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第3讲 圆的方程及直线与圆的位置关系
复习要点 1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一
般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.3.掌握直线与圆的位置关系．
一 圆的定义、方程
1．圆的定义
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
圆心： ( a ， b )
标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
半径：r
圆心：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
一般方程 半径：r＝
＝0(D2＋E2－4F>0)
2.圆的一般方程的特点
(1)x2和y2的系数相等且大于0，含x2的项和含y2的项用加号连接；
(2)没有含xy的二次项；
(3)A＝C≠0且B＝0是二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的必要不充
分条件．
二 点与圆的位置关系
平面上的一点M(x，y)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
0 0
(1)|MC|>r M在圆外，即(x－a)2＋(y－b)2>r2 M在圆外．
0 0
(2)|MC|＝r M在圆上，即(x－a)2＋(y－b)2＝r2 M在圆上．
⇔ 0 0 ⇔
(3)|MC|<r M在圆内，即(x－a)2＋(y－b)2<r2 M在圆内．
⇔ 0 0 ⇔
三 直线与圆的位置关系
⇔ ⇔
相离 相切 相交
图形
方程
Δ<0 Δ＝0 Δ>0
量 观点
化 几何
d>r d＝r d<r
观点
常/用/结/论
1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是
2．以A(x，y)，B(x，y)为直径端点的圆的方程为(x－x)(x－x)＋(y－y)(y－y)＝0.
1 1 2 2 1 2 1 2
3．圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2；
0 0 0 0
切线：y－y＝－(x－x)(y≠0)，
0 0 0
即yy＋xx＝x＋y＝r2，
0 0
即xx＋yy＝r2(留一代一)．
0 0
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x ，y)的圆的切线方程为(x －a)(x－a)＋(y －b)(y
0 0 0 0
－b)＝r2；
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x ，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy
0 0 0 0
＝r2.
思考：如何推导呢？
设切点P(x ，y)，Q(x ，y)，
1 1 2 2
则P点处切线：xx＋yy＝r2，
1 1
Q点处切线：xx＋yy＝r2，
2 2
将M代入两切线：xx＋yy＝r2①，xx＋yy＝r2②.
1 0 1 0 2 0 2 0
由①②可知，直线PQ：xx＋yy＝r2.(留一代一)
0 0
4．圆系方程
(1)同心圆系方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其中a，b是定值，r是参数；
(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋
Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．
1．判断下列结论是否正确．
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(√)
(2)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2
－4AF>0.(√)
(3)若点M(x，y)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx＋Ey＋F>0.(√)
0 0 0 0
(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心．(√)
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点A(1,2)的圆的方程是( )
A．x2＋(y－2)2＝1
B．x2＋(y＋2)2＝1
C．(x－1)2＋(y－3)2＝1
D．x2＋(y－3)2＝4
解析：根据题意可设圆的方程为x2＋(y－b)2＝1，因为圆过点A(1,2)，所以12＋(2－b)2
＝1，解得b＝2，所以所求圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
答案：A
3．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆x2＋y2＝1的关系为( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
解析：∵<1，∴a2＋b2>1，∴点P(a，b)在圆外．
答案：B4．对任意的实数k，直线y＝kx－1与圆C：x2＋y2－2x－2＝0的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．以上三个选项均有可能
解析：直线y＝kx－1恒过定点A(0，－1)，圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1,0)，半径
为，而|AC|＝<，所以点A在圆内，故直线y＝kx－1与圆x2＋y2－2x－2＝0相交．故选C.
答案：C
题型 圆的方程
典例1(1)(2024·吉林长春模拟)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y
＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是
利用几何法：设圆心C(a，b)，圆心到直线的距离d＝r，即( )
A．(x－3)2＋(y－1)2＝1
B．(x－2)2＋(y－1)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－2)2＋(y＋1)2＝1
(2)求圆心在直线x－2y－3＝0上，且过点A(2，－3)，B(－2，－5)的圆的方程．
(1)解析：设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0)，由圆与直线4x－3y＝0相切，得圆心到直线
的距离d＝＝r＝1，化简，得|4a－3b|＝5①.又圆与x轴也相切，所以|b|＝r＝1，解得b＝1
或b＝－1(舍去)．把b＝1代入①，得4a－3＝5或4a－3＝－5，解得a＝2或a＝－(舍去)，
所以圆心坐标为(2,1)，则圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.故选B.
(2)解：方法一：设点C为圆心，因为点C在直线x－2y－3＝0上，所以可设点C的坐
标为(2a＋3，a)．
又该圆经过A，B两点，所以|CA|＝|CB|，
即
＝，解得a＝－2，
所以圆心C的坐标为(－1，－2)，半径r＝.
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法二：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意得
解得
故所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
方法三：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心坐标为.
由题意得
解得满足D2＋E2－4F>0，故所求圆的方程为x2＋y2＋2x＋4y－5＝0，即(x＋1)2＋(y＋2)2＝
10.
方法四(几何法)：圆心在AB的中垂线上：y＋4＝－2x，由得圆心C(－1，－2)，再求r
＝|CA|＝.
