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专题2.10 曲线与方程
教学目标
1、了解曲线与方程的对应关系，领会“曲线的方程与方程的曲线”的概念.
2、熟悉求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质.
3、掌握求动点轨迹方程的方法
教学重难点
1.重点:曲线与方程的概念;求动点的轨迹方程
2.难点:分析、判断曲线与方程的关系;求动点的轨迹方程
知识点01 曲线的方程与方程的曲线
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线
与方程
之间具有如下关系：
1.曲线
上的点的坐标都是方程
的解;
2.以方程
的解为坐标的点都在曲线
上.
则称曲线
为方程
的曲线，方程
为曲线
的方程.
【即学即练】已知坐标满足方程
的点都在曲线C 上，则下列命题中正确的是（ ）
A．曲线C 上的点的坐标都适合方程
B．不在曲线C 上的点的坐标必不适合方程
C．凡坐标不适合方程
的点都不在曲线C 上
D．不在曲线C 上的点的坐标有些适合方程
【答案】B
【分析】由逆否命题的真假性的关系结合曲线与方程的定义逐一判断即可.
【详解】由于“坐标满足方程
的点都在曲线C 上”与“不在曲线C 上的点的坐标必不适合方程
”互为逆否命题，
所以“不在曲线C 上的点的坐标必不适合方程
”是正确的，故B 对，D 错；
对于点集
而言，
不满足
，但它仍然属于在曲线C 上（仍然属于点集合
），故A、C 错误.
故选：B.
知识点02 两曲线的交点
己知两条曲线
和
的方程分别为
，
，求两条曲线
和
的交点坐标，只要联
立两个方程得方程组
求方程组的实数解就可以得到.
【即学即练】曲线
与直线
交于A、B 两点，则线段AB 的长度为 ．
【答案】
【分析】联立方程组，求出两点坐标，根据两点间的距离公式，求出线段长度.
【详解】联立方程组得
，消去
得
，解得
或
，
所以不妨设
，则
.
故答案为：
.
知识点03 点的轨迹
曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹,曲线的方程也常称为满足某种条件的点的轨迹方程.
【即学即练】在平面直角坐标系中，已知
，
，直线
与
的斜率之积为
，则动点
的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】设点
的坐标为
，根据题设斜率之积为
列式化简即可.
【详解】设点
的坐标为
，则
，
，
所以
，
整理可得
．
故答案为：
题型01 曲线与方程的概念
【典例1】方程
表示的曲线是（ ）
A．—个圆
B．两个圆
C．一个半圆
D．两个半圆
【答案】D
【分析】方程可化为
，去绝对值分
，
两种情况解决即可.
【详解】方程可化为
，
因为
，
所以
或
，
若
时，则方程为
；
若
时，则方程为
，
故选：D
【变式1】已知坐标满足方程
的点都在曲线
上，那么（ ）
A．曲线
上的点的坐标都满足方程
B．坐标不满足
的点都不在曲线
上
C．不在曲线
上的点的坐标必不满足
D．不在曲线
上的点的坐标有些满足
，有些不满足
【答案】C
【分析】对ABD 举反例即可反驳，对C 显然根据两者命题之间关系知其正确.
【详解】对ABD，根据题意可以举例方程
为
，
曲线
为单位圆，可知方程表示的曲线为曲线
的一部分，
则曲线
上的点的坐标不是都满足方程
，故A 错误；
坐标不满足
的点可以在曲线
上，故B 错误；
不在曲线
上的点的坐标都不满足
，故D 错误；
对C，而不在曲线
上的点的坐标必不满足
，故C 正确．
故选：C.
【变式2】下列四组方程中，表示同一曲线的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【答案】C
【分析】根据相等函数及曲线方程对选项一一分析即可得出答案.
【详解】对于A，
，而
中
，故A 错误；
对于B，
的定义域为
，而
的定义域为
，故B 错误；
对于C，
与
的解析式和定义域都相同，所以C 正确；
对于D，若
，则
或
，所以D 不正确.
故选：C.
【变式3】方程
：
所对应的曲线是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由
时，
，利用其定义域，奇偶性和值域判断.
【详解】当
时，
，
因为定义域为
，排除C，
该函数为偶函数，排除A,
又
，当且仅当
时，取等号，排除B,
故选：D.
