文档内容
专题 18 圆锥曲线高频压轴解答题
【目录】
..............................................................................................................................................2
...............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
..............................................................................................................................................5
............................................................................................................................................16
考点一：轨迹方程.................................................................................................................................................16
考点二：向量搭桥进行翻译..................................................................................................................................20
考点三：弦长、面积背景的条件翻译...................................................................................................................24
考点四：斜率之和差商积问题..............................................................................................................................28
考点五：弦长、面积范围与最值问题...................................................................................................................32
考点六：定值问题.................................................................................................................................................36
考点七：中点弦与对称问题..................................................................................................................................39
考点八：定点问题.................................................................................................................................................42
考点九：三点共线问题..........................................................................................................................................45
考点十：四点共圆问题..........................................................................................................................................49
考点十一：切线问题..............................................................................................................................................54
考点十二：定比点差法..........................................................................................................................................57
考点十三：齐次化.................................................................................................................................................60
考点十四：极点极线问题......................................................................................................................................64
考点十五：同构问题..............................................................................................................................................69
考点十六：蝴蝶问题..............................................................................................................................................72解析几何是高考数学的重要考查内容，常作为试卷的拔高与区分度大的试题，其思维要求高，计算量
大．令同学们畏惧．通过对近几年高考试题与模拟试题的研究，分析归纳出以下考点：
（1）解析几何通性通法研究；
（2）圆锥曲线中最值、定点、定值问题；
（3）解析几何中的常见模型；
解析几何的核心内容概括为八个字，就是“定义、方程、位置关系”．所有的解析几何试题都是围绕
