文档文本内容
专题2.2 直线的倾斜角与斜率
教学目标
1.了解直线方程的概念
2.正确理解直线倾斜角和斜率概念:理解每条直线的倾斜角是唯一的，但不是每条直线
都存在斜率
3.理解公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式
4.通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索
能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力
5.通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养
学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神
教学重难点
教学重点:直线的倾斜角和斜率概念
教学难点:斜率概念的理解，直线倾斜角与斜率变化关系探究。
知识点01 直线倾斜角
定义：平面直角坐标系中，对于一条与
轴相交的直线，如果把
轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线
重合时所转的最小正角记为α，则α叫做直线的倾斜角.
（1）当直线与
轴平行或者重合时，我们规定它的倾斜角为
；所以倾斜角的取值范围为：
；
特别地，当直线与
轴垂直时，直线的倾斜角为
.
（2）所有直线都有唯一确定的倾斜角，倾斜角表示的是直线的倾斜程度.
【即学即练】直线
的倾斜角是 ．
【答案】
/
【分析】根据直线倾斜角定义可得结果.
【详解】易知直线
是垂直于
轴的竖线，因此倾斜角是
.
故答案为：
知识点02 直线的斜率
我们把一条直线的倾斜角
（
） 的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率通常用字母
表示，即
（1）倾斜角
不是
的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；
（2）倾斜角
时，直线的斜率不存在。
【即学即练】已知直线的倾斜角为
，方向向量
．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据直线的倾斜角可得直线斜率，再根据方向向量可得直线斜率，即可求解.
【详解】直线的倾斜角为
，所以
，
方向向量
，则
，
.
故选：A.
知识点03 直线斜率的坐标公式
如果直线经过两点
，
（
），那么可得到如下斜率公式：
（1）当
时，直线与
轴垂直，直线的倾斜角
，斜率不存在；
（2）斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换；
（3）当
时，斜率
，直线的倾斜角
，直线与
轴重合或者平行。
【即学即练】直线过点
和
，则的斜率为 ．
【答案】
【分析】根据斜率的计算公式求解即可.
【详解】
，
故答案为：
知识点04 直线的方向向量
1.定义：一般地，如果表示非零向量
的有向线段所在的直线与直线平行或重合 ，则称向量
为直线
的一个方向向量，记作
2.性质：①如果
为直线的一个方向向量，那么对于任意的实数
，向量
都是的一个方向向
量，而且直线的任意两个方向向量一定共线.
②如果
，
是直线上两个不同的点，则
是直线的一个方向向
量.
③若
为直线的倾斜角，则
一定是直线的一个方向向量.
④如果已知
为直线的一个方向向量，则当
时，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；当
时，直线的斜率是存在的，直线的斜率
,即
.
知识点05 直线的法向量
一般的，如果表示非零向量的
的有向线段所在的直线与直线垂直，则称向量
为直线的一个法向量，
记作
，一条直线的方向向量与法向量互相垂直.
题型01 求直线的倾斜角
【典例1】经过两点
和
的直线的倾斜角是 .
【答案】
【分析】利用斜率公式求得直线的斜率，可得
，可求直线的倾斜角.
【详解】因为直线过
和
，
所以直线的斜率
，
记直线的倾斜角为
，所以
，
又
，则可得
．
故答案为：
.
【变式1】过点
和点
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由两点间斜率公式求出直线斜率，再结合斜率定义即可求倾斜角.
【详解】由题过点
和点
的直线的斜率为
，
设过点
和点
的直线的倾斜角为
，则
，且
，
所以
.
故选：C.
【变式2】已知点
，
，则直线
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用两点斜率公式求斜率，结合倾斜角与斜率关系求倾斜角.
【详解】由两点斜率公式可得直线
的斜率
，
设直线
的倾斜角为
，
，
则
，
所以
.
故选：A.
【变式3】斜率为
的直线的倾斜角为 ．
【答案】
【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系直接可得解.
【详解】设直线的倾斜角为
，且
，
则斜率
，
解得
，
故答案为：
.
【变式4】已知直线l 经过
，
两点，则直线l 的倾斜角为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式求出斜率，进而求出倾斜角.
