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专题19 拓展练二：圆锥曲线的方程（轨迹方程问题）
题型一：直接法
题型二：相关点法
题型三：定义法
题型四：参数法
题型五：点差法
题型一：直接法
1．已知
是圆
上的两个相异的动点，动点
满足
，且
，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先设出点
的坐标，根据向量关系得到
、
坐标与
坐标的关系，然后结合已知条件
以及
、
在圆上的条件，进而求出动点
的轨迹方程.
【详解】设
，因为
，
，
，所以
.
根据向量相等的性质，可得
，进一步整理得到
.
将
展开可得
.
因为
，
在圆
上，所以
，
，
又已知
，即
.
将上述值代入
可得：
.
由
可得
.
又因为
，所以
，可得
.
动点
的轨迹方程为
，
故选：C.
2．已知半径为2 的圆
与
轴交于
两点，与
轴交于
两点，且
，则圆心
的轨迹方
程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，根据
列方程，化简即可，注意圆与
轴，
轴分别交于两点的限制条件.
【详解】设
．由
，得
．
整理得
，
．
由题意，知
，
，
，
．
由
，得
．
又
，
，
则圆心
的轨迹方程为
．
故选：C．
3．在平面直角坐标系中，点
的坐标分别是
，
，直线
，
相交于点
，且它们的斜
率之积是
，则点
的轨迹方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设点
,由题意列出方程，化简整理即得点
的轨迹方程.
【详解】依题意，设点
，由
，
可得
，即得点
的轨迹方程为
.
故选：A.
4．在平面直角坐标系中，已知
，
，直线
与
的斜率之积为
，则动点
的轨迹方
程为 ．
【答案】
【分析】设点
的坐标为
，根据题设斜率之积为
列式化简即可.
【详解】设点
的坐标为
，则
，
，
所以
，
整理可得
．
故答案为：
5．在平面直角坐标系
中，已知点
，
在椭圆
：
上，且直线
，
的斜
率之积为
，则
中点的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】将点
，
代入椭圆方程，两式相加，代入斜率的坐标公式可得
，再代入中点的坐标公式化简即可求解.
【详解】因为点
，
在椭圆
：
上，所以
，
两式相加可得
，即
，
又因为直线
，
的斜率之积为
，所以
，可得
，
所以
，
设
中点为
，则
，
，
所以
，即
，
即
中点
的轨迹方程为
，
故答案为：
6．M 是一个动点，MA 与直线
垂直，垂足A 位于第一象限，MB 与直线
垂直，垂足B 位于第四
象限.若四边形OAMB（
为原点）的面积为3，动点M 的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】设
，首先求
到直线
、
的距离，再利用面积为3，列式求轨迹方程.
【详解】设
，由题意
在
、
相交的右侧部分，如下图，
则有
，
，
，
所以
到直线
、
的距离分别为
、
，
由题设
，整理得
，即为动点M 的轨迹方程.
故答案为：
7．已知动点P 到定点
的距离和它到直线l：
的距离的比是常数
，则点P 的轨迹方程为
．
【答案】
【分析】根据已知条件列方程，化简整理即可求解.
【详解】设动点
，由点P 与定点
的距离和它到定直线
的距离的比是常数
，
得
，即
，
整理得：
，点P 的轨迹方程为
.
故答案为：
题型二：相关点法
8．已知线段
的端点
的坐标是
，端点
在圆
上运动，则线段
的中点
的轨迹方程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案.
【详解】设
，
，由
为
的中点，则
，即
，
由点
在圆
上，则
，即
，
化简可得
.
故选：D.
9．已知F 是抛物线
的焦点，P 是该抛物线上一动点，则线段PF 的中点E 的轨迹方程是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求出
，设
，PF 的中点
，从而得到方程组，利用代入法求出轨迹方程.
【详解】抛物线
的标准方程是
，故
，
设
，PF 的中点
，
∴
，
因为
，所以
，即
．
故选：C
10．已知曲线
，从
上任取一点
向
轴作垂线段
为垂足，则线段
的中点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，依题意得到
，从而
代曲线
的方程求解.