这八个字的内容与三大核心考点展开．
考点要求 考题统计 考情分析
【命题预测】
轨迹问题 2023年II卷第21题，12分
预测2024年高考，多以解答
2023年甲卷第21题，12分
题形式出现，具体估计为：
弦长、面积问题 2023年天津卷第18题，15分 （1）以解答题形式出现，考
2023年I卷第22题，12分 查数学抽象、数学建模、逻
2022年甲卷第21题，12分 辑推理与数学运算四大核心
斜率之和差商积问题 2021年乙卷第20题，12分 素养．
2021年I卷第21题，12分 （2）热点是定点定值与极点
极线问题.
2023年乙卷第21题，12分
定点定值问题
2023年乙卷第20题，12分
1、直接推理计算，定值问题一般是先引入参数，最后通过计算消去参数，从而得到定值．
2、先猜后证，从特殊入手，求出定点或定值，再证明定点或定值与参数无关．
3、建立目标函数，使用函数的最值或取值范围求参数范围．
4、建立目标函数，使用基本不等式求最值．5、根据题设不等关系构建不等式求参数取值范围．
6、 已知点 是椭圆上一个定点，椭圆 上有两动点 、
（1）若直线 ，则直线 过定点
（2）若直线 ，则直线 斜率为定值 ；
（3）若直线 ，则直线 过定点
（4）若直线 ，则直线 斜率为定值 ；
（5）当直线 过定点为原点时，则有 （第三定义）；
7、过双曲线 上任一点 ， 、 为双曲线上两动点
（1）若 ，则直线 恒过定点 ．
（2）若直线 ，则直线 斜率为定值 ；
（3）若 ，则直线 恒过定点 ．
（4）若直线 ，则直线 斜率为定值 ；
（5）当直线 过定点为原点时，则有 （第三定义）；
8、过抛物线 上任一点 引两条弦 、 ，
（1）若 ，则直线 恒过定点 ．（2018全国一卷文科）
（2）若 ，则直线 恒过定点 ．
（3）若直线 ，则直线 斜率为定值则 ．
1．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线 中心为坐标原点，左焦点为 ， ，离心率为 ．（1）求 的方程；
（2）记 的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与 的左支交于 ， 两点， 在第二象限，
直线 与 交于 ，证明 在定直线上．
【解析】（1）双曲线 中心为原点，左焦点为 ， ，离心率为 ，
则 ，解得 ，
故双曲线 的方程为 ；
（2）证明：过点 的直线与 的左支交于 ， 两点，
则可设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
记 的左，右顶点分别为 ， ，
则 ， ，
联立 ，化简整理可得， ，
故△ 且 ，
， ，
直线 的方程为 ，直线 方程 ，
故
，
故 ，解得 ，
所以 ，故点 在定直线 上运动．
2．（2023•甲卷）已知直线 与抛物线 交于 ， 两点， ．
（1）求 ；
（2）设 为 的焦点， ， 为 上两点，且 ，求 面积的最小值．
【解析】设 ， ， ， ，联立 ，
消去 得： ，
， ，△ ，
， ，
，
， ， ，
，
（2）由（1）知 ，所以 ，显然直线 的斜率不可能为零，
设直线 ， ， ， ，
由 ，可得 ，所以 ， ，
△ ，
因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
将 ， ，代入得 ，
，所以 ，且 ，解得 或 ．
设点 到直线 的距离为 ，所以 ，
，
所以 的面积 ，
又 或 ，所以当 时， 的面积 ．
3．（2023•天津）设椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，右焦点为 ，已知 ，．
（Ⅰ）求椭圆方程及其离心率；
（Ⅱ）已知点 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线 交 轴于点 ，若△ 的面积是△
面积的二倍，求直线 的方程．
【解析】（Ⅰ）由题意可知， ，解得 ，
．
则椭圆方程为 ，椭圆的离心率为 ；
（Ⅱ）由题意可知，直线 的斜率存在且不为0，
当 时，直线方程为 ，取 ，得 ．
联立 ，得 ．
△ ，
，得 ，则 ．
．
．
，即 ，得 ；
同理求得当 时， ．
直线 的方程为 ．
4．（2023•乙卷）已知椭圆 的离心率为 ，点 在 上．（1）求 的方程；
（2）过点 的直线交 于点 ， 两点，直线 ， 与 轴的交点分别为 ， ，证明：线段
的中点为定点．
【解析】（1）由题意， ，解得 ．
椭圆 的方程为 ；
证明：（2）如图，
要使过点 的直线交 于点 ， 两点，则 的斜率存在且小于0，
设 ，即 ， ， ， ， ， ，
联立 ，得 ．
△ ．
， ，
直线 ，取 ，得 ；
直线 ，取 ，得 ．．
的中点为 ，为定点．
5．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点 的
轨迹为 ．
（1）求 的方程；
（2）已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
【解析】
（1）设点 点坐标为 ，由题意得 ，
两边平方可得： ，
化简得： ，符合题意．
故 的方程为 ．
（2）解法一：不妨设 ， ， 三点在 上，且 ．
设 ， ， ，
则 ， ．
由题意， ，即 ，
显然 ，于是 ．
此时， ． ．于是 ， ．
不妨设 ，则 ，
则．
设 ，则 ，即 ，
又 ．
显然， 为最小值点．故 ，
故矩形 的周长为 ．
注意这里有两个取等条件，一个是 ，另一个是 ，
这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．
解法二：不妨设 ， ， 在抛物线 上， 不在抛物线 上，欲证命题为 ．
由图象的平移可知，将抛物线 看作 不影响问题的证明．
设 ， ，平移坐标系使 为坐标原点，
则新抛物线方程为 ，写为极坐标方程，
即 ，即 ．
欲证明的结论为 ，
也即 ．
不妨设 ，将不等式左边看成关于 的函数，根据绝对值函数的性质，
其最小值当 即 时取得，
因此欲证不等式为 ，即 ，
根据均值不等式，有，
由题意，等号不成立，故原命题得证．
6．（2022•乙卷）已知椭圆 的中心为坐标原点，对称轴为 轴、 轴，且过 ， ， 两点．
（1）求 的方程；
（2）设过点 的直线交 于 ， 两点，过 且平行于 轴的直线与线段 交于点 ，点 满
足 ．证明：直线 过定点．
【解析】
（1）设 的方程为 ， 且 ，
将 两点代入得 ，
解得 ， ，
故 的方程为 ；
（2）由 可得线段
（1）若过点 的直线斜率不存在，直线 ．代入 ，
可得 ， ，将 代入 ，可得 ，得到 ，
求得 方程： ，过点 ．
②若过 的直线的斜率存在，设 ， ， ， ， ，
联立 ，得 ，
故有 ， ，，
，
联立 ，可得 ，
， ，
， ，
又
，
， ， 三点共线，故直线 过点 ，
综上，可得直线 过定点 ．
7．（2022•甲卷）设抛物线 的焦点为 ，点 ，过 的直线交 于 ， 两点．
当直线 垂直于 轴时， ．
（1）求 的方程；
