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专题2.1 等式的性质与方程的解集
教学目标
1.使学生学会用量词和逻辑语言呈现等式的性质；
2.训练学生掌握用集合呈现方程的解集；
3.使学生学会用“十字相乘法”分解因式；
4.让学生体会用符号语言表述，训练学生数学抽象.数学运算的学科素养.
教学重难点
教学重点：从量词和逻辑的角度呈现等式的性质；从集合的角度呈现方程的解集.
教学难点：熟练使用“十字相乘法”分解因式.
知识点01 等式的性质
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
注：用符号语言和量词表示上述等式的性质：
(1)如果a=b ，则对任意c ，都有a+c=b+c ；
(2)如果a=b ，则对任意不为零的c ，都有ac=bc .
【即学即练】如果
，那么
.( )
【答案】错误
【分析】
或
，可判断；
【详解】如果
，那么
或
，故错误；
知识点02 恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒
等．
注：常见的代数恒等式
（1）完全平方公式：
，
（2）平方差公式：
（3）立方和差公式：
，
（4）多项式乘法展开式：
，
【即学即练】在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（
）（如图甲），将余下的部分剪
接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差,即为
，边长分别为
和
,其面积为
，利用据两个图形中阴影部分的面积相等即可得到平方差公式.
【详解】图甲中阴影部分的面积为
，图乙中阴影部分面积为
，
因为两个图形中阴影部分的面积相等，
所以
.
故选：B
知识点03 十字相乘法
首项系数不为1 的十字相乘法
在二次三项式
中，如果二次项系数
可以分解成两个因数之积，即
，常数项
可以分解成两个因数之积，即
，把
排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到
，若它正好等于二次三项式
的一次项系数
，即
，那么二次三项式就可以分解为两个因式
与
之积，即
.
特别说明：
（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数
一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果
不要忘记把提出的负号添上.
【即学即练】用十字相乘法分解因式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
．
【分析】由十字相乘法即得.
【详解】（1）
=
；
（2）
=
；
（3）
=
；
（4）
=
．
知识点04 方程的有关概念
方程
含有未知数的等式叫做方程
方程的解（或根）
能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
方程的解集
把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
解方程
求方程的解的过程叫解方程．
知识点05 一元一次方程
一元一次方程
方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方
程叫一元一次方程．
满足的条件
①必须是整式方程；
②只含有一个未知数；
③未知数的次数都是
1 .
表示形式
ax +b=0(a≠0)或ax =b(a≠0)
【即学即练】利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.若
，则
，
.
【答案】
【分析】根据等式的基本性质计算即可..
【详解】根据等式的性质3，等式两边同减
，得
，
再根据等式的性质5，等式两边同除以3，得
．
故答案为：
，
题型01 等式的性质与应用
【典例1】下列说法正确的是（ ）
A．在等式
两边同除以
，可得
B．在等式
两边同除以2，可得
C．在等式
两边同除以
，可得
D．在等式
两边同除以
，可得
【答案】D
【分析】利用等式的性质逐一判断各个选项即可求解.
【详解】对于A，在等式
两边同乘以
，可得
，故A 错误；
对于B，在等式
两边同除以2，可得
，故B 错误；
对于C，若
，则
不一定相等，故C 错误；
对于D，在等式
两边同除以
，可得
，故D 正确.
故选：D.
【变式1】如果
，那么
.( )
【答案】错误
【分析】取
，可判断；
【详解】当
时，显然不成立，故错误；
【变式2】下列式子中变形错误的是（ ）
A．
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】B
【分析】根据等式的性质，逐项验证即可.
【详解】对于
选项，两边同时减
，得到
，故
正确；
对于
选项，没有说明
，故
不正确；
对于
选项，在等式两边同时乘以
，得到
，故
正确；
对于
选项，在等式两边同时乘以5 得到
，故
正确；
故选：
.
【变式3】下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．如果
，那么
B．如果
，那么
C．如果
，那么
D．如果
，那么
【答案】D
【分析】取
，可判断A；
或
，可判断B；取
，可判断C；利用等式的性质，
可判断D
【详解】选项A，当
时，显然不成立；
选项B，如果
，那么
或
，显然不成立；
选项C，当
时，
无意义，不成立；
选项D，如果
，则
，故
，即
，成立
故选：D
(1)如果a=b ，则对任意c ，都有a+c=b+c ；
(2)如果a=b ，则对任意不为零的c ，都有ac=bc .
题型02 恒等式的化简
【典例1】下列因式分解中，结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用平方差公式因式分解，可判断AB 的真假；利用提公因式法，结合平方差公式因式分解可判
断C 的真假；利用完全平方公式因式分解可判断D 的真假.
【详解】对A：
，故A 正确；
对B：
，故B 错误；
对C：
，故C 错误；
对D：
，故D 错误.
