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专题15 抛物线的标准方程
题型一：抛物线定义的理解
题型二：利用抛物线定义求方程
题型三：抛物线上点到定点距离及最值
题型四：抛物线上点到定点与焦点距离的和（差）最值
题型五：根据抛物线方程求焦点和准线
题型六：抛物线的焦半径公式
题型七：求抛物线方程
题型八：抛物线的实际问题
题型一：抛物线定义的理解
1．已知抛物线
：
的焦点为
，抛物线上有一点
，过点
的直线交抛物线的准线于点
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】利用抛物线的性质得到
，进一步证明
，利用勾股定理求
出
，解三角形求出
，再利用倍角公式求出
，进一步求出
，再建立
的等式即可求解.
【详解】如图，过
作
于
，
由抛物线的定义知
，又
，则
，
设
，则
，因为
，
则
，
所以
，由于
轴，
所以
，则
，
则
，所以
，则
.
故选：D.
2．已知A 为抛物线C：
上一点，点A 到C 的焦点的距离为4，到x 轴的距离为2，则p=
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义，即抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，先求出抛物线的准线方
程，再结合点
到焦点和
轴的距离建立等式，进而求出
的值.
【详解】对于抛物线
，其准线方程为
.
已知点
到
的焦点的距离为
，由抛物线的定义可知，点
到准线的距离也为
.
又因为点
到
轴的距离为
，所以点
到准线的距离为点
到
轴的距离加上
，即
.
对
进行求解，移项可得
，解得
.
故选：C.
3．已知抛物线
的焦点为
，点
在抛物线上，
轴于点
，若
，
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．6
【答案】C
【分析】先根据题意确定
的值，明确
点坐标，再求
.
【详解】如图：
不妨设
点在第一象限，因为
，所以
点坐标为：
.
又
，所以
.
所以
.
故选：C
4．已知抛物线C：
的焦点为F，准线为l，过坐标原点
作直线
交
于点
（异于点
），过
作的垂线，垂足为
，若
，则直线
的方程为 ．
【答案】
【分析】连接
，因为
，由
，可得点
的坐标，即可求得直线
的方程.
【详解】连接
，因为
，
所以
是以
为顶角的等腰三角形．设点
，因为
，
所以
，所以
．则
，所以直线
的方程为
．
故答案为：
5．已知抛物线
的焦点为
，点
在
上，且
，则
到
轴的距离为 ．
【答案】
/
【分析】根据抛物线的定义，先求出抛物线的准线方程，再结合抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的
距离，进而求出点
到
轴的距离.
【详解】在抛物线
中，
，则
，所以准线方程为
.
设点
的坐标为
，由抛物线的定义，已知
，即点
到焦点
的距离为
，那么点
到准
线
的距离也为
.
点
到准线
的距离为
，所以
.
解方程
，可得
.
点
到
轴的距离就是点
横坐标的绝对值，因为
，所以点
到
轴的距离为
.
故答案为：
.
题型二：利用抛物线定义求方程
6．顶点在原点，焦点是
的抛物线的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由焦点坐标得到
，得到抛物线方程.
【详解】由题意知抛物线开口向上，
，故抛物线的标准方程是：
．
故选：B
7．若抛物线的准线与直线
之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程： ．
【答案】
或
（填一个答案即可）
【分析】根据题意，判断抛物线的准线方程为
或
，分别求出焦准距，写出抛物线方程即可.
【详解】依题意，抛物线的准线与直线
平行，且距离为2，
故抛物线的准线方程为
或
，
当抛物线的准线方程为
时，抛物线的焦点在
轴的负半轴上，且
，
，故抛物线方程为：
；
当抛物线的准线方程为
时，抛物线的焦点在
轴的正半轴上，且
，
，故抛物线方程为：
.
综上可知，满足条件的抛物线的标准方程可以是
或
.
故答案为：
或
（填一个答案即可）
8．准线为直线
，且顶点为坐标原点的抛物线的标准方程为 .
【答案】
【分析】由抛物线的性质得出抛物线标准方程即可.
【详解】设抛物线为
，
因为准线为
，则
，所以
，
所以
.
故答案为：
.