【详解】解：设
，依题意可知
即
因为点
在曲线
上，所以
，
即
，
故选：A.
11．已知圆
，直线l 过点
.
(1)当直线l 与圆C 相切时，求直线l 的方程;
(2)设线段AB 的端点B 在圆C 上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
【答案】(1)
或
(2)
【分析】（1）分直线斜率是否存在两种情况讨论可求切线的方程；
（2）设点
，可得
，利用点B 在圆C 上运动，可求点M 的轨迹方程.
【详解】（1）已知圆C 的圆心是
，半径是2，
当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为
，符合题意;
当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为
，即
，
则圆心O 到直线l 的距离为
=2，解得
，故直线l 的方程为
.
综上，直线l 的方程为
或
.
（2）设点
，则由点M 是线段AB 的中点得
，所以
①，
因为点B 在圆C 上运动，所以
②，将①代入②得
，
化简得点M 的轨迹方程是
.
12．已知圆
：
，
为圆
上任一点，
为定点，
的中点为
.求：动点
的轨迹
方程
【答案】
【分析】设
，则
，又
，代入即可求解.
【详解】设
，由中点坐标公式可得
，
所以
，
又点
在圆
：
上，
所以
，
将
代入得
，即
，
所以
的轨迹方程为
.
题型三：定义法
13．已知
．若动点
满足
，则
的轨迹的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由双曲线的定义即可得出答案.
【详解】∵
，动点
满足
，
∴动点
的轨迹为双曲线且为右支，
，
，
，
∴
的轨迹的方程为
，
故选：D.
14．一动圆过定点
，且与圆B：
相外切，则动圆圆心的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，根据圆过点
及与圆B 外切得
，利用双曲线的定义即可求解轨迹
方程.
【详解】设动圆圆心为点
，连接PB，PA，则
，则
，
所以点P 的轨迹是以
，
为焦点，且实轴长为4 的双曲线的左支．
设双曲线的实半轴长为
，虚半轴长为
，则
，
．
所以动圆圆心的轨迹方程为
．
故选：A
15．已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离大1，则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用抛物线的定义求解即可.
【详解】由题意可知，动点P 到点
的距离等于它到直线
的距离，
由抛物线的定义可知，点P 在以
为焦点，
为准线的抛物线上，其轨迹方程为
，
故选：D
16．若点P 到点
的距离比它到直线
的距离小2，则点P 的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义即可写出点P 的轨迹方程.
【详解】由题意，知P 到
的距离比它到
的距离小2，
因此P 到
的距离与到直线
的距离相等，
故P 的轨迹是以F 为焦点，
为准线的抛物线，
所以P 的轨迹方程为
．
故选：C
17．已知
的顶点
，
，且周长为16，求顶点
的轨迹方程 ．
【答案】
【分析】利用椭圆的定义，确定点
到
两点的距离之和为常数，从而得到椭圆的方程，并排除导致
三点共线的情况.
【详解】因为
，而
，
所以
，
则顶点
的轨迹为以
为焦点的椭圆（除去与
共线的两点），
其中
，得
，
得
，
由于椭圆的焦点在
轴上，
则椭圆的标准方程为：
，
故答案为：
18．已知动点
满足
，则动点M 的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设
，分析可知动点M 的轨迹是以
为焦点的椭圆，进而可得
和方程.
【详解】设
，
因为
，可得
，
可知动点M 的轨迹是以
为焦点的椭圆，
且
，则
，
所以动点M 的轨迹方程是
.
故答案为：
.
