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专题2.8 直线与圆的位置关系
教学目标
1.理解直线与圆的三种位置关系:
2.能根据方程判断直线与圆的位置关系;
3.掌握判断直线与圆位置关系的两种方法，体验数形结合思想在解决问题中的应用。
教学重难点
教学重点:①能根据给定直线、圆的方程，判断直线和圆的位置关系、
②能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
教学难点:数形结合思想方法的灵活应用直线和圆的三种位置关系的性质与判定的应
用。
知识点01 直线与圆的位置关系
1、直线与圆的三种位置关系
直线与圆
的位置关
系的图象
直线与圆的
位置关系
2、判断直线与圆的位置关系的两种方法
（1）几何法（优先推荐）
图象
位置关
系
判定方
法
；
。
圆心
到直线
的距
离：
。
。
；
。
圆心
到直线
的距
离：
。
。
；
。
圆心
到直线
的距
离：
。
。
（2）代数法
直线：
；圆
联立
消去“
”得到关于“
”的一元二次函数
C
l
C
l
C
l
C
r
l
d
C
l
r
d
C
l
r
d
①
②
③
【即学即练】设直线
，圆
，则与圆C（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上都有可能
知识点02 直线与圆相交
记直线被圆
截得的弦长为
的常用方法
1、几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
2、代数法
直线：
；圆
联立
消去“
”得到关于“
”的一元二次函数
弦长公式：
【即学即练】直线
交圆
于
、
两点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
知识点03 直线与圆相切
1、圆的切线条数
①过圆外一点，可以作圆的
②过圆上一点，可以作圆的
③过圆内一点，
2、过一点
的圆的切线方程（
）
①点
在圆上
步骤一：求斜率：读出圆心
，求斜率
，记切线斜率为
，则
步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点
）
②点
在圆外
记切线斜率为
，利用点斜式写成切线方程
；在利用圆心到切线的距离
求出
（注意若此时求出的
只有一个答案；那么需要另外同理切线为
）
3、切线长公式
记圆
:
；过圆外一点
做圆
的切线，切点为
,利用勾股定理求
；
【即学即练】已知
为圆
上一点，过点
的圆
的切线的方程为 .
知识点04 圆上点到直线最大（小）距离
设圆心到直线的距离为
，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为：
；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为：
；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为： ，最小距离为： ；
【即学即练】圆
上的动点
到直线
的距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 判断直线与圆的位置关系
【典例1】直线
与圆
的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定的
【变式1】直线
和圆
的位置关系为（ ）
A．相交
B．相离
C．相切
D．相交且过圆心
【变式2】直线
与圆
的位置关系是（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．无法确定
【变式3】已知直线
和圆
，则直线与圆
的位置关系是（ ）
A．相切
B．相交
C．相离
D．相交或相切
【变式4】已知直线
，圆
则直线与圆
位置关系为（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不确定
判断直线与圆的位置关系，优选几何法
图象
位置关
系
相交
相切
相离
判定方
法
；
。
圆心
到直线
的距
离：
。
圆与直线相交。
；
。
圆心
到直线
的距
离：
。
圆与直线相切。
；
。
圆心
到直线
的距
离：
。
圆与直线相离。
题型02 由直线与圆的位置关系求参数
【典例1】已知直线
与圆
相交，则实数k 的取值范围为 ．
【变式1】已知直线
与圆
有公共点，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知曲线
：
和直线：
有且仅有一个公共点，则直线的斜率为
（ ）
A．
B．
C．
D．不存在
【变式3】若直线
与圆
只有一个公共点，则
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．
【变式4】若直线
经过圆
的圆心，则
．
题型03 直线与圆相交问题
【典例1】已知圆
与圆
：
关于直线
对称.
（1）求圆
的方程；
（2）设过点
的直线与圆
交于
､
两点，
为坐标原点，求
时直线的方程.
