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2025 年秋季新八年级开学摸底考试模拟卷
数学•全解全析
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．
1．若某个关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了在数轴上的表示不等式的解集，解题关键是掌握大于或大于等于向右边，小于或小于
等于向左边，有等号的用实心点表示，不含等号的用空心点表示，公共部分为解集，无公共部分表示无解．
根据实心圆圈向右表示大于等于，空心圆圈向左表示小于，结合数轴可得出答案．
【详解】解：由数轴可知，该不等式组的解集是 ，
故选：C．
2．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除、幂的乘方等，掌握相关运算法则即可．
【详解】解：A、 （合并同类项，系数相加，字母部分不变），故A错误；
B、 （同底数幂相除，指数相减），故B错误；
C、 （同底数幂相乘，指数相加），故C正确；
D、 （幂的乘方，指数相乘），故D错误；
故选：C
3．下列命题中，是假命题的是（ ）
A．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
C．在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
D．如果两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等
【答案】A
【详解】本题考查了判断真假命题，涉及垂直的性质、平行公理、平行线的判定与性质，掌握相关知识点
是解题关键．根据垂直的性质、平行公理、平行线的判定与性质逐一分析各选项的真假．
【分析】解：A、 此命题缺少“在同一平面内”的条件．在空间中，过一点有无数条直线与已知直线垂直，
因此该命题是假命题；
B. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，根据平行公理，此命题为真；C. 在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则它们平行．根据垂直性质，这两条直线方向相同，
必平行，故为真命题；
D. 若两条直线被第三条直线所截得的内错角相等，则同位角也相等．内错角相等可推出两直线平行，进
而由平行线性质得同位角相等，故为真命题．
故选：A．
4．如图，将长方形纸条折叠得 和 ，则 与 满足的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，由平行线性质可得 ，通过折叠性质可知
，从而可得 ，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
由折叠性质可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
5．我国明代《算法统宗》一书中有这样一题：“一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，
却比竿子短一托（一托按照5尺计算）．”大意是：现有一根竿和一条绳索，如果用绳索去量竿，绳索比
竿长5尺：如果将绳索对折后再去量竿，就比竿短5尺，则绳索长几尺？设竿长x尺，绳索长y尺，根据
题意可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键．设竿长 尺，绳索长 尺，根据“索比竿子长一托”可得 ；对折绳索后长度为 ，此时“比竿子短一托”，即 ，由
此建立方程组．
【详解】解：∵绳索比竿长5尺，
即 ，对应方程 。
∵对折后的绳索长度为 ，比竿短5尺，
即 ，
对应方程 ，
联立方程： ，
故选：A
6．若 ，则 的值是（ ）
A． B． C．1 D．25
【答案】C
【分析】本题考查多项式乘以多项式，通过展开左边多项式并与右边比较系数，解出m和n的值，再计算
即可．
【详解】解：
．
．
∴ ，解得 ； ，解得 ；
∴ ，
故选C．
7．若关于x的方程 的解为非负整数，且关于x的不等式组 无解，则所有
满足条件的a的值之和是（ ）
A．7 B．6 C．4 D．0
【答案】C
【分析】本题主要考查解一元一次方程和求一元一次不等式组的解集．根据题意求得方程的解为 ，结合非负可得 ，求得不等式解为 ，由于无解则 ，即可得到a的范围，结合x方程的解为
非负整数，即可求得a的值，利用有理数的加减法计算即可．
【详解】解： ，整理得 ，解得 ，
∵关于x的方程 的解为非负整数，
∴ ，解得 ，
，解得 ，
∵关于x的不等式组 无解，
∴ ，
则 ，
∵x的方程 的解为非负整数，
∴满足条件的a只有 ，0，2和4，
则 ．
故选：C．
8．如图，有三张边长分别为 ， ， 的正方形纸片 ， ， ，将三张纸片按图1，图2两种不同方式
放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为 ，面积为 ；图2中阴影部分周长为 ，面积为 ，若
，则 与 满足的关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含 ， ， 的代数式表示出 、 和 、
是解题关键．用含 ， ， 的代数式表示出图1、图2中阴影部分的周长和面积，可得 、 ，代
入 进行计算，即可求解．
