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专题2.5 不等式的解集
教学目标
1、绝对值不等式的本质与去绝对值符号的原则.
2、借助数轴理解绝对值不等式，是数形结合.
3、掌握不等式组和绝对值不等式的运算法则，选择相对应的运算方法。
教学重难点
教学重点：不等式组的解集的含义，能求不等式组的解集.
教学难点:绝对值不等式的几何意义，能借助数轴解绝对值不等式.
知识点01 不等式（组）解集
一般地，能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解，不等式的所有解组成的集合称为不等式的
解集．对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．
注：(1)不难看出，求不等式的解集的过程，要不断地使用不等式的性质．
(2)注意：不等式组的解集，是取每个不等式的解集的交集．
(3)不等式的解与解集的区别与联系
①不等式的解是指满足这个不等式的未知数的一个值，不等式的解集指满足这个不等式的未知数的所
有值，不等式的解是不等式解集中的一个；
②不等式的解集必须满足两个条件：一是解集内的数都是不等式得解，而是解集外的数都不是不等式
的解。
(4)不等式组中若有一个不等式的解集为
，则不等式组的解集是
；每一个不等式的解集均不是
，不等式组的解集也可能是
.
【即学即练】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】把给定不等式进行等价转换，解等价不等式即可.
【详解】由题知：
，则
.
等价于
，
解得
，
故选：B.
知识点02 绝对值不等式
（1）绝对值不等式的概念
一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．
注：①数轴上表示数
的点与原点的距离称为数
的绝对值，记作
②绝对值不等式
几何意义为数轴上与原点的距离大于
的点．
（2）绝对值不等式的解集
①当
时，关于
的不等式
的解为
或
，因此解集为
②关于
的不等式
的解为
，因此解集为
.
【即学即练】解不等式
．
【答案】
或
．
【分析】先在数轴上找到和1 对应的点的距离等于2 的点对应的数为-1 或3，数形结合得到不等式解集.
【详解】在数轴上找出
的解（如图），
因为在数轴上到1 对应的点的距离等于2 的点对应的数为-1 或3，
所以方程
的解为
或
，
因此不等式
的解集为
或
．
知识点03 数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式
一般地，如果实数
，
在数轴上对应的点分别为
，
，则线段
的长为
，这就是
数轴上两点之间的距离公式．
如果线段
的中点
对应的数为
，则由
可知
，因此：当
时，有
，从而
，所以
.
当
时，类似可得上式仍成立．这就是数轴上的中点坐标公式．
【即学即练】数轴上一点P(x)，它到点A(-8)的距离是它到点B(-4)距离的2 倍，则x= .
【答案】
或
【分析】依题意得到|x+8|=2|x+4|，再解方程即可；
【详解】解：由题意知，|x+8|=2|x+4|，即|x+8|=|2x+8|，即x+8=±(2x+8)，解得
或
.
故答案为：
或
【点睛】本题考查数轴上两点距离公式的应用，属于基础题.
知识点04 绝对值不等式解集的几何意义
不等式
解集的几何意义
数轴上与原点的距离小于
的所有数的集合
数轴上与原点的距离大于
的所有数的集合
数轴上与表示
的点的距离小于
的所有数的集合
数轴上与表示
的点的距离大于
的所有数的集合
【即学即练】解下列不等式：
（1）
；
（2）
；
（3）
.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
.
【分析】（1）根据绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.
（2）利用两边平方的方法，求得不等式的解集.
（3）将原不等式转化为不等式组的形式，再结合绝对值不等式的解法，求得不等式的解集.
【详解】（1）
，所以不等式的解集为
.
（2）由
两边平方得
，
即
或
，所以原不等式的解集为
.
（3）
或
.
所以原不等式的解集为
.
【点睛】本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.
