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专题2.6 一元二次不等式的解法
教学目标
1.
使学生会用因式分解和配方法解一元二次不等式;
2.使学生会运用转化的方法解简单分式不等式;
3.向学生渗透化归和转化的数学思想方法;
4.培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理等数学素养.
教学重难点
教学重点：熟练求解一元二次不等式.
教学难点：正确求解特殊的一元二次不等式.
知识点01 一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是
2 的不等式，叫做一元二次不等式,一元二次不等式的一般形
式：
①
（其中
均为常数）
②
（其中
均为常数）
③
（其中
均为常数）
④
（其中
均为常数）
【即学即练】若
是关于
的一元二次不等式，则
的取值范围是 .
知识点02 一元二次不等式的解
1 定义：使某一个一元二次不等式成立的
的值，叫作这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个
一元二次不等式的解集.
将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫作不等式的同解变形.
2、一元二次不等式的解法
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程
，计算判别式Δ ：
①
时，求出两根
，且
（注意灵活运用十字相乘法）；
②
时，求根x1=x2=−b
2a ；
③
时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
【即学即练】一元二次不等式
的解集为 .
知识点03 二次函数、一元二次方程，一元二次不等式关系
对于一元二次方程
的两根为
且
，设Δ=b2−4ac ，它的解按照
Δ>0 ，Δ=0 ，Δ<0 可分三种情况，相应地，二次函数
的图象与
轴的位置关
系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式
或
的解集.
判别式Δ=b2−4ac
二次函数
(
的图象
一元二次方程
(
)的根
有两个不相等的实数
根
，
(
)
有两个相等的实数根
没有实数根
(
)的解集
(
)的解集
【即学即练】不等式
的解集是
，则
的解集是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
知识点04 分式不等式
1、定义：
与分式方程类似，分母中含有未知数的不等式称为分式不等式，如：形如
或
（其中
,
为整式且
的不等式称为分式不等式。
2、分式不等式的解法
①移项化零：将分式不等式右边化为0：
②
③
④
⑤
【即学即练】不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 一元二次不等式（不含参）的解
【典例1】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【变式2】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【变式3】解一元二次不等式
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【变式4】解下列不等式：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
一元二次不等式的解法
（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；
（2）写出相应的方程
，计算判别式Δ ：
①
时，求出两根
，且
（注意灵活运用十字相乘法）；
②
时，求根x1=x2=−b
2a ；
③
时，方程无解
（3）根据不等式，写出解集.
题型02 一元二次不等式（含参）的解
【典例1】解关与x 的不等式：
【变式1】当
时，关于x 的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】关于
的不等式
，其中
，则该不等式的解集不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）对于给定的实数
，不等式
的解集可能是（ ）
A．
B．
C．
D．R
【变式4】解关于
的不等式：
．
1、因式分解（不可因式分解考虑用
判别法+求根公式）
2、讨论法则：
①两根大小不确定，从两个相等开始讨论
②最高项系数含参数，从系数为“0”开始讨论
题型03 一元二次不等式与对应函数、方程的关系
【典例1】若关于
的不等式
的解集是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知不等式
的解集为
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）关于
的不等式
的解集为
或
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式
的解集为
D．不等式
的解集为
或
【变式3】不等式
的解集是
，则实数
0（填>，<或
）
【变式4】已知不等式
的解集为
，则不等式
的解集为
．
题型04 分式不等式的解法
【典例1】不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】不等式
的解集为 ．
【变式3】不等式
的解集为 .
【变式4】不等式
的解集是 .
题型05 一元二次方程的实根分布问题
【典例1】已知方程
的两根一个比
大另一个比
小，则实数
的范围是
.
【变式1】一元二次方程
有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知关于x 的方程
有两个大于2 的相异实数根，则实数m 的取值范围是
（）
A．
或
B．
C．
D．
或
【变式3】（多选）若关于x 的方程
的两个根
都在区间
上，则a 的值可
以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知方程
有一正根一负根，则实数
的取值范围是 ．
题型06 一元二次不等式的实际问题
【典例1】某小区内有一个矩形花坛
，现将这一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛
，要求
点B 在
上，点D 在
上，且对角线
过点C，如图所示.已知
，
.要使矩形AMPN
的面积大于
，则
的长应在什么范围内？
【变式1】某地区上年度电价为0.8 元/
，年用电量为
.本年度计划将电价降到0.55 元/
至0.75 元/
之间，而用户期望电价为0.4 元/
.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和
用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3 元/
.设
，为保证电力部
门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（ ）
A．0.55 元/
B．0.6 元/
C．0.7 元/
D．0.75 元/
【变式2】（多选）在一个限速
的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对同时刹车，但还是
相碰了.事故后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过
，乙车的刹车距离略超过
，又知甲、乙两种车
型的刹车距离
与车速
之间分别有如下关系：
.则可判断
甲、乙两车的超速现象是（ ）
A．甲车超速
B．甲车不超速
C．乙车超速
D．乙车不超速
【变式3】某主播在直播平台上销售一款成本为每件24 元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量
（件）与销售单价
（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.
(1)求该商品每天的销售量
与销售单价
之间的函数关系式；
(2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50 元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是
多少？
(3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280 元，则每天的销售量最少应为多少件？
1．设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
或
C．
D．
5．若不等式
的解集为
，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．不等式
的解集为（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
7．不等式
的解为
，则
的值分别为（ ）
A．
B．1，6
C．
D．
8．若关于
的不等式
的解集为
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）已知关于x 的不等式
的解集为
或
，则下列说法正确的是 （
）
A．
B．
的解集为
C．
D．
的解集为
10．（多选）已知二次函数
（a，b，c 为常数，且
）的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式
的解集为
11．已知关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取值范围是 ．
12．（1）不等式
的解集为 ；
（2）不等式
的解集为 ；
（3）不等式
的解集为 ．
13．求下列一元二次不等式的解集
(1)
(2)
(3)
(4)
14．已知二次函数
，且
的解集为
．
(1)求二次函数的解析式；
(2)当关于
的不等式
的解集为
时，求的取值范围．
15．已知关于
的不等式
的解集为
或
(1)求
的值；
(2)解关于
的不等式
