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专题3.1 基本计数原理
教学目标
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
教学重难点
1.重点
（1）分类加法计数原理；
（2）分部乘法计数原理；
（3）分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用。
2.难点
（1）数字排列问题；
（2）涂色问题。
知识点01 分类加法计数原理
完成一件事，有
类办法，在第1 类办法中有
种不同的办法，在第2 类办法中有
种不同的方法，
…，在第
类办法中有
种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
知识点02 分布乘法计数原理
完成一件事，需要分成
个步骤，做第1 步有
种不同的方法，做第2 步有
种不同的方法，…，做
第
步有
种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
注意：两个原理及其区别
分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有
类办法，这
类办法之间是互斥的，那么
求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理．
分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题．如果完成某件事情有
个步骤，而
且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这
个步骤后，这件事情才算完成，那
么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理．
当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两
个计数原理．即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想
求方法数．对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也
是检验排列组合问题的很好方法．
知识点03 两个计数原理的综合应用
完成一件事，有
类办法，在第1 类办法中有
种不同的办法，在第2 类办法中有
种不同的方法，
…，在第
类办法中有
种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
题型01 分类加法计数原理的应用
【典例1】.（24-25 高二下·江苏南京·期末）将各位数字之和为6 的三位数叫“幸运数”，比如123，402，
则所有“幸运数”的个数为（ ）
A．19
B．20
C．21
D．22
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】分类加法计数原理
【分析】应用分类加法原理计算得出幸运数的个数即可.
【详解】当百位数字是6，其他数字是0，此时幸运数有1 个；
当百位数字是5，其他数字是0 和1，此时幸运数有2 个；
当百位数字是4，其他数字是1 和1 或者是0 和2，此时幸运数有
个；
当百位数字是3，其他数字是1 和2 或者是0 和3，此时幸运数有
个；
当百位数字是2，其他数字是2 和2 或者是0 和4 或者是1 和3，此时幸运数有
个；
当百位数字是1，其他数字是2 和3 或者是1 和4 或者是0 和5，此时幸运数有
个；
所以幸运数的个数为
.
故选：C.
【变式1】.（24-25 高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某同学从
个球类项目和
个田径类项目中选个项目
参加，则不同的选择方案共有（ ）
A．
种
B．种
C．
种
D．
种
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】分类加法计数原理
【分析】利用分类加法计数原理可得结果.
【详解】某同学从
个球类项目和
个田径类项目中选个项目参加，
若选择的为球类项目，有
种选择，
若选择的为田径类项目，有
种选择，
由分类加法计数原理可知，不同的选择方案种数为
种.
故选：A.
【变式2】．（25-26 高二上·全国·课前预习）完成一件事，如果有
类办法，且：第一类办法中有
种不
同的方法，第二类办法中有
种不同的方法……第
类办法中有
种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】分类加法计数原理
【分析】略
【详解】略
【点睛】
【变式3】．（24-25 高二下·河南·期末）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为
．三位数
中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134 等）．若
，且
互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个．
【答案】24
【难度】0.65
【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用
【分析】利用“有缘数”的定义，利用分类讨论的思想，求出所有的三位数．
【详解】根据题意知在
中，能组成有缘数的组合有
；
；
；
，
由
组成的三位自然数为
“有缘数”共6 个；
同理：由
组成的三位数为“有缘数”是6 个；
由
组成的三位数为“有缘数”是6 个；
由
组成的三位数为“有缘数”是6 个；
所以三位数为“有缘数”的个数为：
个．
故答案为：24
题型02 分布乘法计数原理的应用
【典例2】.（2025 高二·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，先将贺卡集中起来，然后每
人从中拿一张别人写的贺卡，则不同的分配方式有（ ） 种.
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用
【分析】根据特殊元素优先原则，结合分步乘法计数原理可得解.
【详解】（1）甲先拿，有种拿法；
（2）再让写那张被甲拿到的卡片的人去拿，有种拿法；
（3）剩余两人只有种拿法，根据分步乘法计数原理知共有
种拿法，
故选：A.
【变式1】．（24-25 高二下·山东威海·期末）用0，1，2，3，4 可组成无重复数字的三位奇数的个数为（
）
A．48
B．36
C．24
D．18
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题、元素（位置）有限制的排列问题
【分析】根据分步乘法原理计算求解.