（2）设直线 ， 与 的另一个交点分别为 ， ，记直线 ， 的倾斜角分别为 ， ．当
取得最大值时，求直线 的方程．
【解析】（1）由题意可知，当 时， ，得 ，可知 ， ．
则在 中， ，得 ，解得 ．
则 的方程为 ；
（2）设 ， ， ， ， ， ， ， ，
当 与 轴垂直时，由对称性可知， 也与 轴垂直，
此时 ，则 ，
由（1）可知 ， ，则 ，又 、 、 三点共线，则 ，即 ，
，
得 ，即 ；
同理由 、 、 三点共线，得 ．
则 ．
由题意可知，直线 的斜率不为0，设 ，
由 ，得 ，
， ，则 ， ，
则 ，
， ，
与 正负相同，
，
当 取得最大值时， 取得最大值，
当 时， ；当 时， 无最大值，
当且仅当 ，即 时，等号成立， 取最大值，
此时 的直线方程为 ，即 ，
又 ， ，
的方程为 ，即 ．
8．（2021•乙卷）已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2．（1）求 的方程；
（2）已知 为坐标原点，点 在 上，点 满足 ，求直线 斜率的最大值．
【解析】（1）由题意知， ，
．
（2）由（1）知，抛物线 ， ，
设点 的坐标为 ，
则 ，
点坐标为 ，
将点 代入 得 ，
整理得 ，
当 时， ，
当 时， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，取得最大值．
故答案为： ．
9．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ， ，点 满足
．记 的轨迹为 ．
（1）求 的方程；
（ 2 ） 设 点 在 直 线 上 ， 过 的 两 条 直 线 分 别 交 于 ， 两 点 和 ， 两 点 ， 且
，求直线 的斜率与直线 的斜率之和．
【 解 析 】 （ 1 ） 由 双 曲 线 的 定 义 可 知 ， 的 轨 迹 是 双 曲 线 的 右 支 ， 设 的 方 程 为
，
根据题意 ，解得 ，
的方程为 ；（2）（法一）设 ，直线 的参数方程为 ，
将其代入 的方程并整理可得， ，
由参数的几何意义可知， ， ，则 ，
设直线 的参数方程为 ， ， ，同理可得， ，
依题意， ，则 ，
又 ，故 ，则 ，即直线 的斜率与直线 的斜率之和为0．
（法二）设 ，直线 的方程为 ， ， ， ， ，设 ，
将直线 方程代入 的方程化简并整理可得， ，
由韦达定理有， ，
又由 可得 ，
同理可得 ，
，
设直线 的方程为 ，设 ，
同理可得 ，
又 ，则 ，化简可得 ，
又 ，则 ，即 ，即直线 的斜率与直线 的斜率之和为0．考点一：轨迹方程
求动点的轨迹方程有如下几种方法：
（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；
（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；
（3）相关点法：用动点 的坐标 、 表示相关点 的坐标 、 ，然后代入点 的坐标 所
满足的曲线方程，整理化简可得出动点 的轨迹方程；
（4）参数法：当动点坐标 、 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找 、 与某一参数 得到方
程，即为动点的轨迹方程；
（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程．
【例1】（2024·河北衡水·高三校联考期末）在平面直角坐标系中，点 满足方程
.
（1）求点 的轨迹 的方程；
（2）作曲线 关于 轴对称的曲线，记为 ，在曲线 上任取一点 ，过点 作曲线 的切线 ，
若切线 与曲线 交于 、 两点，过点 、 分别作曲线 的切线 、 ，证明： 、 的交点必在曲线 上.
【解析】（1）由 ，
两边平方并化简 ，得 ，即 ，
故点 的轨迹 的方程为 .
（2）依题可设点 ， ，
曲线 切于点 的切线 的斜率为 ，
切线l的方程为 ，整理得 ，
依题可知曲线 ， ，
联立方程组 ，即 ， ，
设 ， ，则 ， ，
设曲线 上点 处的切线斜率为 ，
切线方程为 ，整理得 ，
同理可得曲线 上点 处的切线方程为 ，
联立方程组 ，解得 ，
因为 ， ，
所以 ， ， 、 的交点坐标为 ，
满足曲线 的方程 ，即 、 的交点必在曲线 上.
【变式1-1】（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知椭圆C： （ ）的离心率为 ，左顶点A到右焦点 的距离为3.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 与椭圆 交于不同两点 ， （不同于A），且直线 和 的斜率之积与椭圆的离心率互
为相反数，求 在 上的射影 的轨迹方程.
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）
当直线 的斜率存在时，可设l： ， ， ，
与椭圆方程联立， ，
得 ，
， ， ，
因为直线 和 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，
所以 ，
得 ，即 ，
所以 或 ，
当 时， 经过定点 ，与A重合，舍去，
当 时， ，经过定点 ，当直线 的斜率不存在时，l： ，此时， ，满足条件，
因为 ， ，
所以点 的轨迹是以 为直径的圆（除去点 ），圆心坐标为 ，半径为 ，
所以点 的轨迹方程为 .
【变式1-2】（2024·上海黄浦·统考一模）已知直线 交抛物线 于 两点.
（1）设直线 与 轴的交点为 ，若 ，求实数 的值；
（2）若点 在抛物线 上，且关于直线 对称，求证： 四点共圆：
（3）记 为抛物线 的焦点，过抛物线 上的点 作准线的垂线，垂足分别为点 ，若 的面
积是 的面积的两倍，求线段 中点的轨迹方程.
【解析】（1）由 得 .
设 ，则
因为直线 与 相交，所以 ，得
由 ，得 ，所以 ，
解得 ，从而 ，
因为 ，所以 ，故 .
（2）设 ，
因为 两点关于直线 对称，
则 ，故 .
又 于是 ，
即 .
由点 在抛物线上，有 .
因为 ，所以 ，
于是因此 ，同理 ，
于是点 在以 为直径的圆上，
即 四点共圆.
（3）易知 设 ，则
设直线 与 轴的交点为 ，则
由题设 ，可得 ，
所以 或 .
设线段 的中点为 ，有
当 时，当 与 轴不垂直时，
由 可得 ，
即
考点二：向量搭桥进行翻译
把几何语言转化翻译为向量语言，然后用向量知识来解决．
【例2】（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 的离心率为2，焦点到一条渐近线
的距离为 ．
(1)求双曲线 的方程．
(2)若过双曲线的左焦点 的直线 交双曲线于 ， 两点，交 轴于 ，设 ．试判断
是否为定值，若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
【解析】（1）不妨取双曲线的一条渐近线方程为 ，右焦点为 ，
因为焦点 到一条渐近线 的距离为 ，所以 解得 .