求圆的方程的两种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐
推荐使用的方法，计算量较小，关键是挖掘图形的几何性质．
标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法思路简单，但计算量稍大．
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设出圆的标准方程，依据已知条件列出关
于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设出圆的一般方程，依据已知条件列
出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
提醒：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．
对点练1(1)(多选)若k∈，方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圆，则k的值为( )
A. B．0 C．3 D．－2
(2)(2024·湖北武汉调研)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为
____________．
解析：(1)方程x2＋y2＋(k－1)x＋2ky＋k＝0表示圆的条件为(k－1)2＋(2k)2－4k>0，即
5k2－6k＋1>0，解得k>1或k<，故选BCD.
(2)设对称圆的圆心为(m，n)，
则解得
所以所求圆的圆心为(4,6)，故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝4.
答案：(1)BCD (2)(x－4)2＋(y－6)2＝4
题型 直线与圆的位置关系
典例2(1)直线l： mx － y ＋ 1 － m ＝ 0 与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
过定点(1,1)，而(1,1)在⊙C内⇒相交．
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
(2)若 曲线 y ＝与直线 y＝k(x－
易错点：y≥0，即曲线：x2＋y2＝4(y≥0)．
2)＋4有两个交点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C．(1，＋∞) D．(1,3]
(3)已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的 距离等于 1 的点至少有 2 个 ，则a的取
值范围为( )
即圆心O到l的距离d＜3.A．(－3，3)
B．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
C．(－2，2)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：(1)方法一：由消去y，
判别式法．
整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因为Δ＝16m2＋20>0，所以直线l与圆C相交．
方法二：由题意，知圆心(0,1)到直线l的距离d＝
点到直线的距离法．
<1<，故直线l与圆C相交．
方法三：由题意知直线l过定点(1,1)，因为点
直线上的定点与圆的位置关系法．
(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，所以直线l与圆C相交．故选A.
(2)根据题意画出图形，如图所示．
由题意可得，曲线 y＝的图象为以(0,0)为圆心，2 为半径的半圆，直线 l 恒过点
A(2,4)，当直线l与半圆相切时，圆心到直线l的距离d＝r，即＝2，解得k＝；当直线l过
点B(－2,0)时，直线l的斜率k＝＝1，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值
范围为 . 故选 A .
l的倾斜角：相切――→过B点．
(3)由圆的方程可知圆心为(0,0)，半径为2.因为圆上到直线l：x＋y＝a的距离等于1的
点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d<r＋1＝3，即d＝<3，解得－3<a<3.故选A.
1．判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
一般不建议使用．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
2．已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想转化为直线与
圆的位置关系问题，由此建立方程(组)或不等式(组)求解.
对点练2(1)(2024·河北张家口模拟)已知点P(x ，y)为圆C：x2＋y2＝2上的动点，则直
0 0
线l：xx－yy＝2与圆C的位置关系为( )
0 0A．相交 B．相离
C．相切 D．相切或相交
(2)(2024·安徽蚌埠模拟)直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置关
系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法确定
(3)(2023·全国乙卷，文)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是
( )
A．1＋ B．4
C．1＋3 D．7
解析：(1)由题意可得x＋y＝2，于是d＝＝＝＝r，所以，两者相切．故选C.
(2)已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1,1)，将点(－1,1)代入圆的方程可得(－1－
1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1,1)在圆内，所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－
2)2＝9相交．故选A.
(3)方法一：令x－y＝k，则x＝k＋y，
代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，
因为存在实数y使方程成立，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，
化简得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3，故x－y 的最大值是1＋3.
方法二：x2＋y2－4x－2y－4＝0，整理得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈[0,2π]，
则x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos＋1，
因为θ∈[0,2π]，所以θ＋∈，则当θ＋＝2π，即θ＝时，x－y取得最大值3＋1.
方法三：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，
设x－y＝k，则圆心(2,1)到直线x－y＝k的距离d＝≤3，
解得1－3≤k≤1＋3，故x－y的最大值是1＋3.
故选C.
答案：(1)C (2)A (3)C
题型 圆的切线
典例3(1)(2023·新高考全国Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的
夹角为α，则sin α＝( )
几何法：Rt△PAC中，sin∠APC＝＝＝⇒cos∠APB＝1－2sin2∠APC＝－⇒sin α＝
sin(π－∠APB)＝.
A．1 B. C. D.
(2)过点P(1，－3)作圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A，B，求：
①两条切线方程；不要漏掉切线斜率不存在的情况．② 直线 AB 的方程 ；切点弦：留一代一：x2－8x＋y2－4y＋11＝0，即xx－8·＋yy－4·
0 0
＋11＝0，即x－4(1＋x)－3y－2(－3＋y)＋11＝0，即3x＋5y－13＝0.
③ 线段 PA 的长度 ；切线长：Rt△PAC中，|PA|＝.
④ 线段 AB 的长度 ．切点弦长：等面积法：S ＝|PA||AC|＝|PC|·.