【详解】用0，1，2，3，4 可组成无重复数字的三位奇数个位数字有2 种情况，首位数字有3 种情况，十
位数字有3 种情况，
所以三位奇数的个数为
种情况.
故选：D.
【变式2】．（2025 高三·全国·专题练习）将27，37，47，48，55，71，75 这7 个数排成一列，使任意连
续4 个数的和为3 的倍数，则这样的排列有 种．
【答案】144
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用
【分析】考虑这7 个数被3 除的余数，只需对余数排列即可，利用分步乘法原理计算得解.
【详解】注意到这7 个数被3 除的余数分别为0，1，2，0，1，2，0．
只需对余数排列即可，有6 种情形：2010201，1020102，0120012，2100210，0210021，1200120．
每一种情形有
种，所以共有
种.
故答案为：144.
【变式3】．（24-25 高二下·福建福州·期末）春节期间，甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《哪吒之魔
童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》四部电影中任选一部，则不同的选法有
种．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用
【分析】根据分步计数原理的应用即可求解
．
【详解】易知每个人都有
种选法，故不同的选法有
种．
故答案为：
．
题型03 两个原理的综合应用
【典例3】．（24-25 高二下·福建三明·期中）某校开展社团活动，其中有知识性社团诗词赏析，趣味数学
等6 个社团，有活动类社团木工、种植等4 个社团，甲乙两人按顺序依次选择一社团参加，不得重复.乙选
择活动类社团参加的概率为 ．
【答案】
/
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的计数问题、计算古典概型问题的概率
【分析】根据题意先求甲乙两人按顺序依次选择一社团的情况，然后求乙选择活动类社团的情况，根据古
典概型即可求解.
【详解】根据题意甲乙两人按顺序依次选择一社团参加有
种情况，
其中乙选择活动类社团有
，
所以根据古典概型得乙选择活动类社团参加的概率为
，
故答案为：
.
【变式1】．随着外地返乡人员的增加，当前防疫形势愈加严峻，射洪已经发现了多起新冠阳性病人.射洪
中学计划下周星期一、二、三，连续三天对我校在校师生进行核酸检测.高三数学组有金老师、赵老师、谭
老师、黄老师四人主动申请参与信息采集.每人自行选择其中的某一天参与，但金老师和谭老师不能在同一
天参加，则不同的安排方式有 .（用数字作答）
【答案】
【难度】0.65
【知识点】实际问题中的计数问题
【分析】
先考虑四位老师各随机选择一天参与核酸信息采集的安排方式种数，再考虑金老师和谭老师在同一天参加
的安排方式种数，利用间接法可求得金老师和谭老师不能在同一天参加的安排方式种数.
【详解】四位老师各随机选择一天参与核酸信息采集，不同的安排方式种数为
种，
其中，金老师和谭老师在同一天参加的安排方式种数为
种，
因此，金老师和谭老师不能在同一天参加，不同的安排方式种数为
种.
故答案为：
.
【变式2】．（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定
点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，
每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，
则不同的安排方法共有（ ）
A．12 种
B．14 种
C．7 种
D．9 种
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的计数问题
【分析】应用分类分步计数原理，求出甲安排为“定点投篮”、 不安排“定点投篮”两种情况分别写出
安排方法数，即可得答案.
【详解】当甲安排“定点投篮”，另外3 人任意安排工作有6 种方法.
当甲不安排“定点投篮”时，先安排甲有2 种，再安排乙有2 种，另外剩余2 人有2 种，此时有
种方法，
共有
种，
故选：B
【变式3】．为了纪念我国成功举办北京冬奥会，中国邮政发行《北京举办2022 年冬奥会成功纪念》邮票，
图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物
“雪容融”及“志愿者标志”，现将一套5 枚邮票任取3 枚，要求取出的邮票既含会徽邮票又含吉祥物邮
票，则不同的取法种数为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．18
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的计数问题
【分析】根据3 枚邮票中邮票的种类进行分类求解即可.
