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专题2.14 双曲线的几何性质
教学目标
①掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线中a，b，c，e 的几何意义及范围。
②会根据双曲线的方程解决双曲线的几何性质，会用双曲线的几何意义解决相关问
题。
教学重难点
重点:双曲线的渐近线、离心率等几何性质:
难点:双曲线的离心率的意义及算法
知识点01 双曲线的几何性质
标准方程
（
）
（
）
图形
性质
范围
或
或
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点坐标
，
,
渐近线
离心率
，
，
a，b，c 间的关系
【即学即练】已知双曲线
经过点
，则
的虚轴长为（ ）
A．
B．2
C．
D．1
【答案】A
【分析】由题干得到双曲线方程可求出虚轴
【详解】由点
在双曲线
上，得
，解得
，即双曲线方程为
，所以
，则
的虚轴长为
．
故选：A
知识点02 等轴双曲线
（
，
）当
时称双曲线为等轴双曲线
①
； ②离心率e=√2 ； ③两渐近线互相垂直，分别为
；
④等轴双曲线的方程x2−y2=λ ，
；
【即学即练】已知等轴双曲线
过点
，则双曲线
的标准方程为 ．
【答案】
【分析】设出双曲线的方程，
代入双曲线的方程，求得参数的值，即可得到双曲线的方程
【详解】因为双曲线是等轴双曲线，
所以可设双曲线的方程为
，
将点
代入，可求得
，
所以所求双曲线的方程为
，
即为
，
故答案为：
.
知识点03 直线与双曲线的位置关系
1、代数法：设直线
，双曲线x2
a2−y2
b2 =1(a>0,b>0)联立解得：
(b2−a2k2)x2−2a2mkx −a2m2−a2b2=0
（1）
时，
，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，
，或k 不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）
时，
存在时，若b2−a2k2=0 ，k=±b
a ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若
，
时，
，直线与双曲线相交于两点；
时，
，直线与双曲线相离，没有交点；
时
，
直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，
时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
【即学即练】已知双曲线
，过点
作直线，使与
有且只有一个公共点，则满足条件
的直线共有（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
【答案】D
【分析】结合双曲线的性质与点
位置，画出对应图形即可得.
【详解】易知双曲线的焦点
，顶点
，渐近线为
，
由
可得该点在双曲线右顶点上方，
易得过
点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，
有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线（图1），
有两条双曲线右支的切线（图2），共4 条.
故选：D.
知识点04 弦长公式
1、直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于
，
两点，则
为直线斜率
2、通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于
、
两点，则弦长a=±1 .
【即学即练】已知双曲线
的实轴长为2，右焦点为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)已知直线
与双曲线
交于不同的两点
，
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据实轴长可求
，根据焦点坐标可求，然后可得方程；
（2）联立直线与双曲线的方程，利用韦达定理和弦长公式可求答案.
【详解】（1）由已知
，
，
又
，则
，
所以双曲线方程为
.
（2）由
，得
，
则
，
设
，
，则
，
，
所以
.
知识点05 双曲线与渐近线的关系
1、若双曲线方程为
渐近线方程：
2、若双曲线方程为
（
，
）
渐近线方程：
3、若渐近线方程为
，则双曲线方程可设为
，
4、若双曲线与
有公共渐近线，则双曲线的方程可设为
（
，焦点在
轴
上，
，焦点在
轴上）
【即学即练】双曲线
的渐近线方程为
【答案】
【分析】令双曲线
右边为
，再求解关于
与
的关系式，从而得到渐近线方程.
【详解】
故答案为：
.
知识点06 双曲线中点弦的斜率公式
设
为双曲线
弦
（
不平行
轴）的中点，则有
证明：设
，
，则有
，
两式相减得：
整理得：
，即
，因为
是弦
的中点，
所以：
， 所以
【即学即练】6．已知双曲线
的右焦点为
，直线与
的右支交于
两点.若线段
的中点坐标为
，求直线的方程.
【答案】
【分析】设
，根据题意利用点差法可得直线的斜率，即可得方程，注意检验.
【详解】设
，则
，直线的斜率
，
因为
在椭圆上，则
，两式相减得
，
整理可得
，即
，
可得直线的方程为
，即
，经检验符合题意，
所以直线的方程为
，即
.
题型01 由双曲线的方程求几何性质
【典例1】已知双曲线
的焦点分别是
、
，点P 在双曲线C 上，则下列结论正确的是
（ ）
A．
的最大值为4
B．
的最大值为2
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】D
【分析】设出点
的坐标，结合双曲线的范围，利用数量积的坐标运算求解即可.
【详解】根据题意，
的坐标为
，设点
的坐标为
，则
，
故
，
又
，故
，
又
，故当
时，取得最小值
，且其没有最大值，
故
的最小值为
，无最大值.
故选：D
【变式1】已知双曲线
，则
的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A．2
B．6
C．
D．
【答案】B
【分析】求出右焦点坐标、渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得答案.
【详解】因为
，所以
，
可得右焦点坐标为
，其中一条渐近线方程为
，
右焦点到其渐近线的距离为
.
故选：B.
