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§8.1 直线的方程
课标要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据
确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及
一般式)．
知识梳理
1．直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则_________就是这条直线的方向向量．
2．直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 x轴相交的直线，把x轴绕着交点按_________
方向旋转到与直线重合时，所转过的最小_________α也能刻画直线的倾斜程度，我们把这
个角α称为这条直线的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为_________.
3．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，
即k＝_________.(α≠90°)
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P(x，y)，P(x，y)(x≠x)，其斜率k＝_________.
1 1 1 2 2 2 1 2
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 _________ 不含直线x＝x
1
斜截式 _________ 不含垂直于x轴的直线
两点式 __________________ 不含直线x＝x 和直线y＝y
1 1
截距式 _________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 __________________ 平面直角坐标系内的直线都适用常用结论
1．直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一
个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．斜率为k的直线的一个方向向量为(1，k)．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角．( )
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大．( )
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.( )
(4)经过P(x，y)的任意直线方程可表示为y－y＝k(x－x)．( )
0 0 0 0 0
2．已知点A(2,0)，B(3，)，则直线AB的倾斜角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为____________________．
4．直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为________________.
题型一 直线的倾斜角与斜率
例1 (1)若直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率
的取值范围是( )
A．[－，1]
B．(－∞，－]∪[1，＋∞)
C.
D.∪[1，＋∞)
延伸探究 本例(1)条件不变，则直线l的倾斜角的取值范围是________________．
(2)(2023·绵阳模拟)已知直线l的方程为xsin α＋y－1＝0，α∈R，则直线l倾斜角的范围是(
)
A.∪ B.∪
C. D.
跟踪训练1 (1)(2023·重庆南开中学模拟)已知直线l的一个方向向量为p＝，
则直线l的倾斜角为( )A. B. C. D.
(2)(2024·广州模拟)在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的边AB所在直线斜率为2，则边
AC所在直线斜率的一个可能值为_______________________________．
题型二 求直线的方程
例2 求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；
(2)斜率为，且与两坐标轴围成的面积为6；
(3)直线过点(2,1)，且横截距为纵截距的两倍．
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思维升华 求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式．
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条
件求出待定系数．
跟踪训练2 (1)过点P(1,4)在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
(2)在△ABC中，若A(2,3)，B(－2,0)，C(2,0)，则∠BAC的角平分线所在直线l的方程是(
)
A．2x－y＋1＝0 B．2x－y－1＝0
C．2x－3y－2＝0 D．3x－y－1＝0
题型三 直线方程的综合应用
例3 已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原
点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．
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延伸探究
1．在本例条件下，当OA＋OB取最小值时，求直线l的方程．
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2．在本例条件下，当MA·MB取得最小值时，求直线l的方程．
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跟踪训练3 (1)(2023·贵州联考)若直线l：(a－2)x＋ay＋2a－3＝0经过第四象限，则a的取值
范围为( )
A．(－∞，0)∪(2，＋∞)
B．(－∞，0)∪[2，＋∞)
C．(－∞，0)∪
D．(－∞，0)∪
(2)已知直线kx－y＋2k－2＝0恒过定点A，点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m，n均为正
数，则＋的最小值为( )
A．4 B．4＋4
C．8 D．4－4
