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专题16 抛物线的几何性质
题型一：抛物线的简单性质
题型二：直线与抛物线的位置关系
题型三：抛物线的弦长
题型四：抛物线的中点弦和点差法
题型五：抛物线的焦点弦
题型六：抛物线的定值、定点、定直线问题
题型七：抛物线的向量问题
题型八：抛物线的三角形问题
题型一：抛物线的简单性质
1．已知抛物线
，直线
经过抛物线
的焦点，且与
相交于
，
两点．若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2．已知点
在曲线
上，
，其中
点的坐标为
，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．3
3．（多选）抛物线
的焦点为
，准线为
为
上两个动点，则下列结论正确的有（ ）
A．焦点
的坐标为
B．准线的方程为
C．若直线
经过点
，则
的最小值为
D．以
为直径的圆与准线最多有1 个公共点
4．已知抛物线
上的点
到焦点的距离为5，则
.
5．已知抛物线
的焦点为
，准线为，抛物线
上的点
到点
的距离等于点
到的距离，则
.
题型二：直线与抛物线的位置关系
6．已知直线l 过点
，且与抛物线
有且只有一个公共点，则符合要求的直线l 的条数为（ ）
条
A．0
B．1
C．2
D．3
7．在过点
的所有直线中，与抛物线
仅有一个公共点的直线有（ ）条
A．3
B．2
C．1
D．不能确定
8．（多选）已知直线
与抛物线
相切，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知抛物线
，若过点
的直线l 与抛物线恒有公共点，则p 的值可以是 ．（写
出一个符合题意的答案即可）
10．若直线
与抛物线
只有个公共点，则抛物线
的准线方程为 ．
11．设直线
，抛物线
，当
为何值时，与
相切 ？相交？相离？
12．已知抛物线C:
，焦点为
，点
在抛物
上，设
，其中
．
（I）求焦点
的坐标；
（Ⅱ）试判断直线
与抛物线
的位置关系，并加以证明．
题型三：抛物线的弦长
13．已知抛物线
的焦点
为椭圆
的右焦点，且
的左、右顶点分别为
，
．
(1)求
的方程；
(2)求以
为直径的圆的标准方程；
(3)设过点
且倾斜角为
的直线与
交于
，
两点，求
．
14．曲线
上的每一点到定点
的距离与到定直线
的距离相等.
(1)求曲线
的方程；
(2)过点
的直线与曲线
交于
两点，若
，求直线的方程.
15．已知点
到点
的距离比到直线
的距离小1，记点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线与
交于
两点，且
，求
．
16．已知抛物线
，其焦点到准线的距离为
，斜率为
的直线与
的交点为
两点，与
轴的交点为
.
(1)求抛物线
的标准方程；
(2)若
，求
.
17．已知F 是抛物线C：
（
）的焦点，
是抛物线C 上一点，且
.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)若直线l 与抛物线C 交于A，B 两点，且线段AB 的中点坐标为
，求
.
18．已知曲线
上任一点到
的距离等于它到直线
的距离．
(1)求曲线
的方程；
(2)直线与抛物线
相切于点
，且与曲线
交于
两点，求
．
题型四：抛物线的中点弦和点差法
19．过直角顶点
的两直角边交抛物线
于
两点，求
中点
的轨迹方程．
20．已知抛物线C：
的焦点为
，且抛物线的焦点到准线的距离为2．
(1)求该抛物线的方程；
(2)在抛物线
上求一点
，使得点
到直线
的距离最短；
(3)过点
的直线与抛物线
交于
两点，且
为
的中点，求直线的方程．
21．已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离小2，记动点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线与
相交于
，
两点，若线段
的中点坐标为
，求直线的方程.
22．（1）
、
两点在抛物线
上，直线是
的垂直平分线，当直线的斜率为2 时，
求在
轴上截距的取值范围；
（2）已知双曲线
，经过点
能否作一条直线，使与双曲线交于
、
，且点
是线段
的中点．若存在这样的直线，求出它的方程；若不存在，说明理由．
23．已知
为抛物线
的焦点，点
在该抛物线上且位于
轴的两侧，
（其中
为坐标原
点）.直线
在绕着定点转动的过程中，求弦
中点
的轨迹方程.
24．已知O 为坐标原点，抛物线
的焦点为
，点
在C 上，且
(1)求C 的标准方程；
(2)已知直线l 交
于
两点，且
的中点为
，求直线l 的方程.
题型五：抛物线的焦点弦
25．已知点F 为抛物线
的焦点，过点F 且倾斜角为
的直线与抛物线交于A、B 两点，则
等于
（ ）
A．16
B．6
C．
D．4
26．已知抛物线
的焦点为
，倾斜角为
的直线过点
．若与
相交于
两
点，则以
为直径的圆被
轴截得的弦长为 ．
27．已知曲线
上任意一点
与定点
的距离比它到直线
的距离小1.
(1)求曲线
的轨迹方程；
(2)若直线经过点
，与曲线
交于
两点，且
，求直线的方程.
28．若抛物线
的焦点为
，过点
且斜率为
的直线与
交于
，
两点.
(1)求抛物线
的方程；
(2)求
.