【详解】依题意，直线的斜率
，
所以直线l 的倾斜角为
.
故答案为：
题型02 直线斜率的定义
【典例1】过
两点的直线的倾斜角是
，则
（ ）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】B
【分析】利用两点坐标求斜率与斜率的定义即可得解.
【详解】因为过
两点的直线的倾斜角是
，
所以
，解得
.
故选：B.
【变式1】已知
、
两点所在直线的倾斜角为
，则实数
的值（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【分析】由直线上两点坐标求得斜率，再由直线斜率的定义建立方程，解之即得.
【详解】由题意，
，化简得：
，解得
.
故选：A.
【变式2】经过点
和
的直线的倾斜角为
，则
（ ）
A．3.5
B．8
C．-2
D．2
【答案】D
【分析】由两点坐标写出直线斜率，根据直线斜率的定义建立方程，求解即得.
【详解】依题意，直线
的斜率为
，解得
.
故选：D.
【变式3】过
两点的直线的倾斜角是
，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．4
【答案】B
【分析】利用两点坐标求斜率与斜率的定义即可得解.
【详解】因为过两点
的直线的倾斜角是
，
所以
，解得
.
故选：B.
【变式4】若直线的倾斜角为
，则该直线的斜率为 .
【答案】
【分析】根据倾斜角与斜率的关系计算可得.
【详解】因为直线的倾斜角为
，
所以该直线的斜率
.
故答案为：
我们把一条直线的倾斜角
（
） 的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率通常用字母
表示，即
题型03 斜率与倾斜角变化关系
【典例1】如图所示，直线
的斜率分别为
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断．
【详解】由
，结合
的函数图象，
直线对应的倾斜角为钝角，则
，
直线
与
都为锐角，且
的倾斜角大于
的倾斜角，
则
，故
．
故选：B
【变式1】已知直线过点
，
，若的倾斜角的取值范围是
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据斜率公式构建不等式组即可求出
的取值范围.
【详解】由题设有
即
，
故选：B.
【变式2】（多选）已知
为等腰直角三角形，
为坐标原点，点
在第一象限，点
在第四象限，
，若直线
的斜率都存在，记直线
的斜率分别为
，则
的关系
可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】讨论
、
，结合斜率与夹角关系判断各项的正误.
【详解】当
时，
；
当
时，
.
故选：AB
【变式3】（多选）如图，直线，
，
的斜率分别为
，
，
，倾斜角分别为
，
，
，则下列
选项正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项.
【详解】由图像可知
，
则
，
故选：AD.
【变式4】已知直线的倾斜角
，则直线的斜率的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据斜率的定义以及正切函数的单调性可得结论.
【详解】因为
在
上为增函数,所以
,
因为
在
上为增函数,所以
,
又
时,直线的斜率不存在,
所以直线的斜率的取值范围是
.
故答案为：
.
倾斜角
（范围）
斜率
（范围）
不存在
题型04 已知两点求斜率
【典例1】已知直线l 经过两点
，
，则直线l 的斜率是（ ）
A．2
B．
C．
D．－2
【答案】C
【分析】利用直线斜率公式直接进行求解即可.
【详解】因为直线l 经过两点
，
，
所以直线l 的斜率是
，
故选：C
【变式1】已知直线经过点
，
，则的斜率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】利用斜率公式求解.
【详解】解：直线的斜率
．
故选：C
【变式2】若直线经过点
，
，则直线的斜率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据斜率公式即可求解.
【详解】由于直线经过点
，
，故斜率为
，
故选：D
【变式3】若直线过点
和
，则直线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据两点斜率公式
即可求解.
【详解】因为直线过点
和
，所以斜率为
，设直线的倾斜角为
，则有
，
故选：C.
【变式4】经过点
、
的直线的斜率为 .
【答案】
【分析】利用斜率公式可求得直线的斜率.
【详解】经过点
、
的直线的斜率为
.
故答案为：
.
如果直线经过两点
，
（
），那么可得到如下斜率公式：
题型05 已知斜率求参数
【典例1】经过两点
，
的直线的斜率等于2，则
.