又 ，且 ，解得 .
所以双曲线 的方程为 .
（2）由（1）可知左焦点 .
由题意可知，直线 的斜率存在，且不等于 .如图所示
设直线 的方程为 则 .
因为 ，
所以
可得
由 ，消去 整理得
所以
所以 为定值 .
【变式2-1】（2024·上海静安·高三统考期末）已知双曲线 ： ，点 的坐标为 ．
(1)设直线 过点 ，斜率为 ，它与双曲线 交于 、 两点，求线段 的长；
(2)设点 在双曲线 上， 是点 关于 轴的对称点．记 ，求 的取值范围．
【解析】（1）直线 的方程为 ．由方程组 得 ．
设 ,则 ，
．
（2）设点 ，则点 的坐标为 ．
， ，
．
因为 ，所以 ．
【变式2-2】（2024·安徽蚌埠·统考一模）点 在以 、 为焦点的双曲线 上，
已知 ， ， 为坐标原点．
(1)求双曲线的离心率 ；
(2)过点 作直线分别与双曲线渐近线相交于 、 两点，且 ， ，求双曲线
的方程；
(3)若过点 （ 为非零常数）的直线 与（2）中双曲线 相交于不同于双曲线顶点的两点 、 ，
且 （ 为非零常数），问在 轴上是否存在定点 ，使 ？若存在，求出所有
这种定点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为 ，则 ，可得 ，
因为 ，由勾股定理可得 ，即 ，
所以， ，因此，该双曲线的离心率为 .
（2）因为 ，则 ，所以，双曲线 的方程为 ，即 ，
双曲线 的渐近线方程为 ，设点 、 、 ，
，可得 ，
因为 ，即 ，可得 ，
即点 ，
将点 的坐标代入双曲线 的方程可得 ，可得 ，
所以， ，所以， ，因此，双曲线 的方程为 .
（3）假设在 轴上存在定点 使得 ，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，可得 ，
由题意可得 ，可得 ，
由韦达定理可得 ， ，易知 、 ，
所以， ，
，
因为 ，所以， ，即 ，即 ，
即 ，（*）
由 可得 ，则 ，
将 代入（*）可得 ，（**）
将 代入韦达定理可得 ，所以， ，
将 代入（**）式可得 ，
故在 轴上存在定点 使得 ．
考点三：弦长、面积背景的条件翻译
首先仍是将题目中的基本信息进行代数化，坐标化，遵循直线与圆锥曲线题目通解中的套路，即设点
设线、直由联立、看判别式、韦达定理．
将有关弦长、面积背景的问题进行条件翻译时，一般是应用弦长公式、点到直线的距离公式及面积公
式（在圆中要用半径、半弦、弦心距组成的直角三角形求弦长）将有关弦长、面积的条件翻译为：（1）
关于某个参数的函数，根据要求求出最值；（2）关于某个参数的方程，根据要求得出参数的值或两参数
间的关系．
【例3】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点 到椭圆 ： 的左焦点和右焦
点的距离之比为 ．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)若直线 与 的轨迹相交于 ， ，与椭圆 相交于 ， ，求 的值．
【解析】（1）由题意得， ，所以左焦点为 ，右焦点为 ．
设点 的坐标为 ，则 ，化简得 ，
所以点 的轨迹方程为 ．（2）由（1）得，点 的轨迹方程为 ，
所以圆心到直线 距离为 ，
所以直线 与 相交的线段 ，
联立直线 与 的轨迹方程，
，得 ，
由根与系数的关系得 ，
直线 曲线 相交的线段
所以 ．
【变式3-1】（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知双曲线
的右焦点为 ，且经过点 .
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)已知 ， 是双曲线 上关于原点对称的两点，垂直于 的直线 与双曲线 相切于点 ，当点 位于
第一象限，且 被 轴分割为面积比为 的两部分时，求直线 的方程.
【解析】（1）因为 的右焦点为 ，且经过点 ，
所以 ，解得 ．
故双曲线 的标准方程为 ．
（2）由题意知，直线 的斜率存在且不为0，设 的方程为 ．
联立 消去 ，得 ．由 得 且 ，
解得 ．
因为 与 垂直，所以设 的方程为 ．
联立 消去 ，化简得 ．
由 且 ，得 ．
因为 与双曲线有且仅有一个公共点，
所以 ，即 ，
化简得 ，且点 ．
因为 点位于第一象限，所以 ， ．
不妨设 ， 分别位于双曲线的左、右两支上，记 与 轴的交点为 ．
因为 被 轴分割为面积比为 的两部分，且 与 面积相等，
所以 与 的面积比为 ，由此可得 ．
因此 ，即 ．
又因为 ，所以 ，解得 ．
因为 ，所以 ，
故直线 的方程为 ．
【变式3-2】（2024·江西·校联考模拟预测）已知双曲线 ，渐近线方程为 ，点 在 上；
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的两条直线 ， 分别与双曲线 交于 ， 两点（不与 点重合），且两条直线的斜率 ，
满足 ，直线 与直线 ， 轴分别交于 ， 两点，求证： 的面积为定值.