【详解】由题意可知：会徽邮票有2 枚，吉祥物邮票有2 枚，“志愿者标志”有1 枚，
若任取3 枚，取出的邮票既含会徽邮票又含吉祥物邮票，则有：
若会徽邮票有2 枚，吉祥物邮票有1 枚，共有
种；
若会徽邮票有1 枚，吉祥物邮票有2 枚，共有
种；
若会徽邮票有1 枚，吉祥物邮票有1 枚，“志愿者标志”有1 枚，共有
种；
故共有
种．
故选：B.
题型04 代数中的计数问题
【典例4】．（23-24 高二下·广东广州·期末）
有（ ）个不同的正因数
A．8
B．10
C．12
D．15
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、代数中的计数问题
【分析】首先分解质因数可得
，再由分步乘法计算原理计算可得.
【详解】因为
，所以
的不同的正因数有
个.
故选：D
【变式1】．（24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知
，且
，则所有满足条件的数对
的个数为（ ）
A．12
B．13
C．20
D．24
【答案】B
【难度】0.4
【知识点】代数中的计数问题
【分析】将题设条件变形为
且
、
，结合
判断
的可能数值，即可得答案.
【详解】由题设
，即
，
又
，且
，则
，
所以
且
，
可能为
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
，共13 个，
所以对应
也有13 个.
综上，所有满足条件的数对
的个数为13 个.
故选：B
【变式2】．（24-25 高二下·河南商丘·期末）已知x，y，z 均为正整数，且
，则满足方程
的解有 组.
【答案】10
【难度】0.65
【知识点】代数中的计数问题
【分析】由题意可得
的取值范围，分类列举，根据分类加法原理，可得答案.
【详解】因为
，所以
.
当
时，则
，即
，
可取
；
当
时，则
可取
；
当
时，则
，解得
，
或6，则
为
；
当
时，则
，
为
．
所以方程
的解的个数为
.
故答案为：
.
【变式3】．（23-24 高二下·北京顺义·期中）哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4 的偶数，都可以写成两
个质数之和.（质数是指在大于1 的自然数中，除了1 和它本身以外不再有其他因数的自然数）.在不超过
17 的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数取法有 种.
【答案】
【难度】0.85
【知识点】代数中的计数问题
【分析】列举出不超过
的质数，分析可知
必取，然后在剩余
个奇数中任选一个即可，即可得出不同
的选法种数.
【详解】不超过
的质数有：
、、、
、
、
、
，共
个，
在这
个数中随机选取两个不同的数，其和为奇数，则
必取，
然后在剩余
个奇数中任选一个即可，
所以，不同的取法种数为
种.
故答案为：
.
题型05 几何中的计数问题
【典例5】．从正方体的6 个面中选取3 个面，其中有2 个面不相邻的选法共有（ ）.
A．20 种
B．16 种
C．12 种
D．8 种
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】几何计数问题
【分析】正方体共有
条棱，每条棱对应两个相邻面，与这两个面不都相邻的面有
个
共有
组，再考虑重复情况得到答案.
【详解】正方体共有
条棱，每条棱对应两个相邻面，与这两个面不都相邻的面有
个
共有
组，每组中包含两条棱，故有
故选：
【点睛】本题考查了计数问题，意在考查学生的空间想象能力.
【变式1】．在直角坐标系
中，已知
三边所在直线的方程分别为
，则
内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A．95
B．91
C．88
D．75
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】几何计数问题
【分析】首先确定以
为对角线的矩形中整点的个数，再确定
上的整点数，最后根据对称性
求出△
中整点的个数.
【详解】由题设，直线
分别交x、y 轴于
、
，
以高为10，宽为15 的矩形内（含边）整数点有176 个，其中直线
上的整数点有
、
、
、
、
、
，共6 个，
所以，矩形对角线
两侧的三角形中整点的个数为
个，
综上，△
中整点的个数为
个.
故选：B
【变式2】．圆周上有
个等分点
，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、几何计数问题
【分析】只有三角形的一条边为直径才能组成直角三角形,第一步选直径共有
种方法，第二步选直角顶点
有
种，根据分步计数原理相乘即可.
【详解】由题意知,只有三角形的一条边过圆心,才能组成直角三角，
因为圆周上有
个等分，所以共有
条直径，
每条直径可以和除去本身的两个端点外的点组成直角三角形，所以可做
个直角三角形.