题型01 一元一次不等式(组）的解集（不含参）
【典例1】设不等式组
的解集为，则下列集合中包含于的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先解一元一次不等式组，再根据集合的包含关系判断可得；
【详解】解：因为不等式
，解
得
，解
得
，综上可得
，所
以原不等式组的解得
，所以
，真包含于
，真包含于
故选：D
【变式1】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由一元一次不等式的解法求解集即可.
【详解】由
，可得
，故解集为
.
故选：B.
【变式2】设
，则
．
【答案】5
【分析】解一元一次不等式求结果.
【详解】由
.
故答案为：5
题型02 一元一次不等式(组）的解集（含参）
【典例1】若
，则关于
的不等式组
，整数解的个数是
【答案】
【分析】根据题意，将不等式组化简，即可得到结果.
【详解】因为
，由不等式组
可得，
，而
，
则整数解有
，所以不等式组的整数解有
个.
故答案为:
【变式1】设a 为实数，若关于x 的一元一次不等式组
的解集中有且仅有4 个整数，则a 的取
值范围是 .
【答案】
【分析】求得不等式组的解集为
，则0 一定为不等式组的一个整数解，分不等式的4 个整数解为
0，1，2，3 和不等式的4 个整数解为
两种情况讨论，即可得出答案.
【详解】解：关于x 的一元一次不等式组
的解集为
，则
，
故0 一定为不等式组的一个整数解，
若不等式的4 个整数解为0，1，2，3 时，
则
，解得
；
当不等式的4 个整数解为
时，
则
，不等式组无解，
综上所述，a 的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式2】解关于
的不等式
，其中
．
【答案】答案见解析
【分析】对一次项系数
进行分类讨论，分
三类求对应解集.
【详解】原不等式整理为
．
当
时，解得
，解集为
，
当
时，解得
，解集为
，
当
时，则
，
为任意实数，解集为
．
【变式3】设
，解关于x 的不等式：
．
【答案】当
时，R；当
时，
；当
时，
．
【分析】首先把不等式整理为
，然后分
，
，
三种情况求解即可.
【详解】由
，得
，
当
时，原不等式为
，所以不等式的解集为R；
当
时，由
，得
，所以不等式的解集为
；
当
时，由
，得
，所以不等式的解集为
.
综上知：当
时，解集为R；当
时，解集为
；
当
时，解集为
．
【变式4】设m 为实数，解关于x 的不等式
.
【答案】答案见解析
【分析】根据含参数的一元一次不等式的解法，分类讨论，即可求解.
【详解】由题意，不等式
，可化为
，
当
时，即
时，不等式为
不成立，所以解集为空集；
当
时，即
时，可得
，即解集为
；
当
时，即
时，可得
，即解集为
，
综上可得，当
时，不等式的解集为空集；
当
时，不等式的解集为
；
当
时，不等式的解集为
.
1.解一元一次不等式（组）的基本步骤
(1)解一元一次不等式与一元一次方程的步骤类似：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤
将未知数的系数化为1.应特别注意在步骤①⑤中，应用性质3 时不等号的方向是否改变．
(2)解一元一次不等式组，先分别求出不等式组中每个不等式的解集，并在同一数轴上表示出来，确定
它们的交集，最后写出不等式组的解集．
2.求解含参不等式的问题，一定要讨论x 的系数的取值范围
题型03 含有一个绝对值号不等式的解法
【典例1】解不等式：
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法一：分
和
两种情况去绝对值符号求解即可；法二，利用绝对值的几何
意义即可求解；
（2）法一：分
和
两种情况，结合绝对值的几何意义求解即可.法二：分
和
两种情况求解即可.
【详解】（1）解法一：当
，即
时，原不等式可化为
，解得
；
当
，即
时，原不等式可化为
，解得
；
综上所述，原不等式的解为
.
解法二：原不等式可化为
，解得
.
（2）解法一：当
，即
时，原不等式显然无解；
当
，即
时，原不等式等价于
，解得
.
故原不等式的解为
解法二：
或
解得
或
故原不等式的解为
.
【变式1】不等式
的解集为 .
【答案】
【分析】运用绝对值解法求解
，将结果写成集合即可.