【答案】0
【分析】由过两点的直线斜率公式求解即可.
【详解】因为经过两点
，
的直线的斜率等于2，
所以
，解得
.
故答案为：0.
【变式1】若经过
，
两点的直线斜率为1，则实数
（ ）
A．3
B．
C．2
D．1
【答案】B
【分析】根据斜率公式结合已知斜率可求实数
.
【详解】过
，
两点的直线斜率为
，
所以
，解得，
．
故选：B．
【变式2】过
，
两点的直线的倾斜角为
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
，
D．1，2
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用斜率的坐标公式列式求解.
【详解】依题意，
，所以
.
故选：A
【变式3】若经过
两点的直线斜率为1，则实数
（ ）
A．
B．3
C．2
D．1
【答案】A
【分析】利用斜率公式即可求解.
【详解】过
两点的直线斜率为
，所以
，解得，
.
故选：A.
【变式4】经过两点
，
的直线的倾斜角为
，则
（ ）
A．6
B．5
C．4
D．3
【答案】B
【分析】利用斜率公式得到方程，解得即可.
【详解】依题意
，解得
.
故选：B
题型06 利用直线斜率处理共线问题
【典例1】已知三点A
，B
，C
在同一直线上，则实数
的值是 .
【答案】3
【分析】利用三点共线与斜率的关系，斜率的计算公式.
【详解】
三点A
，B
，C
在同一直线上，
，
，解得
.
故答案为：3.
【变式1】三点
，
，
在同一条直线上，则
的值为（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】D
【分析】根据两点斜率表达式得到方程，解出即可.
【详解】显然
，则
，即
，解得
.
故选：D.
【变式2】若
、
、
三点共线，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据斜率公式可得出
，可得出实数
的值.
【详解】由于
、
、
三点共线，则
，
即
，解得
.
故选：A.
【变式3】已知
，
，
三点共线，则
＝ ．
【答案】6
【分析】利用
可得出关于
的等式，由此可求得实数
的值.
【详解】由于
、
、
三点共线，则
，
即
，解得
.
故答案为：6.
【变式4】已知三个不同的点
、
、
在同一条直线上，求实数
的值．
【答案】
或
【分析】依题意可得
，利用两点的斜率公式得到方程，解得即可.
【详解】因为三个不同的点
、
、
在同一条直线上，
所以
，即
，解得
或
，经检验符合题意.
题型07 求斜率或倾斜角的取值范围
【典例1】在平面直角坐标系
中，已知点
，直线l 经过点B 且与线段
相交．则直线l
倾斜角α 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合斜率和倾斜角的关系利用数形结合即可求解.
【详解】根据题意，画出图象如图所示;
直线
的斜率
，则直线
的倾斜角为
；
直线
的斜率
，则直线
的倾斜角为
，
结合图象由条件可得直线l 的倾斜角
的取值范围是
.
故选：B.
【变式1】已知直线的方程为
，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出直线的斜率的取值范围，利用直线倾斜角与斜率的关系可得出直线的倾斜角的取值范围.
【详解】直线的斜率为
，设该直线的倾斜角为
，则
，
又因为
，故
.
故选：D.
【变式2】设直线的方程为
，则直线的倾斜角
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出直线的斜率范围，从而得到
，得到答案.
【详解】直线的斜率为
，
故
，
又
，故
.
故选：D
【变式3】已知直线的斜率
，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解.
【详解】设的倾斜角为
，则
，且
，
如图，由正切函数的性质知
.
故选：C.
【变式4】设直线的斜率为
，且
，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设直线的倾斜角为
，根据斜率与倾斜角的关系及倾斜角的取值范围计算可得.
【详解】设直线的倾斜角为
，则
，又
，
所以
或
，
即直线的倾斜角的取值范围为
.
故选：B.
题型08 直线与线段的相交关系求斜率范围
【典例1】经过点
作直线l，若直线l 与连接
，
两点的线段总有公共点，求直线l 的
斜率k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
，-1）
）
D．[1，+
【答案】A
【分析】先求得
，再利用数形结合法求解.
