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专题18 拓展练一：中点弦问题
题型一：求直线方程
题型二：处理存在性问题
题型三：求弦中点的轨迹方程
题型四：确定参数的取值范围
题型五：定值定点问题
题型一：求直线方程
1．设圆
的圆心为
，直线过点
且与
轴不重合，交圆
于
、
两点，过
作
的平行线交
于点
．
(1)证明：
为定值，并求出点
的轨迹方程；
(2)求上述轨迹中以
为中点的弦所在的直线方程．
2．已知椭圆
：
，左右焦点分别为
，
，上下顶点分别为A，B，左右顶点分别为C，D，
又P，Q 是
上异于椭圆顶点的两点.
(1)若点Q 在第一象限且满足
的面积比
的面积大，求点Q 的横坐标的取值范围；
(2)若线段
的中点坐标为
，求直线
的方程；
3．已知双曲线
．若直线l 与双曲线C 相交于A，B 两点，线段AB 的中点坐标为
，求直
线l 的方程．
4．已知双曲线C：
的左顶点为A，右焦点为
，
，
是
上的两点，线段
的中点为
．当
时，
．
(1)求C 的离心率；
(2)若
，求直线
的一般式方程．
5．已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离小2，记动点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线与
交于
，
两点，若线段
的中点坐标为
，求直线的方程.
6．已知抛物线C：
的焦点为
，且抛物线的焦点到准线的距离为2．
(1)求该抛物线的方程；
(2)在抛物线
上求一点
，使得点
到直线
的距离最短；
(3)过点
的直线与抛物线
交于
两点，且
为
的中点，求直线的方程．
7．已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离小2，记动点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线与
相交于
两点，若线段
的中点坐标为
，求直线的方程.
8．已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离小2，记动点
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
(2)直线与
相交于
，
两点，若线段
的中点坐标为
，求直线的方程.
题型二：处理存在性问题
9．已知双曲线
，经过点
能否作一条直线，使与双曲线交于点
，且点
是线段
的中点?若存在这样的直线，求出它的方程;若不存在，说明理由.
10．（1）过点
的直线与椭圆
相交于
两点，若
为线段
的中点，求直线
的方
程．
（2）已知双曲线
，经过点
能否作一条直线，使与双曲线交于
，且点
是线段
的中点？若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由．
11．已知椭圆
：
，不与坐标轴垂直的直线与椭圆
交于
，
两点，记线段
的中点为
．
(1)若
，求直线
的斜率；
(2)记
，探究：是否存在直线，使得
，若存在，写出满足条件的直线的一个方程；若
不存在，请说明理由．
12．已知椭圆
的一个顶点为
，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)是否存在实数m，使直线
与椭圆有两个不同的交点M、N，并使
，若存在，求出
m 的值；若不存在，请说明理由．
13．已知双曲线
中，离心率为
，且经过点
．
(1)求双曲线方程；
(2)若直线
与双曲线左支有两个交点，求
的取值范围；
(3)过点
是否能作直线
与双曲线交于
、
两点，且使得
是
的中点，若存在，求出直线
的方程，若不存在，请说明理由．
14．已知动点P 到点
的距离是到直线
的距离的
倍，记动点P 的轨迹为曲线
.
(1)求
的方程；
(2)过点
能否作一条直线l，使得l 与
交于B，C 两点，且A 是线段BC 的中点？若存在，求出直线的
方程；若不存在，说明理由.
题型三：求弦中点的轨迹方程
15．求证：椭圆
中斜率为的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心.
16．设椭圆方程为
，过点
的直线交椭圆于点A、B，O 是坐标原点，点P 满足
，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程．
17．已知曲线
上一动点
到两定点
，
的距离之和为
，过点
的直线
与曲
线
相交于点
，
．
(1)求曲线
的方程；
(2)动弦
满足：
，求点
的轨迹方程；
18．如果抛物线
的切线交等轴双曲线
于
两点，求线段
中点的轨迹方程.
19．已知双曲线
经过点
，离心率为
．
(1)求
的方程．
(2)已知
的左、右焦点分别为
、
，直线与
相交于
、
两点，若的斜率为
，求线段
的中点
的轨迹方程．
20．已知双曲线
：
（
，
）的实轴长为2，点
到双曲线
的渐近线的距离为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)过点
的动直线交双曲线
于
、
两点，设线段
的中点为
，求点
的轨迹方程.
21．由点
向抛物线
引弦，求弦的中点的轨迹方程．
22．已知抛物线
，过点
作一条直线交抛物线于
，
两点，试求弦
的中点轨迹方程.
题型四：确定参数的取值范围
23．已知双曲线
的左右焦点分别为
､
，过左焦点
作斜率为2 的直线与双曲线交于
两
点，
是
的中点，
为坐标原点，若直线
的斜率为
，则
的值是 .
24．双曲线E：
，过
作直线l 交双曲线于A，B 两点，若不存在直线l 使得P 是线段
的中点，则t 的取值范围是 .
25．已知
，在拋物线
上存在两个不同的点关于直线
对称，则
的取值范围是
.
26．已知椭圆
的离心率为
，短轴长为2.
(1)求
的方程；
(2)若斜率为
的直线交
于
，
两点，线段
的中点为
，求
的取值范围.
27．已知椭圆
上的点
到左右两焦点
的距离之和为
，离心率为
.
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点
的直线交椭圆于A，B 两点.若
轴上一点
满足
，求直线斜率
的值.
28．已知
为圆
上的动点，
是圆
内一点，线段
的中垂线交
于点
，
当
在圆上运动时，点
所成的轨迹为曲线
．
(1)求曲线
的方程；
(2)若直线
与曲线
交于
、
两点，
为线段
的中点，求
、
的值．
、
题型五：定值定点问题
29．在直角坐标系xOy 中，椭圆C：
的焦距为
，长轴长是短轴长的2 倍，斜率为
k（k≠0）的直线l 交椭圆于A、B．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若P 为线段AB 的中点，设OP 的斜率为
，求证：
为定值．
30．已知椭圆的离心率为
，焦点是
和
，
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)若直线
（不过原点）与椭圆
交于
两点，线段
的中点为
，求直线
与直线
的斜率乘
积
的值.
31．已知直线
恰好经过双曲线
的左焦点
，且与
交于
，
两
点，
为
的中点，当
时，直线
的斜率为1．
(1)求双曲线
的方程；
(2)若直线经过
且与直线垂直，与双曲线
交于
，
两点，
为
的中点，证明：
与
的面积之比为定值．