【解析】（1） ， ，依题意， ，
所以双曲线 的方程为 .
（2）依题意可知 斜率存在，设方程为 ， ， ，
，
， ①，
，
整理得 .
1） ， ，过 舍去，
2） ， ，过点 ，
此时，将 代入①得 ，
与 交于点 ，故 （定值）考点四：斜率之和差商积问题
在面对有关等角、倍角、共线、垂直等几何特征时，可设法将条件翻译成关于斜率的关系式，然后将
斜率公式代入其中，得出参数间的关系式，再根据要求做进一步的推导判断．
【例4】（2024·陕西商洛·统考一模）已知点 ，动点M满足 ，动点 的轨
迹记为 .
(1)求 的方程；
(2)若不垂直于 轴的直线 过点 ，与 交于 两点（点 在 轴的上方）， 分别为 在 轴上
的左、右顶点，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，试问 是否为定值?若是，求出该
定值；若不是，请说明理由.
【解析】（1）因为 ，
所以 的轨迹是以 为焦点，且长轴长为4的椭圆，
设 的轨迹方程为 ，则 ，可得 ．
又 ，所以 ，所以 的方程为 ．
（2）依题意，设直线 ，
联立 ，消去 得 ．
易知 ，且 ．
由 ，得 ．
（方法一）
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 为定值，且定值为 ．
（方法二）
因为 ，
所以 ，
所以 为定值，且定值为 ．
【变式4-1】（2024·山东济南·高三统考期末）在平面直角坐标系xOy中，动点M到点 的距离与到
直线 的距离之比为 ．
(1)求动点M轨迹W的方程；
(2)过点F的两条直线分别交W于A，B两点和C，D两点，线段AB，CD的中点分别为P，Q．设直线
AB，CD的斜率分别为 ， ，且 ，试判断直线PQ是否过定点．若是，求出定点的坐标；若不
是，请说明理由．
【解析】（1）设点M的坐标为 ，由题意可知， ，
化简整理得，W的方程为 ．
（2）由题意知，设直线AB的方程为 ，与W的方程 联立可得，
，设 ， ，由韦达定理得， ，
则 ，
所以，点P的坐标为 ．
同理可得，Q的坐标为 ．
所以，直线PQ的斜率为 ，
所以，直线PQ的方程为 ，
即 ，
又 ，则 ，
所以直线PQ的方程即为 ，
所以，直线PQ过定点 ．
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点 ， ，P为平面内
一动点，记直线 的斜率为k，直线 的斜率为 ，且 ，记动点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线 与曲线C交于M，N两点（点M在第一象限，点N在第四象限），记直线 ，的斜率为 ，
直线 的斜率为 ，若 ，求证：直线 过定点．
【解析】（1）设 ，则 ， ，
整理得 ，
曲线 的方程为 ．
（2）由题意知，直线 的斜率不为0，设直线 ，
与方程 联立并化简，得 ，
设 ， ，
则 ， ，
点 在曲线 上， ，
，
又 ， ，
，
，即 ，
，
，
得 ，
， ，
，
直线 的方程为 ，直线 过定点 ．
考点五：弦长、面积范围与最值问题
弦长和面积的最值问题首先需要将弦长和面积表达出来，弦长可用弦长公式求出；面积的表达以直线
与椭圆相交得到的 为例，总结一下高考中常见的三角形面积公式．对于 ，有以下三种常见的
表达式：① （随时随地使用，但是相对比较繁琐，想想弦长公式和点到直线距离）②
（横截距已知的条件下使用）
③ （纵截距已知的条件下使用）
【例5】（2024·江西南昌·高三校考学业考试）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，
，焦距为 ，点 在 上.
(1) 是 上一动点，求 的范围；
(2)过 的右焦点 ，且斜率不为零的直线 交 于 ， 两点，求 的面积的最大值.
【解析】（1）由题意知 ，所以 .
将点 代入 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 .
设点 ，则 .
又因为 ，所以 的范围是 .
（2）依题意可设直线 的方程为 ， ， .
联立 得 . ，
所以 ， ，
所以 ，
又因为 ，
当且仅当 时等号成立.所以 .
所以 的面积的最大值为2.【变式5-1】（2024·山东潍坊·高三统考期末）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，
，焦距为 ，点 在 上.
(1) 是 上一动点，求 的范围；
(2)过 的右焦点 ，且斜率不为零的直线 交 于 ， 两点，求 的内切圆面积的最大值.
【解析】（1）由题意知 ，所以 .
将点 代入 ，解得 ，所以椭圆 的方程为： .
设点 ，则 .
又因为 ，所以 的范围是 .
（2）依题意可设直线 的方程为 ， ， .
联立 得 .