9．已知抛物线
的准线是圆
与圆
的公共弦所在的直线，则抛物线
的标准
方程为 ．
【答案】
【分析】利用两圆方程相减后求出公共弦方程，再结合抛物线的性质求解即可；
【详解】两圆的公共弦方程为
，
所以
，所以抛物线的标准方程为
．
故答案为：
．
10．以双曲线
的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为
【答案】
【分析】根据双曲线可得抛物线的焦点为
，即可得方程.
【详解】由双曲线方程可知
，且焦点在x 轴上，
可知双曲线的右焦点为
，即抛物线的焦点为
，
所以抛物线的标准方程为
.
故答案为：
.
题型三：抛物线上点到定点距离及最值
11．抛物线
上一点
到其焦点的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得抛物线的方程
，得到焦点坐标和准线方程，结合抛物线的定义，即可求
解.
【详解】由抛物线
上一点
，可得
，解得
，即
，
可得抛物线的焦点坐标为
，准线方程为
，
又由抛物线的定义，可得
.
故选：B.
12．已知点
是抛物线
上一动点，点
在圆
上运动，则
与
两点间最短距离为
.
【答案】
【分析】因为点
在圆外，
与
两点间最短距离是抛物线上的点到圆心距离减去圆的半径，设出点
坐
标，写出距离，再根据二次函数性质即可求解.
【详解】设抛物线
上的点
坐标为
，
圆
的圆心为
，半径
.
点
到圆心
的距离
.
令
，则
，对其求最小值，
根据二次函数性质，当
时，
最小为
.
则
与
两点间最短距离为
.
故答案为：
.
13．抛物线
上的点到其焦点F 的距离的最小值为 .
【答案】2
【分析】根据抛物线定义结合抛物线上点的范围可求出答案.
【详解】设抛物线上的点为
，易知
；
可得抛物线
的准线方程为
，
由抛物线定义可知
，
当
时，距离的最小值为
.
故答案为：2
14．已知点
在抛物线
上，则抛物线
上的点到其焦点距离的最小值为 .
【答案】
/0.0625
【分析】根据点在抛物线上求出抛物线的标准方程，利用抛物线的定义及性质求出结果.
【详解】因为点
在抛物线
上，所以
，故抛物线
的标准方程为
，
由抛物线的定义知，抛物线
上的点到其焦点的距离等于到其准线的距离，
因为抛物线准线方程为
,所以抛物线上点
到焦点距离等于
,
因为
,所以
，
故抛物线
上的点到其焦点距离的最小值为
.
故答案为：
15．抛物线
的焦点为
，准线为，点
是准线上的动点，若点
在抛物线
上，且
，则
（
为坐标原点）的最小值为 .
【答案】
【分析】由题意结合抛物线的定义求出
，设点
关于直线
对称点为
，则
，从而可求出
的最小值.
【详解】由
，得
，所以
，准线为
，
不妨设点
在第一象限，过
作
于
，则
，得
，
则
，得
，所以
，
设点
关于直线
对称点为
，则
，
所以
，
当且仅当
三点共线时取等号，
所以
的最小值为
，
故答案为：
16．抛物线
上任意一点P 到点
的距离的最小值为 .
【答案】
【分析】设
（
），则
，将
代入化简可求出其最小值
【详解】设
（
），则
，显然
，
则
，当
时取等号，
所以所求的最小值为
.
故答案为：
题型四：抛物线上点到定点与焦点距离的和（差）最值
17．已知
为抛物线
上一动点，定点
，则
的最小值为（ ）
A．20
B．13
C．16
D．34
【答案】B
【分析】由抛物线方程可得焦点坐标与准线方程，结合题意作图，可得答案.
【详解】由抛物线
，则其焦点
，准线
，
分别过
作
，垂足分别为
，如下图：
由图可得
.
故选：B.
18．已知点
是抛物线
上的一个动点，则点
到点
的距离与点
到该抛物线准线的距离之和
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】C
【分析】利用抛物线定义将点
到准线的距离转化到与焦点的距离，再根据三点不共线时两边之和大于第
三边且三点共线时能取得最值，即得结果.
【详解】依题意，抛物线
中，
，点
到准线的距离
，
故点
到点
的距离
与
到该抛物线准线的距离之和为：
，
当且仅当A,P,F 三点共线时等号成立.
所以
的最小值为
.
故选：C.
19．已知
，
为抛物线
的焦点，点
在抛物线上移动，当
取最小值时，点
的坐
标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】点
在抛物线的内部，要求
的最小值，利用抛物线的定义，过点
直接作准线的垂
线，与抛物线的交点即为所求.
