专题10直线和圆的方程（单元测试卷）（解析版）_E015高中全科试卷_数学试题_选修1_06.专项练习_专题10直线和圆的方程（单元测试卷）-高中数学新教材人教A版选择性必修配套提升训练

专题10 《直线和圆的方程》单元测试卷 一、单选题 x y 2 0 1．（2019·全国高二月考（文））直线： 的倾斜角为（ ） 30 45 60 135 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 x y 2 0 k 1 x y 2 0 a(0a180) 直线 的斜率 ，设直线 的倾斜角为 ， tan1 135 则 ，所以 . 故选：D. 2,2 2．（2019·浙江省高二期中）圆心为 ，且过原点的圆的方程是（ ） x22 y22 8 x22 y22 2 A． B． x22 y22 8 x22 y22 2 C． D． 【答案】A 【解析】 根据题意r  22 22 2 2，故圆方程为 x22 y22 8 . 故选：A. 3．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）如果直线(2a+5)x+(a－2)y+4=0与直线(2－a)x+(a+3)y－1=0互相 垂直，则a的值等于（ ） A．2 B．－2 C．2,－2 D．2,0,－2 【答案】C 【解析】 (2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，所以a＝2或a＝－2. x2 (y1)2 5 mx y12m0 4．（2019·山东省高一期中）圆 与直线 的位置关系( ) A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定【答案】C 【解析】 mx y12m0 y1mx2 2，1 2，1 405 直线 即 即直线过 点,把 点代入圆的方程有 ,所以点 2，1 2，1 在圆的内部,过 点的直线一定和圆相交. 故选:C. P(m,3) (x2)2 (y2)2 1 5．（2019·山东省高一期中）从点 向圆 引切线，则切线长的最小值( ) 2 6 26 4 2 A． B．5 C． D． 【答案】A 【解析】 d d2 (m2)2 52 1(m2)2 24 d 2 6 设切线长为 ,则 , min . 故选:A. ax y2a0 6．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）已知直线 在两坐标轴上的截距相等，则实数 a( ) A．1 B．1 C．2或1 D．2或1 【答案】D 【解析】 2a 0 a 2 axy2a 0 2xy0 由题意，当 ，即 时，直线 化为 ， 此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意； x y  1 当 ，即 时，直线 化为 2a 2a ， 2a 0 a 2 axy2a 0 a 2a 2a 由直线在两坐标轴上的截距相等，可得 a ，解得a 1； 综上所述，实数a 2或a 1． 故选：D．P(1,1) x2  y2 4x0 AB AB 7．（2019·山东省高一期中）若点 为圆 的弦 的中点，则弦 所在直线的方程 为( ) x y20 x y 0 A． B． x y20 x2 (y1)2 5 C． D． 【答案】B 【解析】 x2  y2 4x0 x-22  y2 4 化为标准方程为 . P1,1 x-22  y2 4 ∵ 为圆 的弦AB的中点, 01 k  1 ∴圆心与点P确定的直线斜率为 21 , ∴弦AB所在直线的斜率为1， AB y1x1 x y 0 ∴弦 所在直线的方程为 ,即 . 故选:B. 1,0 x22  y2 1 8．（2020·武威第六中学高三二模（文））过点 且倾斜角为30的直线被圆 所截得 的弦长为（ ） 3 A． 2 B．1 C． 3 D．2 3 【答案】C 【解析】 1,0 根据题意，设过点 且倾斜角为 30的直线为 l , 3 其方程为y tan30 x1 ,即 y  3 x1 ,变形可得x 3y10， x22  y2 1 2,0 圆 的圆心为 ，半径r 1 ,l AB 设直线 与圆交于点 , 21 1 d   圆心到直线的距离 13 2 , 1 AB2 1  3 则 4 ，故选C. kx y20 M 3,2 N2,5 9．