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专题2.1 坐标法
教学目标
1、理解实数与数轴上的点的一一对应关系.
2、探索并掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式和中点坐标公式.
3、通过对两点间距离和中点坐标公式的探索,进一步体会坐标法在解决几何问题中的
优越性.
教学重难点
重点：两点间的距离公式和中点坐标公式
难点：坐标法在解决几何问题中的运用
知识点01 数轴上的基本公式
(1)数轴的定义
给定了原点、单位长度与正方向的直线是数轴,数轴上的点与实数是一一对应的.
(2)数轴上的基本公式
如果数轴上点
对应的数为
(即
的坐标为
，记作
，且
，则向量
的坐标为
，
数轴上两点之间的距离公式
．
如果
是线段
的中点，则
．数轴上的中点坐标公式
．
【即学即练】已知数轴上
，求这两点之间的距离以及它们的中点坐标．
【答案】12;(4)
【分析】根据数轴上表示的点的几何意义直接求得答案.
【详解】数轴上
两点之间的距离为
,
它们的中点坐标为
，故中点坐标为（4）.
知识点02 平面直角坐标系中的基本公式
（1）平面直角坐标系中两点
，
之间的距离公式:
【即学即练】已知
，
，求
的值.
【答案】
【分析】根据两点距离公式求
即可.
【详解】因为
，
，
所以
，
所以
的值为.
题型01 求两点间的距离公式
【典例1】在平面直角坐标系中，点
和点
之间的距离为（ ）
A．2
B．3
C．
D．5
【答案】D
【分析】利用两点之间的距离公式计算即得.
【详解】点
和点
之间的距离为
.
故选：D.
【变式1】已知三角形的三个顶点为
，则过点
的中线的长为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】B
【分析】由中点坐标公式以及两点间距离公式计算可得结果.
【详解】由题得线段
的中点坐标为
，
故过点
的中线的长为
．
故选：B
【变式2】已知
的顶点分别为
，
，
，则AB 边上的中线长为 ．
【答案】
【分析】求出AB 的中点，结合C 点坐标，可得答案
【详解】解：由已知
，
，设AB 的中点为D
AB 的中点D 坐标为
故答案为
【点睛】本题考查中点坐标公式，是基础题．
【变式3】若
，则
为 .
【答案】
【分析】根据题意，利用平面上两点间的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，根据平面上两点间的距离公式，可得
，
故答案为：
.
【变式4】平面上
、
两点的距离是 .
【答案】
【分析】根据两点距离公式即可求解.
【详解】
,
故答案为：
（1）平面直角坐标系中两点
，
之间的距离公式:
题型02 根据两点间距离求参数
【典例1】已知
与
两点间的距离是17，求a 的值．
【答案】±8
【分析】直接利用两点间距离公式即可求解．
【详解】因为
与
两点间的距离是17，
所以
，
解得：a＝±8．
【变式1】已知点A（﹣2，﹣1），B（a，3）且|AB|＝5，则a 等于（ ）
A．1
B．﹣5
C．1 或﹣5
D．其他值
【答案】C
【分析】利用两点间的距离公式列方程，化简求得
的值.
【详解】∵点A（﹣2，﹣1），B（a，3）且|AB|＝5，
∴
5，
解得a＝1 或a＝﹣5．
故选：C
【变式2】点
与
之间的距离是5，则y=（ ）
A．
B．
C．
或
D．12
【答案】C
【分析】由两点间距离公式计算．
【详解】由题意
，即
，解得
或
．
故选：C．
【变式3】已知点
与点
间的距离为
，则
．
【答案】9 或
【分析】根据两点间的距离公式列方程求解即可.
【详解】由
，
得
，
即
，解得
或
．
故答案为：9 或
.
【变式4】已知点
，且
，则
的值为 .
【答案】或
【分析】利用两点的距离公式计算即可得出答案.
【详解】由两点间距离公式得
，所以
，所以
，即
或
.
故答案为：或
题型03 中点坐标公式
【典例1】已知
，则线段
的中点坐标为 .
【答案】
【分析】利用中点坐标公式计算即可.
【详解】因为
，
所以线段
的中点坐标为
，
故答案为：
【变式1】在平面直角坐标系xOy 中，设点
，
，则线段AB 的中点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接利用中点的坐标公式计算即可.
【详解】由题可知中点的坐标为
.
故选：A
【变式2】在平面直角坐标系中，已知
，
，那么线段
中点的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意利用中点坐标公式运算求解.
【详解】因为
，
，所以
中点的坐标为
，即
．
故选：A．
【变式3】已知点
，则线段AB 的中点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用两点的中点坐标公式求出答案.
【详解】由题意得：线段AB 的中点坐标为
，即
.
故选：A.
【变式4】已知点
，
，则线段
中点
的坐标为 .
【答案】
【分析】利用中点坐标公式直接求解作答.
【详解】点
，
，所以线段
中点
的坐标为
.