根据分步计数原理知,共有
个
故答案为:
.
【变式3】．（24-25 高二上·全国·课后作业）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相
同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中
有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到
正八边形，从该正八边形的8 个顶点中任意取出4 个构成四边形，其中梯形的个数为 ．
【答案】24
【难度】0.65
【知识点】几何计数问题
【分析】首先分情况，先确定两个顶点，再确定其他顶点，即可求解.
【详解】梯形的上、下底平行且不相等，如图，
若以AB 为底边，则可构成2 个梯形，根据对称性可知此类梯形有
（个），
若以AC 为底边，则可构成1 个梯形，此类梯形共有
（个），
所以梯形的个数是
（个）．
故答案为：24
题型06 数字排列问题
【典例6】．（24-25 高二上·辽宁·期末）用数字
，，
，，
组成的没有重复数字的三位数且是偶数
的个数为（ ）
A．60
B．30
C．36
D．21
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】数字排列问题
【分析】通过个位数分别为
，
，
，讨论即可；
【详解】由题意可知，这三位数是偶数，则说明其个位数为偶数，即
，
，
，有3 种选择，
因为这是一个三位数，所以百位数不能是0.
①当个位数为0 时，有
种，
②当个位数为2 或4 时，有
种.综上，有30 种.
故选：B.
【变式1】．（23-24 高二下·北京延庆·期中）由数字，
，，
构成的三位数有（ ）
A．
个
B．个
C．
个
D．
个
【答案】A
【难度】0.94
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题
【分析】利用分步乘法计数原理即可求解.
【详解】百位有4 种选择，十位有4 种选择，个位有4 种选择，故构成的三位数共有
个，
故选：A
【变式2】．（2025·河南·模拟预测）用，
，，…，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶
数的个数为 ．
【答案】224
【难度】0.85
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题
【分析】利用分布乘法计数原理结合排列知识进行计算即可直接得答案.
【详解】从
四个数中任选一个数放在个位，有4 种方法，
再从其他八个数中任选2 位数放在十位和百位，有
种方法，
故
九个数组成没有重复的三位数且是偶数共有
种方法，
故答案为：224.
【变式3】．（24-25 高二上·上海·期末）用0，1，2，3 四个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数的
个数是
【答案】
【难度】0.85
【知识点】数字排列问题
【分析】通过个位数字是0 和2，两类情况讨论即可求解；
【详解】当个数数字是0 时，满足条件的四位数由
，
当个数数字是2 时，满足条件的四位数由
，
故满足条件的偶数个数是10，
故答案为：10
题型07 涂色问题
【典例7】．（24-25 高二下·云南临沧·阶段练习）用
种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，
要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有 种不同的书写方案．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题
【分析】利用分步乘法计数原理进行求解即可.
【详解】完成工作可分四步：
第一步，“英语角”用的粉笔颜色有
种不同的选法；
第二步，“语文学苑”用的粉笔颜色不能与“英语角”用的粉笔颜色相同，有种不同的选法；
第三步，“理综世界”用的粉笔颜色与“英语角”和“语文学苑”用的粉笔颜色都不相同，有
种不同的
选法；
第四步，“数学天地”用的粉笔颜色只要与“理综世界”用的粉笔颜色不同即可，有种不同的选法．
由分步乘法计数原理知，该板报共有
种不同的书写方案．
故答案为：
．
【变式1】．（2025·江苏南京·二模）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面
或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976 年由阿佩尔和哈肯借助计
算机完成证明.如图，一个地区分为6 个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），
要求：每个区域涂1 种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4 种颜色可供选择，则不同的涂色方法
有 种（用数字作答）.
【答案】216
【难度】0.85
【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、涂色问题
【分析】如图，将6 个行政区标上序号，根据分步乘法计数原理，按照一定的顺序对各个区域进行涂色，
同时考虑相邻区域颜色不同的限制条件即可求解.