29．已知抛物线方程为
，焦点在直线
上．
(1)求抛物线的方程；
(2)记直线与抛物线交于
，
两点，求线段
的长度．
30．已知抛物线C：
的焦点F 与双曲线E：
的一个焦点重合．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点F 的直线与抛物线C 交于A，B 两点，且
，求线段AB 的中点M 到准线的距离．
题型六：抛物线的定值、定点、定直线问题
31．已知抛物线
（常数
），
是
轴正半轴上一点，过点
作直线交抛物线于
两点．
探究：是否存在定点
，使
为定值？
32．已知抛物线
（
）的焦点为
，
为
上一点，且
.
(1)求
的方程；
(2)过点
且斜率存在的直线与
交于不同的两点
，
，且点
关于
轴的对称点为
，直线
与
轴交于点
.求点
的坐标.
33．抛物线
的焦点为
，过
的直线
交抛物线于
，
两点，在
处的切
线与在
处的切线交于点
.
(1)求抛物线
的方程；
(2)证明：点
在定直线上
34．已知抛物线Ω：
焦点为F，过F 作两条互相垂直的直线，
，且直线与Ω 交于M，N 两点，
直线
与Ω 交于E，P 两点，M，E 均在第一象限，设A，B 分别为弦MN，EP 的中点，直线ME 与直线NP
交于点H．
(1)直线AB 是否过定点？请说明理由；
(2)证明：点H 在直线
上．
35．已知圆
，抛物线
的准线与圆
相切，过抛物线焦点
的动直线
与抛物线交于
、
两点，线段
的中点为
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)当
轴时，求直线的斜率；
(3)求证：
为定值，并求出该定值．
36．已知抛物线
的焦点
到准线的距离为2，点
，过
的直线交
于
，
两
点，过
，
分别作的垂线，垂足分别为
，
，直线
，
与直线
分别交于点
，
.
(1)求
的方程；
(2)记
，
的纵坐标分别为
，
，当
时，求直线
的斜率；
(3)设
为
轴上一点，记
，
分别为直线
，
的斜率.若
为定值，求点
的坐标.
题型七：抛物线的向量问题
37．设
，
是抛物线
：
上异于原点
的两点，且
，
直线
与x 轴相交于E.
(1)若P，Q 到x 轴的距离的积为4，求抛物线
的准线方程；
(2)F 是x 轴上的点，直线
与抛物线交于另一点
，直线
与
轴相交于
，若
，求
.
38．已知抛物线
，斜率为
的直线交抛物线于
两点，且
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)试探究：抛物线
上是否存在点
，使得
？若存在，求出
点坐标；若不存在，请说明理由.
39．已知抛物线
的焦点为
，直线
交抛物线
于点
，且
．
(1)求抛物线C 的标准方程；
(2)过点
的直线与抛物线
交于
两点，且
，求
．
40．直线l 经过抛物线
的焦点F，且与抛物线交于A，B 两点，
为抛物线上的点，
．
(1)求抛物线的方程；
(2)若使得
成立的点P 的横坐标为3，求四边形
的面积．
41．经过抛物线
：
上一点
（除坐标原点
外），作垂直于
轴的直线与
轴交于点
．
若
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)若直线与抛物线
交于A，B 两点，且
，过坐标原点O，作
交
于点D，问平
面内是否存在定点N，使垂足点D 到N 点的距离为定值，若存在，求出定点N 的坐标；若不存在，说明理
由．
42．已知抛物线
上的点P 的纵坐标为
，点P 到焦点F 和原点O 的距离相等．
(1)求抛物线的方程．
(2)若AB，CD 是抛物线的两条不同的弦，且满足
．
（ⅰ）求证：直线AB，CD 过同一个定点Q；
（ⅱ）过原点O 作AB，CD 的垂线，垂足分别为M，N，求四边形OMQN 面积的最大值．
43．已知抛物线
的焦点为
，且抛物线
经过点
，直线与抛物线交于
两
点，
为坐标原点．
(1)求拋物线
的标准方程；
(2)若直线过定点
，求
面积的取值范围；
(3)若
，求直线的方程．
题型八：抛物线的三角形问题
44．已知过定点
的直线交抛物线
于
两点，求
（
为坐标原点）面积的最小值．
45．已知抛物线
：
的焦点为
，点
在
上，且
．
(1)求
的方程；
(2)过点
作两条互相垂直的直线
，若点
分别为弦
的中点，当
取最小值时，求四
边形
的面积．
46．已知
为抛物线
上的点，动点
满足
．
(1)求
的轨迹方程
；
(2)已知点
，直线
与
交于
两点，求
面积的取值范围．
47．在直角坐标系xOy 中，点A 到
的距离等于点A 到点
的距离，记动点A 的轨迹为C．
(1)求C 的方程；
(2)设M 为C 上的一个动点，若
，过M 作圆E：
的两条切线，
，若，
分别交
y 轴于P，Q 两点，求
面积的最小值．
48．已知顶点在坐标原点
，焦点在坐标轴上的抛物线过点
．
(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；
(2)过点
作直线交抛物线于另一个交点
（
在第四象限），设直线
的斜率分别为
，若
，求
的面积．