【变式4】方程
表示的曲线是 .
【答案】直线
和单位圆
【分析】由方程
即可求解.
【详解】由方程
可得：
或
，
所以方程
表示的曲线是直线
和单位圆
，
故答案为：直线
和单位圆
.
题型02 点与曲线的位置关系
【典例1】若点
在方程
的曲线上，则
．
【答案】2 或
【分析】将点
代入方程
，从而解出答案.
【详解】将点
代入方程
得
解得：
或
故答案为：2 或
.
【变式1】方程
表示的曲线经过的一点是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】当
时可得
，可得答案.
【详解】当
时可得
所以方程
表示的曲线经过的一点是
，
且其它点都不满足方程，
故选：C
【变式2】方程
表示的图形经过点
，
，
，
中的（ ）
A．
个
B．个
C．
个
D．个
【答案】C
【解析】本题先根据
，排除
，
两点，再将
，
两点代入满足方程，即可判断选
项.
【详解】由方程
，可知
，
两点不符合题意；对于点
，
，则有
；对于点
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查方程的图象过点的问题，是基础题.
【变式3】曲线
经过的一点是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】把各选项点的坐标代入方程检验．
【详解】
，
，
，
，
只有A 满足．
故选：A．
【变式4】（多选）定义：
曲线的方程为
（
是常数）．若点
在
曲线上，
是坐
标原点，
，则（ ）
A．当
时，
的最小值为
B．当
时，
的最小值为
C．当
时，
的最大值为
D．当
时，
的最大值为
【答案】BD
【分析】选项BD.由
时，方程化简得到
或
，再利用点与圆上的点的距离判
断；
选项AC.由
时，方程转化为即
和
得到
判断.
【详解】当
时，
，即
，即
或
，
所以0 曲线表示两个圆，圆心为
和
，半径都为1，
，且
，则
的最大值为
，最小值为
，B，D 均正确．
当
时，
，即
，当且仅当
，
时，等号成立，所以
的最小值是1，A 错误．
，则
，解得
，所以
，则
，
，C 错误．
故选：BD
题型03 由方程求曲线的图形
【典例1】已知曲线
，则曲线
的大致图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用特值法，令
即可得解.
【详解】令
，则
，解得
，
故曲线
经过点
，
故选：B.
【变式1】方程
表示的曲线是（ ）
A．
轴上方的半圆 B．
轴下方的半圆
C．
轴左侧的半圆
D．
轴右侧的半圆
【答案】B
【分析】将方程两边平方可知是圆，再结合
的取值范围即可判断．
【详解】
，
表示的是以
为圆心，为半径的圆，
又
，
故方程
表示的曲线是
轴下方的半圆，
故选：B．
【变式2】在平面直角坐标系中，方程
所表示的曲线是（ ）
A．椭圆
B．两条平行线
C．三角形
D．菱形
【答案】D
【分析】用轴对称和点对称的定义逐一判断即可.
【详解】当
，
方程为
；
以
代替x 方程不变，曲线关于y 轴对称；
以
代替y 方程不变，曲线关于x 轴对称；
以
、
代替x、y 方程不变，曲线关于原点对称；
∴曲线既是轴对称图形也是中心对称图形；
∴方程
的曲线围成的封闭图形是一个
以
、
、
、
为顶点的菱形．
故选：D
【变式3】方程
表示的图形是 .
【答案】直线或单位圆
【分析】根据实数乘法的运算法则，结合直线和圆的方程进行求解即可.
【详解】由方程
即可求解.
由方程
可得：
或
，
所以方程
表示的曲线是直线
或单位圆
，
故答案为：直线或单位圆.
【变式4】方程
表示的曲线的形状是 ．
【答案】两条线段
【分析】直接平方化简，结合二次根式的意义计算与直线的表示方法即可得解.
【详解】由已知方程两边平方得
，
结合
.
∴方程表示的曲线是两条线段．
故答案为：两条线段.
