抛物线
上是否存在点
，使得
？若存在，求出
点坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
和
【分析】（1）由
在抛物线上，代入求出
，即可求出抛物线
的方程；
（2）设
，求出直线并与抛物线
的方程联立，求出
点坐标，将
转化为
，
求出
并检查是否符合题意即可.
【详解】（1）由
在抛物线上，则
，解得
，
因此可得抛物线
的方程为
.
（2）
存在点
在抛物线
上，
设点
，
由直线的斜率为
，且过
，
则直线的方程为：
，即
，
联立
，可得
，解得
，或
，
即可得
点的纵坐标为，代入
，得
，即
，
若
，则
，即
，
又
，
则可得
，
整理得，
，解得
，或
，或
，或
，
当
时，
与
重合，舍去，
当
时，
与
重合，舍去，
当
时，
，
当
时，
，
综上知，抛物线
上存在点
，为
和
时，
.
39．已知抛物线
的焦点为
，直线
交抛物线
于点
，且
．
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)过点
的直线与抛物线
交于
两点，且
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设点
，根据焦半径公式求得
，将点
的坐标代入抛物线方程即可求解.
（2）设直线的方程为
，联立直线与抛物线的方程，结合坐标关系利用韦达定理求出
，再
结合焦半径公式求解焦点弦弦长即可.
【详解】（1）设点
，则
，所以
．
将
代入
得
，解得
，
所以抛物线C 的标准方程为
；
（2）抛物线的焦点
，设直线的方程为
，
因为
，所以
，所以
．
联立
，得
，
，
所以
，即
，
又
，所以
，解得
．
所以
．
40．直线l 经过抛物线
的焦点F，且与抛物线交于A，B 两点，
为抛物线上的点，
．
(1)求抛物线的方程；
(2)若使得
成立的点P 的横坐标为3，求四边形
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据抛物线的定义得出
，从而得出方程；
（2）设直线的方程，联立方程，由点
的横坐标以及韦达定理得出
，由弦长公式得出
，由距
离公式得出点
到直线的距离，进而结合平行四边形的面积公式求解即可.
【详解】（1）由
，得出
，所以抛物线的方程为
.
（2）
，设直线的方程为
，
联立
，得
，则
.
.
，
四边形
为平行四边形，
由点
的横坐标为3，得
.
,
点
到直线的距离
，
所以四边形
的面积为
.
41．经过抛物线
：
上一点
（除坐标原点
外），作垂直于
轴的直线与
轴交于点
．
若
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)若直线与抛物线
交于A，B 两点，且
，过坐标原点O，作
交
于点D，问平
面内是否存在定点N，使垂足点D 到N 点的距离为定值，若存在，求出定点N 的坐标；若不存在，说明理
由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）设
，由题意直接求出即可；
（2）设出直线的方程，直曲联立，表示出韦达定理，利用向量的坐标表示出向量的数量积进而求出
，
得到直线所过定点，再结合直径所对应的圆周角为直角可得；
【详解】（1）设
，
由题意可得
，
所以抛物线
的方程为
.
（2）
设直线的方程为
，
，
联立
，消去
可得
，
，
，
，
解得
，
所以直线的方程为
，所以直线恒过定点
，设为
，
因为
，所以点D 在以
为直径的圆上（不含原点），所以平面内存在定点
，使垂足点D
到N 点的距离为定值1.
42．已知抛物线
上的点P 的纵坐标为
，点P 到焦点F 和原点O 的距离相等．
(1)求抛物线的方程．
(2)若AB，CD 是抛物线的两条不同的弦，且满足
．
（ⅰ）求证：直线AB，CD 过同一个定点Q；
（ⅱ）过原点O 作AB，CD 的垂线，垂足分别为M，N，求四边形OMQN 面积的最大值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2
【分析】（1）由题意得
，代入抛物线方程即可求得p 值，则抛物线方程可得；
（2）（i）设直线AB 的方程为
，联立直线方程与抛物线方程，求得t 值即可得直线AB 过的定点，
同理得CD 过的定点即可得证；
（ii）先确定O，M，Q，N 四点在以OQ 为直径的圆上，结合图象即可直接求得四边形OMQN 面积的最大
值.
【详解】（1）原点
，焦点
，因为
，
所以点P 在线段OF 的垂直平分线上，故
，
代入抛物线方程可得
．又
，所以
，
所以抛物线方程为
．
（2）（ⅰ）证明：设直线AB 的方程为
，
，
，
与
联立可得
，且
，
，
由韦达定理可得
．
又
，即
，
所以
，解得
，所以直线AB：
经过定点
，
同理，直线CD 也经过定点
．
（ⅱ）解：由（ⅰ）知
，
，
所以O，M，Q，N 四点在以OQ 为直径的圆上，圆心即焦点
．
当MN 经过圆心F 且与OQ 垂直时，四边形OMQN 的面积最大，
此时四边形OMQN 的面积为2，即四边形OMQN 面积的最大值为2．
43．已知抛物线
的焦点为
，且抛物线
经过点
，直线与抛物线交于
两
点，
为坐标原点．
(1)求拋物线
的标准方程；
(2)若直线过定点
，求
面积的取值范围；
(3)若
，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
(3)
或
【分析】（1）把点代入抛物线方程，可求
，得抛物线的标准方程.
（2）设直线：
，与抛物线方程联立，根据韦达定理，表示出
，表示
，可求其取值
范围.
（3）设直线
，与抛物线方程联立，可得
，
，再把
转化成
，可求
的值，得到直线方程.