【详解】解：根据题意，得：长方形的长为 ，宽为 ，
则 ， ，
，
，
， ，
，
，解得： ，
与 满足的关系为 ．
故选：D．
二、填空题：本题共8小题，每空2分，共16分．
9．计算 的结果为 ．
【答案】
【分析】本题考查了负整数指数幂，根据 （ 为正整数， ）进行计算，即可作答．
【详解】解： ，
故答案为：
10．计算： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方差公式，直接根据平方差公式求解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
11．命题“若 ，则 ”是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】假
【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组
成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命
题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．利用 可判断命题“如果 ，那么”是假命题．
【详解】解：命题“若 ，则 ”是假命题；
故答案为：假．
12．如图，将 沿 方向平移得到 ．若 的周长为 ，四边形ABFD的周长为 ，
则平移的距离为 ．
【答案】
【分析】根据四边形的周长，三角形的周长，计算得到 ，解答即可．
本题考查了平移，熟练掌握平移的规律是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得 的周长为 ，四边形ABFD的周长为 ，
故 ， ，
根据平移的性质，得 ，
故 ，
，
，
解得 ．
故答案为： ．
13．若关于 的方程组 的解 ，则方程组 的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，由题意可得方程组 的解为 ，求解
即可得出答案，理解题意是解此题的关键．
【详解】解： 关于 的方程组 的解 ，
方程组 的解为 ，
解得： ，故答案为： ．
14．若关于x，y的二元一次方程组 的解满足不等式 ，则m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，二元一次方程组的解，先利用整体的思想求出 ，
从而可得 ，进而可得 ，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解： ，
① ②得： ，
解得： ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
15．对于结论“周长一定的长方形长和宽相等时面积最大”，某同学通过右侧的图形割补用特例进行了说
明：如图，将图1中周长为8的长方形裁成长方形 （边长为2和 和长方形 ，并拼成图2．由面积相等
得： ，所以，当 时，长方形面积取得最大值为4．据此方法，可得代数式
的最大值为 ．
【答案】32
【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积．先将代数式 化为 ，根据
题中图形面积的求法画出相应的图形，求出 的最大值，进而求出 的最大值．
【详解】解：依题意有 ，
当 时，如图，阴影部分是边长为 的正方形，∴ ，
当 时，如图，阴影部分是边长为 的正方形，
∴ ，
当 时，该长方形为边长是8的正方形，
边长是 和 的长方形的最大面积是64，
∴ 的最大值为 ．
故答案为： ．
16．对于一个四位自然数m，其各数位上的数字均不为0，若其千位与十位上的数字之和为9，百位与个位
上的数字之和也为9，则称这个四位数m为“和九数”，如：2673，4158．若将“和九数”m的千位数字
与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到一个新的四位数 ，且规定 ．例如：
，∵ ，∴7128是“和九数”，此时 ，若 ，则
；若四位数s，t均为“和九数”，且s的千位数字与t的十位数字之和为10，s的百位数字与t的个位数字
之和为7， 是一个完全平方数，则满足条件的s的最小值为 ．
【答案】 5346
【分析】本题考查了新定义运算、整式加减的应用、不等式的性质，理解新定义，用字母表示数是解题的
关键．根据“和九数”的定义以及 的运算，若 ，直接计算当 时 的值即可；设
“和九数” ，则有 ，进而表示出 和 ，根据
是一个完全平方数，可得 是一个完全平方数，再列不等式求出 的取值范围，
根据当s要取最小值时a必须取最小值，进而求出 的值，即可解答．
【详解】解： ，是“和九数”，此时 ；
由题意得，设“和九数” ，
，
s的千位数字与t的十位数字之和为10，s的百位数字与t的个位数字之和为7，
t的十位数字为 ，个位数字为 ，
四位数t为“和九数”，
，
同理可得， ，
，
是一个完全平方数，
是一个完全平方数，
由题意得， ，
解得： ，
s要取最小值，即千位数字和百位数字要尽可能小，
，
当 时， 是一个完全平方数，
或 ，
，
当 时，s能取到最小值，最小值为2970，与其各数位上的数字均不为0矛盾，舍去；
，
当 时， 是一个完全平方数，
，
，不可能成立，
，
当 时， 是一个完全平方数，
，，不可能成立，
，
当 时， 是一个完全平方数，
，
，成立，
满足条件的s的最小值：5346，
故答案为： ；5346．
三、解答题：本题共9小题，共68分.