【变式2】（多选）已知
，且
，双曲线
与
，则下列结论错误
的是（ ）
A．它们的实轴长相等
B．它们的焦点相同
C．它们的离心率相等
D．它们的渐近线相同
【答案】BD
【分析】根据双曲线的方程一一求出它们的实轴长、焦点位置、离心率和渐近线方程即可判断各选项．
【详解】对于A，由题意可知双曲线
的长轴长均为
，所以它们的实轴长相等，故A 正确；
对于B，双曲线
的焦点分别在
轴和y 轴上，所以它们的焦点不相同，故B 错误；
对于C，双曲线
的焦距均为
，所以它们的离心率均为
，即它们的离心率相等，故C
正确；
对于D，双曲线
的渐近线分别为
和
，
因为
，所以它们的渐近线不相同，故D 错误.
故选：BD
【变式3】若双曲线与椭圆
的焦点相同，且过点
，则该双曲线的标准方程为 .
【答案】
【分析】根据椭圆方程求出焦点坐标，设双曲线方程，代入点
求出参数即可.
【详解】
可化为
，其焦点为
和
，
所以双曲线焦点为
和
，即
，
故设双曲线方程为
，
因其过点
，代入可得
，解得
或
（舍去），
故双曲线的方程为
.
故答案为:
.
【变式4】在双曲线
中，
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】化简双曲线方程，求出
值，即可得到答案.
【详解】由双曲线
，可得：
，所以
，则
，故
的取值范围是
，
故答案为：
题型02 根据双曲线几何性质求其标准方程
【典例1】（1）平面直角坐标系中，求经过两点
的椭圆标准方程；
（2）平面直角坐标系中，求与双曲线
有公共渐近线，且经过点
的双曲线标准方程.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）设椭圆方程为
（
，根据椭圆所过的点列方程组求出
即可
得解；
（2）由题意设双曲线方程为
，再根据所过的点求出
即可得解.
【详解】（1）设椭圆方程为
（
，
则
，解得
，∴椭圆方程为
；
（2）由题意设双曲线方程为
，
因为双曲线过点
，所以
，故
，
所以双曲线标准方程为
，即
.
【变式1】求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)过点
，且与双曲线
的离心率相等；
(2)两顶点间的距离为8，渐近线方程为
.
【答案】(1)
(2)
或
.
【分析】（1）利用已知条件确定双曲线焦点位置，从而可求解
，
，即可得到双曲线方程；
（2）由已知可得
，分别讨论当焦点在
轴上，利用渐近线方程求得
的值，从而得双曲线方程.
【详解】（1）由题意可知：双曲线的焦点在
轴上，设双曲线方程为
，且
，
又双曲线
的离心率为
，则
，得
，
故
，所以双曲线的方程为
.
（2）由题意知
，当双曲线的焦点在
轴上时，则
，可得
，
所以双曲线的方程为
；
当双曲线的焦点在
轴上时，则
，可得
，
所以双曲线的方程为
；
综上所述：双曲线的方程为
或
.
【变式2】（1）已知双曲线过点
，渐近线方程为
，求该双曲线的标准方程．
（2）求经过点
的双曲线的标准方程．
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）结合双曲线的渐近线方程，设双曲线方程为
，代入给定点即可得解.
（2）设双曲线方程为
，代入求解方程组即得.
【详解】（1）由双曲线的渐近线方程为
，设双曲线的方程为
，
而该双曲线过点
，则
，
所以该双曲线的标准方程为
.
（2）依题意，设双曲线方程为
，
则
，解得
所以该双曲线的标准方程为
.
【变式3】（1）求与椭圆
有相同的焦点，且经过点
的椭圆标准方程；
（2）求焦点在
轴上，虚轴长为8，离心率为
的双曲线标准方程；
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】（1）写出已知椭圆参数
，结合共焦点及椭圆所过的点求椭圆标准方程；
（2）根据虚轴长、离心率及双曲线参数关系求双曲线参数，即可得双曲线标准方程.
【详解】（1）由
，可知
，令所求椭圆为
且
，
则
且
在椭圆上，可得
，故
，
，
所以，所求椭圆标准方程为
.
（2）由题意，令双曲线为
且
，
，
所以
，故所求双曲线标准方程为
.
【变式4】已知双曲线
的离心率为
，且双曲线的右焦点
到一条渐近线的距
离为2．求
的方程．
【答案】
【分析】根据离心率设
，再根据渐近线方程结合点到直线距离即可得到关于
的方
程，解出即可.
【详解】由题意知，双曲线的离心率为
，设
，则
，
设双曲线的一条渐近线方程为
，
则双曲线的右焦点
到渐近线的距离为
，解得
，
所以
的方程为
．
题型03 双曲线的渐近线问题
【典例1】过原点的直线与双曲线
的左、右两支分别交于M，N 两点，若以线
段MN 为直径的圆过C 的右焦点F，且
，则C 的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】由题可得四边形
为矩形，则
，由
，结合
，求
出
，再利用勾股定理即可求解.
【详解】如图，设
为C 的左焦点，连接
，则四边形
为平行四边形，
因为以线段MN 为直径的圆过F，所以
，从而四边形
为矩形，
所以
．
由双曲线的定义，得
，即
，
又因为
，所以
．
由
，得
，解得
，
所以
，故C 的渐近线方程为
．
【变式1】双曲线
的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线方程直接代入渐近线方程计算可得结果.