（2020·南京市江宁高级中学高一月考）已知直线 和以 ， 为端点的线 段相交，则实数k的取值范围为（ ） 3 3 k  k  A． 2 B． 2 4 3 4 3  k  k  k  C． 3 2 D． 3或 2 【答案】C 【解析】 kx y20 A0,2 因为直线 恒过定点 ， 4 3 k  k  又因为 AM 3 ， AN 2 ，4 3  k  所以直线的斜率k的范围为 3 2 ． 故选：C． C :x22 y32 1 10．（2020·四川省宜宾市第四中学校高二月考（理））已知圆 1 ，圆 C 2 :x32 y42 9 ，M 、N 分别是圆 C 1、 C 2上动点，P是x轴上动点，则 PN  PM 的最大 值是( ) 5 2 4 2 5 2 24 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如下图所示： C C 2,3 r 1 C C 3,4 r 3 圆 1的圆心 1 ，半径为 1 ，圆 2的圆心 2 ，半径为 2 ， CC  232 342  2 ， 1 2 PN  PC r  PC 3 PM  PC r  PC 1 由圆的几何性质可得 2 2 2 ， 1 1 1 ， PN  PM  PC  PC 4 CC 4 24 2 1 1 2 ， 当且仅当 C 1、P、 C 2三点共线时， PN  PM 取到最大值 24 .故选：D. 二、多选题 y axa2 (xa)2  y2 a2 11．（2019·辽宁省高二月考）在同一直角坐标系中，直线 与圆 的位置不可 能是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】 y axa2 (xa)2  y2 a2 a,0 a 直线 经过圆 的圆心 ，且斜率为 . A,B,D 故选项 满足题意. 故选：ABD. 12．（2020·山东省高三期末）已知点 A 是直线 l:x y 2 0 上一定点，点P、 Q 是圆 x2  y2 1 上 PAQ 90 A 的动点，若 的最大值为 ，则点 的坐标可以是（ ）         0, 2 1, 21 2,0 21,1 A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】 如下图所示：2 d  1 原点到直线 l 的距离为 12 12 ，则直线 l 与圆 x2  y2 1 相切， AP AQ x2  y2 1 PAQ 由图可知，当 、 均为圆 的切线时， 取得最大值， 连接 OP 、 OQ ，由于 PAQ 的最大值为 90，且 APOAQO90 ， OP  OQ 1 ， APOQ OA  2 OP  2 则四边形 为正方形，所以 ，  2 由两点间的距离公式得 OA  t2  2t  2，     0, 2 2,0 整理得2t2 2 2t 0，解得t 0或 2 ，因此，点A的坐标为 或 . 故选：AC. 13．（2020·广东省高二期末）瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》 ABC 一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知 的 A4,0 B0,4 x y20 C 顶点 ， ，其欧拉线方程为 ，则顶点 的坐标可以是（ ） 2,0 0,2 2,0 0,2 A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】C(x,y),AB y x 设 的垂直平分线为 ， ABC x y20 的外心为欧拉线方程为 y x M(1,1) 与直线 的交点为 ， |MC||MA| 10,(x1)2 (y1)2 10 ，① x4 y4 A4,0 B0,4 ( , ) 由 ， ，ABC重心为 3 3 ， x y20 x y20 代入欧拉线方程 ，得 ，② x2,y 0 x0,y 2 由 ①②可得 或 . 故选:AD 三、填空题 l :m2x ym0 mR l 14．（2019·浙江省高二期中）直线 1 过定点______；若 1与直线 l :3xmy10 m 2 平行，则 ______. 