19．已知动圆
与两圆
，
中的一个内切，与另一个外切，则动圆
的圆心
的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】利用两圆相切的性质，分类讨论求出圆
的圆心的轨迹方程．
【详解】设
，
的圆心分别为
，
，圆
的半径为．
因为
，所以当动圆的半径小于2 时，与其中一圆内切后，不可能与另一圆外切，所以
，
当圆
与圆
内切、与圆
外切时，有
，
则
，圆
的圆心轨迹是以
，
为焦点的双曲线的左支；
当圆
与圆
外切、与圆
内切时，有
，
则
，圆
的圆心轨迹是以
，
为焦点的双曲线的右支．
因此圆
的圆心的轨迹是以
，
为焦点的双曲线，
，
，
则
，
，
，方程为
．
故答案为：
．
20．已知圆
，圆
，动圆
与圆
都外切，则动圆圆心
的轨迹
方程为 .
【答案】
【分析】根据双曲线的定义，判断出双曲线的参数的值，写出轨迹方程.
【详解】对圆
，圆心为
；对圆
，圆心为
.
设动圆
的半径为，则
，所以点
的运动轨迹为以
为焦点的双曲线
的左支.
易知
，解得
；
又
，解得
；
，所以动圆圆心
的轨迹方程为
.
故答案为：
21．在平面内，到定点
的距离比到定直线
的距离大1 的动点
的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】先根据已知条件将动点
到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方
程．
【详解】由已知可得动点
满足到定点
的距离等于到定直线
的距离，
由抛物线定义知动点
的轨迹方程为焦点在x 轴上的抛物线，且焦点为
，则
，
.因此轨迹
方程为：
．
故答案为：
.
题型四：参数法
22．已知椭圆
，求斜率为2 的平行弦中点
的轨迹方程．
【答案】
（在椭圆内）．
【分析】根据弦所在的直线参数方程，代入椭圆方程中，结合中点坐标，消掉参数即可．
【详解】如下图：
设平行弦的中点为
，
则弦所在的直线参数方程为：
（为参数）．
代入椭圆
的方程，整理得
．
因为
是中点，所以
，
所以点
的轨迹方程为
（在椭圆内）．
23．已知双曲线
：
（
，
）的实轴长为2，点
到双曲线
的渐近线的距离为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)过点
的动直线交双曲线
于
、
两点，设线段
的中点为
，求点
的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
，其中
或
【分析】（1）根据实轴长得
，利用点到直线的距离结合
求解即可；
（2）设
，
，
，联立直线l 与双曲线
的方程，消去y，得
，
且
，得
且
，由韦达定理，得
，从而得
，联立消去k，得
，再根据
的范围得出
的范围，
即可得解.
【详解】（1）双曲线
的实轴长为
，由已知，
，则
，
因为双曲线
：
（
，
）的一条渐近线为
，
点
到双曲线
的渐近线的距离为
，所以
，
所以
，所以
，所以双曲线
的方程是
；
（2）易知直线的斜率存在设为
，设
、
、
，
联立直线l 与双曲线E 的方程，得
，消去y，得
．
由
且
，得
且
．
由韦达定理，得
．
所以
，
．
由
消去k，得
．
由
且
，得
或
．
所以，点M 的轨迹方程为
，其中
或
．
24．求过定点
的直线被双曲线
截得的弦AB 的中点的轨迹方程.
【答案】
（
或
）.
【分析】可设直线的方程为
，且设该直线被双曲线截得的弦AB 对应的中点为
，
，
，联立直线与双曲线的方程，根据判别式与韦达定理可得
，再消元求解即可.
【详解】因为该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，故可设直线的方程为
，且设该直线被双曲
线截得的弦AB 对应的中点为
，
，
.
由
得
.
则
，即
，且
，所以
，即
，
，且
，
，
所以
，
.
由
，即
，
，代入
消去k 得
.
又
，且
，
，故
或
.
故弦AB 的中点的轨迹方程为
（
或
）.
题型五：点差法
25．已知椭圆
的右焦点为
，过点
的直线交椭圆
于
两点，若
的中
点坐标为
，则椭圆
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】点差法得到
，从而得到
，结合
，求出
，得到椭圆方程.
【详解】由题意，设
，代入椭圆方程
，
可得
两式相减可
，
变形可得
，
又过点
的直线交椭圆
于
两点，且
的中点
为
，
所以
，
代入上式可得，
，又
，
解得
，所以椭圆
的方程为
.
