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专题2.1 等式的性质与方程的解集
教学目标
1.使学生学会用量词和逻辑语言呈现等式的性质；
2.训练学生掌握用集合呈现方程的解集；
3.使学生学会用“十字相乘法”分解因式；
4.让学生体会用符号语言表述，训练学生数学抽象.数学运算的学科素养.
教学重难点
教学重点：从量词和逻辑的角度呈现等式的性质；从集合的角度呈现方程的解集.
教学难点：熟练使用“十字相乘法”分解因式.
知识点01 等式的性质
(1)等式的两边同时加上同一个数或代数式，等式仍成立；
(2)等式的两边同时乘以同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．
注：用符号语言和量词表示上述等式的性质：
(1)如果a=b ，则对任意c ，都有a+c=b+c ；
(2)如果a=b ，则对任意不为零的c ，都有ac=bc .
【即学即练】如果
，那么
.( )
知识点02 恒等式
一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒
等．
注：常见的代数恒等式
（1）完全平方公式：
，
（2）平方差公式：
（3）立方和差公式：
，
（4）多项式乘法展开式：
，
【即学即练】在边长为a 的正方形中挖去一个边长为b 的小正方形（
）（如图甲），将余下的部分剪
接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（ ）.
A．
B．
C．
D．
知识点03 十字相乘法
首项系数不为1 的十字相乘法
在二次三项式
中，如果二次项系数
可以分解成两个因数之积，即
，常数项
可以分解成两个因数之积，即
，把
排列如下：
按斜线交叉相乘，再相加，得到
，若它正好等于二次三项式
的一次项系数
，即
，那么二次三项式就可以分解为两个因式
与
之积，即
.
特别说明：
（1）分解思路为“看两端，凑中间”
（2）二次项系数
一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不
要忘记把提出的负号添上.
【即学即练】用十字相乘法分解因式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
知识点04 方程的有关概念
方程
含有未知数的等式叫做方程
方程的解（或根）
能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
方程的解集
把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集．
解方程
求方程的解的过程叫解方程．
知识点05 一元一次方程
一元一次方程
方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方
程叫一元一次方程．
满足的条件
①必须是整式方程；
②只含有一个未知数；
③未知数的次数都是
1 .
表示形式
ax +b=0(a≠0)或ax =b(a≠0)
【即学即练】利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.若
，则
，
.
题型01 等式的性质与应用
【典例1】下列说法正确的是（ ）
A．在等式
两边同除以
，可得
B．在等式
两边同除以2，可得
C．在等式
两边同除以
，可得
D．在等式
两边同除以
，可得
【变式1】如果
，那么
.( )
【变式2】下列式子中变形错误的是（ ）
A．
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式3】下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（ ）
A．如果
，那么
B．如果
，那么
C．如果
，那么
D．如果
，那么
(1)如果a=b ，则对任意c ，都有a+c=b+c ；
(2)如果a=b ，则对任意不为零的c ，都有ac=bc .
题型02 恒等式的化简
【典例1】下列因式分解中，结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知
，
，求
的值（ ）
A．7
B．6
C．5
D．4
【变式3】观察下列各式的规律：
可得到
．（其中
为正整数）．
【变式4】分解因式：
．
利用恒等式化简的步骤
（1）先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式；
（2）提公因式后，看多项式的项数
①若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解；
②若多项式为三项，则考虑用完全平方公式因式分解；
③若多项式为四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法。
（3）若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按照上面步骤进行。
题型03 因式分解
【典例1】分解因式：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【变式1】把下列关于
的二次多项式分解因式：
(1)
；
(2)
．
【变式2】分解因式：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【变式3】把下列关于
的二次多项式分解因式：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【变式4】分解因式：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
用“十字相乘法”分解因式的步骤
(1)先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；
(2)然后分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；
(3)再交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数；
(4)写出最终结果．
题型04 一元一次方程的解集
【典例1】若关于x 的方程
的解为非正数，则实数k 的取值范围是 ．
【变式1】已知关于
的方程
的解集为
，则实数
的值（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【变式2】若多项式
与
互为相反数，则
．
【变式3】若对任意实数
，等式
恒成立，则
，
.
【变式4】求关于x 的方程
的解集，其中a 是常数.
题型05 因式分解法解一元二次方程的解集
【典例1】解下列关于
的一元二次方程
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【变式1】方程
的解是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式2】方程
解的个数（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式3】一元二次方程
的解为
【变式4】（1）解方程：
；
（2）解方程：
．
用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将方程右边化为0；
(2)将方程的左边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式等于0，得两个一元一次方程，再求解．
注：①用因式分解法解一元二次方程，经常会遇到方程两边含有相同因式的情况，此时不能将其约去，而
应该移项将方程右边化为零，再提取公因式，若约去则会使方程失根；②对于较复杂的一元二次方程，应
灵活根据方程的特点分解因式．
1．某市长期追踪市民的经济状况，依照订立的标准将市民分为高收入和低收入两类.统计数据表明该市高
收入市民人口一直是低收入市民人口的两倍，且高收入市民中每年有
会转变为低收入市民.那么该市每
年低收入市民中转变为高收入市民的百分比是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．下列变形错误的是（ ）
A．如果
，则
B．如果
，则
C．如果
，则
D．如果
，则
3．如图，书架宽
，在该书架上按图示方式摆放语文书和英语书，已知每本英语书厚
，每本语
文书厚
，语文书和英语书共84 本恰好摆满该书架，则书架上英语书的本数为（ ）
A．38
B．39
C．41
D．42
4．下列因式分解正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知等式
，则下列变形正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．关于
的方程
的解是负数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
且
C．
D．
且
7．用配方法解方程
，配方后所得的方程是（ ）
A．y= 1
4 x2
B．
C．
D．
8．把一元二次方程
配方后可得（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）符合根为2 和
的二次方程有（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若方程
的根小于1，则实数
的取值范围是 .
11．设
，
是方程
的两根，不解方程，求下列各式的值：
（1）
；
（2）
．
12．用适当方法解方程：
(1)
(2)
13．解分式方程：
.