【详解】由于
，所以点
在抛物线的内部，
设点
在准线上的射影为
，由抛物线的定义可知
，
要求
的取最小值，即求
的最小值，
只有当
三点共线时
最小，
令
，
，得
，所以取最小值时点
的坐标为
.
故选：A.
20．已知抛物线
的焦点为F，
为抛物线C 内侧一点，M 为C 上一动点，
的最小值为10，则
.
【答案】12
【分析】原条件转换为
取得最小值10，由此即可列方程求解.
【详解】设点M 在C 的准线上的射影为D，则
，要使
取最小值，即
取得
最小值，
当D，M，P 三点共线时，
取得最小值，由
，得
.
故答案为：12.
21．已知
是抛物线
上的一个动点，则
到
的距离与
到准线的距离之和的最小值为
.
【答案】
【分析】利用抛物线的定义可求则
到
的距离与
到准线的距离之和的最小值.
【详解】设
为抛物线的焦点，则
，
如图，设
，
为
到准线的距离且
为垂足，
则
，
当且仅当
三点共线且
在
之间时等号成立，
故
的最小值为
.
故答案为：
.
22．已知抛物线
的焦点为
，点
为抛物线上的一个动点，点
的坐标是
，则
的
最小值为 .
【答案】5
【分析】根据给定条件，利用抛物线定义，结合几何图形求出最小值.
【详解】抛物线
的焦点为
，准线方程为
，
过
作
垂直于准线，垂足为
，交抛物线于点
，过点
作
垂直于准线，垂足为
，
因此
，当且仅当
共线时取等号，
所以
的最小值为5.
故答案为：5
题型五：根据抛物线方程求焦点和准线
23．已知抛物线
，
上一点
到焦点距离为5，则点
的纵坐标为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】先将抛物线方程化为标准形式，利用抛物线定义即可求出点P 的纵坐标.
【详解】将抛物线方程化为标准形式，
，
∴
，焦点坐标
，准线方程
，
设
点坐标为
，
∵P 到焦点距离为5，
∴P 到准线
距离为5，
,
∴
,即点
的纵坐标为3，故C 正确.
故选：C.
24．已知抛物线
恰好经过圆
的圆心，则
的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出圆心坐标，将圆心坐标代入抛物线方程，将抛物线方程化为标准方程，即可得出抛物线
的
准线方程.
【详解】圆
的圆心为
，
将圆心
的坐标代入抛物线的方程得
，解得
，
故抛物线
的方程为
，标准方程为
，
则
，所以，
，故抛物线
的准线方程为
.
故选：C.
25．下列抛物线中，准线方程为
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由抛物线准线方程可判断选项正误.
【详解】对于A，
准线为
，故A 错误；
对于B，
准线方程为
，故B 错误；
对于C，
，则其准线方程为：
，故C 正确；
对于D，
，则其准线方程为：
，故D 错误.
故选：C
26．已知点P 在抛物线C：
上，且点P 到C 的焦点F 的距离为
，则点P 到x 轴的距离为 .
【答案】4
【分析】设
，
，根据焦半径公式得到方程，求出
，得到答案.
【详解】由
，得
，则抛物线C 的准线方程为
.
设
，
，则
，∴
，
∴点P 到
轴的距离为4.
故答案为：4
27．若抛物线
经过点
，则该抛物线的焦点坐标为 .
【答案】
【分析】将点
的坐标代入抛物线方程，即可得到
，从而得到结果.
【详解】将点
的坐标代入
，得
，则该抛物线的焦点坐标为
.
故答案为：
题型六：抛物线的焦半径公式
28．已知
是抛物线
：
的焦点，
是
上一点，
，则
到
轴的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，利用抛物线的定义，得到
，再利用点在抛物线，即可求解.
【详解】设
，
，解得
，
所以
，得到
，故
到
轴的距离为
.
故答案为：C.
29．已知
为抛物线
的焦点，点
（异于坐标原点）在
上，若点
到
轴的距离等于
其到
轴的距离，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义计算求参即可.
【详解】由题意不妨设
，则
，
所以
，
由抛物线的定义可知，
，解得
，
故选：D.
30．已知
是抛物线
的焦点，
是
上不同的两点，且都在第一象限，若
轴，
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】A
【分析】由
轴，得到
，根据
，得到所以
，结合
，列出方
程，求得
的值，即可求解.