题型04 由方程研究曲线性质
【典例1】（多选）如图，数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，
其方程为
，给出下列结论正确的有（ ）
A．曲线
有4 条对称轴
B．曲线
上的点到原点的最大距离为
C．曲线
第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为
D．四叶草面积小于
【答案】ACD
【分析】利用
之间的代换判断出对称轴的条数判断A；利用基本不等式求解出到原点的距离最大值判
断B；将面积转化为
的关系式，然后根据基本不等式求解出最大值判断C；根据
满足的不等式判断
出四叶草与对应圆的关系，从而判断出面积是否小于
.判断D.
【详解】对于A，当
变为
时，
不变，所以四叶草图象关于
轴对称；
当
变为
时，
不变，所以四叶草图象关于
轴对称；
当
变为
时，
不变，所以四叶草图象关于
轴对称；
当
变为
时，
不变，所以四叶草图象关于
轴对称；
综上可知：有4 条对称轴，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
所以
，所以
，取等号时
，
所以曲线
上的点到原点的最大距离为
，故B 错误；
对于C，设任意一点
，所以围成的矩形面积为
，因为
，
所以
，所以
，取等号时
，
所以围成矩形面积的最大值为
，故C 正确；
对于D，由B 可知
，所以四叶草包含在圆
的内部，
因为圆的面积为
，所以四叶草的面积小于
，故D 正确；
故选：ACD．
【变式1】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C：
的周长为（ ）
A．12
B．14
C．16
D．20
【答案】D
【分析】曲线C：
去绝对值得四条线段，然后根据距离公式分别求出四条线段的长度，即可得
解.
【详解】曲线C：
等价于
或
或
或
.
对于
表示以
和
为顶点线段，其长度为
，
对于
表示以
和
为顶点线段，其长度为
，
对于
表示以
和
为顶点线段，其长度为
，
对于
表示以
和
为顶点线段，其长度为
，
所以曲线C：
的周长为
.
故选：D
【变式2】已知曲线
的方程为
，则曲线
上的点的纵坐标的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意可知关于x 的方程有根，利用判别式运算求解即可.
【详解】因为
，即
，
可知关于x 的方程有根，则
，解得
，
所以曲线
上的点的纵坐标的最大值为
.
故选：D.
【变式3】已知曲线
，则该曲线的一条对称轴方程为 .（写出满足条件的一个方
程即可）
【答案】
（答案不唯一､
均可）
【分析】根据求由曲线方程特征判别曲线对称性的方法求解即可.
【详解】用
替换
所得方程不变，所以曲线关于
轴对称；
用
替换
所得方程不变，所以曲线关于
轴对称；
将
互换所得方程不变，所以曲线关于
轴对称；
用
替换
同时用
替换
所得方程不变，所以曲线关于
轴对称.
故答案为：
（答案不唯一､
均可）
【变式4】2022 年卡塔尔世界杯会徽近似伯努利双纽线，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的
美，同时也具有特殊的有价值的艺术美.曲线
是“双纽线”，若直线
与曲线
只有一个交点，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先分析直线
与曲线
必有公共点
，再联立直线与曲线方程，消去
，依题意可得
，解得即可.
【详解】因为直线
与曲线
必有公共点
，
联立
，可得
，
由题意可知
，解得
或
，即实数
的取值范围是
.
故答案为：
题型05 判断两曲线交点的个数
【典例1】（多选）给定下列四条曲线中，与直线
仅有一个公共点的曲线是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】分别将直线方程与曲线方程联立方程组求解即可
【详解】对于A，由
，得
，因为
，所以方程组只有
一组解，所以直线与曲线只有一个公共点，所以A 正确，
对于B，将直线方程
代入
中整理得
，方程组只有一组解，所以直线与曲
线只有一个公共点，所以B 正确，
对于C，将直线方程
代入
中整理得
，因为
，所以方程组只有一组解，所以直线与曲线只有一个公共点，所以C 正确，
对于D，将直线方程
代入
中整理得
，因为
，所以方程组有两组解，所以直线与曲线有两个交点，所以D 错误，
故选：ABC
【变式1】曲线
和
公共点的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出曲线
和
的图形，可得出结论.
【详解】由
可得
，曲线
表示圆
的上半圆，
如下图所示：
因为原点
到直线
的距离为
，
所以，曲线
与直线
相切，且切点在第一象限.
故选：C.