17．（5分）计算：
【答案】0
【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂、积的乘方、有理数的混合运算，根据零指数幂，负整数指数
幂，积的乘方逆运算法则计算即可．
【详解】解：原式
．
18．（9分）计算：
(1)解方程组：
(2)解不等式组： ，并把不等式组的解集在数轴上表示出来．
【答案】(1)
(2)不等式组的解集为 ，数轴表示见解析
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集等知识．熟
练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式组，在数轴上表示解集是解题的关键．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先分别求两个不等式的解集，进而可得一元一次不等式组的解集，最后在数轴上表示解集即可．【详解】（1）解： ，
得， ，
解得 ，
将 ①得， ，
解得 ，
∴ ．
（2）解： ，
解不等式①，得： ，
解不等式②，得： ，
∴不等式组的解集为 ，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
19．（7分）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】 ，
【分析】本题考查整式的混合运算，涉及完全平方公式，平方差公式，单项式与多项式的乘法，还考查了
代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式，单项式与多项式
的乘法化简，再进行加减即可，再代入求值．
【详解】解：
当 ， 时，
原式
．
20．（6分）如图，已知点P为 边 上一点，请用无刻度的直尺和圆规作出满足下列条件的直线：(1)如图①，作一条直线l，使得点B关于l的对称点为P．
(2)如图②，作一条过点C的直线m，使得点P关于m的对称点落在 上．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了轴对称的性质，尺规作图---线段的垂直平分线和角平分线，熟练掌握尺规作图的步骤
是解题的关键．
（1）由点B关于l的对称点为P，可得直线l为线段 的垂直平分线，即可作图；
（2）点P关于m的对称点落在 上，可得直线m为 的平分线所在的直线，即可作图．
【详解】（1）解：如图①，连接 ，作线段 的垂直平分线l，
则直线l即为所求．
（2）解：如图②，作 的平分线，
则 的平分线所在的直线m即为所求．
21．（7分）初中数学学习，运算法则是基础，我们要认真探究法则运算过程，准确掌握变形技巧和方法，
目的是能正确应用，如果 ，则 ，例如： ，则 ．
(1)根据上述规定，若 ，求 的值；
(2)记 ，求 的值．
【答案】(1)(2)
【分析】本题考查了新定义运算及有理数的混合运算，正确理解新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则
是解题的关键．
（1）根据题目所给新定义进行求解即可；
（2）先求出 ， ， ，再对 变形，代入即可得到答案．
【详解】（1）解：根据定义的公式，
由 ，得
；
（2）解： ， ， ，
， ， ，
．
22．（8分）藤球是一项球类运动，亚运会正式比赛项目之一．早在11世纪，东南亚国家文化中就有关于
藤球运动的记录．藤球比赛中，选手只能用脚、腿、肩和头触球．选手常常在比赛中会使用高难度、带杂
耍意味的动作来控制球的运动． 在学校第十三届科技节中，同学们动手实践，参与到藤球的制作活动中，
进行了单层藤球和双层藤球的制作．已知制作同尺寸藤球，制作2个单层藤球和1个双层藤球需14米原材
料，制作1个单层藤球和3个双层藤球需27米原材料．
(1)制作1个单层藤球和1个双层藤球各需多少米原材料？
(2)初一某班级共42人，现有原材料200米，若每人制作1个单层藤球或1个双层藤球（只做一个），则该
班级最多可以制作多少个双层藤球？
【答案】(1)制作1个单层藤球需3米原材料，1个双层藤球需8米原材料
(2)该班级最多可以制作14个双层藤球
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关
键．
（1）设制作1个单层藤球需 米原材料，1个双层藤球需 米原材料，根据题意建立方程组，解方程组即
可得；
（2）设该班级可以制作 个双层藤球，则可以制作 个单层藤球，根据现有原材料200米建立不等
式，求出不等式的最大正整数解即可得．【详解】（1）解：设制作1个单层藤球需 米原材料，1个双层藤球需 米原材料，
由题意得： ，
解得 ，