【详解】因为
轴，所以
，
又因为
，所以
，可得得
，所以
，
因为
，所以
，得
.
故选：A.
31．已知抛物线
上的一点P 到焦点的距离为9．且点P 在第一象限内，则点P 的坐标为 ．
【答案】
【分析】设点
，其中
，根据抛物线的焦半径公式，求得
，进而求得
，即可的得
到答案.
【详解】由抛物线
，可得焦点坐标为
，准线方程为
，
因为点
在第一象限，可设点
，其中
，
又因为点
到焦点
的距离为，可得
，解得
，
则
，可得
，所以点
的坐标为
.
故答案为：
.
32．已知抛物线
上一点
到
轴的距离为 1，则点
到此抛物线焦点
的距离为 .
【答案】
【分析】求出抛物线的准线方程，再利用抛物线定义求得答案.
【详解】抛物线
的准线方程为
，由点
到
轴距离为1，
得点
到此抛物线准线的距离为
，
所以点
到此抛物线焦点
的距离为
.
故答案为：
题型七：求抛物线方程
33．已知抛物线
的焦点
与椭圆
的一个焦点重合，则抛物线的标准方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出椭圆
的焦点坐标，写出抛物线的焦点坐标，列出等量关系，求出
，即可得抛物线的标准
方程.
【详解】对于椭圆
，
，
，则
，
椭圆
的焦点坐标为
和
，
抛物线
的焦点
的坐标为
，
因为抛物线
的焦点
与椭圆
的一个焦点重合，
所以
，解得
，所以抛物线的标准方程为
.
故选：B.
34．过点
且焦点在y 轴上的抛物线方程为（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
【答案】D
【分析】根据抛物线焦点的位置设抛物线为
，结合所过点求方程.
【详解】由题意，可设抛物线为
，又点
在抛物线上，
所以
，故所求抛物线为
.
故选：D
35．抛物线
的焦点为F，M 是抛物线
上的点，
为坐标原点，若
的外接圆与
抛物线
的准线相切，且该圆的面积为
，则
（ ）
A．4
B．8
C．6
D．10
【答案】B
【分析】综合应用三角形外接圆的性质和抛物线的性质即得答案.
【详解】因为
的外接圆与抛物线
的准线相切，
所以
的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径.
因为圆的面积为
，所以圆的半径为6，
又因为圆心在
的垂直平分线上，
，
所以
的外接圆的圆心到准线的距离
，可得
.
故选：B.
36．已知抛物线
上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离大1，则抛物线的标准方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据抛物线的定义求解．
【详解】由题意抛物线
上任意一点到焦点F 的距离与它到直线
的距离相，因此
，
，抛物线方程为
．
故选：C．
37．已知抛物线
的焦点
关于其准线的对称点为
，则抛物线
的标准方程为 .
【答案】
【分析】设出抛物线
的标准方程以及焦点坐标、准线方程，再由点关于直线对称的点坐标可解得
，可得答案.
【详解】根据题意可知抛物线
的焦点在
轴的正半轴上，
不妨设抛物线
的标准方程为
，可知焦点坐标为
，准线方程为
，
由焦点
关于其准线的对称点为
可知
，解得
，
所以抛物线
的标准方程为
.
故答案为：
38．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，准线方程为
；
(2)顶点在原点，且过点
；
(3)焦点在
轴上，且抛物线上一点
到焦点的距离为5.
【答案】(1)
(2)
或
(3)
【分析】（1）根据准线方程即可确定抛物线焦点位置以及
值，即可求解；
（2）根据抛物线上一点，设出抛物线方程，将点坐标代入即可求解；
（3）根据点
在抛物线上，确定焦点位置，根据抛物线定义，确定
值，即可求解.
【详解】（1）由题意顶点在原点，准线方程为
，
可知抛物线焦点在
轴负半轴上，且
，
故抛物线标准方程为
；
（2）由题意顶点在原点，且过点
，则抛物线焦点可能在
轴正半轴或
轴负半轴上，
则设抛物线标准方程为
或
，
分别将
代入，有
，
，求得
，
，
故抛物线标准方程为
或
.