【详解】由
解得
，
即
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
【变式2】把不等式
的解集用区间表示： .
【答案】
．
【分析】由绝对值性质解出不等式，然后写出结果．
【详解】
，解集为
．
故答案为：
．
【变式3】不等式
的解集是 .
【答案】
【分析】根据题意，结合绝对值的不等式的解法，准确计算，即可求解.
【详解】由不等式
，可得
或
，解得
或
，
所以不等式的解集为
.
故答案为：
.
【变式4】解下列不等式：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
或
．
(2)
．
【分析】直接运用结论公式可解
【详解】（1）因为
或
，解得
或
，
所以原不等式的解集是
或
（2）由于
，即
，解得
，
所以原不等式的解集是
．
题型04 含有两个绝对值号的不等式的解法
【典例1】求下列不等式的解集：
（1）
（2）
（3）
（4）
．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
；（4）
【解析】（1）采用零点分区间法，分类讨论解答.
（2）采用零点分区间法，分类讨论解答.
（3）采用零点分区间法，分类讨论解答.
（4）采用零点分区间法，分类讨论解答.
【详解】解：（1）
当
时，原不等式可化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，解得
．
综上，原不等式的解集为
．
（2）
当
时，原不等式可化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，即
解得
；
当
时，原不等式化为
，解得
．
综上，可得原不等式的解集为
．
（3）
当
时，原不等式可化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，解得
．
综上，可得原不等式的解集为
．
（4）
当
时，原不等式可化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，解得
；
当
时，原不等式化为
，解得
．
综上，原不等式的解集为
．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，采用零点分区间法或绝对值的几何意义是两种有效的方法，属于
基础题.
【变式1】不等式
的最小整数解为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】解不等式
，可得出满足此不等式的
的最小整数值.
【详解】当
时，则
，可得
，此时，
；
当
时，则
恒成立，此时，
；
当
时，则
，解得
，此时，
.
综上所述，不等式
的解集为
，
则满足原不等式的最小整数解为
，
故选：C.
【变式2】使不等式
中等号成立的x 的取值范围是 .
【答案】
【分析】绝对值不等式可以通过讨论绝对值内代数式值的正负来去掉绝对值符号，从而化简为一次不等
式，求出对应解集即可.
【详解】当
时，原不等式化简为
,不合题意；
当
时，原不等式化简为
，符合题意；
当
时，原不等式化简为
，不合题意；
综上所述：
.
故答案为：
.
【变式3】请写出不等式
的一个解： ．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】转化为分段函数解不等式即可.
【详解】由条件可知设
，
当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
综上
的解集为
；
故答案为:
（答案不唯一）
【变式4】解不等式：
．
【答案】
．
【分析】根据绝对值的定义分类讨论求解．
【详解】考虑临界点
和1 把数轴分为三个区间：
，
，
．
①当
时，原不等式变形为
，
化简得
，解得
；
②当
时，原不等式变形为
，无解；
③当
时，原不等式变形为
，解得
．
综上，原不等式的解集为
．
对于形如
和
的不等式，一般以
，
为分界点，将数轴分
为几个部分，利用零点分段讨论法或者绝对值的几何意义求解．零点分段讨论法适用于解含有多个绝对值
的不等式．
题型05 根据不等式的解集求参数
【典例1】如果关于x 的不等式（a+2）x＞a+2 的解集为
，那么a 的取值范围是（ ）
A．a＞0
B．a＜0
C．a＞﹣2
D．a＜﹣2
【答案】D
【解析】根据关于x 的不等式（a+2）x＞a+2 的解集为
，则由a+2＜0 求解.
【详解】∵关于x 的不等式（a+2）x＞a+2 的解集为
，
∴（a+2）x＞a+2 两边同除以（a+2）得x＜1，
∴a+2＜0，
∴a＜﹣2.
故选：D.
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的解法，属于基础题.
【变式1】不等式
的解集为
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
可得
，从而可求
的取值范围.