【详解】由双曲线
可得其标准方程为
，则
，
所以
，所以渐近线方程为
；
故答案为：
【变式2】若双曲线
的渐近线为 .
【答案】
【分析】化方程为双曲线的标准方程，即可得出渐近线方程.
【详解】由
可得
，
所以双曲线的渐近线方程为
，
故答案为：
【变式3】双曲线
的渐近线方程为 ．
【答案】
【分析】根据双曲线方程直接写出渐近线方程即可.
【详解】由方程知，双曲线对应参数为
，则其渐近线为
，
所以，渐近线方程为
.
故答案为：
【变式4】双曲线
的右顶点到其渐近线的距离为 .
【答案】
/
【分析】由双曲线方程依次得其渐近线和顶点坐标，再利用点到直线距离即可求解.
【详解】易得该双曲线的渐近线方程为
，右顶点坐标为
，
则其右顶点到其渐近线的距离为
．
故答案为：
.
题型04 双曲线的离心率问题（定值）
【典例1】已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，O 为坐标原点，若点P 在C 的
右支上，且
，
，则C 的离心率为 ．
【答案】
【分析】在
和
中，利用余弦定理并结合已知条件可得
，从而可得离心率.
【详解】如图，在
中，由余弦定理得
，同理可得
．
又因为
，且
，所以
，即
，又因为
,
所以C 的离心率
．
故答案为：
.
【变式1】已知双曲线E：
的左、右焦点分别为
，
．若点A，B 在E 的左支
上，且
，
，则E 的离心率为 ．
【答案】
/
【分析】假设点
在第二象限，设
，则
,结合双曲线定义、勾股定理得
，再由勾股
定理得
，结合离心率公式解方程即可得解.
【详解】假设点
在第二象限，如图，设
，则
．
由双曲线的定义得
，
．
因为
，所以在
中，
，
即
，整理得
，
所以
，
，
故在
中，
，即
，
整理得
，所以
．又
，所以
．
故答案为：
.
【变式2】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，椭圆
的离心
率为，直线
过点
且与双曲线交于
，
两点，若
，且
，则双曲
线
的离心率为 ．
【答案】2
【分析】根据条件用
表示
，在
及
中，分别利用余弦定理
表示
，
，由
可得
的齐次式，从而可出离心率．
【详解】椭圆
，则椭圆的长半轴长
，短半轴长
，半焦距
，
易知椭圆的离心率
，从而
．
若
，
，则
，
从而
，
，
设双曲线的半焦距为，双曲线
的离心率为
，
在
中，由双曲线的定义可知
，从而
，
由余弦定理可得：
．
在
中，由双曲线的定义可知
，从而
，
．
由
，可得
，
即
，则
，
解得
或
（舍去）．
故答案为：2．
【变式3】已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，过
的直线与双曲线
的右
支相交于点
，分别过点
，
作直线
的垂线，垂足分别为N，M，且
为线段
的中点，
，则此双曲线的离心率为 .
【答案】
/
【分析】先画出图形，根据相似和勾股定理可得
，然后根据双曲线的定义可求出
，然后在直角三角形
中根据勾股定理可求出
之间的关系，从而求出离心率.
【详解】如图所示，根据相似，
.
因为
，所以
.
所以
，又
，
根据勾股定理得
，化简得
，
所以
，故
.
故答案为：
.
【变式4】已知双曲线
的右焦点为
，右顶点为
，过点
且与
轴垂直的直线
与
在第一象限交于点
，直线
与
的渐近线在第一象限交于点
，若
是
的中点，则
的离心
率为 ．
【答案】
【分析】利用双曲线方程求得
，
，利用中点坐标公式求得
，结合点
在渐近
线方程
上，可求得离心率.
【详解】由双曲线
，可得右焦点
，右顶点
，
过过点
且与
轴垂直的直线方程为
，代入双曲线方程可得
，
解得
，又因为点
在第一象限，故
，
因为
是
的中点，所以由中点坐标公式可得
，
直线
与
的渐近线交于点
，又渐近线方程
，
所以
，所以
，两边平方得
，
所以
，所以
，所以
，
所以双曲线
的离心率为
.
故答案为：
.
求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得
、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于
、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
题型05 双曲线的离心率问题（最值或范围）
【典例1】如图，
，
分别为双曲线
的左、右焦点，A 为双曲线C 左支上一
点，四边形
为等腰梯形，且
．若
，则双曲线C 的离心率的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义可得
，在
中结合余弦定理代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
，由双曲线的定义可知，
，
又四边形
为等腰梯形，且
，则
，
则
，
在
中，由余弦定理可得，
，
即
，
化简可得
，即
，解得
，
又
，所以
.
故选：D
【变式1】已知双曲线
的焦距为
，直线过点
，且点
到直线的
距离与点
到直线的距离之和
，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题可得
，由
可得
，据此可得答案.
【详解】设直线
，即
．由点到直线的距离公式，
得点
到直线的距离
，点
到直线的距离
.
因
，则
.
由
,则
.
故选：C．
【变式2】已知双曲线
的上下焦点分别为
，点
在
的下支上，过点
作
的一条渐近线的垂线．垂足为
．若
恒成立，则
的离心率的取值范围是
【答案】
【分析】根据题意画出草图，结合草图找到不等关系，再利用双曲线的离心率公式化简求范围.
