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专题2.7 圆的一般方程
教学目标
①理解与掌握圆的一般方程的形式与条件。
②能准确的判定圆的存在所满足的条件。
③会判断点与圆的位置关系。
④会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题。
教学重难点
教学重点：圆的一般方程会，根据条件求圆的方程
教学难点：圆的一般方程的结构特征，以及圆方程的求解和应用
知识点01 圆的一般方程
对于方程
（
为常数），当
时，方程
叫做圆的一般方程.
①当 时，方程表示以
为圆心，以
为半径的圆；
②当 时，方程表示一个点
③当 时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①
和
前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有
项；③
.
【即学即练】设
.已知方程
表示的曲线是一个圆，则
的取值范围为 .
知识点02 圆的一般方程与标准方程特点
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
（
）
圆心
半径
知识点03 在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系
已知点
和圆的一般式方程
：
（
），
则点
与圆的位置关系：
①点
在
②点
在
③点
在
【即学即练】点
在圆
的 ．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选
择恰当的填入横线）
题型01 圆的一般方程的理解
【典例1】若方程
表示圆，且圆心位于第四象限，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】“关于
的方程：
表示圆”是“
”的（ ）条件
A．必要不充分
B．充要
C．充分不必要
D．既不充分也不必要
【变式2】圆
的圆心在第三象限，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知方程
表示圆，则m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】若方程
表示圆，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
对于方程
（
为常数），当
时，方程
叫做圆的一般方程.
①当
时，方程表示以
为圆心，以
为半径的圆；
②当
时，方程表示一个点
③当
时，方程不表示任何图形
说明：圆的一般式方程特点：①
和
前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有
项；③
.
题型02 求圆的一般方程
【典例1】已知点
，
，
.
(1)求直线
的一般方程；
(2)求
外接圆的一般方程.
【变式1】过三个点
，
，
的圆的方程为 ．
【变式2】已知
的三个顶点分别是
，
，
，求：
(1)线段AB 的垂直平分线的方程；
(2)
的外接圆的方程.
【变式3】已知
的三顶点是
．
(1)求
边上的高所在直线的方程；
(2)求
的外接圆的方程．
【变式4】在平面直角坐标系中．求经过三点
的圆的方程．
题型03 圆的一般方程与标准方程转化
【典例1】已知
，
，则以
为直径的圆的一般方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知圆C 的一般方程为
，则圆C 的圆心坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】设实数
，圆
的面积为
，则
．
【变式3】已知圆
的方程是
，则这个圆的半径是 .
【变式4】已知圆
与圆
关于
轴对称．则圆
的标准方程为 ．
题型04 点与圆的位置关系
【典例1】（多选）已知圆的方程为
，以下各点在圆内的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知圆
，其中
，下列各点中一定在圆C 内的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】点
在圆
的（ ）
A．外部
B．内部
C．圆周上
D．无法确定
【变式3】已知圆C：
，则点
在（ ）
A．圆外
B．圆上
C．圆内
D．以上情况均有可能
已知点
和圆的一般式方程
：
（
），
则点
与圆的位置关系：
①点
在
外
②点
在
上
③点
在
内
题型05 圆过定点问题
【典例1】圆
恒过的定点是 .
【变式1】圆
恒过的定点为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】对任意实数
，圆
恒过定点，则定点坐标为 ．
【变式3】已知曲线
：
．
(1)当
取何值时，方程表示圆？
(2)求证：不论
为何值，曲线
必过两定点．
题型06 求动点的轨迹方程
【典例1】已知
，
，动点
满足
，记动点
的轨迹为曲线
，则曲
线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知点
是圆
上的动点，点
，则
的中点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知点P 在圆
上，点
，满足
的点
的个数为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【变式3】点
，点
是圆
上的一个动点，则线段PQ 的中点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知
的斜边为
，且
，
，则直角边
中点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
（
且
）
D．
（
且
）
题型07 与圆有关的最值问题
【典例1】若
为圆
上任意一点，点
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知圆C：
和两点
，
（
），若圆C 上存在点P，使得
，则m 的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式2】已知实数x，y 满足
，则
的取值范围是（ ）
A．[4,10]
B．[8,10]
C．[4,16]
D．[8,16]
【变式3】（多选）若P 为圆
上任意一点，点
，则
的取值可以为
（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
【变式4】已知实数
满足关系：
，则
的最小值 .