1,2 3 【答案】 【解析】 x10 x1   (1)l :m2x ym0m(x1)2x y 0,故 2x y 0 y 2. 1 1,2 即定点为 l l :3xmy10 (2) 若 1与直线 2 平行, m2m310m1m30 l l m1 m3 m1 则 ,故 或 .当 时 1与直线 2重合不满足. m3 故 .1,2 3 故答案为：(1) ; (2) C4,3 O:x2  y2 1 15．（2018·江苏省高二月考）已知以 为圆心的圆与圆 相内切，则圆C的方程是 ________． 【答案】(x－4)2＋(y＋3)2＝36. 【解析】 两圆的圆心距为： 402 302 5， rr 0 r1 5 设所求圆的半径为 ，由两圆内切的充分必要条件可得： ， r 6 据此可得： ，圆C的方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝36. x2  y2 2y30 x y10 16．（2020·河南省高三二模（文））圆 关于直线 的对称圆的标准方程为 __________． (x2)2 (y1)2 4 【答案】 【解析】 x2  y2 2y30 x2 (y1)2 4  (0,1) 2  ， 圆心为 ，半径为 ， x y10 (x,y) 设圆心关于直线 的对称点为 ， y1 (1)1,   x x2,    x y1 y 1.  10,  2 2 (x2)2 (y1)2 4  对称圆的标准方程为 . (x2)2 (y1)2 4 故答案为： . 17．（2020·四川省高三二模（文））已知a、b为正实数，直线 x y10 截圆 xa2 yb2 4 2 2 ab 所得的弦长为 ，则 的最大值为__________．1 【答案】4 【解析】 因为直线 x y10 截圆 xa2 yb2 4 所得的弦长为2 2,且圆的半径为2. 2 2 2  d  22    2 故圆心a,b到直线的距离   2   . ab1 ab 2 1  2 ab  故 ,因为 、 为正实数,故 ,所以   . 2 a b ab1  2  4 1 ab 当且仅当 2 时取等号. 1 故答案为：4 四、解答题 x2  y2 4 4x3y120 18．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）求圆 上与直线 的距离最小的点的坐 标. 8 6 P ,   【答案】 5 5 【解析】4x3y120 3x4y 0 过圆心且与直线 垂直的直线方程为 ， x2  y2 4 8 6  8 6  ,  , 联立圆方程 得交点坐标为 ， ， 3x4y 0 5 5  5 5 8 6 P ,   又因为与直线4x3y120的距离最小，所以 5 5. l P(2,1) 19．（2019·全国高二月考（文））已知直线 过点 . O l 2 l （1）若原点 到直线 的距离为 ，求直线 的方程； O l l （2）当原点 到直线 的距离最大时，求直线 的方程. x20 3x4y100 2x y50. 【答案】（1） 或 ；（2） 【解析】 l x2 （1）①当直线 的斜率不存在时，方程 符合题意； l k y1kx2 kx y2k10. ②当直线 的斜率存在时，设斜率为 ，则方程为 ，即 2k1 2 3 根据题意，得 k2 1 ，解得k  4 ，则直线 l 的方程为3x4y100.l x20 3x4y100. 故直线 的方程为 或 O l l OP. （2）当原点 到直线 的距离最大时，直线 01 1 k   因为 OP 02 2，所以直线l的斜率k 2, y12x2 2x y50. 所以其方程为 ，即 ABC A(1,2) AC BE 20．（2020·吴江汾湖高级中学高一月考）在 中， ，边 上的高 所在的直线方程为 7x4y460 AB CM 2x11y540 ，边 上中线 所在的直线方程为 . C （1）求点 坐标； BC （2）求直线 的方程. C6，6 x2y180 【答案】（1） （2） 【解析】 4 （1）AC 边上的高为7x4y460，故AC 的斜率为7 ， 4 y2 x1 所以AC 的方程为 7 ， 4x7y180 即 ，CM 2x11y540 因为 的方程为 2x11y540， x6   4x7y180， 解得 y 6 C6，6 所以 .  