【详解】因为
，所以
，所以
，即
，解得
.
故选：B.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解，注意
的合理转化以及绝对值不等式中
隐含的
的要求.
【变式2】已知
，
为常数，若
的解集是
，则
的解集是 ．
【答案】
【分析】由不等式的解集可得
且
，代入不等式
中求解即可.
【详解】由题意，不等式
解得
，∴
，
，即
，
则
即
，解得
，所以解集为
．
故答案为：
【变式3】若关于
的不等式
解集为
，则关于
的不等式
的解集为
.
【答案】
【分析】根据给定的解集，求出a，b 的关系，再代入求解不等式作答.
【详解】因关于
的不等式
解集为
，则1 是方程
的根，且
，
因此
，且
，不等式
化为：
，而
，解得
，
所以关于
的不等式
的解集为
.
故答案为：
【变式4】已知不等式
的解集为
，求a 的值.
【答案】
【分析】将不等式变形为
，由不等式的解集为
可知
即可解得.
【详解】原不等式等价于
.
因为不等式的解集为
，
则有
，解得
.
题型06 数轴上两点间的距离及中点坐标公式
【典例1】已知数轴上，
．
（1）若A 与C 关于点B 对称，求x 的值；
（2）若线段
的中点到C 的距离小于5，求x 的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）依题意，B 为
的中点，根据中点公式解答.
（2）首先表示出
的中点，再根据数轴上两点的距离公式得到不等式，解得.
【详解】解：（1）∵A 与C 关于点B 对称，∴B 为
的中点，∴
．
（2）∵
的中点对应的数为
，
∴由题意得
，即
，
解得
，
∴
的取值范围是
．
【点睛】本题考查绝对值的几何意义，属于基础题.
【变式1】数轴上的三点M，N，P 的坐标分别为3，-1，-5，则MP-PN 等于（ ）
A．-4
B．4
C．12
D．-12
【答案】B
【分析】直接根据距离公式计算可得；
【详解】解：
，
，
.
故选：B
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式的应用，属于基础题.
【变式2】已知数轴上不同的两点
，
，若点
的坐标为3，且
，则线段
的中点
的坐标为
（ ）.
A．
B．
C．4
D．
或
【答案】D
【分析】由题意根据
的坐标及
可求
的坐标，然后根据中点坐标公式可求中点
的坐标．
【详解】记点
，
，则
.
，即
，解得
或
.当
时，
的坐标为
；当
时，
的坐标为
.故选D.
【点睛】数轴上两点
，
的中点坐标公式为
．
【变式3】已知数轴上
，
两点的坐标分别为
，
，则
为（ ）.
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据数轴上两点
、
的距离公式
即可得．
【详解】
.
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，属于基础题．
1．平流层是指地球表面以上
到
的区域.下列不等式中，
能表示平流层高度的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用绝对值不等式的求解方法分别求出各选项，判断即可.
【详解】对于A：由
得
，解得
，不满足题意，故A 不正确；
对于B：由
得
，解得
，不满足题意，故B 不正确；
对于C：由
得
，解得
，不满足题意，故C 不正确；
对于D：由
得
，解得
，满足题意，故D 正确；
故选：D.
2．已知关于x 的不等式组
的整数解共有4 个，则a 的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．2.1
D．3
【答案】B
【解析】先求得不等式组
解集
，然后根据整数解共有4 个求解.
【详解】由
有解，得
解得
，即不等式组的解集是
.
因为不等式有4 个整数解，则整数解是
.
则a 的范围是2≤a<3.
所以a 的最小值是2.
故答案是：B
【点睛】本题主要考查不等式组的解，属于基础题.
3．若不等式组
有解，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别解两个不等式，根据原不等式组有解可得出关于实数
的不等式，进而可求得实数
的取值
范围.
【详解】解不等式
可得
；
解不等式
，即
，解得
.
由于原不等式组有解，则
，解得
.
故选：C.
