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专题2.17 直线与圆锥曲线的位置关系
教学目标
1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系
2.会进行直线与圆锥曲线的位置关系的判断，能够计算弦长
教学重难点
重点：理解直线与圆锥曲线的位置关系，会判定及应用
难点：应用代数方法对直线与圆锥曲线的位置关系进行判定，相关计算的准确性
知识点01 直线与圆锥曲线的位置关系的判断
(1)代数法: 把圆锥曲线方程与直线方程联立消去
，整理得到关于
的方程
方程
的解
与的交点
无解（含是双曲线的渐
近线）
有一解（含与抛物线的
对称轴平行或与双曲线
的渐进性平行）
两个不等的解
一个切点
无公共点
(2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系
知识点02 直线与圆锥曲线相交弦长
1.设斜率为
(
)的直线与圆锥曲线
相交于
，
两点，
，
，则
2.特别，若直线过抛物线的焦点，则弦长
【即学即练】已知
是双曲线
与直线
的交点，求线段
的长度.
知识点03 中点弦
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处
理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点M (x0, y0)， x0= x1+x2
2
， y0= y1+ y2
2
2、点差法
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入椭圆方程，得
x
12
a2 +
y
12
b2 =1；
x
22
a2 +
y
22
b2 =1；
将两式相减，可得
x
12−x
22
a2
+
y
12−y
22
b2
=0；( x1+x2)( x1−x2)
a2
=−( y1+ y2)( y1−y2)
b2
；
最后整理得：1=−a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入抛物线方程，得y
12=2 px 1； y
22=2 px 2 ；
将两式相减，可得( y1−y2)( y1+ y2)=2 p( x1−x2)；整理得：
【即学即练】设双曲线
的动弦
所在直线的斜率为
中点为
，则
．
题型01 直线与圆锥曲线位置关系的判断
【典例1】已知直线
，椭圆
，则直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．相切或相交
【变式1】直线
与曲线
（
）的公共点的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2】直线
与椭圆
的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【变式3】直线
与双曲线
交点的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【变式4】对于抛物线
，若点
满足
，则直线
与抛物线
（ ）
A．恰有一个公共点
B．恰有两个公共点
C．有一个或两个公共点
D．没有公共点
(1)代数法: 把圆锥曲线方程与直线方程联立消去
，整理得到关于
的方程
方程
的解
与的交点
无解（含是双曲线的渐
近线）
无公共点
有一解（含与抛物线的
对称轴平行或与双曲线
的渐进性平行）
一个交点
两个不等的解
两个交点
两个相等的解
一个切点
无实数解
无公共点
(2)几何法:在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系
题型02 根据直线与圆锥曲线位置关系求参数
【典例1】若直线
与双曲线
有两个不同交点，则的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知直线
与椭圆
有公共点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】直线
与椭圆
总有公共点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
且
D．
且
【变式3】若命题p：
，命题q：直线
与抛物线
无公共点，则q 是p 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式4】若直线
与双曲线
的右支有两个交点，求k 的取值范围．
题型03 圆锥曲线的切线方程
【典例1】已知椭圆
的离心率为
，抛物线
的焦点是椭圆的
顶点．
(1)求抛物线的方程；
(2)过点
作抛物线的切线，求切线的方程．
【变式1】已知椭圆
，直线
，则椭圆
上的点到直线的距离的最大值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】写出与椭圆
：
和抛物线
：
都相切的一条直线方程 .
【变式3】求双曲线
在点
处的切线方程．
【变式4】已知点
是抛物线
上一点，
为
的焦点，且
.
(1)求
的准线方程；
(2)若点
位于第一象限，求
在点
处的切线的方程.
题型04 圆锥曲线的弦长问题
【典例1】已知椭圆
上任意一点
到
的两个焦点
的距离之
和为
.
(1)求
的方程；
(2)已知直线
与
相交于A，B 两点，若
，求
的值.
【变式1】已知椭圆
的短轴长为
，点
在
上．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知直线
与椭圆
交于
，
两点，且
，求
的值．
【变式2】已知双曲线
的左、右顶点分别为
，
，
在
上，满足
．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线（与
轴不重合）交
于
，
两点．若
，求直线的方程．
【变式3】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在
上，且
.
(1)求
的标准方程；
(2)过
的直线交双曲线
于
两点（
两点均位于
轴下方，
在左，
在右），线段
与线
段
交于点
，若
的面积等于
的面积，求
.
