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专题2.4 不等式及其性质
教学目标
1、掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法等熟悉思想方法.
2、反证法是一种间接证明的方法，如推论5 中用到的方法.
3、灵活选用不等式5 个性质与5 个推论。
教学重难点
教学重点：不等式的性质，并能利用性质解决问题；综合法、分析法证明问题的过程
和推理特点
教学难点：综合法、分析法证明问题的过程
知识点01 不等式定义
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“
”“
”“
”“
”“
”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.
自然语言
大于
小于
大于或等
于
小于或等
于
至多
至少
不少于
不多于
符号语言
知识点02 实数比较大小
1、如果
是正数，那么
；如果
等于
，那么
；如果
是负数，那么
，反过
来也对.
2、作差法比大小：①
；②
；③
3、不等式性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
【即学即练】比较大小：
（填“<”或“>”）
.
知识点03 不等式性质
性质1(可加性) 如果
，那么
性质2(可乘性) 如果
，
，那么
.
性质3(可乘性) 如果
，
，那么
.
性质4(传递性) 如果
，
，那么
.
注：如果性质4 中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？
(1)如果性质4 中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果
且
，那么
；如果
且
，那么
.
(2)如果两个不等式都带有等号，那么有若
且
，则
，其中
时必有
且
.
推论1(移项法则) 如果
，那么
.
不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．
推论2(同向可加性) 如果
，
，那么
我们把
和
(或
和
)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式．
推论3(同向同正可乘性) 如果
，
，那么
推论4(可乘方性) 如果
，那么
(n∈N，n>1).
推论5(可开方性) 如果
，那么
.
注：(1)推论2 可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不
等式同向．推论2 是同向不等式相加法则的依据．
(2)同向不等式可以相加但不能相减，即由
，
，可以得到
，但不能得到
.需要特别注意的是，由
，
，不能得到
，但可以得到
.
这是因为若
，则
，又
，所以
【即学即练】“
”是“
”的（ ）条件.
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
题型01 由已知条件判断不等式是否正确
【典例1】下列命题是假命题的为（ ）
A．若
，则
B．若
且
，则
C．若
且
则
；
D．若
， 则
【变式1】已知
，
，则下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）下面说法正确的是（ ）．
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，则
【变式3】（多选）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
题型02 由不等式的性质比较大小
【典例1】（多选）若
，则下列命题中错误的是（ ）
A．若
且
，则
B．若
且
，则
C．若
且
，则
D．若
，则
【变式1】英国数学家哈利奥特最先使用＂
＂和＂＞＂符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不
等式的发展影响深远．对于任意实数
，下列命题是真合题的是（ ）.
A．若
，则
；
B．若
，则
；
C．若
，则
；
D．若
，则
．
【变式2】已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】若
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式4】（多选）设
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型03 作差法比较大小
【典例1】（1）已知
，比较
与
的大小．
（2）比较
与
的大小．
【变式1】互不相等的实数
满足：
且
，则下列关系成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）设
，则P，Q，R 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】若
，设
，则
的大小关系是
．
（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空）
【变式4】（1）比较
与
的大小．
（2）已知
，
，比较
与
的大小．
用作差法比较两个实数大小的四步曲
题型04 作商法比较大小
【典例1】试比较下列组式子的大小：
(1)
与
，其中
；
(2)
与
，其中
，
；
(3)
与
，
．
【变式1】设
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知
，试比较
和
的大小.
【变式3】（1）设
，比较
与
的大小；
（2）已知
，
，
，求证：
．
【变式4】（1）比较
与
的大小；
（2）已知
，试比较
和
的大小.
题型05 不等式性质的应用
【典例1】对于任意实数
，给定下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【变式1】已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】下列命题中，正确的是（ ）
A．若
，
， 则
B．若
， 则
C．若
，
， 则
D．若
，则
【变式3】下列命题是真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，
【变式4】对于实数
，下列命题正确的是（ ）
A．如果
，那么
B．如果
，那么
C．如果
，那么
D．如果
，那么
题型06 利用不等式求值或取值范围
【典例1】已知
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知实数
满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知实数
，
满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
1．已知实数
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．对于实数
，下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
3．对于实数
，下列命题正确的是（ ）
A．如果
，那么
B．如果
，那么
C．如果
，那么
D．如果
，那么
4．已知正实数
满足
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知实数x，y 满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论
基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘
积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为
，一位顾客到店里购
买10 克黄金，售货员先将5 克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 克
砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，
则顾客购得的黄金质量（ ）
A．大于10 克
B．小于10 克
C．等于10 克
D．当
时，大于10 克；当
时，小于10 克
8．黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资
工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案
一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两
次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．当且仅当
时，方案一的平均购买成本比方案二更低
B．当且仅当
时，方案二的平均购买成本比方案一更低
C．无论
的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低
D．无论
的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低
9．（多选）下列四个命题中正确命题有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
10．（多选）已知实数a，b 满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．如果
，那么
与
的大小关系是 ．
12．
．（填“>”“<”或“=”）
13．已知
，求
的取值范围．
14．（1）已知
，求证：
（2）已知
，求
的取值范围
15．为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为
标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅
的窗洞口面积与地面面积分别为a
，b
.
(1)若这所住宅的地面面积为100
，求这所住宅的窗洞口面积的范围；
(2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x
，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明
理由.