【详解】如图，过点
作渐近线的垂线，垂足为
，
设
，则点
到渐近线
的距离
.
由双曲线的定义可得
，故
，
所以
，即
的最小值为
，
因为
恒成立，所以
恒成立，即
恒成立，
所以，
，即
，即
，
所以，
，即
，解得
.
故答案为：
.
【变式3】已知
，
分别是双曲线
的左、右焦点，
是双曲线右支上的一
点，
是线段
的中点，
，
，则双曲线
的离心率的取值范围是
．
【答案】
【分析】由
可知
，又可得
，则
．设
，
，在
中，由双曲线的定义及勾股定理可求得
，
．由
根据正弦定理可知
，进而可求得离心率的范围．
【详解】由
可知
，
由
是线段
的中点，
是线段
的中点，则
，可得
．
设
，
，
在
中，由双曲线的定义可知
，由勾股定理可知
，
则
，
，
因为
，所以由正弦定理可知
，
代入整理可得
，则
，
又
，所以
．
则双曲线
的离心率的取值范围是
．
故答案为：
．
【变式4】已知
，
分别是双曲线
的左、右焦点，过点
且与双曲线的一条
渐近线平行的直线交另一条渐近线于点
，若
为锐角，则双曲线离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用
得
的关系式，然后求得离心率范围.
【详解】设直线
的方程为
，则其与另一条渐近线
的交点为
，
由
为锐角，可得
，即
，
化简得
，
，
，所以
．故离心率的取值范围为
．
故答案为：
求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得
、的值，根据离心率的定义求建立不等关系求出离心率
取值范围；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于
、的齐次不等式，然后转化为关于的不等式；
题型06 根据双曲线的离心率求参数
【典例1】已知双曲线
的离心率为
，则
．
【答案】
或
【分析】直接利用双曲线的方程，求出
，
，，利用离心率公式求解即可．
【详解】解：双曲线
，
当焦点在
轴时，
，
，
可得
，
双曲线
的离心率为
，
，即
，解得
，
当焦点在
轴时，
，
，
可得
，
双曲线
的离心率为
，
，
可得
，即
，可得
．
故答案为：
或
．
【变式1】若双曲线
的离心率为
，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据双曲线的离心率公式求出
的值，再利用双曲线渐近线方程的公式得出渐近线方程.
【详解】已知离心率
，由离心率公式可得
（这是因为
，两边同时除以
得到
，再开方就得到
）.
所以
，平方可移项得到
. 可得
.
对于双曲线
（
，
），其渐近线方程为
.
已经求得
，将其代入渐近线方程，可得渐近线方程为
.
故选：A
【变式2】已知双曲线C：
的离心率
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】运用离心率公式计算即可.
【详解】若曲线C：
表示双曲线，且
，
则双曲线标准方程为
，
，
则
，即
.
故选：A.
【变式3】已知
，
是双曲线
的两个焦点，
为
上一点，且
，
，若
的离心率为
，则
的值为（ ）
A．3
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出
，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为
，由双曲线的定义可得
，
所以
，
；
因为
,由余弦定理可得
，
整理可得
，所以
，
即
,解得
或
,又因为
,即
.
故选：A
【变式4】（多选）若双曲线
的离心率是2，则
的值可以是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】BC
【分析】根据双曲线的解析式，确定
取值范围，分
和
两种情况结合双曲线离心率列出方程
解得
即可.
【详解】因为双曲线方程为
，所以有
，
解得
或
；双曲线离心率为
若
，则有
，
，双曲线离心率为
，
即
，解得
；
若
，则有
，
，双曲线离心率为
，
即
，解得
；所以
或
.
故选：BC
题型07 直线与双曲线的位置关系
【典例1】若直线
与双曲线
的右支有两个交点，求k 的取值范围．
【答案】
【分析】本题是含参直线与双曲线的右支有两个交点，联立方程列出不等式，求解参数
的取值范围.
【详解】联立方程组消去y 所得的方程为
，由题意，设方程的两根为
，
则
解得
或
．
所以k 的取值范围为
．
【变式1】“
”是“直线
与双曲线
只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】法一：根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算, 即可得到
的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
法二：利用直线过定点的特征，结合双曲线渐近线可作出判断.
【详解】法一：由题意，联立方程
可得
，
当
时，即
时，方程有一解，即只有一个公共点；
当
时，
，方程有两解，即有两个公共点，不符合题意.
所以，直线
与双曲线
只有一个公共点时，
.
所以“
”是“直线
与双曲线
只有一个公共点”的充要条件.
法二：因为直线
过定点
，双曲线的右顶点为
，如图，
根据图象可知，当且仅当直线与双曲线的渐近线
平行时，直线与双曲线只有 交点.
所以“
”是“直线
与双曲线
只有一个公共点”的充要条件.
故选：C.
【变式2】已知直线的方程为
，双曲线
的方程为
若直线与双曲线
的右支交于不
同的两点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数
的取值范围.
【详解】由题设，有
，得
，
因为直线与双曲线
的右支交于不同的两点，故
，解得
，
故选：D.