【变式4】在平面直角坐标系xOy 中，______，设点P 的轨迹为曲线C．从①点P 到
的距离比P
到y 轴的距离大
；②过点
的动圆恒与y 轴相切，FP 为该圆的直径这两个条件中任选一个补充在
横线上，并解答下列问题．
(1)求曲线C 的方程；
(2)设直线
与曲线C 相交于M，N 两点，若
，求实数k 的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
题型05 圆锥曲线的中点弦问题
【典例1】已知椭圆
：
，左右焦点分别为
，
，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为
C，D，又P，Q 是
上异于椭圆顶点的两点.
(1)若点Q 在第一象限且满足
的面积比
的面积大，求点Q 的横坐标的取值范围；
(2)若线段
的中点坐标为
，求直线
的方程；
【变式1】设椭圆
的上顶点为
，直线与椭圆相交于
、
两点
(1)若
，直线斜率的取值范围；
(2)设三角形
的重心为
，若
，求直线的方程
【变式2】已知双曲线
的焦点与椭圆
的焦点重合，其渐近线方程为
．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若双曲线
的一弦中点为
，求此弦所在的直线方程．
【变式3】已知
两点的坐标分别是
，直线
相交于点
，且它们的斜率之积是
2，记动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)过点
作直线与曲线
相交于
两点，点
能否是线段
的中点？若能，求直线
的方程，
若不能，请说明理由．
【变式4】设抛物线
的焦点为
，
是抛物线
上的点，且
．
(1)求抛物线
的方程；
(2)已知直线交抛物线
于
，
两点，且
的中点为
，求直线的方程．
题型06 根据圆锥曲线的弦长求参数
【典例1】已知椭圆C：
，
，P 是椭圆C 上任意一点，F 是椭圆C 的右焦
点，且
的最小值是1．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，若
，求直线l 的方程．
【变式1】已知椭圆
的离心率为
，且经过点
，直线与
轴交于点
，
与椭圆
交于
两点.
(1)求椭圆
的方程；
(2)若点
坐标为
，线段
的垂直平分线分别交直线
和于点
，若
，求直
线的斜率.
【变式2】已知双曲线
（
，
）的渐近线方程为
，焦距长为4．
(1)求C 的标准方程；
(2)点
在C 上，点P 的坐标为
，O 为原点，求
面积的最小值；
(3)过C 的右焦点F 的直线与C 交于D，E 两点，以DE 为直径的圆与直线
交于M，N 两点，若
，求直线DE 的方程．
【变式3】已知双曲线
过点
，右焦点
到渐近线的距离为
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)若直线过双曲线
的右焦点
，与双曲线
交于
两点，满足
，求直线的方程．
【变式4】已知抛物线
上的点
到焦点的距离为4.
(1)求
的值；
(2)过抛物线
的焦点的直线与抛物线
相交于
，
两点，且
，求直线的方程.
题型07 直线与圆锥曲线中的面积（定值）问题
【典例1】已知A，F 是椭圆
的右顶点和左焦点，椭圆E 过点
，且焦距为
2．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)直线
与E 交于M 点（不与B 点重合），求
的面积．
【变式1】已知双曲线
的中心为坐标原点
，且焦点在
轴上，点
在双曲线
上，其一条渐近线
方程为
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)过点
且倾斜角为
的直线与双曲线
交于
两点，求
的面积．
【变式2】已知双曲线
的离心率为
分别是双曲线
的左､右焦点，过
的
直线与双曲线
交于
两点，当直线垂直于
轴时，
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)若
的面积为
，求直线的方程.
【变式3】已知抛物线
的焦点到x 轴的距离为
，过点
的直线与抛物线E 交于A，
B 两点，设抛物线E 在点A，B 处的切线分别为和
，已知与x 轴交于点M，
与x 轴交于点N，设与
的交点为P
(1)求抛物线E 的标准方程；
(2)证明：点P 在定直线上；
(3)若
的面积为
，求点P 的坐标．
【变式4】已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，若C 的离心率为2，点
在C 上，过
的直线l 交C 的右支于P，Q 两点．
(1)求直线AP，AQ 的斜率之积；
(2)若
的面积为
，求l 的方程．
题型08 直线与圆锥曲线中的面积（最值、范围）问题
【典例1】已知椭圆的两个焦点
，过点
作垂直于长轴的直线交椭圆于点
，此时与
椭圆长轴的两端点
形成的四边形的面积为2．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点
作两条互相垂直的直线
与椭圆分别交于点
及
，求四边形
的面积的最
小值．
【变式1】平面直角坐标系
中，M 是一个动点，直线
与直线
垂直，垂足
位于第一象
限，直线
与直线
垂直，垂足
位于第四象限，且
.