【变式1】圆心为
，的圆与直线
交于P、Q 两点，O 为坐标原点，且满足
C
r
l
d
C
l
r
d
C
l
r
d
，则圆C 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】直线
与圆
在第一象限内有两个不同的交点，则m 的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】过圆
与直线
的两个交点，且面积最小的圆的方程为 ．
【变式4】已知直线
与圆
相交于A、B 不同两点．
(1)求m 的取值范围；
(2)设以AB 为直径的圆经过原点，求直线l 的方程．
几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
题型04 求切线方程
【典例1】已知半径为2 的圆
的圆心在射线
上，点
在圆
上．
(1)求圆
的标准方程；
(2)过点
作圆
的切线，求切线的方程．
【变式1】过点
且与圆
相切的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）．过点
的直线与圆
只有一个公共点，则斜率k 可能的取值情
况为（ ）
A．
B．1
C．0
D．不存在
【变式3】已知圆
经过点
，则圆在点P 处的切线方程为 .
【变式4】过点
作圆
的切线，则切线的一般式方程为 ．
过一点
的圆的切线方程（
）
①点
在圆上
步骤一：求斜率：读出圆心
，求斜率
，记切线斜率为
，则
步骤二：利用点斜式求切线（步骤一中的斜率+切点
）
②点
在圆外
记切线斜率为
，利用点斜式写成切线方程
；在利用圆心到切线的距离
求出
（注意若此时求出的
只有一个答案；那么需要另外同理切线为
）
题型05 切线长（切点弦）问题
【典例1】已知直线
与
垂直，则
；过
上一动点
向圆
作切线，切点为
，则
.
【变式1】过直线
上一动点
作圆
的一条切线，切点为
，则线段
长度的
最小值为（ ）
A．6
B．4
C．
D．
【变式2】过点
的直线与圆
相切于点
，则切线段
长为（ ）
A．3
B．4
C．
D．5
【变式3】经过直线
上的点作圆
的切线，则切线长的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】若圆
被直线
所截得的弦长为10，过点
作圆
的
切线，其中一个切点为
，则
的值为 .
切线长公式
记圆
:
；过圆外一点
做圆
的切线，切点为
,利用勾股定理求
；
题型06 已知切线求参数
【典例1】已知直线
和
.
(1)求与直线
平行且经过圆心
的直线
的方程；
(2)若直线与直线
垂直且与圆
相切，求直线的方程.
【变式1】过点
可以作圆
的两条切线，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】若直线
与圆
相切，则实数
的值为（ ）
A．
或
B．1 或
C．
或3
D．
或
【变式3】（多选）已知直线
与圆
相切，则实数
的值可能为（ ）
A．
B．8
C．
D．18
【变式4】已知点
在圆
上运动，则
的最小值是 .
题型07 圆的弦长与中点弦问题
【典例1】已知直线l：
与圆C：
相交于A，B 两点，则弦长
的取值
范围是 .
【变式1】已知圆O 的方程是
，则圆O 中过点
的最短弦所在的直线方程是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】直线
被圆
截得的最短的弦长为（ ）
A．
B．
C．4
D．
【变式3】直线
与圆
相交于
两点，则弦
的长等于（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【变式4】已知圆
，直线
，直线被圆
所截得的弦长最短
时，实数
的值为（ ）
A．
B．
C．0
D．
几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
题型08 已知圆的弦长求方程或参数
【典例1】已知圆
：
，若圆
上存在两点关于直线
：
对称.
(1)求
的值
(2)过点
的直线与圆
交于
，
两点，且
，求直线的方程.
【变式1】已知直线
与圆
相交于
，
两点，
，则
（ ）
A．5
B．4
C．3
D．2
【变式2】已知圆
：
和直线：
，若直线被圆
截得的弦长为
2，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．
D．1 或
【变式3】已知过点
的直线被圆
截得的弦长为
，则直线的方程为 ．
【变式4】已知
，
，平面内一动点
满足
，设动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)若斜率为
的直线与
交于
，
两点，且
，求直线的方程．
几何法（优先推荐）
①弦心距（圆心到直线的距离）
②弦长公式：
题型09 圆内接三角形面积
【典例1】已知三点
，记
的外接圆为
.