【变式3】已知双曲线
，过点
作直线与双曲线
有且只有一个交点，这样的直线可以
作 条（填“条数”）．
【答案】4
【分析】明确点
与双曲线和双曲线渐近线的位置关系即可得解.
【详解】由题双曲线
的渐近线方程为
，
因为点
在第四象限，在双曲线外，且不在渐近线上，
所以如图过点
作与双曲线
有且只有一个交点的直线可以作出2 条与双曲线右支相切的切线和2
条分别与两条渐近线平行的直线.
故答案为：4.
【变式4】若直线
与双曲线
的左、右两支各有一个交点，则实数k 的取值范围是
.
【答案】
【分析】直线过
，根据渐近线斜率可得到取值范围.
【详解】当直线
与双曲线
的渐近线
平行时，
，
此时直线与双曲线的其中一支有一个交点，
若直线
与双曲线
的左、右两支各有一个交点，
可得直线
一定在两渐近线之间，
则k 的取值范围为
.
故答案为：
.
1、代数法：设直线
，双曲线x2
a2−y2
b2 =1(a>0,b>0)联立解得：
(b2−a2k2)x2−2a2mkx −a2m2−a2b2=0
（1）
时，
，直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；
，
，或k 不存在时，直线与双曲线没有交点；
（2）
时，
存在时，若b2−a2k2=0 ，k=±b
a ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；
若
，
时，
，直线与双曲线相交于两点；
时，
，直线与双曲线相离，没有交点；
时
，
直线与双曲线有一个交点；相切
不存在，
时，直线与双曲线没有交点；
直线与双曲线相交于两点；
题型08 弦长问题
【典例1】已知双曲线
的实轴长为2，右焦点F 到渐近线的距离为
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线
被双曲线C 截得的弦长为
，求实数m 的值.
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据已知实轴长、焦点与渐近线距离，结合点线距离公式列方程求参数，即可得双曲线方
程；
（2）联立直线与双曲线，应用韦达定理及弦长公式列方程求参数即可.
【详解】（1）∵双曲线
的实轴长为2，右焦点F 到渐近线的距离为
，
到直线
的距离为
，
∴
，解得
，
，所求双曲线C 的方程为
.
（2）联立
，得
，
∵直线
被双曲线C 截得的弦长为
，
∴
，设直线与双曲线交于
，
，
则
，
，则
.
【变式1】已知双曲线
：
，点
的坐标为
．设直线 过点
，斜率为
，它与双曲线
交于
、
两点，求线段
的长．
【答案】
【分析】联立直线与双曲线方程，根据弦长公式即可求解.
【详解】直线的方程为
．
由方程组
，
得
．
设
，
则
，
．
【变式2】已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，点
在
上，且
.
(1)求
的标准方程；
(2)过
的直线交
于M，N 两点，线段
与线段
交于点
，若
的面积等于
的面积，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由
且
得
，根据勾股定理即可求出
，再由双曲线的定义
即可求出
，最后利用
即可求出
；
（2）设过
的直线为
， 与双曲线方程联立根据韦达定理有
，由弦长公式
，最后由
即可求出
.
【详解】（1）因为
且
，所以焦点
，即
，
，
所以
，
根据双曲线的定义有
，所以
，
所以双曲线
.
（2）根据题意过
的直线斜率为0 显然不满足题意，可设过
的直线为
，
由
，
当
时，有
，
设
，则由韦达定理有
，
所以
，
因为
，所以
，即点
和点
到直线
的距离相等，
则有
，解得
，
所以
，
【变式3】已知中心在坐标原点的双曲线的右焦点坐标
，且离心率
.
(1)求双曲线的标准方程和渐近线方程；
(2)过双曲线右焦点且倾斜角为
的直线与双曲线交于
、
两点，求
.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）由题意可得的值，再由离心率，可得
的值，进而求出
的值，由此可求出双曲线的方程
以及渐近线方程；
（2）由题意得到直线方程
，与双曲线方程联立，利用弦长公式计算即可.
【详解】（1）由题意可得
，可得
，且焦点在
轴上，
所以
，
所以双曲线的方程为：
；渐近线的方程为：
；
（2）过双曲线右焦点且倾斜角为
的直线方程为：
，
联立双曲线方程可得：
，
所以
，
则
.
【变式4】已知双曲线
的离心率
，实轴长
.
(1)求
的方程；
(2)过
的右焦点且倾斜角为
的直线交
于
，
两点，求
；
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据已知得
、
，即可得双曲线方程；
（2）由题设可得
，联立双曲线方程，应用韦达定理及弦长公式求
.
【详解】（1）由题设
，又
，
所以
，则
.
（2）由右焦点为
，则
，
联立双曲线方程，得
，整理得
，
显然
，则
，
，
所以
.
题型09 三角形面积问题
【典例1】已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
，
，若C 的离心率为2，点
在C 上，过
的直线l 交C 的右支于P，Q 两点．
(1)求直线AP，AQ 的斜率之积；
(2)若
的面积为
，求l 的方程．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据条件求出双曲线方程为：
，设l 的方程为
，
，
，
与双曲线方程联立，由韦达定理可得
，
，代入
化简即
可求解.
（2）化简
，由
，解出
的值，判断其合理性
即可.
