文档文本内容
专题2.2 直线的倾斜角与斜率
教学目标
1.了解直线方程的概念
2.正确理解直线倾斜角和斜率概念:理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线
都存在斜率
3.理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式
4.通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索
能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力
5.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养
学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神
教学重难点
教学重点:直线的倾斜角和斜率概念
教学难点:斜率概念的理解，直线倾斜角与斜率变化关系探究。
知识点01 直线倾斜角
定义：平面直角坐标系中，对于一条与
轴 的直线，如果把
轴绕着交点按 旋转
到和直线重合时所转的 ，则
（1）当直线与
轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为
；所以倾斜角的取值范围为：
；
特别地，当直线与
轴垂直时，直线的倾斜角为
.
（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.
【即学即练】直线
的倾斜角是 ．
知识点02 直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角
（
） 的 叫做这条 .
斜率通常用字母
表示，即
（1）倾斜角
不是
的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；
（2）倾斜角
时，直线的斜率不存在。
【即学即练】已知直线的倾斜角为
，方向向量
．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点
，
（
），那么可得到如下斜率公式：
（1）当
时，直线与
轴垂直，直线的倾斜角 ， ；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当
时，斜率
，直线的倾斜角
，直线与
轴重合或者平行。
【即学即练】直线过点
和
，则的斜率为 ．
知识点04 直线的方向向量
1.定义：一般地，如果表示非零向量
的 所在的直线与直线 ，则称向量
为
直线的一个 ，记作
2.性质：①如果
为直线的一个方向向量，那么对于任意的实数
，向量
都是的一个方向向
量，而且直线的任意两个方向向量一定共线.
②如果
，
是直线上两个不同的点，则 是直线的一个方向向量.
③若
为直线的倾斜角，则
一
定是直线的一个方向向量.
④如果已知
为直线的一个方向向量，则当
时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；当
时，直线的斜率是存在的，直线的斜率
, 即
知识点05 直线的法向量
一般的，如果表示非零向量的
的有向线段所在的直线与直线垂直，则称向量
为直线的一个法向量，
记作
，一条直线的方向向量与法向量互相垂直.
题型01 求直线的倾斜角
【典例1】经过两点
和
的直线的倾斜角是 .
【变式1】过点
和点
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知点
，
，则直线
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】斜率为
的直线的倾斜角为 ．
【变式4】已知直线l 经过
，
两点，则直线l 的倾斜角为 ．
题型02 直线斜率的定义
【典例1】过
两点的直线的倾斜角是
，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【变式1】已知
、
两点所在直线的倾斜角为
，则实数
的值（ ）
A．
B．
C．
D．2
【变式2】经过点
和
的直线的倾斜角为
，则
（ ）
A．3.5
B．8
C．-2
D．2
【变式3】过
两点的直线的倾斜角是
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．4
【变式4】若直线的倾斜角为
，则该直线的斜率为 .
我们把一条直线的倾斜角
（
） 的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率通常用字母
表示，即
题型03 斜率与倾斜角变化关系
【典例1】如图所示，直线
的斜率分别为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知直线过点
，
，若的倾斜角的取值范围是
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）已知
为等腰直角三角形，
为坐标原点，点
在第一象限，点
在第四象限，
，若直线
的斜率都存在，记直线
的斜率分别为
，则
的关系
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）如图，直线，
，
的斜率分别为
，
，
，倾斜角分别为
，
，
，则下列
选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知直线的倾斜角
，则直线的斜率的取值范围为 .
倾斜角
（范围）
斜率
（范围）
不存在
题型04 已知两点求斜率
【典例1】已知直线l 经过两点
，
，则直线l 的斜率是（ ）
A．2
B．
C．
D．－2
【变式1】已知直线经过点
，
，则的斜率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【变式2】若直线经过点
，
，则直线的斜率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】若直线过点
和
，则直线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】经过点
、
的直线的斜率为 .
如果直线经过两点
，
（
），那么可得到如下斜率公式：
题型05 已知斜率求参数
【典例1】经过两点
，
的直线的斜率等于2，则
.
【变式1】若经过
，
两点的直线斜率为1，则实数
（ ）
A．3
B．
C．2
D．1
【变式2】过
，
两点的直线的倾斜角为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
，
D．1，2
【变式3】若经过
两点的直线斜率为1，则实数
（ ）
A．
B．3
C．2
D．1
【变式4】经过两点
，
的直线的倾斜角为
，则
（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
题型06 利用直线斜率处理共线问题
【典例1】已知三点A
，B
，C
在同一直线上，则实数
的值是 .
【变式1】三点
，
，
在同一条直线上，则
的值为（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【变式2】若
、
、
三点共线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知
，
，
三点共线，则
＝ ．
【变式4】已知三个不同的点
、
、
在同一条直线上，求实数
的值．
题型07 求斜率或倾斜角的取值范围
【典例1】在平面直角坐标系
中，已知点
，直线l 经过点B 且与线段
相交．则直线l
倾斜角α 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知直线的方程为
，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】设直线的方程为
，则直线的倾斜角
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知直线的斜率
，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】设直线的斜率为
，且
，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型08 直线与线段的相交关系求斜率范围
【典例1】经过点
作直线l，若直线l 与连接
，
两点的线段总有公共点，求直线l 的
斜率k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
，-1）
）
D．[1，+
【变式1】已知点
，经过点P 作直线l，若直线l 与连接
，
两点的线段总有公共点，则
直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】直线l 过
与连接
的线段相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知两点
，
，过点
的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾
斜角的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知过点
的直线与以点
和
为端点的线段AB 相交，求直线的斜率的
取值范围 .
题型09 斜率公式的几何意义的应用
【典例1】已知实数x、y 满足方程
，当
时，则
的取值范围是 ．
【变式1】已知正
的顶点
，
，顶点
在第一象限，若点
是
内部及其边界
上一点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】点
在函数
的图象上，当
，则
的取值范围为 .
【变式3】已知实数
满足
，试求
的取值范围．
1．已知点
，若向量
是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知点
和点
，则直线
的倾斜角
为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知经过点
和点
的直线的斜率为
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．经过
两点的直线的斜率是（ ）
A．
B．
C．
D．1
5．已知直线经过点
两点．直线
的倾斜角是直线的倾斜角的2 倍，则直线
的斜率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．直线
倾斜角为
，且过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
7．已知点
，
，若过点
的直线l 与线段
相交，则直线l 斜率k 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
，直线过定点
，且与线段
相交，则直线的斜率
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
9．（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是
或
D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为
10（多选）．直线l 过点
，且与以
，
为端点的线段有公共点，则直线l 斜率可能是
（ ）
A．1
B．2
C．8
D．6
11．若倾斜角为
的直线过点
和
，则实数
.
12．已知直线l 过
，且与以
为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围为
．
13．若直线
与连接
两点的线段有公共点，求实数
的取值范围.
14．已知两点
，
，过点
的直线l 与线段
有公共点.
(1)求直线l 的斜率k 的取值范围.
(2)求直线l 的倾斜角的取值范围.
15．已知坐标平面内两点
.
(1)当直线
的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出
的取值范围；
(2)若直线
的方向向量为
，求
的值.