答：制作1个单层藤球需3米原材料，1个双层藤球需8米原材料．
（2）解：设该班级可以制作 个双层藤球，则可以制作 个单层藤球，
由题意得： ，
解得 ，
∵ 为正整数，
∴ 的最大正整数解为14，
答：该班级最多可以制作14个双层藤球．
23．（8分）【知识初探】如图1，正方形 是由两个小正方形和两个小长方形组成的，根据图形解答
下列问题：
（1）用两种不同的方法可以表示正方形 的面积，写成一个等式为________；
（2）运用（1）中的等式，解决以下问题：
①已知 ， ，则 ________；
②已知 ， ，则 ________；
【拓展延伸】（3）如图2， ， 分别表示边长为 ， 的正方形的面积，且 ， ， 三点在同一条直
线上，若 ， ，求图中阴影部分的面积．【知识迁移】（4）若 ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）①19；②103；（3）18；（4）25．
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
（1）观察图形，根据面积的关系即可得出结论；
（2）①根据 代入计算即可；
②根据 代入计算即可；
（3）由题意得 ， ，根据割补法求出 ，然后根据 代入计
算即可；
（4）设 ， ，由题意得 ， ， 由 代入计算即可．
【详解】解：（1）通过两种表达方式相等，得到等式： ，
故答案为： ；
（2）①∵ ， ，
∴ ，
故答案为：19；
②∵ ， ，
∴ ，
故答案为：103；
（3）由题意得 ， ，
∴
；
（4）设 ， ，
∴ ， ，
∴
．
24．（8分）阅读探索：材料一：解方程组 时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下：
解：设 ， ，原方程组可化为 ，
解得 ，即 ，解得 ．
材料二：解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下：
解：将方程② ，变形为 ③，
把方程①代入③得， ，则 ；
把 代入①得， ，所以方程组的解为： ．
根据上述材料，解决下列问题：
(1)运用换元法解求关于a，b的方程组： 的解；
(2)若关于x，y的方程组 的解为 ，求关于m，n的方程组 的
解．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组
成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原
方程的解．
（1）用换元法替换 和 ，解方程组即可；
（2）用换元法替换 和 ，根据已知条件解方程组即可；
【详解】（1）解：∵ ，
设 ， ，∴原方程可以化为 ，
用 得： ，解得 ，
把 代入到①得： ，解得 ，
∴方程组的解为 ，即 ，
解得 ，
∴原方程组的解为 ；
（2）解：∵ ，
设 ，
∴原方程化为： ，
∵关于x，y的方程组 的解为 ，
∴ ，
解得 ；
25．（10分）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的
“调和解”．
例：已知方程 与不等式 ＞0，当 时， ， ＞0同时成立，
则称“ ”是方程 与不等式 ＞0的“调和解”．
(1)已知有三个不等式：① ＞ ，②2（x+3）＜4，③ ＜3，判断方程 的解是不等式 的
“调和解”（填不等式前的序号）；
(2)若 是方程 与不等式组 的“调和解”，求 的取值范围；
(3)若关于x的方程 与关于x的不等式 恰有7个“调和解”为整数．求 的取值范围．
【答案】(1)③
(2)
(3)
【分析】（1）先求出方程的解，分别代入三个不等式验证是否满足不等式，再作出判断；
（2）先根据“调和解”的意义得出 ， ，再求出 ，代入不等式组中求得
，再将 代入 后，求出其范围即可；
（3）先求出不等式组解 ，再求出方程的解 ，然后将 代入 ，求得
，再根据关于x的方程 与关于x的不等式 恰有7个“调和解”为整
数，可得 ，解得： ，然后得出 ．
【详解】（1）解： ，解得： ，
，故①不成立；
，故②不成立；
，故③成立，
故答案为：③；
（2）∵ 是方程 与不等式组 的“调和解”，
∴ ， ，
解得： ，
∴ ，解得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）不等式组 ，解得： ，将 代入 ，得 ，解得： ，
∵关于x的方程 与关于x的不等式 恰有7个“调和解”为整数，
∴这7个整数为7，6，5，4，3，2，1，
∴ ，解得： ，
∴ ．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知方程组的解求参数的范围等知识点，
解题关键是正确求解方程组与不等式组．