【详解】（1）由题意抛物线C 经过点
，代入方程可得
.
所以抛物线
的标准方程为：
.
（2）如图：
依题意，直线与抛物线有2 个交点
所以直线斜率不为0，
设直线
联立
，整理得
．
整理得：
故的取值范围是
.
（3）如图：
由题意得抛物线的焦点
，
又由
，可知直线过焦点
且斜率不为0
于是可设直线的方程为：
，
设
联立方程组
得
于是
由
可知，
，代入上式
所以直线的方程
或
.
题型八：抛物线的三角形问题
44．已知过定点
的直线交抛物线
于
两点，求
（
为坐标原点）面积的最小值．
【答案】
【分析】法1，按直线的斜率存在与否分类，设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理列出三角
形面积的函数关系求解；法2，设直线的方程为
，与抛物线方程联立，利用韦达定理列出三
角形面积的函数关系求解.
【详解】法1，当直线的斜率存在时，设直线的方程为
，
，
由
消去
得
，显然
，
，原点
到直线
的距离
，
，
因此
的面积
，
当直线的斜率不存在时，其方程为
，由
，得
，
，
的面积
，
所以
的面积最小值为
．
法2，直线不垂直于
轴，设直线的方程为
，
，
由
消去
得
，则
，
，而直线过点
，
因此
的面积
，当且仅当
时取等号，
所以
面积的最小值
.
45．已知抛物线
：
的焦点为
，点
在
上，且
．
(1)求
的方程；
(2)过点
作两条互相垂直的直线
，若点
分别为弦
的中点，当
取最小值时，求四
边形
的面积．
【答案】(1)
(2)128
【分析】（1）根据已知条件列出方程，解方程即可得出结果；
（2）设出直线方程，与抛物线联立，表示出相关点的坐标，进而利用基本不等式计算
最小值，最后
求解四边形
的面积.
【详解】（1）由抛物线的定义得
，
因为
，所以
，解得
，所以
的方程为
．
（2）由（1）知
，直线
的斜率存在且不为0．
设直线
的方程为
，
，
，
由
消去
得
，则
，
所以
，因为点G 是AB 的中点，
所以
，同理得
，
所以
，
当且仅当
且
，即
时，等号成立，所以
的最小值为8．
根据对称性，不妨取
，即直线AB 的方程为
，
则
，同理得
，故
．
46．已知
为抛物线
上的点，动点
满足
．
(1)求
的轨迹方程
；
(2)已知点
，直线
与
交于
两点，求
面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】(1) 设点
的坐标为
,根据题设条件得到
的坐标，把
的坐标代入抛物线方程，化简即可.
(2) 设
，
，由(1)得到方程
，联立直线方程与曲线方程
,根据韦达定理，应用弦长公式
表示出
，求出点
到直线的距离，表示出
面积，得到它的取值范围.
【详解】（1）设点
的坐标为
，因为
，
所以点
的坐标为
，又点
在抛物线
上，则
，
即
，故
的轨迹方程
为
．
（2）由题设
，
，联立
消去
得
，
由题意可得
，
则
，
，
所以
由题可得点P 到直线AB 的距离
，
则
，
因为
，所以
，
故
面积的取值范围为
．
47．在直角坐标系xOy 中，点A 到
的距离等于点A 到点
的距离，记动点A 的轨迹为C．
(1)求C 的方程；
(2)设M 为C 上的一个动点，若
，过M 作圆E：
的两条切线，
，若，
分别交
y 轴于P，Q 两点，求
面积的最小值．
【答案】(1)
；
(2)32．
【分析】（1）根据题意列等量关系，化简即可求解，
（2）根据两点可求解直线，
的直线方程，进而可得a，b 为方程
的两根，
由韦达定理，可求解
的长度，进而根据面积公式，结合基本不等式求解最值.
【详解】（1）设
，依题有
，即
，
则
的方程为
．
（2）如图，不妨设
，
，
，
依题意，
，所以
，
设直线MP 的方程为
，直线MQ 的方程为
，
依题意直线MP 与圆E：
相切，所以
，
整理可得
，
同理可得
，
所以a，b 为关于的方程
的两根，
所以
，
，
又M 是C 上的动点，则
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
面积的最小值为32．
48．已知顶点在坐标原点
，焦点在坐标轴上的抛物线过点
．
(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)过点
作直线交抛物线于另一个交点
（
在第四象限），设直线
的斜率分别为
，若
，求
的面积．
【答案】(1)抛物线的标准方程为
，准线方程为
或抛物线的标准方程为
，准线方程为
.
(2)
【分析】（1）根据题意分开讨论抛物线的开口方向，求出抛物线的标准方程与准线方程.
（2）首先求出
和直线
的方程，然后求出点
的纵坐标，最后根据面积公式求出
的面积即可.
【详解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为
，
将点
代入方程可得
，解得
，
此时抛物线的标准方程为
，准线方程为
；
当抛物线开口向上时，设其方程为
，
将点
代入方程可得
，解得
，
此时抛物线的标准方程为
，准线方程为
.
综上，抛物线的标准方程为
，准线方程为
或
，准线方程为
.
（2）根据题意，因为点
在第四象限，所以抛物线的标准方程为
，准线方程为
.
画出图象为：
由题意可知
存在，
，因为
，所以
.
设点
，所以
，解得
（舍去）或
.
直线
的方程为
，即
.
所以
点的坐标为
.
所以
的面积为
.
