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专题2.4 两条直线的位置关系
教学目标
1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直
2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标:
3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离
教学重难点
教学重点：掌握两条直线平行的条件:
教学难点：能应用两条直线平行的条件解题.
知识点01 两条直线相交、平行与垂直
1. 若直线
：
,
：
,则两条直线的位置关系，可以用方程组
的解的
情况进行判断，得出结论：
①
与
相交：
;
②
与
平行：
且
;
③
与
重合：
且
2.设直线
：
：
,则两条直线的位置关系可以用法向量来处理.
因为
是直线
的一个法向量，
是直线
的一个法向量，则：
①
与
相交（只有一个交点）的充要条件是
与
不共线，即
②
与
平行或重合的充要条件是
与
共线，即
，其中
与
重合的
充要条件是，存在实数
使得：
,
,
3.直线
与直线
平行的充要条件是
，重合的充要条件
【即学即练】直线
与直线
平行，则实数
．
【答案】
或
【分析】利用两条直线平行列式计算得解.
【详解】由直线
与直线
平行，
得
，所以
或
.
故答案为：
或
知识点02 两条直线的垂直
1.一般地，若已知平面直角坐标系中的直线
：
：
,（
，
存在且不为0）可
得
，则
设直线
：
,
：
,因为
是
直线的一个法向量，
是
直线的一个法向量，所以
，则
，则
【即学即练】若直线
与直线
垂直，则
．
【答案】
【分析】讨论直线斜率存在与否，再根据直线垂直的性质，即可求解.
【详解】由题知，斜率为
，
若
，则
，
，不垂直；
若
，则
，
，不垂直；
若
，则
斜率为
，
所以
，解得
.
故答案为：
题型01 由斜率判断两条直线平行
【典例1】判断下列各组直线是否平行，并说明理由：
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
，
；
(4)
，
．
【答案】(1)
，理由见解析
(2) 与
不平行，理由见解析
(3)
，理由见解析
(4) 与
重合，理由见解析
【分析】（1）（2）（3）（4）根据直线是否平行与斜率以及截距的关系一一分析即可.
【详解】（1）设两直线，
的斜率分别为
，
，在
轴上的截距分别为
，
．
因为
，
，
，
，所以
．
（2）因为
，
，
．
所以与
不平行．
（3）由两直线的方程可知，
轴，
轴，且两直线在
轴上的截距不相等，所以
．
（4）
，因为
，
，
所以与
重合．
【变式1】直线
，那么与
.
【答案】平行
【分析】根据两条直线斜率关系即可判断.
【详解】由题可得
，且与
不重合，所以与
平行；
故答案为：平行
【变式2】判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点的坐标．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)平行
(2)相交，
【分析】（1）将直线化成斜截式，比较斜率即可得到答案；
（2）联立直线得到方程组，解出即可.
【详解】（1）将与
的方程分别化为斜截式可知
．
因此与
的斜率相等，但截距不相等，所以它们平行．
（2）解方程组
，
可得
．
因此与
相交，而且交点的坐标为
【变式3】已知四边形的四个顶点分别为
，
，
，
．试判断四边形OABC 的
形状，并说明理由.
【答案】平行四边形，理由见解析
【分析】应用两点式求四边形各边所在直线斜率，由斜率及点的关系判断边之间的位置关系；
【详解】如下图示：
OA 边所在直线的斜率
，AB 边所在直线的斜率
，
BC 边所在直线的斜率
，CO 边所在直线的斜率
．
由
知：点O 不在BC 上，则OA 与BC 不重合，又
，得
．
同理，由
且AB 与CO 不重合，得
．
因此四边形OABC 是平行四边形．
【变式4】已知直线
，
，试判断直线与
是否平行．
【答案】平行
【分析】将直线化为斜截式，验证是否存在
，
即可判断两直线是否平行.
