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专题2.15 抛物线的标准方程
教学目标
①掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单性质。
②了解抛物线在实际问题中的初步应用。
教学重难点
教学重点：
1.抛物线的定义及其图形特征;
2.抛物线的标准方程及其性质;
教学难点：
1.抛物线与坐标轴的交点;
2.抛物线的焦点和准线。
知识点01 抛物线的定义
1、抛物线的定义：平面内与一个 和一条 （其中定点
不在
定直线上）的距离 的点的轨迹叫做抛物线，定点
叫做抛物线的
，定直线叫做抛物线的 ．
2、抛物线的数学表达式：
(
为点
到准线的距离).
【即学即练】已知抛物线
上的点P 到其焦点的距离为4，则点P 的坐标为 ．
知识点02 抛物线的标准方程
设
，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：
方程
y 2=2px （
）
y
2=−2px （
）
x 2=2 py
（
）
x
2=−2py （
）
图形
焦点
F(0, p
2 )
F(0,−p
2 )
准线
x=−p
2
x= p
2
特别说明：
1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线
的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为
;若一次项的字母是
,
则焦点就在
轴上,若其系数是正的,则焦点就在
轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在
轴
的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是
,则焦点就在
轴上,若其系数是正的,则焦点就在
轴的正半
轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在
轴的负半轴上(开口向下).
2、焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 .
3、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.
4、（1）通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于
，通径是过焦点最短的弦.
（2）抛物线y 2=2px （
）上一点
到焦点
的距离
，也称为抛物
线的焦半径.
【即学即练】方程
可以化简为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 抛物线定义的理解
【典例1】已知点
及抛物线
上一动点
，则
的最小值是 ．
【变式1】设点
为抛物线
上一点，F 为焦点，若
，则
（ ）
A．
B．4
C．
D．
【变式2】抛物线
上与焦点的距离等于6 的点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知抛物线
的焦点为
，
在C 上，则
．
【变式4】已知点
在抛物线
上，
的焦点为
，则
．
题型02 利用抛物线定义求方程
【典例1】点
到抛物线
的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
或
【变式1】已知点
，动圆
过点
，且与
相切，记动圆圆心
点的轨迹为曲线
，则曲线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知抛物线
的焦点为
为抛物线上一点，若
到
轴的距离为5，且
，则该抛物线的标准方程为 ．
【变式3】已知
为抛物线
：
（
）上一点，点
到
的焦点的距离为9，到
轴的距离为
6，则
（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【变式4】已知抛物线
（
）上的点
到焦点的距离为3，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
题型03 抛物线上点到定点距离及最值
【典例1】已知抛物线
的焦点为
为
上的动点，
为圆
上的动
点，设点
到
轴的距离为
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式1】已知P 是抛物线
上的一个动点，那么点P 到直线
的距离与到该抛物线准线距离
之和的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知
，P 为抛物线
上任一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】设点
为圆
上的一动点，点
为抛物线
上的一动点，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】抛物线
上动点
和圆
上动点
间的距离
的最小值是 ．
题型04 抛物线上点到定点与焦点距离的和（差）最值
【典例1】已知
是抛物线
的焦点，
是抛物线上的一个动点．若
为抛物线内部
一点，且
周长的最小值为
，则抛物线
的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知抛物线
的焦点为
，定点
，若对抛物线
上任一动点
，都有
恒成立，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2】（多选）已知点
在抛物线
上运动，
为抛物线的焦点，点
，则
的
值可能是（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【变式3】已知点
，设点
是抛物线
上任一点，
是抛物线的焦点，则
的最小值
为 ．
【变式4】抛物线
的焦点为F，点
为该抛物线上的动点，点
，则
的最大
值是 ．
题型05 根据抛物线方程求焦点和准线
【典例1】抛物线
的焦点坐标为 ．
【变式1】抛物线
的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】若抛物线
的焦点坐标为
，则抛物线C 的准线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）若直线
与抛物线
只有1 个公共点，则抛物线
的焦点坐标可
以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】设
，则抛物线
的焦点坐标为 ．
题型06 抛物线的焦半径公式
【典例1】已知
为坐标原点，
为抛物线
的焦点，点
在
上，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【变式1】已知点
在抛物线C：
上，则A 到C 的焦点的距离为 ．
【变式2】已知点
在以
为焦点的抛物线
上，若
，则
.
【变式3】抛物线
上一点
，焦点为
，已知
，则
．
【变式4】已知抛物线
：
的焦点为
，点
在抛物线
上，若
，则
．
抛物线y 2=2px （
）上一点
到焦点
的距离
，也称为抛物线的焦
半径.
题型07 求抛物线方程
【典例1】在平面坐标系中，动点P 和点
满足
，则动点
的轨迹方程为 ．
【变式1】若点
到直线
和它到点
的距离相等，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知平面直角坐标系中，动点
到
的距离比
到
轴的距离大2，则
的轨迹方程是
.
【变式3】点
，点B 是x 轴上的动点，线段PB 的中点E 在y 轴上，且AE 垂直PB，则点P 的轨迹方
程为 ．
【变式4】动点P（x，y）到y 轴的距离比到点（2，0）的距离小2，求点P 的轨迹方程．
题型08 抛物线的实际问题
【典例1】如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可
以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为80cm 时，灯的深度为50cm．为了使反
射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探
照灯的深度为 cm．
【变式1】世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860 年他奉拿破仑三世之命，研究用抛物面镜反射
太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相当广泛，技术也比较成
熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望得到大力推广的太阳能
利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为0.25m 的抛物面，则其轴
截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）
A．0.25
B．0.5
C．1
D．2
【变式2】某学习小组研究一种如图1 所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2 所示的抛物线，在轴
截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F 处，已知卫星接收天线的口径（直
径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，
平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成
太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径
为
，灶
深
为
，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面
，水面宽
，根据图中坐标
系，这条抛物线的方程为 ．
1．已知抛物线Γ：
的焦点为F，准线为l，过Γ 上一点P 作
于A，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
2．已知抛物线
的焦点为
，若
上一点
到
轴的距离为3，到
的准线的距离为
4，则直线
的倾斜角为（ ）
A．60°
B．60°或120°
C．30°
D．30°或150°
3．已知抛物线C 关于y 轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线
上，则抛物线C 的标准方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知抛物线
上的点
到焦点
的距离为 4 ，则点
到
轴的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．设抛物线
的焦点为F，准线为l，P 为抛物线上一点，
，A 为垂足，如果直线
的斜率为
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
6．在平面直角坐标系xOy 中，
为抛物线
的焦点，点
在
上，若
轴，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知点
，直线PA 的斜率为
，直线PB 的斜率为
，若
，则点
的轨迹方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知点
是抛物线
上的动点，定点
，则
到点
的距离与
到
轴的距离之和的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）抛物线
的焦点为
，点
在
上，若
.则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设
为抛物线
：
的焦点，点
为
上一点，过
作
轴的垂线，垂足为
，若
，则
．
11．已知抛物线
，焦点为
.
(1)求
的坐标及抛物线
的准线方程；
(2)已知点
是抛物线
上的一个动点，定点
，则当
点在抛物线C 上移动时，求
的最小
值.
12．求适合下列条件的抛物线的标准方程，并写出焦点坐标与准线方程.
(1)焦点
关于准线的对称点为
；
(2)关于
轴对称，与直线
相交所得线段的长为12.
13．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)焦点F 关于准线的对称点为
；
(2)关于y 轴对称，与直线
相交所得线段的长为12．
14．根据下列条件，求抛物线的标准方程：
(1)准线方程为
；
(2)焦点在
轴上且其到准线的距离为6.