故选：C
26．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为
，直线
与其相交于
两点，若
中点的
横坐标为
，则此双曲线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用焦点坐标设出标准方程，再由点差法以及直线方程和横坐标联立方程组可得.
【详解】根据焦点坐标可设标准方程为
，且
；
设
，可得
，
两式相减可得
；
由直线
与双曲线交于
两点，且
中点的横坐标为
，
可得斜率
，且中点坐标为
；
所以
，即
；
解得
，所以双曲线的方程是
.
故选：D
27．已知双曲线
：
，过点
的直线与双曲线
交于
，
两点.若点
为线段
的中
点，则直线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】运用点差法，设
，代入双曲线方程
，作差变形，由
是线段AB
的中点，求得直线的斜率
，再用点斜式可得直线方程.
【详解】设
，代入双曲线方程
，
可得
，作差
，
因为点
为线段
的中点，所以
所以
，即
，
所以直线的方程是
，即
，
经检验，直线
满足题意.
故选：A.
28．已知椭圆
与直线
交于
两点，且线段
的中点为
，则椭圆
的方程为 .
【答案】
【分析】
代入直线
，求得直线斜率，然后利用点差法化简计算即可得出结果．
【详解】
代入直线
，可得：
，
，
所以直线方程为：
.
设
，代入椭圆方程得
，
两式相减得：
，
即
,又
，
所以
，
又因为直线的斜率为
，所以
，解得：
.
所以椭圆
的方程为
.
故答案为：
.
29．双曲线
的动弦
所在直线的斜率为
，则
中点
的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设
，根据题意利用点差法，中点公式等化简即可.
【详解】设
，
设直线
为
，代入
，化简得
，
由
，得
，
因为
为
的中点，所以
，
所以
，所以
，
由题意得：
，
两式相减得
，
由中点公式
，整理得：
，又
，
所以
，即
，
所以
中点
的轨迹方程为
，
故答案为：
.
30．已知
，过
的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程.
【答案】
（在椭圆
内部的部分）.
【分析】设弦的中点坐标为
，根据点差法，结合题意，即可求得其轨迹方程.
【详解】设弦的端点为
，
，其中点是
，
则
，
，由于点
，
在椭圆上，则有：
，
两式做差可得
，所以
，
化简得
（在椭圆
内部的部分）．
所以被截得的弦的中点轨迹方程为：
（在椭圆
内部的部分）.
31．已知双曲线
（
，
）的渐近线方程为
，焦点到渐近线的距离为
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)设
，
是双曲线
右支上不同的两点，线段AB 的垂直平分线交AB 于
，点
的横坐标为2，则是
否存在半径为1 的定圆
，使得被圆
截得的弦长为定值，若存在，求出圆
的方程；若不存在，请说明
理由.
【答案】(1)
；
(2)存在，定圆
：
【分析】（1）设双曲线的右焦点
，利用焦点到渐近线的距离求出，再根据渐近线方程及
，求出
，
，即可得解；
（2）先利用“点差法”写出直线
的方程，再写出
的中垂线的方程，求出所过的定点即为圆
的
圆心，然后写出圆的方程即可.
【详解】（1）设双曲线的右焦点
，则点
到渐近线
的距离为
，
即
，解得
，又渐近线方程为
，即
，且
，
解得
，
，所以双曲线方程为
.
（2）设
，AB 的中点为
，
由
中点的横坐标为2 可得
，
因为
，
是双曲线
上不同的两点，所以
，
得
，
当
存在时，
，
因为AB 的中垂线为直线l，所以
，即
，
所以过定点
，
当
不存在时，
，
关于
轴对称，
的中垂线为
轴，此时也过
，
所以存在定圆
：
，使得被圆
截得的弦长为定值
.
【点睛】方法点睛：点差法是解决弦的中点问题的常用方法，设而不求法是解决直线与椭圆相交时交点坐
标相关问题的常用方法