【详解】将直线
化为斜截式，得
．
因此，直线的斜率
，它在y 轴上的截距
．
将直线
化为斜截式，得
．
因此，直线
的斜率
，它在y 轴上的截距
．
由于
，
，所以
．
判断两条直线是否平行的步骤：
看斜率：
1.斜率都不存在⟹看横截距：①横截距相等时：两条直线重合②横截距不相等时：两条直线平行
2.斜率存在⟹看斜率是否相等：①斜率相等时⟹看纵截距：1）纵截距相等：两条直线重合，2）纵截距不
相等时：两条直线平行.
②斜率不相等时，两条直线不平行.
题型02 由斜率判断两条直线垂直
【典例1】判断直线与
是否垂直．
(1) 的斜率为
，
经过点
，
；
(2) 经过点
，
，
经过点
，
；
(3) 经过点
，
，
经过点
，
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据
判断直线垂直；
（2）斜率不存在，则判断
是否与x 平行，若平行，则两直线垂直；
（3）方法一：根据
判断直线垂直；方法二：利用直线的方向向量判断直线垂直.
【详解】（1）设直线，
的斜率分别为
，
，则
，
，
因为
，所以
．
（2）由点A，B 的横坐标相等，得的倾斜角为
，则
，
设直线
的斜率为
，则
，
所以
轴．故
．
（3）方法一：直线的斜率
，直线
的斜率
，
因为
，所以
；
方法二：直线的方向向量
，直线
的方向向量
，
因为
，所以
，所以
．
【变式1】两直线的斜率分别是方程
的两根，那么这两直线的位置关系是（ ）
A．平行
B．斜交
C．垂直
D．重合
【答案】C
【分析】设两直线的斜率分别为
，利用根与系数的关系，即可得到
，即可判断.
【详解】设两直线的斜率分别为
，因为
是方程
的两根，
利用根与系数的关系得
，所以两直线的位置关系是垂直.
故选：C
【变式2】已知两条直线
和
，其斜率分别是一元二次方程
的两不等实数根，则其位置关
系是（ ）
A．平行
B．垂直
C．重合
D．异面
【答案】B
【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．
【详解】由题意，设两条直线
和
的斜率分别为
，
且为一元二次方程
的两不等实数根，
则
，所以
.
故选：B
【变式3】判断下列两条直线是否垂直，并说明理由：
(1)
，
；
(2)
，
；
(3)
，
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由两直线斜率乘积等于
得垂直；
（2）由两直线斜率乘积等于
得垂直；
（3）由两直线一条斜率为0，一条斜率不存在得垂直．
【详解】（1）两直线的斜率
，
，由
，则
．
（2）两直线的斜率
，
，由
，则
．
（3）
的斜率为0，
的斜率不存在，
．
【变式4】判断下列各组中的直线与
是否平行或垂直：
(1)
；
(2)
；
(3) 的斜率为
，
经过点
；
(4) 经过点
，
经过点
.
【答案】(1)平行
(2)重合
(3)垂直
(4)垂直
【分析】（1）由直线平行的充要条件证明即可.
（2）由直线重合的充要条件证明即可.
（3）由直线垂直的充要条件证明即可.
（4）由直线垂直的充要条件证明即可.
【详解】（1）因为
，而
，所以
.
（2）因为
，而
，所以
重合.
（3）直线的斜率
，直线
的斜率
，
，故
.
（4）的倾斜角为90°，则
轴.直线
的斜率
，则
轴，故
.
题型03 已知直线平行求参数
【典例1】已知直线
，
，若
，则
的值为 ．
【答案】
【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出答案.
【详解】两直线平行，故
且
，
由
得
或
，
由
得
，因此
故答案为：2
【变式1】若直线：
与直线
：
平行，则
（ ）
A．4
B．1
C．1 或-4
D．-1 或4
【答案】D
【分析】根据直线一般方程的平行关系求
的值，并代入检验即可.
【详解】依题意得，
，
得
，
解得
或
，
若
时，直线
与直线
平行，符合题意；
若
时，直线
与直线
平行，符合题意；
综上所述：
或
．
故选：D
【变式2】已知直线
，
，则
的充要条件的是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【分析】根据两直线平行列方程求解
，然后检验判断即可.