【变式2】已知A（﹣1，0），B（1，1），若曲线C：x2﹣y2＝0 上的点P 满足：|PA|＝
|PB|，则符合
条件的点P 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据条件
，运用两点之间的距离公式，可得
，再按
，
分类讨论，即可求解．
【详解】解：设
，
，
，
，
，
，
，化简可得，
①，
，
，
当
时，①式化简为
，解得
，
即有两个
点
，
，
当
时，①式化简为
，
，故方程无解，
综上所述，符合条件的点
的个数为2 个．
故选：
．
【变式3】曲线
与曲线
的交点有 个．
【答案】
【详解】利用数形结合的思想方法，如图所示：
由图可知，交点有
个.
考点：两曲线交点的个数.
题型06 两曲线交点
【典例1】直线
与曲线
交点的坐标为 ．
【答案】
和
.
【分析】联立方程，运用代入法进行消元，通过方程是否有解进行求解判断即可.
【详解】将直线方程与曲线方程联立得：
，
解得
，或
，
当
时，
；
当
时，
，
因此直线
与曲线
交点坐标为：
和
.
故答案为：
和
【变式1】方程
有且仅有两个不同实根，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由
，则曲线
与曲线
有两个公共点，分析可知方程
在
只有唯一的根，根据二次方程根的分布可得出关于的不等式组，解之即可.
【详解】由
可得
，
所以，曲线
与曲线
有两个公共点，它们关于y 轴对称，
对于曲线
，
，可得
，
整理可得
，由
可得
，
即曲线
为圆
的下半圆，
由
可得
，其中
，
联立
可得
，
若方程
在
时有唯一根，则
，
此时方程
只有唯一的实根
，不合乎题意，
所以，方程
在
只有唯一的根，
因为二次函数
在
时单调递减，
只需
，解得
.
故答案为：
.
【变式2】已知曲线
与曲线
恰好有三个不同的公共点，则实数
的取值范围
是 .
【答案】
【分析】先分析得出曲线
，
的图像关于
轴对称，则在其中一个交点在
轴上，在
轴上方恰好有一
个交点，当
时，曲线
的方程
，则
在
上恰好有一个实数根，从而得出答案.
【详解】曲线
，用
代替
可得
，可得曲线
的图像关于
轴对称.
曲线
用
代替
可得
，从而曲线
的图像关于
轴对称.
曲线
与曲线
恰好有三个不同的公共点，则在其中一个交点在
轴上，在
轴上方恰好有一个交点.
曲线
的方程为
，所以曲线
的图像与曲线
的图像必相交于点
，
当
时，曲线
的方程
，则
，即
在
上恰好有一个实数根.
,解得
或
所以
，解得
故答案为：
【变式3】已知曲线
的方程是
，曲线
的方程是
，判断
与
是否有交点，如果有，
求出交点坐标；如果没有，说明理由．
【答案】
与
有三个交点，交点坐标为
、
、
【分析】联立两曲线的方程，求出方程组的公共解，即可得出结论.
【详解】解：联立两个方程得方程组
，
解方程组可得
或
或
，
因此
与
有三个交点，且交点坐标为
、
、
.
题型07 求平面轨迹方程
【典例1】已知定点A，B，且
，动点P 满足
．请选择恰当的坐标系，求相应点
P 的轨迹方程，并指明轨迹是什么曲线．
【答案】
，轨迹是以
为圆心，
为半径的圆．
【分析】建立坐标系，利用两点间的坐标公式表示
可得
，结合圆的标准
方程即可求解.
【详解】如图，以AB 所在直线为x 轴，AB 中点O 为原点建立平面直角坐标系，
则
，
，设
，
则由
，得
，
整理得
，即
，
所以点P 的轨迹方程为
，是以
为圆心，
为半径的圆．
【变式1】已知A，B 两点的坐标分别是
，直线AM、BM 相交于点M，且直线AM 的斜率是直
线BM 的斜率的2 倍，则点M 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】直线AM 的斜率是直线BM 的斜率的2 倍，利用经过两点的直线斜率公式列出方程化简即可.
【详解】直线AM、BM 相交于点M，不妨设
，
因为当
时，两直线重合，不合题意，所以
，
则
，
因为直线AM 的斜率是直线BM 的斜率的2 倍，
所以
，
整理得
.