(1)求动点M 的轨迹方程C；
(2)若过点
的直线交曲线C 于B、D 两点，D 关于x 轴的对称点为点A（异于点B），直线AB 与x 轴
交于点G，求
面积的取值范围.
【变式2】已知双曲线
与椭圆
有相同的焦点，其中一条渐近线的倾
斜角为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)
的左、右焦点分别为
，若过
的直线与
交于
两点. 当
两点均在
的左支上时，求
面积的取值范围.
【变式3】抛物线
，点
为焦点，点
、
是抛物线
上任意不重合的两点.当直线
过点
且垂直
轴时，
.
(1)求抛物线
及其准线的方程；
(2)若以线段
为直径的圆过点
，求
面积的最小值.
【变式4】抛物线
的焦点
，准线的方程为
，
、
是抛物线上的两个动点，且满足
，设线段
的中点
在上的投影为
.
(1)求
的值；
(2)求证：
；
(3)求
面积的最小值.
题型09 圆锥曲线中的定点问题
【典例1】已知椭圆
的中心在原点
，焦点在
轴上，离心率为
，以椭圆
的四个顶点为顶点的四
边形的面积为
．
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)设椭圆
的右顶点为
，若直线与椭圆
交于
两点，满足
，证明：直线过
定点．
【变式1】已知双曲线
的左顶点为
，右焦点为
，
，
是
上的两点，线段
的中点为
．当
时，
．
(1)求
的标准方程；
(2)若
，求直线
的斜截式方程；
(3)若
，
，
三点不共线，且
，证明：直线
过定点．
【变式2】在平面直角坐标系
中，抛物线
的焦点为
，过
的直线交
于
两点，
，直线
与
的另一个交点分别为
．
(1)判断直线
的斜率与直线
的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理
由．
(2)证明：直线
经过定点．
【变式3】过抛物线
上的点
的直线，
分别交抛物线
于点
，
．设直线
，
的斜率分别为
，
，
，当
且点
，
关于
轴对称时，
的面积为16．
(1)求抛物线
的方程；
(2)当
时，证明：直线
过定点．
【变式4】已知点
，动点
到直线
的距离等于
，记动点
的轨迹为
．
(1)求
的方程；
(2)过点
的直线与
交于
两点，在
轴上是否存在定点
，使得
为定值？若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由．
题型10 圆锥曲线中的定值问题
【典例1】已知双曲线
的两个焦点为
为动点，若
.
(1)求动点
的轨迹
的方程；
(2)设点
，过点
作直线交轨迹
于
两点，判断
的大小是否为定值？并证明你
的结论.
【变式1】已知
，
，
为坐标原点，动点
满足
.
(1)求点
的轨迹方程；
(2)
，
是点
轨迹上的点，且
.记直线
，
的斜率分别为
，
，证明：
为定值，
并求出该定值.
【变式2】已知双曲线
经过
，
两点，
(1)求
的方程；
(2)若直线
交
于
，
两点，点
（异于点
，
），
的平分线与
轴垂直，求
证：的倾斜角为定值．
【变式3】已知动点
与定点
的距离与它到定直线
的距离的比是常数
，
(1)求动点
的轨迹；
(2)过上述轨迹上一点
作轨迹的切线与两直线
分别交于
、
两点，证明：三角形
的面积是定
值．
【变式4】已知抛物线
的焦点为F，点
在C 上，且
，其中O 为坐
标原点，过点
的直线l 与C 相交.
(1)求C 的方程；
(2)若l 与C 仅有一个公共点且斜率存在，求l 的斜率；
(3)若l 与C 交于M，N 两点，记直线OM 与直线ON 的斜率分别为
，
，证明：
为定值，并求出该
定值.
题型11 圆锥曲线中的定直线问题
【典例1】已知椭圆
过点
，短轴长为4．
(1)求椭圆
的方程；
(2)椭圆
与
轴的交点为
，
（点
位于点
的上方），直线
与椭圆
交于不同的两点
，
．设直线
与直线
相交于点
．试问点
是否在某定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，
说明理由．
【变式1】如图所示，椭圆
的左右顶点分别为
，过定点
（不妨设
）任意作直线交椭圆于
，若直线
与
相交于
，求证点
在定直线上．
【变式2】已知A，B 分别是双曲线C：
的左、右顶点，P 是C 上异于A，B 的一
点，直线PA，PB 的斜率分别为
，
，且
．
(1)求C 的方程；
(2)已知过点
的直线l：
交C 的左、右两支于D，E 两点（异于A，B），直线AE 与直线BD
交于点Q，证明：点Q 在定直线上．
【变式3】已知抛物线
，过点
的直线交抛物线于
、
两点，曲线
在点
、
处的切
线交点为
，求点
所在的直线．
【变式4】已知抛物线
，过点
的直线与
交于不同的两点
.当直线的倾斜
角为
时，
.