题型08 圆的对称问题
【典例1】若圆
（
，
）被直线
平分，则
的最大值为 .
【变式1】已知圆
关于直线
对称，则实数
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【变式2】若圆
关于直线
对称，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．
【变式3】已知圆
关于直线
对称，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【变式4】圆
上存在两点关于直线
对称，则
的最小
值为 .
题型09 圆的综合问题
【典例1】
的三个顶点分别是
、
、
.
(1)求边
上的高所在直线
的方程；
(2)求
的外接圆
（
为圆心）的标准方程.
【变式1】求证：不论
为何值，圆
的圆心在同一直线上．
【变式2】已知圆C 的圆心为
，且过点
(1)求圆C 的半径及标准方程；
(2)若O 为坐标原点，点
满足
，求点P 的轨迹方程.
【变式3】．在平面直角坐标系
中，曲线
与x 轴交于不同的两点A，B，曲
线
与y 轴交于点C.
(1)是否存在以线段AB 为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；
(2)试确定：过A，B，C 三点的圆是否过定点.
【变式4】已知
，直线：
与圆C：
交于A，B 两点.
(1)证明恒过定点，并求出原点
到直线的最大距离；
(2)已知点
在圆C 上，求
的取值范围.
题型10 圆的实际应用
【典例1】赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有
多年的历史，是保存
最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力
量．2023 年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴
建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为
，拱高为
，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐
标系．
(1)求这座圆拱桥的拱圆的方程；
(2)若该景区游船宽
，水面以上高
，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由.
【变式1】某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB 是36m，拱高OP 是6m，在建造时，每隔3m
需要一个支柱支撑，求支柱
的长（精确到0.01m）．
【变式2】某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于地面的平面截的断面洞口边缘
是一个半圆如图，已知圆的直径是
米，建立如图所示的直角坐标系.
(1)写出点C 的坐标，并求出这个圆的标准方程；
(2)若一个大型载重卡车宽6 米，高4.2 米，是否能顺利通过这个涵洞？说明理由.
1．若圆
关于直线对称，则直线一定过点（ ）
A．
B．
C．
D．
2．圆心在直线
上，且经过点
，
的圆的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若方程
表示圆，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知圆
上的所有点都在第一象限，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知点
在圆
外，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
6．已知点
动点
满足
则
(
为坐标原点)的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
7．已知圆
，圆
分别是圆
、
上的动点，
为
轴上的动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
8．（多选）下列说法正确的是（ ）
A．方程
表示圆心为
的圆
B．方程
表示圆心为
的圆
C．方程
表示半径为
的圆
D．方程
表示半径为
的圆
9．（多选）已知实数
满足圆的方程
，则（ ）
A．圆心
，半径为
B．
的最大值为
C．
的最大值为
D．
的最大值为
10．已知向量
，满足
，则动点
的轨迹方程是 .
11．定义：
表示点
到曲线
上任意一点的距离的最小值．已知
是圆
上的动
点，圆
，则
的取值范围为 ．
12．已知圆心为C 的圆经过
，
两点，且圆心C 在直线l：
上．
(1)分别求出直线AB 的方程和线段AB 的垂直平分线的方程；
(2)求圆C 的标准方程．
13．已知圆
过原点
和点
，圆心在
轴上．
(1)求圆
的方程；
(2)过圆
上一动点
作平行于
轴的直线
，设
与
轴的交点为
，若向量
，求动点
的轨迹方程．
14．若方程为
表示圆
.点
，
在圆
上，
(1)求实数
的取值范围.
(2)求出圆
的圆心坐标和半径，并求当
时圆
的方程.
(3)求过点
，
且圆心在直线
上的圆
的方程.