故答案为：
如果
是线段
的中点，则
．数轴上的中点坐标公式
．
题型04 两点间距离公式的应用
【典例1】求函数
的最大值．
【答案】
【分析】
可表示为
、
的距离减去
、
的距离，然后可得答案.
【详解】
表示
、
的距离，
表示
、
的距离，所以
，
因为
，
所以
.
【变式1】函数
的最小值为 ．
【答案】
【分析】分析可知，函数
的几何意义为
轴上的点
到点
、
的距离之和，数
形结合可知，当点
、
、
三点共线时，
取最小值，即可得解.
【详解】因为
，
所以，函数
的几何意义为
轴上的点
到点
、
的距离之和，
即
，如下图所示：
由图可知，当点
、
、
三点共线时，
取最小值，
且
.
故答案为：
.
【变式2】已知函数
，则
的最小值为 ．
【答案】5
【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案.
【详解】
，
转化为x 轴上的动点
到两定点
，
的距离之和最小，
由图可知
，距离之和的最小值为5．
故答案为：.
【变式3】著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万
事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数
的最大值为 .
【答案】
【分析】函数表示点
到点
和
的距离之差，结合图形即可得解.
【详解】因为
，
所以它表示点
到点
和
的距离之差，如图所示：
因为
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
1．已知点
，
，若
，则
（ ）
A．1
B．-5
C．1 或-5
D．-1 或5
【答案】C
【分析】应用距离公式即可求解.
【详解】解：因为点
，
，所以
，
所以
，则
.
故选：C.
2．已知A，B 都是数轴上的点，
，
，且
的坐标为4，则
（ ）
A．-1
B．-7
C．4
D．-4
【答案】B
【分析】根据数轴上的向量的坐标表示，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，向量
的坐标为终点B 的坐标减去起点A 的坐标，
即
，解得
．
故选:B．
【点睛】本题主要考查了数轴上向量的坐标表示，其中解答中熟记数轴上的向量的表示方法是解答的关
键，着重考查了计算能力，属于基础题.
3．已知
，
，则线段AB 的中点坐标为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用中点坐标公式即可求解.
【详解】由
，
，
利用中点坐标可知，线段AB 的中点坐标
，即
.
故选：A.
4．已知线段
的端点
及中点
，则点
的坐标（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用中点坐标公式计算即可.
【详解】设
，
的端点
及中点
，则
，解得：
，故点
的坐标为
.
故选：B.
5．在平面直角坐标系中，点M 在第四象限，到x 轴､y 轴的距离分别为6､4，则点M 的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】已知点M 在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，进而根据到坐标轴的距离判断坐标.
【详解】因为点M 在第四象限，
所以其横、纵坐标分别为正数、负数，
又因为点M 到x 轴的距离为6，到y 轴的距离为4，
所以点M 的坐标为(4，-6) .
故选：A
6．（多选）数轴上点P，M，N 的坐标分别为－2，8，－6，则有（ ）
A．
的坐标
的坐标
B．
C．
的坐标
D．
的坐标
【答案】BC
【分析】已知点坐标，结合向量坐标的表示及模的坐标计算，判断各选项的正误.
【详解】数轴上的两点对应向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标，故
坐标
坐标，A 不正确；
数轴上两点间的距离一定是非负的，
，B 正确；
的坐标
，C 正确；
的坐标
，D 不正确.
故选：BC.
7．（多选题）对于
，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点
与点
的距离
B．可看作点
与点
的距离
C．可看作点
与点
的距离
D．可看作点
与点
的距离
【答案】BCD
【分析】化简
，结合两点间的距离公式，即可求解.
【详解】由题意，可得
，
可看作点
与点
的距离，可看作点
与点
的距离，可看作点
与点
的距
离，故选项A 不正确，
故答案为：BCD.
【点睛】本题主要考查平面上两点间的距离公式及其应用，其中解答中熟记平面上两点间的距离公式是解
答的关键，属于基础题.
8．直线l 经过点
，与x 轴、y 轴分别交于A，B 两点，当P 为AB 中点时，
.
【答案】
【分析】设
，
，利用中点坐标公式即可得出a，b，
【详解】设
，
，
∵P 为AB 中点，∴
，
解得
，
，
即
，
，
所以
故答案为：
.
9．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事修．”事实上，有很多代数问题可以转
化为几何问题加以解决，如：
可以转化为平面上点
与点
的距离．结合上
述观点，可得
的最大值为 ．
【答案】
【分析】将
转化成
到点
的距离与到点
的距离之差，再结合
进行求解.
【详解】
，
可转化成x 轴上一点
到点
的距离与到点
的距离之差.
，
所以
的最大值为
.
故答案为：
10．已知
的三个顶点坐标分别为
，求D 点坐标．
【答案】
【分析】根据平行四边形的图像性质，平行四边形对角线互相平分及中点坐标公式进行求解即可.
【详解】设
，在
的三个顶点坐标分别为
，
根据平行四边形的对角线互相评分，可得
，解得
，
所以D 点的坐标是
．