所以 ， ，
所以 ，
又因为 ，
当且仅当 时等号成立.所以 .
又因为三角形内切圆半径 满足 .
所以 的内切圆面积的最大值为 .
【变式5-2】（2024·湖南·湖南师大附中校联考一模）已知抛物线 为抛物线外一点，过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 （ 在 轴两侧）， 与 分别交 轴于 .
(1)若点 在直线 上，证明直线 过定点，并求出该定点；
(2)若点 在曲线 上，求四边形 的面积的范围.
【解析】（1）设 ，直线 ，
联立 ，可得 .
在 轴两侧， ，
，
由 得 ，
所以 点处的切线方程为 ，
整理得 ，
同理可求得 点处的切线方程为 ，
由 ，可得 ，
又 在直线 上， .
直线 过定点 .
（2）由（1）可得 在曲线 上，
.由（1）可知 ，
，
，
令 在 单调递增，
四边形 的面积的范围为 .
考点六：定值问题
求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
【例6】（2024·山东德州·高三德州市第一中学校考期末）已知点 为椭圆C：
的左焦点， 在C上．
(1)求C的方程；
(2)已知两点 与 ，过点A的直线l与C交于P，Q两点，且 ，
试判断mn是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【解析】（1）由已知可得 ，且C的另一焦点坐标为 ，设为 ，
所以有 ，
所以 ，所以 ，所以C的方程为
（2）
设l： ，代入C整理可得： ，
设 ， ，则 ①， ②，
由 ，可得 ，
③，
由①②③可得： ，
恒成立，所以 ，为定值．
【变式6-1】（2024·黑龙江鸡西·高三校考期末）已知椭圆E： ，已知椭圆过点M
， .
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知直线l： 交E于点A，B两点、交x轴于P点，点A关于x轴的对称点为D，直线BD交x
轴于Q点. 试探究 是否为定值？若是定值，则求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【解析】（1）由题意可知 ，即解得 ，所以E的标准方程为： ．
（2）因为直线l的方程为 ，显然 ，则点P的坐标为
设 ，则
联立直线与椭圆方程有
，整理得
所以有 ，即 ，且 ①
直线BD的方程为 ，
令 ，得Q的横坐标为
，
将①代入得
所以有 ，
所以 为定值4 .
【变式6-2】（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右顶点分别为
为 上一点，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，且 ．
(1)求 的标准方程；(2)若 为 上异于 的点，且直线 过点 ，记直线 的斜率为 ，直线 的斜率为
，求证： 为定值．
【解析】（1）由题意知 ，
则 ，得 ．
因为点 在 上，所以 ，得 ，
故 的标准方程是 ．
（2）由（1）知， ．
可设直线 ，
联立得 ，得 ，
则 ，
所以 ．
所以 ，为定值．
考点七：中点弦与对称问题
对于中点弦问题常用点差法解决．【例7】（2024·全国·高三专题练习）已知直线l与抛物线 交于A，B两点，且线段AB恰好被点
平分.
(1)求直线l的方程；
(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程；若不存在，请
说明理由.
【解析】（1）依题意，直线l的斜率存在，且不为0，设直线l的方程为 ，即
，
由 消去x得： ，
，设 ，则有 ，
由 ，得 ，于是直线l的方程 ，即 ，
所以直线l的方程为 .
（2）假设抛物线上存在点C，D满足条件，由（1）设直线 的方程为 ，
由 消去x得： ，有 ，解得 ，
设 ，则 ，于是线段 的中点坐标为 ，
显然点 在直线 上，即 ，解得 ，
所以抛物线上不存在点C，D，使得C，D关于直线l对称.
【变式7-1】（2024·全国·高三专题练习）已知曲线C的方程是 ，其中 ，
，直线l的方程是 ．
(1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线；
(2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段 中点的横坐标是 ，求a的值；(3)若 ，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说明理由．
【解析】（1） ，即 ，
当 时，曲线表示焦点在 轴上的椭圆；
当 时，曲线表示焦点在 轴上的双曲线；
（2）设 ， ， ，
则 ， ，
两式相减得到： ，
即 ，故 ，
故 的中点为 ，代入直线得到 ，
解得 或 （舍），故 .
（3）假设存在，直线方程为 ，双曲线方程为 ，
设 ， ， 中点为 ，则 ， ，
两式相减得到 ，
即 ， ，又 ，
解得 ， .
此时直线 方程为： ，即 ，
，化简得到 ，方程无解，故不存在.
【变式7-2】（2024·广东深圳·统考一模）已知双曲线E： 与直线l： 相交于A、B两点，
M为线段AB的中点．
(1)当k变化时，求点M的轨迹方程；
(2)若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两
个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）设 ， ， ，联立直线l与双曲线E的方程，得 ，
消去y，得 ．
由 且 ，得 且 ．
由韦达定理，得 ．
所以 ， ．
由 消去k，得 ．
由 且 ，得 或 ．
所以，点M的轨迹方程为 ，其中 或 ．
（2）双曲线E的渐近线方程为 ．
设 ， ，联立 得 ，同理可得 ，
因为 ，
所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．
若A，B为线段CD的两个三等分点，则 ．
即 ， ．
而 ， ．
所以， ，解得 ，
所以 ，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．
考点八：定点问题求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证
明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线
的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明．
【例8】（2024·海南海口·高三校考阶段练习）已知抛物线 为E上位于第一象
限的一点，点P到E的准线的距离为5.