△PAC
(1)解析：方法一：因为x2＋y2－4x－1＝0，即(x－2)2＋y2＝5，可得圆心C(2,0)，半径r
＝，
过点P(0，－2)作圆C的切线，设切点为A，B，
因为|PC|＝＝2，
则|PA|＝＝，
可得sin∠APC＝＝，cos∠APC＝＝，则sin∠APB＝sin 2∠APC
＝2sin∠APCcos∠APC＝2××＝，
cos∠APB＝cos 2∠APC＝cos2∠APC－sin2∠APC＝2－2＝－<0，
即∠APB为钝角，
所以sin α＝sin(π－∠APB)＝sin∠APB＝.
方法二：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2,0)，半径r＝，过点P(0，－2)作圆C的切线
设切点为A，B，连接AB，
|PC|＝＝2，则|PA|＝|PB|＝＝，
因为 | AB | 2 ＝ | PA | 2 ＋ | PB | 2 － 2 | PA |· | PB |cos ∠ APB ＝ | CA | 2 ＋ | CB | 2 － 2 | CA |· | CB |cos ∠ ACB ，
切点弦AB所在的△PAB与△CAB中，∠APB＋∠ACB＝π.
且∠ACB＝π－∠APB，所以3＋3－6cos∠APB＝5＋5－10cos(π－∠APB)，
即3－3cos∠APB＝5＋5cos∠APB，解得cos∠APB＝－<0，
即∠APB为钝角，则cos α＝cos(π－∠APB)＝－cos∠APB＝，
且α为锐角，所以sin α＝＝.
方法三：圆x2＋y2－4x－1＝0的圆心C(2,0)，半径r＝，
若切线斜率不存在，则切线方程为x＝0，则圆心到切线的距离d＝2<r，不合题意；
若切线斜率存在，设切线方程为y＝kx－2，
即kx－y－2＝0，
则圆心到切线的距离d＝＝，
整理得k2＋8k＋1＝0，且Δ＝64－4＝60>0，
设两切线斜率分别为k，k，则k＋k＝－8，
1 2 1 2
kk＝1，可得|k－k|＝＝2，所以 tan α ＝＝ ，
1 2 1 2
两直线的夹角公式：tan α＝.
即＝，可得cos α＝，
则sin2α＋cos2α＝sin2α＋＝1，
且α∈，则sin α>0，解得sin α＝.
故选B.(2)解：①当切线的斜率存在时，设切线方程为y＋3＝k(x－1)，即kx－y－k－3＝0，
由＝3，解得k＝.
∴切线方程为8x－15y－53＝0.
当切线斜率不存在时，易知直线x＝1也是圆的切线，
∴所求切线方程为8x－15y－53＝0和x＝1.
②以PC为直径的圆D的方程为2＋2＝.
∵圆C与圆D显然相交，
∴直线AB就是圆D与圆C的公共弦所在直线，
∴直线AB的方程为3x＋5y－13＝0.
③|PA|＝
＝＝＝5.
④由S ＝×3×5＝××|AB|，得|AB|＝.
△PAC
圆的切线方程的求法
(1)代数法：设切线方程为y－y ＝k(x－x)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个
0 0
一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k(当k不存在时，切线方程为x＝x)．
0
(2)几何法：设切线方程为y－y ＝k(x－x)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切
0 0
线的距离d，然后令d＝r，进而求出k(当k不存在时，切线方程为x＝x)．
0
提醒：若点M(x ，y)在圆x2＋y2＝r2上，则过点M的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.“留
0 0 0 0
一代一”．
对点练3(1)(2024·四川遂宁统考)过直线l：x＋y－5＝0上的点作圆C：(x－1)2＋(y＋2)2
＝6的切线，则切线段长的最小值为( )
A. B．2 C. D．3
(2)已知圆O：x2＋y2＝1，直线l：x＋y＋2＝0，点P为l上一动点，过点P作圆O的切
线PA，PB(切点为A，B)，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x－y＋＝0
C．x＋y＋1＝0 D．x＋y－＝0
解析：(1)设直线上任意一点为 P，过点P作圆的切线，切点为 M，圆心C为(1，－
2)，半径r＝，则|MP|＝＝，要使|MP|最小，则|PC|最小，易知|PC|的最小值为圆心C到直线
l的距离．即|PC|≥＝3，∴|MP|≥＝2.故选B.(2)设四边形PAOB的面积为S，S＝2S ＝|AO||AP|＝|AP|，|AP|＝＝，所以当|OP|最小
△PAO
时，|AP|最小，|OP| ＝＝，所以S ＝|AP| ＝＝1.此时OP⊥l.所以|OA|＝|AP|＝|PB|＝|OB|
min min min
＝1，四边形PAOB是正方形，如图所示，由题得直线OP的方程为y＝x，联立得P(－1，
－1)．所以线段OP的中点坐标为，由题得直线AB的斜率为－1，所以直线AB的方程为y
－＝－，化简，得x＋y＋1＝0.故选C.
答案：(1)B (2)C