故选：C.
【变式2】已知等腰
底边两端点的坐标分别为
，
，则顶点A 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
，可得顶点A 的轨迹是
的垂直平分线（除去垂直平分线与线段
的交点），
利用斜率关系与点斜式方程可得．
【详解】
，且
三点不共线，
顶点A 的轨迹是线段
的垂直平分线（除去垂直平分线与线段
的交点，即除去
的中点），
，
，
，所以与直线BC 垂直的直线的斜率为
，
又BC 的中点
，
则线段
的垂直平分线的方程为
，即
.
顶点A 的轨迹方程是
，
故选：D.
【变式3】已知动点
到点
的距离与它到直线
的距离之比为
，则动点
的轨迹方程为
．
【答案】
【分析】根据点点距离以及点到直线距离公式，结合题意列等量关系即可化简求解.
【详解】设点
的坐标为
，由题意可得
，化简得
，
则动点
的轨迹方程为
.
故答案为：
.
【变式4】动点
在曲线
上移动，点
和定点
连线的中点为
，求点
的轨迹方程.
【答案】
【分析】设出M 和P 点的坐标，利用中点坐标公式把M 点的坐标用P 点的坐标和常数表示，再由M 在定
圆上，把M 的坐标代入圆的方程整理后即可得到答案.
【详解】设
，
，
因为
为
的中点，所以
，即
，
又因为点
在曲线
上，所以
，
所以
．
所以点
的轨迹方程为
即
.
1．曲线
的对称轴的条数为（ ）
A．9
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据对称点代入分别判断对称轴即可.
【详解】曲线
，
设点
代入曲线得
，即得
成立，所以曲线关于
轴对称；
设点
代入曲线得
，即得
不成立，所以曲线不关于
轴对称；
设点
代入曲线得
，即得
不成立，所以曲线不关于
轴对称；
设点
代入曲线得
，即得
不成立，所以曲线不关于
轴对称；
故选：B.
2．如图，是某心形二次曲线
，则
的方程可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用排除法，根据对称性排除CD，令
，解方程排除B.
【详解】显然图象关于y 轴对称，即把x 换成
方程不变，可知CD 错误；
对于B：令
，可得
，解得
或
，不合题意；
故选：A.
3．已知曲线
的方程为
，则曲线
关于（ ）对称
A．
轴
B．
轴
C．原点
D．直线
【答案】B
【分析】利用坐标互换一一判定选项即可.
【详解】曲线
的方程为
，
将
换为
不变，原方程仍为
，所以曲线
关于
轴对称；
将
换为
不变，原方程变为
，所以曲线
不关于
轴对称；
将
换为
换为
，原方程变为
，所以曲线
不关于原点对称；
将
换为
换为
，原方程变为
，
所以曲线
不关于直线
对称．
故选:B．
4．在平面直角坐标系中，已知两点
，点
为动点，且直线
与
的斜率之积为
，
则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先设点
再根据斜率公式计算即可.
【详解】设
，可得
,x 不为0，
所以
.
故选：D.
5．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点
的距离之比
为定值
的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏
圆．现有一种防护新冠病毒消毒液，
两地均有销售（两地价格相同），但是某地区的居民从两地往回
采购商品时，每单位距离
地的运费是
地的运费的3 倍，已知
两地距离是10km（居民购买意愿是包
括运费总费用最低），以
的中点为原点建立直角坐标系，则
两地销售区域的分界线的轨迹方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，设点
坐标，从
地往
地采购的单位距离运费为，根据题意得到
，写出关于
与
的关系式化简即可.
【详解】取
的中点
为原点，直线
为
轴建立平面直角坐标系，则
，
，
设
是区域分界线上任意一点，从
地往
地采购的单位距离运费为，
根据题意可得
，
.
即
，
整理得
.
故选：A.
6．曲线
和曲线
组合围成“心形图”（如下图所示），记“心
形图”为曲线
，曲线
所围成的“心形”区域的面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先分析在第一象限的图形，发现第一象限的面积等于曲线与
轴的交点及坐标原点所围成的
直角三角形的面积，
由对称性可求得第四象限的面积，再计算第二、三象限面积，为两个半圆，由此可算得“心形”区域的面
积.