【详解】（1）由题意得
，解得
，
所以C 的方程为
．
所以
，由于直线l 的斜率不为0，设l 的方程为
，
，
，
联立
消去
得
，
由
，
得
，则
，
，
故
．
（2）由（1）得
，
，
所以
所以
，
即
，即
，
解得
或
，
因为直线l 交C 的右支于P，Q 两点，
所以
且
，
即
，
，
解得
，所以仅有
满足题意，
所以直线l 的方程为
或
．
【变式1】已知点
在双曲线C：
上，直线l 交C 于P，Q 两点，直线
的斜
率之和为0．若
，求
的面积．
【答案】
．
【分析】点
代入求得双曲线方程，直线AP，AQ 的斜率之和为0．得直线
倾斜角关系，然后
由
求得直线
的斜率、方程，直线方程与双曲线方程联立利用韦达定理求得
，再由面积公式得结论.
【详解】将点
代入C 得
，
解得
．所以C 的方程为
．
不妨设直线
的倾斜角
，
则
或
．
因为C 的渐近线的斜率为
，
由
得
，
解得
或
（舍）或
（舍）或
（舍），
所以
，
．
故直线
的方程为
，
直线
的方程为
，
联立
消去
得
，
，
，
所以
．
联立
消去
得
，
，
，
同理
．
由
得
，
所以
．
【变式2】已知双曲线
的左顶点为
，右焦点为
.过点
且垂直于
轴的直线与
交
于
，
两点，其中
位于第一象限，且
.
(1)求
的方程；
(2)过点
且斜率为
的直线与
交于
，
两点，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直线
的方程为
，由已知可得
，进而求解即可得
的方程；
（2）求得
，设
，
，与双曲线联立方程组可得
，
，根据
，可求面积.
【详解】（1）由题可知
，设
.
因为直线
与
轴垂直，所以直线
的方程为
，与
的方程联立得
，
由
，可知
是等腰直角三角形，所以
，
即
，解得
（负值舍去），所以
，
所以
的方程为
.
（2）由（1）可得
，
，
由
得
，
设
，
，且
，则
，
.
所以
.
由（1）可得，
，
又
，
所以
.
【变式3】已知双曲线
的焦距为
，右顶点为
，点
在双曲线
的渐近
线上．
(1)求双曲线
的方程；
(2)过点
作斜率为
的直线与双曲线
交于M，N 两点，若
的面积为
，求实数
的值．
【答案】(1)
(2)
或
或
【分析】（1）设双曲线的半焦距为，由条件列关于
的方程，解方程可求
，由此可得结论；
（2）设直线的方程为
，联立方程组，结合设而不求法利用
表示
的面积，列方程求
可得结论.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为，
由题意可知
，①
又因为
在双曲线
的渐近线上，所以
，②
由方程①和②解得
，
所以双曲线
的方程为
．
（2）由题意可设直线的方程为
，
联立方程
可得
①，
所以
，
且方程①的判别式
，
得
且
．
设直线与双曲线
交于
两点，有
则
，
所以
，即
，
解得
或
或
，
所以实数
或
或
．
【变式4】已知双曲线
的离心率为
分别是双曲线
的左､右焦点，过
的
直线与双曲线
交于
两点，当直线垂直于
轴时，
.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)若
的面积为
，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）根据双曲线的离心率公式、通径公式以及双曲线中
、
、的关系列出方程组，求解出
、
的值，进而得到双曲线的标准方程.
（2）先设出直线方程，然后联立直线与双曲线方程，利用韦达定理得到
和
，再根据三角形面积
公式列出关于
的方程，求解出
的值，从而得到直线方程.
【详解】（1）由题意可得
解得
，
故双曲线
的标准方程为
.
（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线
.
联立
整理得
，
则
，
.
因为
的面积为
，
所以
，即
，
整理得
，即
，即
，
解得
，所以
，
故直线的方程为
或
题型10 中点弦和点差法
【典例1】已知双曲线
的焦点与椭圆
的焦点重合，其渐近线方程为
.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)过点
作直线与曲线C 相交于P，Q 两点，点N 能否是线段PQ 的中点？若能，求直线PQ 的方程；
若不能，请说明理由.
【答案】(1)
；
(2)不能，理由见解析.
【分析】（1）根据条件计算双曲线焦点坐标，结合渐近线方程可得结果.
（2）利用点差法计算直线
的方程，与双曲线方程联立可得无交点，故点N 不能是线段
的中点.
【详解】（1）由题意得，椭圆焦点坐标为
.
∵双曲线渐近线方程为
，
∴
，解得
，
∴双曲线C 的标准方程为
.
（2）假设点N 能是线段
的中点，设
，则
，
由
得
，
∴
，
∴直线
的斜率为
，
∴直线
的方程为
，即
，
由
得
，
∵
，∴直线
与双曲线无交点，
∴点N 不能是线段
的中点.
【变式1】已知直线交双曲线
于点
，点
，若
的重心恰好落在双曲线
的
左焦点
上，则直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】设
，
，先由重心坐标公式求出弦
的中点坐标，再由
，
在
双曲线上结合点差法和中点坐标公式以及两点斜率公式即可求解.