故选：A
【变式1】下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由完全平方公式、立方和公式、立方差公式、两数差立方公式逐项分析即可.
【详解】因为完全平方公式
．
立方和公式
；
立方差公式
；
两数差立方公式
．故C 正确.
故选：C.
【变式2】已知
，
，求
的值（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【答案】C
【分析】根据
即可求解.
【详解】因为
，
，
所以
，即
；
故选：C
【变式3】观察下列各式的规律：
可得到
．（其中
为正整数）．
【答案】
【分析】通过观察给出的三个等式，总结规律求解即可.
【详解】通过观察给出的三个等式，发现等式左边是
乘以一个由
的降幂和
的升幂排列组成的多
项式，
等式右边是
的更高次幂减去
的更高次幂，且次数比等式左边最高次多1，
则
.
故答案为：
.
【变式4】分解因式：
．
【答案】
【分析】由提公因式法和平方差公式运算求解．
【详解】
．
故答案为：
．
利用恒等式化简的步骤
（1）先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式；
（2）提公因式后，看多项式的项数
①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解；
②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解；
③若多项式为四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法。
（3）若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按照上面步骤进行。
题型03 因式分解
【典例1】分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）由十字相乘法可将各多项式进行因式分解.
【详解】（1）如图1，将二次项
分解成图中的两个
的积，再将常数项
分解成
与
的乘积，
而图中的对角线上的两个数乘积的和为
，就是
中的一次项，
所以，有
．
（2）如图2 所示：
由十字相乘法可得
.
（3）如图3 所示：
由十字相乘法可得
.
（4）如图4 所示：
由十字相乘法可得
.
（5）如图5 所示：
由十字相乘法可得
.
（6）如图6 所示：
由十字相乘法可得
.
【变式1】把下列关于
的二次多项式分解因式：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用平方差公式可将多项式进行因式分解.
（2）利用平方差公式可将多项式进行因式分解.
【详解】（1）
.
（2）
.
【变式2】分解因式：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【答案】(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
【分析】（1）将
拆成两个
，凑出两个完全平方式，最后应用平方差作分解；
（2）将
化为
，凑出完全平方式，最后应用平方差作分解；
（3）（4）应用凑配、拆分法，结合提取公因式法因式分解；
【详解】（1）原式
（2）原式
（3）法一：原式
；
法二：原式
；
法三：原式
.
法四：原式
；
（4）原式
【变式3】把下列关于
的二次多项式分解因式：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用求根公式法可因式分解；
（2）利用求根公式法可因式分解；
（3）利用十字相乘法可因式分解.
【详解】（1）令
，
则
，故解方程得
，
所以原式
．
（2）令
，
则
，故解方程得
，
原式
．
（3）原式
．
【变式4】分解因式：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）先提取公因式，再化简即可求解.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
用“十字相乘法”分解因式的步骤
(1)先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
(2)然后分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
(3)再交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数；
(4)写出最终结果．
题型04 一元一次方程的解集
【典例1】若关于x 的方程
的解为非正数，则实数k 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】方程化为
，可得
不满足，
时，求出解建立不等式即可求解.
【详解】方程
化为
，
当
，即
时，方程无解，不满足，
当
时，可得
，解得
，
综上，实数k 的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式1】已知关于
的方程
的解集为
，则实数
的值（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】C
【分析】先对方程整理得
，再由解集为空集可得
，从而可求出实数
的值
【详解】由
，得
，
因为关于
的方程
的解集为
，
所以
，得
，
故选：C
【变式2】若多项式
与
互为相反数，则
．
【答案】1
【分析】根据相反数的性质列式即可求解.
【详解】由题意
，解得
.
故答案为：1.
【变式3】若对任意实数
，等式
恒成立，则
，
.
【答案】 3 2
【分析】对应系数相等即可直接求出结果.
【详解】对应系数相等可得
，
故答案为：3；2.
【变式4】求关于x 的方程
的解集，其中a 是常数.
【答案】答案见解析
【分析】将
变形为
，对一次项系数是否为0 进行分类谈论即可求出结果.
【详解】因为
，则
当
时，方程无解，即解集为
；
当
时，
，即解集为
.
综上：当
时，方程的解集为
；当
时，方程的解集为
.
题型05 因式分解法解一元二次方程的解集
【典例1】解下列关于
的一元二次方程
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【答案】(1)
，
.
(2)
，
.
(3)
，
.
【分析】根据十字相乘法可直接求解.
【详解】（1）
原方程可化为
，
方程的根为
，
.
（2）原方程可化为
，
原方程可化为
，
方程的根为
，
.
（3）
原方程可化为
，
方程的根为
，
.
【变式1】方程
的解是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】B
【分析】由因式分解中的十字相乘法求解可得.
【详解】
，
，
，
.
故选：B.
【变式2】方程
解的个数（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据已知方程计算求解即可.