【详解】因为
，所以
且
，
解得
，
当
时，直线
，
，显然
，
所以
的充要条件的是
.
故选：A
【变式3】已知直线
．若
，则实数
的值为 ．
【答案】2
【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果.
【详解】因为
，所以
，解得
或
.
当
时，
，符合题意.
当
时，
，两直线重合，不合题意.
综上，
.
故答案为：2.
【变式4】已知直线
与直线
，若
，则
【答案】
【分析】根据
可得出关于
的等式，计算可解得
的值.
【详解】若
，则
，
所以
或
．
当
时，，
重合；当
时，符合题意．
故答案为：
设直线
：
,
：
,则有
①.
与
的斜率都存在，分别为，
则
与
平行：
且
;
②.设直线
：
：
,，
与
平行：⇔
,且直线不重合
题型04 由直线垂直求参数
【典例1】已知两直线
，
，则
，则
.
【答案】
或
【分析】根据一般式方程两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可.
【详解】因为
，
，且
所以
，解得
或
.
故答案为：
或
【变式1】已知直线
与直线
垂直，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据直线垂直的充要条件可求解.
【详解】因为直线
与直线
垂直，
所以
，解得
.
故选：B.
【变式2】（多选）若直线的斜率
，直线
经过点
，
，且
，则实数
的值
为（ ）
A．
B．1
C．
D．5
【答案】AD
【分析】先由斜率定义写出直线
的斜率
，因为
，则
，由此解出
，但要验证
的解是否
会使得直线
的斜率不存在，由此可得答案.
【详解】由斜率的定义，直线
的斜率
，
因为
，则
，解得
或，
代入验证
或时，
两点横坐标均不同，直线
的斜率均存在，
故
或均满足题意，
故选：AD.
【变式3】已知直线
和
互相垂直，则实数
.
【答案】2
【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解.
【详解】已知直线
和
互相垂直，
则
，解得
.
故答案为：2.
【变式4】已知直线
与
互相垂直，则实数
的值为 ．
【答案】1
【分析】利用直线方程的一般式表达垂直计算可得.
【详解】由两直线垂直可得
，解得
或1，
当
时，直线
不存在，故舍掉，
所以
.
故答案为：1.
1.一般地，若已知平面直角坐标系中的直线
：
：
,（
，
存在且不为0）可
得
，则
1. 设直线
：
,
：
,因为
是
直线的一个法向量，
是
直线的一个法向量，所以
，则
，则
题型05 由平行关系求方程
【典例1】经过点
且与直线
平行的直线方程是 .
【答案】
【分析】设出直线方程为
，代入
，求出
，求出直线方程.
【详解】过点
且与直线
平行的直线设为
，
再将
代入得
，解得
，
故直线方程为
.
故答案为：
【变式1】已知直线
过点
，且与直线
平行，则直线
的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先应用直线平行设直线为
，再应用点在线上计算求参即可.
【详解】因为直线
与直线
平行，
所以设直线
的方程为
．
因为直线
过点
，所以
，
解得
，所以直线
的方程为
．
故选:C．
【变式2】过点
，且与直线
平行的直线方程是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由设所求直线方程是
，再根据所求直线过点
求解.
【详解】解：因为所求直线与直线
平行，
所以设所求直线方程是
，
又因为所求直线过点
，
代入直线方程得：
，
所以所求直线方程为
，
故选：D
【变式3】过点
且平行于直线
的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据直线平行的特点和点斜式方程即可得到答案.
【详解】由题意得过点
且平行于直线
的直线方程为
，
即
.
故选：C.
【变式4】过定点
且与直线
平行的直线方程为 .
【答案】
【分析】设直线方程
，再结合定点坐标即可求解.
【详解】设直线方程为
，
由
在直线上，可得：
，
得：
，
所以直线方程为
，
故答案为：
平行直线系方程
把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线
平行的直线系方
程都可表示为Ax +By +m=0 (其中
为参数且
≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定
的值.
题型06 由垂直关系求方程
【典例1】过点
且与直线
垂直的直线的一般式方程为 .