(1)求
的方程；
(2)在线段
上取异于点
的点
，且满足
，试问是否存在一条定直线，使得点
恒在这条
定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.
题型12 圆锥曲线中的向量问题
【典例1】椭圆Γ：
与双曲线C：
的离心率分别为
，
．
(1)若
，求
的值；
(2)当
时，设点
，若对于直线l：
，椭圆Γ 上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对
称，且
，求
的取值范围．
【变式1】设
为坐标原点，若椭圆
与直线
交于
两点，且
，圆
过点
．
(1)求
的方程及圆
的半径；
(2)若点
在
上，且
，判断直线
与圆
的位置关系，并说明理由．
【变式2】已知双曲线
的左、右顶点分别为
，离心率为2．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)O 为坐标原点，过点
且斜率不为0 的直线l 交双曲线C 于P，Q 两点（点P 在第一象限，点Q
在第二象限），直线OQ 交双曲线C 于点
，求
．
【变式3】设双曲线
的焦点分别为
，
，离心率为2．
(1)求此双曲线的渐近线，
的方程；
(2)若A，
分别为，
上的点，且
，求线段
的中点
的轨迹方程，并说明轨迹是什么
曲线；
(3)过点
能否作出直线，使与双曲线交于
，
两点，且
？若存在，求出直线的方
程；若不存在，请说明理由．
【变式4】已知抛物线
经过点
，直线过点
且与抛物线
有两个不同的交
点
，
.
(1)求抛物线
的准线方程；
(2)求直线的斜率
的取值范围；
(3)若直线
交
轴于
，直线
交
轴于
，设
为原点，
，
，求
的值.
1．椭圆E：
与曲线H：
在第一象限内交于P，Q 两点，则直线
的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知双曲线
，右焦点为
，直线经过
且与
轴垂直．若与
的两条渐近线分别交于
，
两点，则
的面积为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
3．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，P 是双曲线右支上一点，且直线
的斜率为2，
是面积为8 的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知双曲线
，过原点的直线的倾斜角为
，且
，若与
没有交
点，则
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知椭圆
的左、右焦点为
，上、下顶点为
，直线
与椭圆的另一个交
点为
，若
，则直线
的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知直线
与椭圆
相交于
两点，则线段AB 的中点M 的轨迹必经过点（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知抛物线C：
的焦点为F，过点F 的直线与C 交于A，B 两点，过A，B 分别作准线l
的垂线交l 于P，Q 两点，若
，且
的面积为
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．6
8．已知椭圆
的离心率为
，点A 为椭圆的左顶点，
为椭圆外一点，线段
的中点在椭圆上，若点P 在椭圆上，则
面积的最大值为（ ）
A．3
B．6
C．9
D．
9．已知椭圆
，则（ ）
A．C 的长轴长为8
B．C 的焦点坐标为
C．C 的离心率为
D．C 上的点到焦点的最大距离为
10．直线过点
与双曲线
有且只有一个交点，则这样的直线有 条．
11．已知抛物线
的焦点与椭圆
的右焦点重合．
(1)求抛物线
的方程；
(2)如图，若过点
的直线与抛物线
交于不同的两点A，B，O 为坐标原点，证明：
．
12．设圆
的圆心为
，直线过点
且与
轴不重合，交圆
于
、
两点，过
作
的平行线交
于点
．
(1)证明：
为定值，并求出点
的轨迹方程；
(2)求上述轨迹中以
为中点的弦所在的直线方程．
13．已知
为坐标原点，椭圆
：
的两个顶点坐标为
，
，短轴长为
．
(1)求
的方程；
(2)已知直线交
于
两点，直线
与
轴不平行，记直线
的斜率分别为
，
，且
，证
明：直线
恒过定点．
14．已知椭圆C：
的左、右焦点分别为
，
，P 为C 上一点，若
，
，
构成公差为
的等差数列，且
．
(1)求C 的方程；
(2)若过点
且斜率为k 的直线l 与C 交于M，N 两点，O 为坐标原点，且
，
，
则当k 取最大值时，求
的面积．