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
交于
两点，求
的面积.
【变式1】过坐标原点O 作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆
上，则
面积的最大值为（ ）
A．26
B．
C．13
D．
【变式2】已知直线
与
交于
，
两点，则
的面积为 .
【变式3】已知三点
，记
的外接圆为
.
(1)求
的方程；
(2)若直线
与
交于
两点，求
的面积.
【变式4】已知圆
的圆心为原点，斜率为1 且过点
的直线与圆相切
(1)求圆
的方程；
(2)过
的直线交圆
于
、
，若
面积为
，求直线方程.
题型10 直线与圆的实际应用
【典例1】某沿海城市A 市气象观测站测定，在A 市正南方向
公里的海面上生成台风B，并且台风
中心正以20 公里/小时的速度向北偏东30 度方向直线移动，台风风圈半径（即以台风中心为圆心，风圈为
半径的圆范围以内都会受到台风影响）为400 公里.
(1)经过多少小时A 市受到台风影响？影响时间多长？
(2)若此台风经20 小时以后登陆，登陆后强度减弱，风圈半径按5 公里/小时的速度缩小，则台风B 影响A
市的持续时间为多少小时？
【变式1】一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西80
处，受影响的范围是半径为49
的圆形区域.已知港口位于台风中心正北60
处，如果这艘轮船不改变
航线，那么它将 （填“会”或“不会”）受到台风的影响.
【变式2】在气象台A 正西方向200km 处有一台风中心，它正向东北（北偏东
）方向移动，移动速度
的大小为
，距台风中心150km 以内的地区都将受到影响．若台风中心的这种移动趋势不变，气象
台所在地大约多长时间后受到影响？（用根式表示）持续时间有多长？
【变式3】为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台
的北偏西
方向
处设立观测点
，在平台
的正东方向
处设立观测点
，规定经过
三点的圆以及其内
部区域为安全预警区.如图所示：以
为坐标原点，
的正东方向为
轴正方向，建立平面直角坐标系.
(1)试写出
的坐标，并求两个观测点
之间的距离；
(2)试求经过
三点的圆的标准方程；
(3)某日经观测发现，在该平台
正南方向
的
处，有一艘轮船正以每小时
的速度沿北偏东
方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则
它在安全预警区内会行驶多长时间？
【变式4】如图，已知一艘海监船
上配有雷达，其监测范围是半径为
的圆形区域，一艘外籍轮船
从位于海监船正东
的
处出发，径直驶向位于海监船正北
的
处岛屿，速度为
.
(1)求外籍船航行路径所在的直线方程；
(2)这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？
题型11 直线与圆中的定点定值问题
【典例1】已知直线
与圆
交于
两点．
(1)当
最大时，求直线的方程；
(2)若
，证明：
为定值．
【变式1】已知圆C 过点A（1，2），B（2，1），且圆心C 在直线
上.P 是圆C 外的点，过点P 的
直线l 交圆C 于M，N 两点.
(1)求圆C 的方程；
(2)若点P 的坐标为
，探究：无论l 的位置如何变化，|PM||PN|是否恒为定值？若是，求出该定
值：若不是，请说明理由.
【变式2】已知点
关于直线
的对称点为Q，以Q 为圆心的圆与直线
相交于A，B 两
点，且
．
(1)求圆Q 的方程；
(2)过坐标原点O 任作一直线交圆Q 于C，D 两点，求证：
为定值．
【变式3】已知圆
经过点
，
及
.经过坐标原点
的斜率为
的直线与圆
交于
，
两点.
（1）求圆
的标准方程；
（2）若点
，分别记直线
直线
､
的斜率为
､
，求
的值.