（1）求E的标准方程；
（2）设O为坐标原点，F为E的焦点，A，B为E上异于P的两点，且直线 与 斜率乘积为 ，求证：
直线 过定点.
【解析】（1）由题可知 ，解得 .
所以 的标准方程为 ；
（2）由（1）知， ，且 ，解得 ，所以 .
设 ，则 ，同理可得， ，
则 ，即 .
当直线 斜率存在时，直线 的方程为 ，
整理得 .
所以 ，即 ，
所以直线 过定点 ；
当直线 的斜率不存在时 ，可得 .
综上，直线 过定点 .【变式8-1】（2024·四川雅安·统考一模）已知 为坐标原点，过点 的动直线 与抛物线
相交于 两点．
(1)求 ；
(2)在平面直角坐标系 中，是否存在不同于点 的定点 ，使得 恒成立？若存在，求出
点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）显然直线 不垂直于y轴，设直线 的方程为 ， ，
由 消去x并整理得 ，显然 ，于是 ，
所以 .
（2）由（1）知 ，
假定存在不同于点 的定点 ，使得 恒成立，由抛物线对称性知，点 在x轴上，设
，
则直线 的斜率互为相反数，即 ，即 ，
整理得 ，即 ，亦即 ，而 不恒为0，则 ，
所以存在不同于点 的定点 ，使得 恒成立，点 的坐标为 .
【变式8-2】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考阶段练习）已知椭圆 的
左､右顶点分别为 为椭圆 上任意一点（与 不重合），直线 和 的斜率之积为 ，点
在椭圆上．(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作斜率之和为1的两条直线分别与椭圆 交于 两点，直线 是否过定点？若过定点，求
出此定点；若不过定点，请说明理由．
【解析】（1）依题意， ，设 ，由点 在椭圆上，得 ，
由直线 和 的斜率之积为 ，得 ，即 ，
由点 在椭圆上，得 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 .
（2）当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，点 ，
由 消去y并整理得 ，
则 ， ，
点 ，由直线 之和为1，得 ，即 ，
于是 ，
整理得 ，
则 ，整理得 ，
即 ，显然直线 不过点 ，即 ，
因此 ，即 ，直线 ： ，过定点 ，
当直线 的斜率不存在时，直线 与椭圆 交于 ，
不妨设 ，由 ，解得 ，此时，直线 过点 ，
所以直线 过定点 .考点九：三点共线问题
证明共线的方法：（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直
线的斜率相等证明三点共线；（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个
距离之和，则这三点共线；（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；（4）直线方程法：求出过其
中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上；（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，
计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线．（6）面积法：通过计算求出以这三点为三角形
的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思
想”．
【例9】（2024·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考模拟预测）已知椭圆 的左、右
焦点分别为 ，过点 且与直线 垂直的直线交 轴负半轴于 ，且 .
(1)若过 、 、 三点的圆恰好与直线 相切，求椭圆 的方程；
(2)设 .过椭圆 右焦点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 、 两点，点 是点 关于 轴
的对称点，在 轴上是否存在一个定点 ，使得 、 、 三点共线？若存在，求出点 的坐标；若不
存在，说明理由.
【解析】（1）依题意，设 ，由 ，得 是线段 的中点，则 ，
由直线 与 垂直，得 ，则
显然过 、 、 三点的圆的圆心为 ，半径为 ，
由过 、 、 三点的圆恰好与直线 相切，得 ，解得 ，
有 ， ，所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）及 ，得 ， ，椭圆 的方程为 ，设直线 方程为 ， ，则 ，
由 消去x并整理得 ，
， ，
直线 的方程为 ，
令 得
，
所以在 轴上存在一个定点 ，使得 、 、 三点共线.
【变式9-1】（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知 ， 为椭圆 的两焦点，过点
作直线交椭圆 于 两点， 的周长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)椭圆 的上顶点为 ，下顶点为 ，直线 交 于点 ，求证： ， ， 三点共线.
【解析】（1）在椭圆 中，由 ，可得 ，
又由 的周长为 ，根据由椭圆的定义，可得 ，即 ，
则 ，所以椭圆 的标准方程为 .
（2）证明：如图所示，设直线 ： ，且 ， ， ，
联立方程 ，整理得 ，
则 ，且 ， ，
因为点 ， ， 三点共线，可得 ，即 ，所以 ，
又由 ，
则
，
将 ， 代入得 ，
所以 三点共线.
【变式9-2】（2024·广东广州·高三统考阶段练习）已知动点M在圆 上，过点M作x轴的垂线，
垂足为N，点P满足 ，点P的轨迹为C.
