文档文本内容
第 1 节 直线的方程
考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握
确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，
了解斜截式与一次函数的关系.
1.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方
向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；
(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；
(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是 [0 ， π) .
2.直线的斜率
(1)定义：当直线l的倾斜角α≠时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜
率，斜率通常用小写字母k表示，即k＝tan__α.
(2)计算公式
①经过两点P (x ，y )，P (x ，y )(x ≠x )的直线的斜率k＝.
1 1 1 2 2 2 1 2
②若直线的方向向量为a＝(x，y)(x≠0)，则直线的斜率k＝.
3.直线方程的五种形式名称 几何条件 方程 适用条件
斜截式 纵截距、斜率 y ＝ kx ＋ b
与x轴不垂直的直线
点斜式 过一点、斜率 y － y ＝ k ( x － x )
0 0
与两坐标轴均不垂直
两点式 过两点 ＝
的直线
不过原点且与两坐标
截距式 纵、横截距 ＋＝ 1
轴均不垂直的直线
Ax＋By＋C＝0(A2＋
一般式 所有直线
B2≠0)
1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系：
α 0 0<α< <α<π
k 0 k>0 不存在 k<0
2.截距和距离的不同之处
“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距
离”是一个非负数.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( )
(2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( )
(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )
(4)经过任意两个不同的点 P (x ，y )，P (x ，y )的直线都可以用方程(y－y )(x －
1 1 1 2 2 2 1 2
x )＝(x－x )(y －y )表示.( )
1 1 2 1
答案 (1)× (2)× (3)× (4)√
解析 (1)当直线的倾斜角 α ＝135°，α ＝45°时，α ＞α ，但其对应斜率 k ＝－
1 2 1 2 1
1，k ＝1，k ＜k .
2 1 2
(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°.
(3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等.
2.(易错题)若直线x＝2的倾斜角为α，则α的值为( )
A.0 B. C. D.不存在
答案 C解析 因为直线x＝2垂直于x轴，所以倾斜角α＝.
3.(2022·菏泽模拟)若过点M(－2，m)，N(m，4)的直线的斜率等于 1，则m的值
为( )
A.1 B.4
C.1或3 D.1或4
答案 A
解析 由题意得＝1，解得m＝1.
4.(2021·兰州模拟)已知直线l过点P(1，3)，且与x轴、y轴的正半轴所围成的三
角形的面积等于6，则直线l的方程是( )
A.3x＋y－6＝0 B.x＋3y－10＝0
C.3x－y＝0 D.x－3y＋8＝0
答案 A
解析 设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0).
由题意得解得
故直线l的方程为＋＝1，即3x＋y－6＝0.
5.(2021· 郑 州 质 检 ) 过 点 P(2 ， － 3) 且 倾 斜 角 为 45° 的 直 线 的 方 程 为
________________.
答案 x－y－5＝0
解析 倾斜角45°的直线的斜率为tan 45°＝1，又经过点P(2，－3)，∴直线方程
为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
6.(易错题)过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________.
答案 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
解析 当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，
则＋＝1，解得a＝5.
所以直线方程为x＋y－5＝0.
考点一 直线的倾斜角与斜率
例1 (经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共
点，则直线l的斜率的取值范围为________.
答案 (－∞，－]∪[1，＋∞)
解析 法一 设PA与PB的倾斜角分别为α，β，直线PA的斜率是k ＝1，直线
APPB的斜率是k ＝－，当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时，它的倾斜
BP
角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).
当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由 90°增至β，斜率的变化范围
是(－∞，－].
故斜率的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).
法二 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1－k)(－－k)≤0，
即(k－1)(k＋)≥0，解得k≥1或k≤－.
即直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－]∪[1，＋∞).
迁移 若将例1中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l的斜率的取
值范围.
解 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为
y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.
∵A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，
∴(2k－1＋k)(－＋k)≤0，
即(3k－1)(k－)≤0，解得≤k≤.
即直线l的斜率的取值范围是.
感悟提升 1.由直线的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围
求直线的倾斜角的取值范围时，常借助正切函数 y＝tan x在∪上的单调性求解，
这里特别要注意，正切函数在∪上并不是单调的.
2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜角为时，
直线斜率不存在.