【详解】
，
如图所示：
由图知：若直线l 与连接
，
两点的线段总有公共点，
则直线l 的斜率k 的取值范围是
，
故选：A
【变式1】已知点
，经过点P 作直线l，若直线l 与连接
，
两点的线段总有公共点，则
直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用两点式斜率公式求出直线
和直线
的斜率，根据斜率的变化规律数形结合即可求解.
【详解】由题得
，
，
因为直线l 与连接
，
两点的线段总有公共点，结合图可知，
.
故选：B
【变式2】直线l 过
与连接
的线段相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】数形结合，将问题转化为直线以直线
为起始位置，绕点P 逆时针旋转到直线
，再由斜率
的定义求解即可；
【详解】直线l 过点
.
如图，由题意，直线与线段
总有公共点，
即直线以直线
为起始位置，绕点P 逆时针旋转到直线
即可，
直线的斜率为
，直线
的斜率分别为
，
于是
或
，
而
，因此
或
，
即k 的取值范围是
.
故选：D.
【变式3】已知两点
，
，过点
的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾
斜角的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】分别求出
点与线段
端点所成直线的斜率，即可得直线的斜率范围，再由倾斜角与斜率关系
求倾斜角范围即可求解.
【详解】如图：
因为
，
，所以
.
设直线的倾斜角为
，则
，且
.
所以
.
故选：C
【变式4】已知过点
的直线与以点
和
为端点的线段AB 相交，求直线的斜率的
取值范围 .
【答案】
【分析】首先利用两点式斜率公式求出
，
，再结合图象即可求出直线的斜率的取值范围.
【详解】设点
，依题意
，
．
因为直线与线段
有交点，所以
或
，
由图可知直线的斜率的取值范围是
．
故答案为：
．
题型09 斜率公式的几何意义的应用
【典例1】已知实数x、y 满足方程
，当
时，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将
的范围转化为线段
上的点与
构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可.
【详解】
方程
，令
，则
，令
，则
，
设点
，
，
所以
可以表示线段
上的点与
构成的直线的斜率，
，
，
所以
的取值范围为
.
故答案为：
.
【变式1】已知正
的顶点
，
，顶点
在第一象限，若点
是
内部及其边界
上一点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】确定C 的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案.
【详解】正
的顶点
，
且顶点
在第一象限，故顶点
的坐标为
，
，
可看作
内部及其边界上一点与点
的连线斜率，
当
运动到点
时，直线的斜率最大，故
的最大值为
故选：B.
【变式2】点
在函数
的图象上，当
，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】把
转化为
与点
所成直线的斜率，作出函数
在
部分图象上的动
点，结合斜率公式，即可求解.
【详解】由
表示
与点
所成直线的斜率
，
又由
是
在
部分图象上的动点，
如图所示：可得
，则
，
所以
，即
的取值范围为
.
故答案为：
.
【变式3】已知实数
满足
，试求
的取值范围．
【答案】
【分析】理解所求式的几何意义，作出已知函数图象，得出边界点，求出斜率范围即得.
【详解】如图，因
，可知它表示经过定点
与曲线段
上任一点
的直线的斜
率
．
分别把
代入
，即得
，
，
，
．
由图可知
，即得，
．
故
的取值范围是
．
1．已知点
，若向量
是直线的方向向量，则直线的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据直线的方向向量、斜率公式及倾斜角与斜率的关系即可求解.
【详解】直线的斜率
，
所以直线的倾斜角为
.
故选：
.
2．已知点
和点
，则直线
的倾斜角
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用两点的斜率公式以及倾斜角与斜率的关系
即可求得结果.
【详解】因为
，且
，所以
的倾斜角
故选：B
3．已知经过点
和点
的直线的斜率为
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用过两点斜率公式，即可求解.
【详解】依题意，得
，解得
，
故选：C．
4．经过
两点的直线的斜率是（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】由斜率计算公式即可求解；
【详解】由
，
可得
，
故选：C
5．已知直线经过点
两点．直线
的倾斜角是直线的倾斜角的2 倍，则直线
的斜率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解.