【变式4】在平面直角坐标系中，
，过点
作直线l 与圆
交于不同的两点
．
(1)若直线l 的斜率为1，求
；
(2)设直线
，
的斜率分别是
，
，探索
是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理
由．
题型12 根据直线与圆位置关系求距离最值
【典例1】已知圆
，点
在直线
上，过点
作直线
与圆
相
切于点
，则
的周长的最小值为 .
【变式1】圆
上的点到直线
的最大距离是 ．
【变式2】直线
与直线
交于
点，当
变化时，点
到直线
的距
离的最大值是 ．
【变式3】动直线l：
被圆C：
截得弦长的最小值为
．
【变式4】直线
与圆
相交于
两点，则
的最小值为 .
设圆心到直线的距离为
，圆的半径为
①当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为：
，最小距离为：
；
②当直线与圆相切时，圆上的点到直线的最大距离为：
，最小距离为：
；
③当直线与圆相交时，圆上的点到直线的最大距离为：
，最小距离为：
；
题型13 直线与圆综合问题
【典例1】已知圆
．
(1)若直线
与圆
相切，求切线的方程；
(2)若过点
的直线
与圆
相交于
、
两点，且
为直角三角形，求直线
的方程.
【变式1】已知圆
．
(1)求圆C 关于直线
的对称圆
的标准方程；
(2)若经过点
的直线l 将圆C 分成两段圆弧，其弧长的比为
，求直线l 的方程．
【变式2】已知圆
(1)若直线
，
，
，经过圆心，求
的最大值．
(2)若直线过点
且与圆有且仅有一个公共点，求该直线的方程．
【变式3】已知圆
，直线
．
(1)若直线与圆
相切，求实数的值；
(2)直线与圆
相交于
、
两点，且
，求圆
的半径．
【变式4】已知圆
，过定点
作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于E、F 两点.
(1)过点T 作与直线l 垂直的直线m 交曲线C 于G、H 两点，求四边形EGFH 面积的最大值.
(2)设曲线C 与x 轴交于P、Q 两点，直线PE 与直线QF 相交于点N，试讨论点N 是否在定直线上，若是，
求出该直线方程;若不是，说明理由.
1．若直线
被圆
截得的弦长为
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
2．“
”是“直线
与圆
相切”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．过圆O：
外的点
作O 的一条切线，切点为M，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．4
4．过原点且与圆
相切的直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若直线
与曲线
恰有两个公共点，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．圆
上的点到直线
距离的最小值是（ ）
A．
B．1
C．
D．
7．已知直线
与圆
交于A、B 两点，若
，则a 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．过点
作直线与圆
相切，斜率的最大值为
，若
，
，
，则
的最小值是（ ）
A．12
B．9
C．
D．
9．（多选）已知点
和圆
，下列说法正确的是（ ）
A．圆心
，半径为
B．点
在圆
外
C．过点
且与圆
相切的直线有且只有一条
D．设点
是圆
上住意一点，则
的最小值为
10．（多选）已知圆
，直线
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，被圆
截得的弦长为
B．恒过点
C．当被圆
截得的弦长最大时，的斜率为
D．被圆
截得的弦长的最小值为
11．已知直线
与圆
相交于
、
两点，则
.
12．已知圆
，直线
，若直线与
轴交于点
，过直线上一点
作圆
的
切线，切点为
，且
，则
的取值范围是 .
13．已知圆心为
的圆经过点
和
，且圆心
在直线
上.
(1)求圆
的标准方程；
(2)过点
作圆的切线，求切线方程；
(3)求直线上
被圆
所截得的弦长
.
14．已知圆C：
，点P 是直线l：
上一动点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别
为A，B．
(1)若P 的坐标为
，求过点P 的切线方程；
(2)试问直线AB 是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由；
(3)直线
与圆C 交于E，F 两点，求
的取值范围（O 为坐标原点）.