【答案】
【分析】由垂直关系求得斜率，再由点斜式即可求解.
【详解】由
，可知其斜率为
，
所以过点
且与直线
垂直的直线方程为：
，
即
，
故答案为：
【变式1】已知直线的一个方向向量为
，则过点
且与垂直的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】据直线方向向量求出斜率，由两直线位置关系求与垂直的直线斜率，点斜式表达方程即可得解.
【详解】
的方向向量为
，则斜率为
，因为直线与垂直，所以斜率为
又
过
点，所以直线方程为
，整理可得
.
故选：D.
【变式2】直线过点
，且与直线
垂直，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解.
【详解】由直线与直线
垂直，得直线的斜率
，又直线过点
，
所以直线的方程为
，即
.
故选：B
【变式3】过点
且与直线
垂直的直线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程可得答案.
【详解】直线
的斜率为
，
因为直线
与直线垂直，
所以直线的斜率为
，
又直线过点
，所以直线的方程为
，
即
.
故选：D.
【变式4】已知直线过点
，且与直线
垂直，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由垂直直线的斜率关系求直线的斜率，再利用点斜式求直线方程.
【详解】由题意，直线与直线
垂直，故直线的斜率为
，
又直线过点
，
所以直线的方程为
，即
.
故选：A.
垂直直线系方程
一般地，与直线
垂直的直线系方程都可表示为Bx −Ay +m=0 (其中
为参数），然
后依据题设中的另一个条件来确定
的值.
1．设
为实数，直线
，直线
，则“
”是“
平行”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充分必要
D．既不充分又不必要
【答案】A
【分析】利用两者之间推出的关系可得条件关系.
【详解】若
，则直线
，直线
，此时
平行，
若
平行，则
即
，
当
时，
平行，
当
时，直线
，直线
，此时
也平行，
故
平行时推不出
，故“
”是“
平行”的充分不必要条件，
故选：A.
2．若直线：
与直线
：
互相平行，则m 的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】C
【分析】根据平行线的性质进行求解即可.
【详解】由题意，
，解得
，
此时
，
，满足题意.
故选：C.
3．若直线经过点
且与直线
垂直，则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用两直线垂直求出所求直线的斜率，再用点斜式方程即得.
【详解】解析 因为直线与直线
垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为
，即
．
故选：A.
4．以
为端点的线段的垂直平分线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】线段的垂直平分线过线段中点，且斜率与线段所在直线斜率相乘等于
，据此即可求出线段垂直
平分线方程.
【详解】因为
则
，
所以线段AB 的中垂线的斜率为
，
又线段的中点为
，即
，
所以线段
中垂线方程为：
，即
.
故选：C．
5．若直线：
与直线
：
平行，则
（ ）
A．4
B．
C．1 或
D．
或4
【答案】D
【分析】根据直线一般方程的平行关系求
的值，并代入检验.
【详解】若直线：
与直线
：
平行，
则
，整理可得
，解得
或
，
若
，直线：
与直线
：
平行，符合题意；
若
，直线：
与直线
：
平行，符合题意；
综上所述：
或
.
故选：D.
6．若直线：
与直线
：
平行，则实数
为（ ）
A．-3
B．3
C．3 或-3
D．1 或-1
【答案】B
【分析】由直线平行的判定，列出等式求解并验证即可；
【详解】由题意可得：
，
解得：
，
当
时，直线：
与直线
：
平行，
当
时，直线：
即
，与直线
：
，重合，舍去，
故
，
故选：B
7．已知直线
，直线
，若
，则实数
的值为（ ）
A．1
B．
C．
或1
D．0
【答案】C
【分析】根据两直线平行时系数的关系求解即可.
【详解】根据两直线平行，可知
，解得
.
故选：C
8．
，过定点
的直线
与过定点
的直线
交于点
，则
的最大
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即
和
，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有
；再利用基本不等式放缩即可得出
的最大值．
【详解】由题意可知，动直线
经过定点
，
动直线
即
，经过点定点
，
注意到动直线
和动直线
始终垂直，
又是两条直线的交点，
则有
，
．
故
当且仅当
时取等
故选：C.