（3）由题意抛物线焦点在x 轴上，且点
在抛物线上，
有抛物线焦点在
轴正半轴上，
又因为抛物线上一点
到焦点的距离为5，
则设抛物线方程为
，焦点为
，准线为
，
根据抛物线定义有，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
故
，
故抛物线标准方程为
.
39．已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点
，若点M 到该抛物线焦点的
距离为3，求抛物线的方程．
【答案】
或
【分析】根据题意分焦点在y 轴正半轴和y 轴负半轴，分别设出抛物线标准方程，解出即可.
【详解】当焦点在y 轴正半轴时，设方程为
，
由题意可得
，解得
.所以抛物线方程为
．
当焦点在y 轴负半轴时，设抛物线方程为
，
由题意可得
，解得
，所以抛物线方程为
.
综上，抛物线方程为
或
．
题型八：抛物线的实际问题
40．图1 为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径
，深度
，信号处理中心
位于焦点处，以顶点
为坐标原点，建立如图2 所示的平面直角
坐标系
，则焦点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，设抛物线方程为
且
，结合点
在抛物线上求参数，即可得焦点坐标.
【详解】由题意，设抛物线方程为
且
，显然点
在抛物线上，
所以
，则
，故焦点
的坐标为
.
故选：B
41．如图①，上海黄浦江上的卢浦大桥，整体呈优美的弧形对称结构.如图②，将卢浦大桥的主拱看作抛物
线，江面和桥面看作水平的直线，主拱的顶端P 到江面的距离为100m，且
，则顶端
到桥面的距离为（ ）
A．50m
B．
C．55m
D．
【答案】A
【分析】以
为坐标原点建立坐标系，设抛物线方程为
，表达出
点坐标，设
，其中为点
到桥面的距离，将
坐标代入抛物线方程，求出
，得到答案.
【详解】以
为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，依题意可知
，
设抛物线方程为
，其中为点
到桥面的距离，
则
,解得
．
故选：A
42．一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转
而得的一种空
间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行
于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收
天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（ ）
A．
B．
C．1m
D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为
，代入点
求出
，进而可得
答案.
【详解】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系
，使接收天线的顶点（即抛
物线的顶点）与原点
重合，焦点
在
上，
设抛物线的标准方程为
，
由已知得
在抛物线上，所以
，得
，
其顶点到焦点的距离等于
.
故选：A.
43．如图，某隧道内设双行线公路，同方向有两个车道（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的
截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设车辆顶部为平顶）与
隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为
m，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道为慢车道，则车辆
通过隧道时，慢车道的限制高度为 m.（精确到0.1m）
【答案】4.3
【分析】以抛物线的对称轴为
轴，路面为
轴建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，求出慢车道时，
最右侧的高，用该值减去
即为限制高度.
【详解】以抛物线的对称轴为
轴，路面为
轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设抛物线的方程为
，
将点
代入得
，
故
，
今
，得
，
故限高为
，
故答案为：4.3.
44．如图所示，花坛水池中央有一喷泉，水管
，水从喷头
喷出后呈抛物线状，先向上至最高点
后落下，若最高点距水面2m，
距抛物线的对称轴1m，则水池的直径至少应设计为 m．（精确到
1m）
【答案】5
【分析】以右侧抛物线顶点为坐标原点构建直角坐标系，设抛物线方程，由
在抛物线上求参数，
进而求得右侧水面落点坐标，根据对称性求水池的直径.
【详解】以抛物线的顶点为原点，过顶点与焦点的直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
设抛物线的方程为
，则
，代入方程得
，
所以抛物线的方程为
，又
，
令
，则
，故
，
所以，根据对称性知：水池直径为
m，约为5 m.
故答案为：5.
45．在水平地面竖直定向爆破时，在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分．
这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线也是抛物线的一部分（如图中虚线所示），称该条抛
物线为安全抛物线．若某次定向爆破中安全抛物线达到的最大高度为30 米，碎片距离爆炸中的最远水平距
离为60 米，则这次爆破中，安全抛物线的焦点到其准线的距离为 米．
【答案】60
【分析】建立平面直角坐标系，确定抛物线方程形式，确定点的坐标，代入方程求解，即得答案.
【详解】如图，以安全抛物线达到的最大高度点为坐标原点，平行于底面的直线为x 轴，
和地面垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，
则抛物线方程为
，由题意可知
，
代入
可得
，
即安全抛物线的焦点到其准线的距离为60 米，
故答案为：60