【详解】如图所示，设
，线段
的中点为
，
因为曲线
关于点
对称，
所以可将曲线
与
轴，
轴围成的区域割补为直角三角形
的区域，
于是曲线
与
轴，
轴围成的区域面积就是直角三角形
的面积，
即
；
根据对称性，可得曲线
与
轴，
轴围成的区域面积为
，
又曲线
所围成的“心形”区域中，两个半圆的面积为
，
所以曲线
所围成的“心形”区域的面积等于
.
故选：C.
7．直线
与曲线
有两个不同交点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】
是过定点
的直线，曲线
表示以
为圆心，半径为
的圆的
上半部分，画出直线与曲线通过数形结合求得答案.
【详解】记曲线
，
由题意，
，
∴曲线
表示以
为圆心，半径为
的圆的上半部分，
记直线
，即
，∴直线过定点
.
如图所示：
，
当直线与曲线
相切时，
.
由图可知，当直线与曲线
有两个相异的交点时，
.
故选：B.
8．古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中对圆锥曲线给出了统一定义，即到定点的距离与到定
直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线.当
时，轨迹为椭圆；当
时，轨迹为抛物
线；当
时，轨迹为双曲线.若方程
表示的曲线是双曲线，则实数k 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】把方程化为点
到定点的距离与到定直线距离之比的形式后，由定义可得．
【详解】由
得
，即
，
该方程表示双曲线，则
，解得
，
故选：B．
9．（多选）在平面直角坐标系中，已知定点
和定直线
，若到点
与直线的距离之和等于
10 的点的轨迹记为曲线
.给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．曲线
关于
轴对称
B．若点
在曲线
上，则
C．若点
在曲线
上，则
D．若点
在曲线
上，则
【答案】CD
【分析】根据题意求出动点的轨迹方程，分类讨论，得到方程，画出图像，观察图象，得出正确选项.
【详解】设动点
，根据点
到点
与直线的距离之和等于10，
所以
，即
，
化简得，当
时，
，
当
时，
，图象如下，
选项A,根据图象得，曲线
不关于
轴对称，故A 错误；
选项B,若点
在曲线
上, 则
，所以
，由
，得
，所以
,故B 错误;选项C, 若点在曲线上
，则
，C 正确；
选项D, 若点在曲线上
，
当
时，
，得
，故
当
时，
，得
，故
所以
，D 正确，故CD 正确.
故选：CD
10．已知点
，
，动点
满足
．则动点
的轨迹方程 .
【答案】
【分析】根据题意，设点
，由
得方程，化简整理即可.
【详解】设
，由
得
，
化简可得动点
的轨迹方程为：
.
故答案为：
11．在等腰
中，若一腰的两个端点分别为
，
，
为顶点，求另一腰的一个端点
的
轨迹方程．
【答案】
（
且
）
【分析】设
，求出
，则
，化简后再去掉个别点即可.
【详解】设点
的坐标为
，
为等腰三角形，且
为顶点，
．
又
，
，
．
又
点
不能与点
重合，也不能使
，
，
三点共线．
且
，
点
的轨迹方程为
（
且
）．
12．过原点的直线与曲线
交于
两点，求弦
中点的轨迹．
【答案】抛物线
的部分
或
【分析】设
的中点为
，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理求解即可.
【详解】设
的中点为
，
设直线的方程为：
（依题意，
必须存在），
联立
，得：
，
则
，解得
或
，
且
，
则
，又
，
消去
得：
，
又
或
，
所求的轨迹是抛物线
的部分
或
．
13．已知
，点P 在y 轴上，满足
．
(1)求点P 的坐标；
(2)若动点Q 与
的距离的比为
，求动点Q 的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由垂直关系转化为数量积为
，设出
点坐标
，由坐标运算求解
可得；
（2）设动点
，由已知距离比关系，利用两点间距离公式坐标代入化简整理可得轨迹方程.
【详解】（1）由点P 在y 轴上，设
，则
，
由
，则
，
即
，解得
，
故点P 的坐标为
.
（2）设
，
，
由
，得
，即
，
则
，
，
则有
化简得
，即
.
则动点Q 的轨迹方程
.