【详解】如图，将6 个行政区标上序号，
区域1 有4 种颜色可选，共4 种方法；
区域2 与区域1 相邻，不能与区域1 同色，有3 种颜色可选，共3 种方法；
区域3 与区域1、2 相邻，不能与区域1、2 同色，有2 种颜色可选，共2 种方法；
①若区域4 与区域2 同色，有1 种颜色可选，此时区域5 与区域2 不同色且有2 种涂色方法，此时区域6 有
2 种涂色方法；
②若区域4 与区域2 不同色，有1 种颜色可选，此时若区域5 与区域2 同色，有1 种涂色方法，区域6 有3
种涂色方法，
若区域5 与区域2 不同色，有1 种涂色方法，区域6 有2 种涂色方法，
所以一共有
种方法.
故答案为：216.
【变式2】．（23-24 高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3 世纪初）在为《周髀算经》作
注时验证勾股定理的示意图，现在提供5 种颜色给其中5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相
邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．120
B．26
C．340
D．420
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】涂色问题
【分析】根据题意，分4 步依次分析区域A、B、C、D、E 的涂色方法数目，由分步计数原理计算答案．
【详解】根据题意，如图，设5 个区域依次为A、B、C、D、E，
分4 步进行分析：
①，对于区域A，有5 种颜色可选；
②，对于区域B，与A 区域相邻，有4 种颜色可选；
③，对于区域C，与A、B 区域相邻，有3 种颜色可选；
④，对于区域D、E，若D 与B 颜色相同，E 区域有3 种颜色可选，
若D 与B 颜色不相同，D 区域有2 种颜色可选，E 区域有2 种颜色可选，
则区域D、E 有
种选择，
所以不同的涂色方案有
种.
故选：D.
【变式3】．（23-24 高三下·重庆·开学考试）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，
F 涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ）
A．120
B．72
C．48
D．24
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】分类加法计数原理、涂色问题
【分析】利用两个计数原理，先分类再分步即可求解．
【详解】先涂
，有4 种选择，接下来涂
，有3 种选择，再涂
,有2 种选择，
① 当
,
颜色相同时涂色方法数是：
，
② 当
,
颜色不相同时涂色方法数是：
，
满足题意的涂色方法总数是：
．
故选：A．
题型08 其它计数模型
【典例1】．寒假里5 名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排
五个
座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐
法有 种.
【答案】45
【难度】0.85
【知识点】实际问题中的计数问题、其他计数模型
【分析】先选出坐对位置的人，再对剩下四人进行错排，最后利用分布计数乘法原理求结果.
【详解】先选出坐对位置的人，即从5 人中选1 人，有5 种可能；
剩下四人进行错排，设四人座位为
，则四人都不坐在自己位置上有
这9 种可能；
所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有
种
故答案为：45
【点睛】本题考查错排问题，考查基本分析求解能力，属基础题.
【变式1】．已知集合
，
，
，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标
系中的点的坐标，则确定不同点的坐标个数为 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、其他计数模型
【分析】先从三个集合中各取一个元素，计算出所构成的点的总数，再减去两个坐标为时点的个数，即
可得出结果.
【详解】
集合
，
，
，从这三个集合中各选一个元素构成空间直角坐标系中的
点的个数为
，
其中点的坐标中有两个的点为
、
、
，共个，在选的时候重复一次，
因此，确定不同点的坐标个数为
.
故答案为：
.
【点睛】本题考查排列组合思想的应用，解题时要注意元素的重复，结合间接法求解，考查计算能力，属
于中等题.
一、单选题
1．（24-25 高二下·福建福州·期末）某天小丁要从福州出发去厦门，已知当天的飞机有5 班，动车有12 趟，
高铁有10 个车次，则小丁当天出行的方案共有（ ）
A．12 种
B．27 种
C．120 种
D．600 种
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】分类加法计数原理
【分析】由分类加法计数原理即可求解.
【详解】已知当天的飞机有5 班，动车有12 趟，高铁有10 个车次，
则小丁当天出行的方案共有
.
故选：B.
2．（25-26 高二上·广东江门·阶段练习）集合
，从
中各任意取一个数，构成一个
两位数，则所有样本点的个数为（ ）
A．12
B．11
C．8
D．6
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、代数中的组合计数问题
【分析】先利用计数原理得出所有的两位数，再减去重复数字即可.
【详解】个位数取自集合
，十位数取自集合
，共有
个，
个位数取自集合
，十位数取自集合
，共有
个，
这两类中重复的有数字
，故所有样本点的个数为
.