训练1 (2022·齐齐哈尔调研)已知点(－1，2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同
侧，则直线l的倾斜角的取值范围为( )
A. B.∪
C. D.
答案 D解析 因为点(－1，2)和在直线l：ax－y＋1＝0(a≠0)的同侧，所以(－a－2＋
1)·>0，即(a＋1)(a＋)<0，解得－<a<－1，又直线 l的斜率 k＝a，所以－<k<－
1，且直线的倾斜角范围为[0，π)，所以直线l的倾斜角的取值范围为.
考点二 求直线的方程
1.已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M按逆时针方向
旋转45°，得到的直线方程是( )
A.x＋y－3＝0 B.x－3y－2＝0
C.3x－y＋6＝0 D.3x＋y－6＝0
答案 D
解析 设直线l的倾斜角为α，则tan α＝k＝2，
直线 l 绕点 M 按逆时针方向旋转 45°，所得直线的斜率 k′＝tan＝＝－3，又点
M(2，0)，
所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.
2.直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为的直线方程为________________.
答案 x±3y＋4＝0
解析 由题意知，直线的斜率存在，
设倾斜角为α，则sin α＝(α∈[0，π))，
从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.
故所求直线的方程为y＝±(x＋4)，即x±3y＋4＝0.
3.过点(2，1)且在 x 轴上截距与在 y 轴上截距之和为 6 的直线方程为
________________.
答案 x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0
解析 由题意可设直线方程为＋＝1.
则解得或
故所求直线方程为x＋y－3＝0或x＋2y－4＝0.
感悟提升 1.求直线方程一般有以下两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程.
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，
再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程.
2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，
应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).
, 考点三 直线方程的综合应用例2 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为
坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
(1)证明 直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1).
(2)解 由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋
2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞).
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A，B(0，1＋2k).
依题意得解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|
＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝，即k＝，
∴S ＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
min
感悟提升 1.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点
的直线系，能够看出“动中有定”.若直线的方程为y＝k(x－1)＋2，则直线过定
点(1，2).
2.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，
进而求得多边形面积.
3.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的
单调性或基本不等式求解.
训练2 (1)已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标：
①若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点________；
②若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点________；
③若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点________.
(2)已知直线l ：ax－2y＝2a－4，l ：2x＋a2y＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l ，l
1 2 1 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则实数a＝________.
答案 (1)①(0，3) ②(－3，0) ③(3，0) (2)
解析 (1)①当x＝0时，y＝3，所以直线过定点(0，3).
②直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3，0).
③当y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3，0).
(2)由题意知直线 l ，l 恒过定点P(2，2)，直线l 的纵截距为2－a，直线l 的横
1 2 1 2
截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2(2－a)＋×2(a2＋2)＝a2－a＋4
＝＋，又0<a<2，所以当a＝时，面积最小.
1.(2022·济南调研)直线x－y＋1＝0的倾斜角为( )
A.30° B.45°
C.120° D.150°
答案 B
解析 由题意得，直线 y＝x＋1的斜率为1，设其倾斜角为 α，则tan α＝1，又
0°≤α<180°，故α＝45°.
2.(2021·广东七校联考)若过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，
则实数a的取值范围是( )
A.(－2，1)
B.(－1，2)
C.(－∞，0)
D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 A
解析 由题意知<0，即<0，解得－2<a<1.
3.如图中的直线l ，l ，l 的斜率分别为k ，k ，k ，则( )
1 2 3 1 2 3
A.k <k <k
1 2 3
B.k <k <k
3 1 2
C.k <k <k
3 2 1D.k <k <k
1 3 2
答案 D
解析 直线l 的倾斜角α 是钝角，故k <0，直线l 与l 的倾斜角α 与α 均为锐角
1 1 1 2 3 2 3
且α >α ，所以0<k <k ，因此k <k <k .
2 3 3 2 1 3 2
4.若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝( )
A.1±或0 B.或0
C. D.或0
答案 A
解析 由题意知k ＝k ，即＝，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.
AB AC
5.(2021·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线 l ：ax＋y＋b＝0和直线
1
l ：bx＋y＋a＝0有可能是( )
2
答案 B
解析 当a>0，b>0时，－a<0，－b<0，结合选项知B符合，其他均不符合.