【点睛】本题考查根据不等式组有解求参数，考查计算能力，属于基础题.
4．不等式组
的整数解有
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】C
【分析】先解不等式组，求出解集，再根据解集找出整数解．
【详解】解不等式
，得
，解不等式
，得
，
原不等式组的解集为
.又
为整数，
，
，0，1，2.
故选C.
【点睛】注意各个不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集．但本题是要求整数解，所以要找出
在这范围内的整数．
5．不等式
的整数解的个数为（ ）.
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】B
【分析】先分别求出各不等式的解集，再求出各不等式的解集的交集，即可得到不等式组的解集，再从中
取出符合题意的整数解．
【详解】解不等式
，得
，故整数解有
，
，0. 故选B 项.
【点睛】本题考查不等式组的整数解问题，关键是正确的求出不等式组的解集，属于基础题．
6．已知不等式
成立的一个必要不充分条件是
，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先求得不等式
解集，结合题意，得到关于
的不等式，从而得解．
【详解】因为
等价于
，即
，
当
，不等式为
，显然不成立；
当
时，不等式解得
，
当
时，不等式解得
，
所以
等价于
或
；
因为不等式
成立的一个必要不充分条件是
，
所以
或
是
的真子集，
则
或
，解得
或
，
即实数m 的取值范围是
.
故选：C．
7．不等式
的解集为（ ）
A．
或
B．
或
C．
且
D．
或
【答案】D
【分析】根据绝对值不等式的解法，对
分类讨论求解即可.
【详解】解：当
时，即
时，有
，解得
；
当
时，即
时，有
，解得
；
综上不等式的解集为
或
.
故选：D.
【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，通常采用分段讨论法，去掉绝对值求解.
8．如果
是不等式
成立的充分条件，但不是必要条件，则实数
的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意，解不等式
，求得其解集，进而结合充分、必要条件与集合间包含关系的对应关
系，可得不等式组
（等号不同时成立），解不等式组即可得答案．
【详解】根据题意，不等式
的解集是
，设其为
，
为
，
则
的充分不必要条件是
，
则
表示的集合是
表示的集合的真子集.
则有
（等号不同时成立），解得
，故选B.
【点睛】本题考查充分、必要条件的判断及运用，注意与集合间关系的对应即可，对于本题应注意得到的
不等式的等号成立与否，需要验证分析．
9．对任意实数
，
的最小值为 ．
【答案】4
【分析】方法1：利用绝对值三角不等式的性质易得；方法2：利用分类讨论去绝对值法即得.
【详解】方法1：由绝对值三角不等式，可得
，
当且仅当
，即
时，
取得最小值4．
方法2：设
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
.
综上，可得
的最小值为4.
故答案为：4.
10．已知不等式
对所有实数
均成立，当等号成立时，
的取值范围是
【答案】
【分析】解绝对值方程，通过讨论绝对值里面的代数式的正负去掉绝对值符号，再解方程.
【详解】
，
①当
时，化简为
，舍去；
②当
时，化简为
，则
，舍去；
②当
时，化简为
成立，
∴综上所述：
故答案为：
11．设
，解关于
的不等式：
．
【答案】答案见解析
【分析】分类讨论
的取值，结合不等式的性质求解即可．
【详解】整理得
，
当
时，
不成立，
；
当
时，
，故
；
当
时，
，故
．
12．解不等式
．
【答案】答案见解析
【分析】分类讨论参数即可解.
【详解】解：因为
，故分以下两种情况讨论：
①当
，即
时，原不等式无解，即不等式的解集为
．
②当
，即
时，原不等式可变为
．
所以
．
综上可知，当
时，原不等式的解集为
；
当
时，原不等式的解集为
．
13．解不等式：
．
【答案】
．
【分析】分类讨论去掉绝对值解出来即可.
【详解】解：当
时，原不等式可以化为
，解得
；
当
时，原不等式可以化为
即
．恒成立；
当
时，原不等式可以化为
．解得
．
综上，原不等式的解集为
．