故选：B
3．如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有
，
，
，
，
五个水闸，若上游有充足的
水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、实际问题中的计数问题
【分析】分
水闸关闭，
水闸打开时，同时关闭
，
水闸打开时，同时关闭
，三种情况，去掉
重复的情况，得到答案.
【详解】①
水闸关闭时，满足要求，此时
打开或关闭时均可，故此时有
种情况，
②若
水闸打开时，同时关闭
时，满足要求，此时
打开或关闭时均可，故此时有
种情况，
③若
水闸打开时，同时关闭
时，满足要求，此时
打开或关闭时均可，故此时有
种情况，
上面②③两种情况有重复的1 种情况，就是
水闸打开，
同时关闭的情况，
故共有
种情况.
故选：B
4．（2024·陕西西安·三模）方程
的非负整数解的组数为（ ）
A．40
B．28
C．22
D．12
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】代数中的计数问题
【分析】将
分解质因数，即可求出
的因数的个数，从而得解.
【详解】因为
，所以
的因数有
个，
故方程
的非负整数解的组数为40．
故选：A
5．（24-25 高二上·北京西城·期末）从数字
中，可重复地取出3 个数字，组成各位数字之和等于6
的三位数，这样的三位数的个数为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】数字排列问题
【分析】分别讨论和为6 的情况，再结合排列组合概念即可求解；
【详解】三个数字和为6 的情况有：222,114,123，
对于3 个2 的排列只有1 个；
对于1，1，4 的排列有
个，
对于1，2，3 的排列有
个，
所以这样的三位数有10 个，
故选：C
6．（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）用红、黄、蓝等6 种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两
个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．25
B．630
C．605
D．580
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】涂色问题
【分析】先计算所有的情况，然后计算不涂红色和只有一个圆涂红色，最后求差即可.
【详解】先涂第一个圆，由6 种情况；再涂第二个圆有5 种情况；涂第三个圆有5 种情况；涂第四个圆有5
种情况；涂第五个圆有5 种情况，利用计数原理可知，一共有
种；
若没有红色，
先涂第一个圆，由5 种情况；再涂第二个圆有4 种情况；涂第三个圆有4 种情况；涂第四个圆有4 种情况；
涂第五个圆有4 种情况，一共有
种；
若红色涂一个圆，
当红色涂第一个圆，再涂第二个圆有5 种情况；涂第三个圆有4 种情况；涂第四个圆有4 种情况；涂第五
个圆有4 种情况，一共有
种；
当红色涂第二个圆，再涂第一个圆有5 种情况，涂第三个圆有5 种情况，涂第四个圆有4 种情况；涂第五
个圆有4 种情况；一共有
种；
当红色涂第三个圆，再涂第二个圆有5 种情况，涂第四个圆有5 种情况，涂第一个圆有4 种情况；涂第五
个圆有4 种情况；一共有
种；
当红色涂第四个圆，再涂第三个圆有5 种情况，涂第五个圆有5 种情况，涂第一个圆有4 种情况；涂第二
个圆有4 种情况；一共有
种；
当红色涂第五个圆，再涂第四个圆有5 种情况，涂第是三个圆有4 种情况，涂第二个圆有4 种情况；涂第
一个圆有4 种情况；一共有
种；
所以红色至少涂两个圆的方案有
.
故选:B
二、填空题
7．（24-25 高二下·安徽·阶段练习）已知有4 名工人分别在4 个不同的岗位，现根据需要进行轮岗调整，则
至少有3 名工人岗位变动的轮岗方式种数有 .
【答案】17
【难度】0.65
【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用
【分析】根据分类加法原理和分步乘法原理求解即可.
【详解】分两类：当恰有3 名工人岗位变动时，则先从4 名工人中选出1 名保持岗位不变，
剩余3 名工人进行错位排列有
种；
当4 名工人岗位全部变动时，则不妨记4 名工人分别为
，对应的岗位分别为
，
工人
有3 种岗位选择，若工人
选择岗位
时，
则工人
选择对应的岗位为
、
或
共3 种轮岗方式，
同理工人
选择岗位时有3 种轮岗方式，工人
选择岗位
时有3 种轮岗方式，
所以4 名工人进行错位排列有
种；
综上，共有
种轮岗方式.