【详解】设
，
，
因为
，
，由重心坐标公式得
，
，
所以弦
的中点坐标为
，
，即
．
又
，
在双曲线上，由题意知直线的斜率存在，则
，
故
，作差得
，
将中点坐标代入得
．
故答案为：
【变式2】已知双曲线
被斜率为1 的直线截得的弦的中点为
，则该双曲线的离
心率为 .
【答案】
/
【分析】设
，由条件可得
，
，由点差法可求出
的
值，从而得出离心率.
【详解】设
，则
，
，
将
两点坐标代入双曲线方程得：
，
，
将上述两式相减可得：
，
即
，可得
，
所以
，即
.
故答案为：
.
【变式3】设
是双曲线
上的两点，且线段
的中点是
，则直线
的斜率为
．
【答案】1
【分析】设
，通过点差法即可求解；
【详解】设
，则
的中点
在双曲线上，
，两式相减得
，
则
，则
．
此时
，即
，联立方程
，消去y 得
，
此时
，故直线
与双曲线有两个交点.
故答案为：1
【变式4】已知圆心为
的动圆与
：
外切，与
：
内切.
(1)求
的轨迹方程；
(2)过点
的直线与
的轨迹交于
，
两点，且
为线段
的中点，求坐标原点
关于直线
的对称点
的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据这些关系求出动圆圆心M 到两定圆圆心的距离之和为定值，从而根据椭圆的定义确定
M 的轨迹方程.
（2）利用点差法求出直线AB 的斜率，进而得到直线AB 的方程，再根据点关于直线对称的性质求出点P
的坐标.
【详解】（1）设动圆M 的半径为r，
的圆心
，半径
；
的圆心
，半径
. 圆
相内切，
因为动圆M 与
外切，所以
；
动圆M 与
内切，所以
，则
.
又
.
因为
，
根据椭圆的定义，点M 的轨迹是以
，
为焦点，长轴长
的椭圆.
则
，
，根据
，可得
.
所以M 的轨迹方程为
.
（2）设
，
.
因为A，B 在椭圆
上，所以
.
两式相减得：
.
因为N
为线段AB 的中点，所以
，
.
则直线AB 的斜率
.
直线AB 的方程为
，即
.
设点P
，则
，即
.
又
中点
在直线AB 上，所以
.
将
代入上式得：
.
解得
，
.
所以点P 的坐标为
.
设
为双曲线
弦
（
不平行
轴）的中点，则有
1．直线
与双曲线
的交点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．1 或2
【答案】C
【分析】方法一：将直线方程与双曲线方程联立即可求得交点个数；方法二：将直线与渐近线的斜率比较
进行判断.
【详解】方法一：由
可得
，
，
所以直线
与双曲线有2 个交点．
方法二：双曲线
的渐近线为
，
易知直线
过双曲线的左顶点，且斜率为
，
所以直线
与双曲线有2 个交点．
故选：C
2．双曲线
的渐近线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据双曲线的渐近线方程的形式进行求解即可.
【详解】由
，且该双曲线的焦点在纵轴，
所以双曲线
的渐近线方程为
，
故选：A
3．已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，P 是双曲线右支上一点，且直线
的斜率为2，
是面积为8 的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】方法一利用斜率转化直角三角形中角的正切值，再利用正弦定理转化边之比，最后利用面积可求
解各边，即可求双曲线方程；
方法二是利用焦半径关系，结合直角三角形中角的正切值和面积关系即可求解焦半径，再用勾股定理和双
曲线的定义可得双曲线方程.
【详解】
解法一：如图，点
一定在第四象限，
．
设
，
，
，
由
得
．
因为
，所以
，即
，
，则
．
由正弦定理得
，
则可设
，
．
由
得
，
则
，
，
，
．
由双曲线的定义得
，即
，
，
所以双曲线的方程为
．
解法二：由解法一知点
一定在第四象限，
．设
，
，
则
．因为
是面积为8 的直角三角形，所以
①，
因为直线
的斜率为2，所以
，即
②．
联立①②解得
，
，
则
，即
．
又由勾股定理得：
，即
．故
，
所以双曲线的方程为
．
故选：C
4．已知双曲线
的两条渐近线分别为与
与
为上关于原点对称的两点，
为
上一点且
（为双曲线离心率），则双曲线离心率可能的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可得渐近线方程，设出点坐标，结合
，化简可得
，再利用导数
确定零点个数，结合零点存在定理求解即可.
【详解】设直线的方程为
，则直线
的方程为
，
设点
，
，则点
，
，
，
，
即
，即
，令
，
，在
时，
恒成立，
单调递增，
又
，
，
，
由零点存在性定理可知方程
的解在区间
内.
故选：C．
5．已知双曲线
与双曲线
有共同的渐近线，双曲线
的两个焦点分别为
，点
为
上的一点，且
，则双曲线
的方程为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】D
【分析】由双曲线的定义求出a，再根据双曲线
与双曲线N 共渐近线设出双曲线M 的方程，分焦点在x
轴上与焦点在y 轴上两种情况进行分类讨论即可.
【详解】由题意易知
．
当焦点在
轴上时，可设双曲线
的方程为
，则
，解得
，所以
，双
曲线
的方程为
；
当焦点在
轴上时，可设双曲线
的方程为
，则
，解得
，所以
，双曲线
的方程为
．
故选：D
6．已知双曲线C：
的一条渐近线方程为
，过C 的左焦点F 的直线与C 的右支交于
点G，且与
：
相切于点E，若M 为FG 中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由双曲线的渐近线得双曲线的基本量，再由双曲线的定义及三角形的中位线定理及圆的切线性
质即可得出.