9．（多选）已知点
，
到直线的距离相等，且过点
，则的方程可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】先利用几何意义得到直线与
平行或经过
的中点．然后由点斜式和两点式求直线方程.
【详解】由已知直线与
平行或经过
的中点．
当直线与AB 平行时，由
，
可得直线的斜率为：
，
所以由点斜式直线的方程为：
，整理得
；
由
，
可知其中点坐标为
，
当直线经过
的中点和点
时，
由两点式可得直线方程：
，整理得直线方程为
．
故选：BD．
10．（多选）在平面直角坐标系中，已知
，
，则（ ）
A．点
在直线
上
B．直线PQ 的倾斜角是
C．直线PQ 与直线
平行
D．直线PQ 的一个方向向量为
【答案】AC
【分析】对于选项A，将点代入直线方程看是否满足；对于选项B，通过两点坐标求出直线斜率进而得到
倾斜角；对于选项C，求出两直线斜率比较是否相等；对于选项D，根据直线方向向量与斜率的关系来判
断.
【详解】对于A 选项，把点
代入直线
，左边
，右边
，
所以点
在直线
上，A 选项正确.
对于B 选项，已知
，
可得直线PQ 的斜率
.
设直线PQ 的倾斜角为
，
，则
，所以
，B 选项错误.
对于C 选项，由前面计算
，直线
可化为
，其斜率为
.
两直线斜率相等，但直线PQ 过点
，将
，
代入
，左边
，
即点
不在直线
上，所以直线PQ 与直线
平行，C 选项正确.
对于D 选项，
，直线的方向向量
与斜率
的关系为
.
对于向量
，
，所以
不是直线PQ 的斜率的一个方向向量，D 选项错误.
故选：AC.
11．直线
，直线
，若
，则
．
【答案】1
【分析】利用直线平行的判定列方程求参数值，注意验证.
【详解】由题设及
，有
，则
，
所以
或
，
当
，则
，
重合，不符合；
当
，则
，
，符合.
所以
.
故答案为：1
12．若直线：
与直线
：
垂直，则实数
的值等于 .
【答案】
【分析】写出两直线斜率，由直线垂直得到斜率乘积为
，建立方程后解出参数
的值.
【详解】由题意知两直线斜率存在，
，
，
，
解得
.
故答案为：
13．已知直线
；
(1)若
，求实数
的值；
(2)若不经过坐标原点的直线
在两个坐标轴上的截距相等，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线一般式中平行满足的系数关系，列方程求解参数即可.
（2）由题意得
，并分别求解
轴上的截距，根据截距相等列方程求解即可.
【详解】（1）当
时，满足
，解得
.
所以实数
的值为
.
（2）因为
.
且由题意可知
，所以解得
且
，
令
，得
，令
，得
，
所以
，解得
.
所以实数
的值为
.
14．已知直线的方程为
．
(1)求证：不论
为何值，直线必过定点
；
(2)过点
引直线交坐标轴正半轴于
，
两点，当
面积最小时，求
的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）将直线方程改写成
形式，解方程组
即可得解；
（2）设直线的方程为
，求出点
坐标，表示出
面积，利用基本不等式求
出面积的最小值得解.
【详解】（1）由
可得：
，
令
，解得
，
经检验，
满足
，
所以直线过定点
．
（2）由题意可设直线的方程为
，
设直线与
轴，
轴正半轴交点分别为
，
令
，得
；令
，得
，
所以
面积
，
当且仅当
，即
时，
面积最小，
此时
，
，
，
所以
的周长为
.
所以当
面积最小时，
的周长为
.
15．已知直线：
，直线
：
.
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
，求实数
的值.
【答案】(1)
(2)
或
.
【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合；
（2）根据两条直线垂直公式计算即可求参.
【详解】（1）因为
，所以
，
整理得
解得
或
.
当
时，
重合；
当
时，
，符合题意.
故
.
（2）因为
，所以
解得
或
.