【详解】方程
解为
或
（舍）
所以
或
，所以方程解的个数为2.
故选：B.
【变式3】一元二次方程
的解为
【答案】
，
【分析】根据一元二次方程的解法求解即可.
【详解】由
，则
，
即
，即
，解得
，
.
故答案为：
，
.
【变式4】（1）解方程：
；
（2）解方程：
．
【答案】（1）
，
；（2）
，
．
【分析】根据一元二次方程的解法求解即可.
【详解】（1）
原方程可化为：
，
或
，解得
，
．
（2）方程整理得：
，即
，
开方得：
，解得：
，
．
用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
注：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而
应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应
灵活根据方程的特点分解因式．
1．某市长期追踪市民的经济状况，依照订立的标准将市民分为高收入和低收入两类.统计数据表明该市高
收入市民人口一直是低收入市民人口的两倍，且高收入市民中每年有
会转变为低收入市民.那么该市
每年低收入市民中转变为高收入市民的百分比是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设原来低收入市民人口为
，则高收入市民人口为
，设该市每年低收入市民中转变为高收入市
民的百分比为
，然后由题意列方程可求得结果
【详解】解：设原来低收入市民人口为
，则高收入市民人口为
，设该市每年低收入市民中转变为高收
入市民的百分比为
，
则由题意可得
，
解得
，
故选：C
2．下列变形错误的是（ ）
A．如果
，则
B．如果
，则
C．如果
，则
D．如果
，则
【答案】B
【解析】A．等式两边同时加上或减去一个相同数，等号保持不变，据此分析；
B．等式两边同时除以一个非零数，等号保持不变，据此分析；
C．等式两边同时除以一个非零数，等号保持不变，据此分析；
D．等式两边同时乘以一个数，等号保持不变，据此分析.
【详解】A、
，两边都加
，得
，故A 正确；
B、
时，两边都除以
无意义，故B 错误；
C、因为
，方程
两边同除以
，得
，故C 正确；
D、两边都乘以
，故D 正确；
故选：B．
3．如图，书架宽
，在该书架上按图示方式摆放语文书和英语书，已知每本英语书厚
，每本语
文书厚
，语文书和英语书共84 本恰好摆满该书架，则书架上英语书的本数为（ ）
A．38
B．39
C．41
D．42
【答案】D
【分析】由题意列出一元一次方程求解即可.
【详解】设书架上有
本英语书，则语文书有
本，
由题意，
，解得
，
故选：D
4．下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】逐项分解因式可得答案.
【详解】对于A，应该是
，故A 错误
对于B，应该是
，故B 错误；
对于C，
，故C 错误；
对于D，
，故D 正确.
故选：D.
5．已知等式
，则下列变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用等式的性质和举反例对每个选项进行判断即可
【详解】解：对于A，
满足
，但
无意义，故错误；
对于B，
两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确；
对于C，当
，
，满足
，但得不到
，故错误；
对于D，当
时，无法得到
，故错误；
故选：B
6．关于
的方程
的解是负数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
且
C．
D．
且
【答案】B
【分析】求出方程的根，再列式求解.
【详解】解方程
，得
，且
，
而原方程的解为负数，因此
，且
，
解得
，且
，
所以
的取值范围是
且
.
故选：B
7．用配方法解方程
，配方后所得的方程是（ ）
A．y= 1
4 x2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】应用配方法解题即可.
【详解】应用配方法化简得
，
所以方程为
.
故选：D.
8．把一元二次方程
配方后可得（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据配方法的步骤计算即可求解.
【详解】方程移项得：
，
方程两边除以2 得：
，
配方得：
，
即
.
故选C.
9．（多选）符合根为2 和
的二次方程有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】分别求解方程的实数根，即可判断.
【详解】A.
，方程的根为
和3，故A 错误；
B.
，方程的根为2 和
，故B 正确；
C.
，方程的根为2 和
，故C 正确；
D.
，方程的根为
和3，故D 错误.
故选：BC
10．若方程
的根小于1，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】由已知有
，即可求范围.
【详解】由
及已知，可得
，故
.
故答案为：
11．设
，
是方程
的两根，不解方程，求下列各式的值：
（1）
；
（2）
．
【答案】
；
．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求解．
【详解】设
，
是方程
的两根，
则
，
，
（1）
；
（2）
．
故答案为：
；
．
12．用适当方法解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
，
(2)
，
【分析】（1）由配方法解一元二次方程即可；
（2）由直接开平方法解一元二次方程即可.
【详解】（1）由原方程移项，得
，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得
，
配方，得
，
∴
，
∴
，
．
（2）由原方程有
则
或
，
∴
，
．
13．解分式方程：
.
【答案】
.
【分析】方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最简公分母检
验即可.
【详解】方程两边乘以
得：
，解这个方程得：
，
检验：当
时，
，
是原方程的解,
所以原方程的解是：
.