【详解】由双曲线C：
的一条渐近线方程为
，得
，
则
.
如图，
设C 的右焦点为
，由双曲线的定义得
，
由M 为FG 的中点，知
，
，则
①，
又
，
，
，所以
，由图知M 在线段EF 上，故
②，
②－①得
，又
，所以
．
故选：B.
7．已知双曲线C：
的左、右顶点分别为A，B，点P 在C 上且在第一象限内，设直线AP 与BP
的斜率分别为
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】先通过题干求出
和
两点的坐标，再设出点
的坐标，写出两条直线的斜率，最后利用均值不
等式即可求出.
【详解】由题意，
双曲线C：
的左、右顶点分别为A，B，
，
，
设
，则直线
的斜率
；直线
的斜率
，
，
又因为点P 在C 上，
，即
，
，又P 在第一象限，
，
，
，当且仅当
，即
，
时，等号成立，
的最小值为2.
故选：
.
8．已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，其中
为左焦点，点
为两曲线在第一象限的交点，
分别为曲线
的离心率，若
是以
为底边的
等腰三角形，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】该题考查椭圆和双曲线的性质，根据题意，将应用到的性质转化成数学符号，进行运算.
【详解】设双曲线的焦距为
．
则依题意得
，
，
，
，
．
由
得
于是，
．
又
，则
．
设
，由
，
．
由
在区间
上为减函数，得
的值域为
．
所以
的取值范围为
，
故选B．
9．（多选）已知点
在左、右焦点分别为
的双曲线
上，
，则（ ）
A．渐近线方程为
B．离心率为
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据方程可求渐近线方程和离心率，求出
可判断CD 选项.
【详解】由题意可得
，焦点在
轴上，所以
，
渐近线方程为
，离心率为
，A 错误，B 正确；
不妨设点
在双曲线的右支上，所以
，
因为
，所以
，
所以
，C 正确；
，所以
，D 错误.
故选：BC
10．若
､
是双曲线
的左右焦点，过
的直线与双曲线的左右两支分别交于
，
两点.若
为等边三角形，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【分析】
根据双曲线的定义算出
中，
，
，由
是等边三角形得
，利
用余弦定理算出
，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线的离心率.
【详解】
根据双曲线的定义，可得
，
因为
是等边三角形，即
，
所以
，即
，
又
，所以
，
因为
中，
，
，
，
所以
，
即
，解之得
，
由此可得双曲线的离心率
．
故答案为：
11．求适合下列条件的曲线方程：
(1)与椭圆
有相同的焦点，且过点
的椭圆的标准方程；
(2)渐近线方程为
，经过点
双曲线的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意先求出椭圆的焦点坐标，设出椭圆的标准方程，代入点
运算得解；
（2）设出共渐近线的双曲线方程，代入点
运算得解.
【详解】（1）与椭圆
有相同的焦点，则椭圆的焦点为
，所以
，
设椭圆的方程为
，将
代入可得，
，
所以椭圆的标准方程为
.
（2）由渐近线方程为
，设双曲线的方程为
，
，
代入点
可得
，解得
，
所以双曲线的标准方程为
.
12．已知双曲线
的离心率为
，实轴长为
．
(1)写出双曲线的渐近线方程；
(2)直线
与双曲线右支交于不同的两点，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据双曲线离心率公式、长轴长定义，结合双曲线渐近方程进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根与系数关系、根的判别式进行求解即可.
【详解】（1）由已知有
，
，所以
，
所以双曲线方程为
，
或
，渐近线方程为
（2）设两交点坐标分别为
，
，
联立
，消去
得
，
由已知
，因为直线
与双曲线右支交于不同的两点，
所以
解得
，
实数
的取值范围为
.
13．已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴，y 轴，且过
，
两点．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)已知直线l 与双曲线C 有且只有一个公共点，且l 与坐标轴正半轴所围成的三角形面积为
，求直线l 的
方程．
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）设所求双曲线方程为
，根据过
知
，把点
代入
求得
，即可得出答案．
（2）当直线l 与双曲线的一条渐近线
平行时，设直线l 的方程为
，根据三角形面积
公式列方程求出
，当直线l 与双曲线相切时，设其方程为
，与双曲线方程联立，利用
求得
，结合三角形面积公式列方程求得
及
，即可得出答案．
【详解】（1）由题意知该双曲线焦点在x 轴上，故设其方程为
，
根据过
知
，又过
，故有
，解得
，
所以双曲线C 的标准方程为
；
（2）直线l 与双曲线C 有且只有一个公共点，且与坐标轴正半轴所围成三角形，分两种情况：
当直线l 与双曲线的一条渐近线
平行时，设直线l 的方程为
，
此时三角形的面积为
，解得
，所以直线l 的方程为
；
当直线l 与双曲线相切时，直线l 的斜率显然存在，设其方程为
，
联立
，得
，
所以
且
，即
，
又因为三角形的面积为
，解得
（负根舍去），
所以
，解得
（正根舍去），所以直线l 的方程为
；
综上，直线l 的方程为
或
.