故答案为：17
8．（24-25 高二下·陕西咸阳·期末）如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重
复，则不同的参观路线共有 种．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用
【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.
【详解】解：参观路线分步完成：
第一步，选择三个“环形”路线中的一个流览，有3 种选法；
而在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针2 类方法完成；
第二步，选择余下的两个“环形”路线中的一个游览，有2 种方法，
同理，在游览选择的“环形”时，可以按顺时针或按逆时针两类方法完成；
第三步，游览最后一个“环形”路线，也可以按顺时针或按逆时针两类方法完成，
根据分步乘法计数原理可知不同的参观路线共有
种.
故答案为：
9．（24-25 高二下·四川广元·期中）1800 有 个不同的正因数．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、代数中的计数问题
【分析】根据题意，
，结合分步乘法计数原理，即可得到结果.
【详解】
，
每一个正因数都可表示为
，
其中
，且
均为非负整数，
对
有
种可能选法，即
，
对
有种可能选法，即
，
对
有种可能选法，即
，
由分步乘法计数原理可得，
的正因数有
个.
故答案为：
10．用数字
，，
，，
，，
，
组成没有重复数字且至多有一位数字是偶数的四位个数，那么这
样的四位数一共有 个.
【答案】
【难度】0.94
【知识点】分类加法计数原理、分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题
【分析】根据特殊元素“
”是否被选择进行分类讨论，根据分类加法计数原理可得解.
【详解】以特殊元素“
”为研究对象分类讨论.
（1）若四位数中有“
”，则“
”有种放法，
其他位置上的数字从，，，
中挑选，故共有
种；
（2）若四位数中无“
”，则这四位数字可以全为奇数或者有个偶数.
①全为奇数，有
种；
②有个偶数，则必从
，
，
中选个并可放置在任意数位上，其余位置填奇数，共有
种；
故满足条件的四位数有
个，
故答案为：
.
11．（24-25 高二下·安徽·阶段练习）某学校为培养学生的动手能力、合作能力和环保意识，在新的学期建
立了一块劳动基地（形状如图），并进行花卉种植活动．现有4 种不同的花卉，在基地的5 个区域种植，
只要求相邻区域种植不同的花卉，则不同的种植方法共有 种．
【答案】72
【难度】0.85
【知识点】涂色问题
【分析】按照分类加法和分步乘法计数原理计算可得结果.
【详解】依题意可按照
的顺序分为5 步进行种植，
则区域1，2，3 各有4 种、3 种、2 种不同的花卉供选择，
若区域4 与区域2 种植相同的花卉，则区域4 有一种选择，区域5 有2 种；
若区域4 与区域2 种植不同的花卉，则区域4 有一种选择，区域5 有1 种；
再由分类分步计数原理计算可得
.
故答案为：72
12．（2025 高三·全国·专题练习）在
共13 个数中挑出
个数，使得这
个数中
任意两个的差都不是5 或8，则
的最大值是 ．(用数字作答)
【答案】6
【难度】0.4
【知识点】其他计数模型
【分析】首先将13 个数字按照要求排成一圈，再按要求进行分析即可得出
的最大值．
【详解】如图，由题意，将13 个数排成一圈，使相邻的两个数的差是5 或8，
则其中任何相邻的数都不能同时取，
从1 开始按逆时针顺序把数染成实心和空心，则所有空心圈对应的数符合题意，共6 个，
且若
超过6 个，则必然会出现两个数相邻，因此
的最大值为6，
故答案为：6.
13．已知有红绿黄蓝4 个不同颜色的球及红绿黄蓝4 个不同颜色的盒子,现在在每个盒子里放一个球,并且确
保4 个盒子与盒子里的球的颜色都不相同,则不同的放法有 种.
【答案】9
【难度】0.85
【知识点】其他计数模型
【分析】将所有情况进行一一列举出数数即可.
【详解】解:记
为红绿黄蓝4 个不同颜色的球,将四个盒子按红绿黄蓝顺序放好,
将
表示放入四个盒子的球的颜色,
则所有的结果为:
共9 种.
故答案为:9