6.过点(2，1)，且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是( )
A.x＝2 B.y＝1 C.x＝1 D.y＝2
答案 A
解析 直线y＝－x－1的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为，故所求直线斜率不
存在，又直线过点(2，1)，所以所求直线方程为x＝2.
7.(2021·安阳模拟)已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段
AB恒相交，则k的取值范围是( )
A.
B.(－∞，－2]
C.(－∞，－2]∪
D.
答案 D
解析 直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2，1)，
∵k ＝＝－2，k ＝＝，
PA PB
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，∴－2≤k≤.
8.曲线xy－x＋2y－5＝0在点A(1，2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A.9 B. C. D.
答案 B
解析 由xy－x＋2y－5＝0，得y＝f(x)＝，∴f′(x)＝，∴f′(1)＝－，
∴曲线在点A(1，2)处的切线方程为y－2＝－(x－1).
令x＝0，得y＝；令y＝0得x＝7.
∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S＝××7＝.
9.直线l过(－1，－1)，(2，5)两点，点(1 011，b)在l上，则b的值为________.
答案 2 023
解析 直线l的方程为
＝，
即＝，即y＝2x＋1.
令x＝1 011，得y＝2 023，∴b＝2 023.
10.已知三角形的三个顶点A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，则BC边上中线所在
的直线方程为________________.
答案 x＋13y＋5＝0
解析 ∵BC的中点坐标为，
∴BC边上中线所在直线方程为＝，
即x＋13y＋5＝0.
11.(2022·银川模拟)过点且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为________.
答案 x＋4y－2＝0
解析 因为两坐标轴上的截距互为倒数，所以截距不为零，
可设直线方程为＋ay＝1，
因为＋ay＝1过点，
所以＋a＝1，解得a＝2，
所以，所求直线方程为x＋2y＝1，化为x＋4y－2＝0.
12.若直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距
之和的最小值为________.
答案 4
解析 ∵直线ax＋by＝ab(a＞0，b＞0)过点(1，1)，
∴a＋b＝ab，即＋＝1，
∴a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b＝2时上式等号成立.
∴直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.
13.(2021·成都调研)若直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则 a，
b，c应满足( )
A.ab>0，bc<0 B.ab>0，bc>0
C.ab<0，bc>0 D.ab<0，bc<0
答案 A
解析 易知直线的斜率存在，则直线方程可化为 y＝－x－，由题意知所以
ab>0，bc<0.
14.(2022·哈尔滨调研)设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处
的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为( )
A. B.[－1，0]
C.[0，1] D.
答案 A
解析 由题意知，y′＝2x＋2，
设P(x ，y )，则在点P处的切线的斜率k＝2x ＋2.
0 0 0
因为曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为，则 0≤k≤1，即 0≤2x ＋
0
2≤1，
故－1≤x ≤－.
0
15.(2021·广安调研)已知2x －3y ＝4，2x －3y ＝4，则过点A(x ，y )，B(x ，y )
1 1 2 2 1 1 2 2
的直线l的方程是________.
答案 2x－3y－4＝0
解析 ∵(x ，y )满足方程2x －3y ＝4，
1 1 1 1
∴(x ，y )在直线2x－3y＝4上.
1 1
同理(x ，y )也在直线2x－3y＝4上.
2 2
由两点确定一条直线，可知过点A(x ，y )，B(x ，y )的直线l的方程是2x－3y－4
1 1 2 2
＝0.
16.直线l过点P(6，4)，且分别与两坐标轴的正半轴交于 A，B两点，当△ABO
的面积最小时，直线l的方程为________.
答案 2x＋3y－24＝0解析 设直线 l的方程为 y－4＝k(x－6)(k≠0)，则 A，B(0，4－6k)，由题意知
k<0，则S ＝×|OA|·|OB|＝·(4－6k)＝24－18k－，
△ABO
∵k<0，∴－18k>0，－>0，
∴－18k－≥2＝24，当且仅当－18k＝－，即k2＝，也即k＝－时取得等号，所以
△ABO的面积的最小值为48，此时直线l的方程为
y－4＝－ (x－6)，即2x＋3y－24＝0.