x 1 y 2 0 , 0 （2）设Bx 0 ,y 0  ， M 为 AB 中点，则 M 的坐标为   2 2  ，  x 1 y 2 2 0 11 0 540  2 2 解得   x 0 2 ，  7x 4y 460 y 8   0 0 0 B2,8 C6,6 所以 ， 又因为 ， 86 y6 x6 所以BC的方程为 26 BC x2y180 即 的方程为 . C:(x2)2  y2 1 P l:x 4 P 21．（2019·浙江省高二期中）如图，圆 ，点 为直线 上一动点，过点 引圆 C A,B 的两条切线，切点分别为Q AB （1）求证：直线 恒过定点，并求出该定点 的坐标； PA,PB y M,N QMN  （2）若两条切线 于 轴分别交于 两点，求 面积的最小值． 5  10 3 Q ,0   【答案】（1）见解析， 2 （2） 3 【解析】 2  2  t 2    4  2 2 t2   （1）设 ，则以 为直径的圆的方程： x  3  y      ，  2  2  P(4,t) CP   C:(x2)2  y2 1 与圆 ， l :2(x2)ty 1 两式相减得： AB ， 5  Q ,0   所以直线恒过定点 2 . k ,k AP BP （2）设直线 与 的斜率分别为 1 2，|t2k | 1 yt k(x4)与圆C相切，所以 1k2 ， 3k2 4tk t2 10 即 ． 4t t2 1 k k  ,k k  所以 1 2 3 1 2 3 ， y t4k y t4k M 1， N 2 4t2 12 8 3 |MN |4 k k 4 k k 2 4k k 4  1 2 1 2 1 2 3 3 1 8 3 5 10 3   S     MNQ min 2 3 2 3 10 3 所以面积的最小值为 3 A(4,4) B(0,3) l y  x1 C 1 22．（2020·江西省新余一中高一月考）已知点 ， ，直线 ： ，设圆 的半径为 ， 圆心C在直线l上． C y 3x7 A C （1）若圆心 也在直线 上，过点 作圆 的切线，求切线的方程； MB 2 MO （2）若圆 C 上存在点M ，使 ， O 为坐标原点，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围． 3 2 2 2 3 2  a a 【答案】（1）x4或3x4y40.（2） 2 2 或 2 2 . 【解析】 y  x1  (1)由 y 3x7得：C(3,2)，所以圆C：(x3)2 (y2)2 1.. |2k| d  1 3 k  当切线的斜率存在时,设切线方程为y4k(x4)，由 k2 1 ，解得： 4 当切线的斜率不存在时，即x4也满足x4 3x4y40 所以切线方程为： 或 . C y  x1 C(a,a1) (2)由圆心 在直线l： 上，设 M(x,y) |MB|2|MO| x2 (y3)2 2 x2  y2 设点 ，由 得： x2 (y1)2 4 D(0,1) 化简得： ，所以点M在以 为圆心，2为半径的圆上. 1|CD|3 又点M在圆C上，所以圆C与圆D有交点，则 3 2 2 2 3 2  a a 即1 a2 a2 3，解得： 2 2 或 2 2 . A(2,2),B(2,6),C(4,2) E:x2  y2 4 P 23.（2019·山东省高一期中）已知点 ，点 在圆 上运动. C E 2 2 （1）求过点 且被圆 截得的弦长为 的直线方程； |PA|2 |PB|2 |PC|2 （2）求 的最值. x7y100 x y20 【答案】(1) 或 ;(2)最大值为88,最小值为72. 【解析】 C E 2 2 2 (1)依题意,直线的斜率存在,因为过点 且被圆 截得的弦长为 ,所以圆心到直线的距离为 ,设直线 |4k2| 1 2  k  方程为y2k(x4),即kx y4k20,所以 k2 1 ,解得 7 或 k 1 所以直线方程 x7y100 x y20 为 或 . x,y x2  y2 4 (2)设P点坐标为 则 . |PA|2 |PB|2 |PC|2(x2)2 (y2)2 (x2)2 (y6)2 (x4)2 (y2)2 3  x2  y2 4y68804y2≤ y≤2 72804y88 |PA|2 |PB|2 |PC|2 因为 ,所以 ,即 的最大值为88,最小值为72.