【详解】由
得
，设的倾斜角为
，
所以
，
故
，
故直线
的斜率为
，
故选：A
6．直线
倾斜角为
，且过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
【答案】A
【分析】由倾斜角确定斜率，再由斜率公式列出等式即可求解；
【详解】由题意可知
，则
，
由直线过点P，则得
，
故选：A
7．已知点
，
，若过点
的直线l 与线段
相交，则直线l 斜率k 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】由题设
，
，如下图示，所以
．
故选：D
8．已知
，直线过定点
，且与线段
相交，则直线的斜率
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，以及直线与线段
相交，即可求解．
【详解】∵
，
，
，
则
，
，
直线与线段
相交，
则直线的斜率
的取值范围是
．
故选：A．
9．（多选）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大
C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是
或
D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为
【答案】ABD
【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可.
【详解】对于A，当直线的倾斜角为
时，直线没有斜率，故A 错误；
对于B，当直线的倾斜角为
时，斜率为1，当直线的倾斜角为
时，斜率为
，故B 错误；
对于C，当直线与
轴垂直时，直线的倾斜角是
，当直线与
轴垂直时，直线的倾斜角是
，故C 正
确；
对于D，若一条直线的倾斜角为
，则该直线的斜率不存在，故D 错误.
故选：ABD.
10（多选）．直线l 过点
，且与以
，
为端点的线段有公共点，则直线l 斜率可能是
（ ）
A．1
B．2
C．8
D．6
【答案】ABD
【分析】分别计算出直线过点
,
时的斜率，结合斜率定义即可得直线的斜率的取值范围，即可
得解.
【详解】已知
，
，根据直线斜率公式
，可得
.
已知
，
，根据直线斜率公式
，可得
.
根据题意，直线与线段有交点，则
.
故选：ABD.
11．若倾斜角为
的直线过点
和
，则实数
.
【答案】
./
.
【分析】根据直线斜率公式以及倾斜角与斜率的关系计算即可.
【详解】因为直线的倾斜角为
，所以直线斜率
，则
，解得
.
故答案为：
.
12．已知直线l 过
，且与以
为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围为
．
【答案】
【分析】根据斜率公式求出
，再结合图形求出直线l 的斜率的取值范围.
【详解】根据题中条件画出图形，如图所示，
因为
，
，
，设直线l 的斜率为
，
则
，
直线l 与以
为端点的线段相交，结合图形，
则直线l 的斜率的取值范围为
.
故答案为：
.
13．若直线
与连接
两点的线段有公共点，求实数
的取值范围.
【答案】
【分析】首先考虑直线过两个端点的情况，再计算直线过线段中间点的情况，利用定比分点的向量公式进
行求解即可.
【详解】当直线过
点时，
，直线过
点时，
，
当直线与线段
的交点
在
之间时，
设这个交点分
的比为
，
由定比分点向量公式有
，
点的坐标为
，
又直线过点
，
，
，又点
在线段
上，
，
，解得
或
，
实数
的取值范围是
.
14．已知两点
，
，过点
的直线l 与线段
有公共点.
(1)求直线l 的斜率k 的取值范围.
(2)求直线l 的倾斜角的取值范围.
【答案】(1)
或斜率不存在
(2)
【分析】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可；
（2）由斜率与倾斜角的关系求解即可；
【详解】（1）如图，由题意可知
，
要使直线l 与线段
有公共点，
则直线l 的斜率k 的取值范围是
或斜率不存在.
（2）由题意可知，l 的倾斜角介于直线
与
的倾斜角之间.
又
的倾斜角是
，
的倾斜角是
，
所以直线l 的倾斜角
的取值范围是
.
15．已知坐标平面内两点
.
(1)当直线
的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出
的取值范围；
(2)若直线
的方向向量为
，求
的值.
【答案】(1)答案见解析．
(2)
【分析】（1）由斜率为正或为负求解；
（2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论．
【详解】（1）直线
的倾斜角为锐角时，
，解得
，
直线
的倾斜角为钝角时，
，解得
或
，
所以直线
的倾斜角为锐角时，
，为钝角时，
或
；
（2）由已知
，又直线
的方向向量为
，
所以
，解得
．