(1)求C的方程；
(2)已知点 ，设A，B是曲线C上的两点，直线AB与曲线 相切.证明：A，B，F
三点共线的充要条件是 .
【解析】（1）设点P为 ，点M为 ，则点N为 ，
， ，
由 ，可得 ，
因为点 在圆 上，所以 ，即 ，
所以C的方程为 ；
（2）证明：当直线AB的斜率不存在时，直线AB： ，不合题意；
当直线AB的斜率存在时，设 ， ，
必要性：
若A，B，F三点共线，可设直线AB： 即 ，
由直线AB与曲线 相切可得 ，解得 ，
联立 可得 ，
所以 ， ，
所以 ，
所以必要性成立；
充分性：
设直线AB： ，即 ，
由直线AB与曲线 相切可得 及（ ），
所以 ，
联立 可得 ，
所以 ， ，
所以 ，
化简得 ，所以 ，
所以 或 ，所以直线AB： 或
所以直线AB过点 ，A，B，F三点共线，充分性成立；所以A，B，F三点共线的充要条件是 .
考点十：四点共圆问题
证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，则
可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其
顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角等于其内对角时，
则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为 ，并且任何一个外角都等于它的内
对角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边形其中三边中垂
线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹为圆）．
【例10】（2024·全国·模拟预测）已知抛物线C： 的准线方程为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若斜率为1的直线l交抛物线C于A，B两点，点P，Q在C上且关于直线l对称，求证：A，B，P，Q
四点共圆．
【解析】（1）由 得 ，
所以抛物线C的准线方程为 ，得 ，
所以抛物线C的方程为 ．
（2）设直线l的方程为 ， ， ， ， ，
将 代入 ，得 ，
则 ， ， ．连接PQ，由点P，Q关于直线l对称，得 ，
所以 ，得 ，即 ．
因为线段PQ的中点在直线 上，
所以 ，得 ，
即 ，
故 ，
把 代入上式，得 ，
即 ，
连接PA，PB，
所以
，
故 ，故点P在以AB为直径的圆上．
同理，点Q在以AB为直径的圆上，
故A，B，P，Q四点共圆．
【变式10-1】（2024·四川成都·成都七中校考一模）在平面直角坐标系 中， 为坐标原点，动点
与定点 的距离和 到定直线 的距离的比是常数 ，设动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知定点 ， ，过点 作垂直于 轴的直线 ，过点 作斜率大于0的直线 与曲线 交于
点 、 ，其中点 在 轴上方，点 在 轴下方.曲线 与 轴负半轴交于点 ，直线 、 与直线
分别交于点 、 ，若 、 、 、 四点共圆，求 的值.【解析】（1）由题得： ，两边平分并化简得 ，
所以，曲线 的方程为 .
（2）设点 、 ，设直线 的方程为 ，
直线 的方程与椭圆 的方程 联立，
消去 得 .
则 ，可得 ，
由韦达定理： ， .
由条件，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
于是可得 ， .
因为 、 、 、 四点共圆，由相交弦定理可得 ,
则 ，化简得 ，
又 ， ，代入整理得： .
将韦达定理代入化简得： ，即 .
【变式10-2】（2024·浙江·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系 中，O为坐标原点，动点与定点 的距离和D到定直线 的距离的比是常数2，设动点D的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知定点 ， ，过点P作垂直于x轴的直线 ，过点P作斜率大于0的直线 与曲线C交于
点G，H，其中点G在x轴上方，点H在x轴下方．曲线C与x轴负半轴交于点A，直线 ， 与直线
分别交于点M，N，若A，O，M，N四点共圆，求t的值．
【解析】（1）由已知得： ，两边平分并化简得： 即为曲线 的方程．
（2）
设点 ， ．
直线 与双曲线C的方程 联立，
消去y得 ．
由韦达定理： ， ．
由条件，直线AG的方程为 ，直线AH的方程为 ，
于是可得 ， ．
因为A，O，M，N四点共圆，所以 ，
所以 ，于是 ．即 ，化简得
又 ， ，代入整理得： ．
将韦达定理代入化简得： ．
考点十一：切线问题
（1）若点 是圆 上的点，则过点 的切线方程为 ．
（2）若点 是圆 外的点，由点 向圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦AB
所在直线方程为 ．
（3）若点 是椭圆 上的点，则过点 的切线方程为 ．
（4）若点 是椭圆 外的点，由点P向椭圆引两条切线，切点分别为A，B，则弦
AB所在直线方程为 ．
【例11】（2024·山西临汾·校考模拟预测）已知抛物线C的顶点为坐标原点O，焦点在x轴上，直线l：
交C于M，Q两点，且 ．
(1)求C的方程；
(2)若点P是C的准线上的一点，过点P作C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，求点O到直线AB的
距离的最大值．
【解析】（1）依题意，由抛物线的对称性知，点 关于x轴对称，由 ，得 ，
不妨令点 在第一象限，则 ，设抛物线C的方程为 ，即有 ，解得 ，
所以抛物线C的方程为 .（2）由（1）知，抛物线C： 的准线方程为 ，设点 ，
显然切线 不垂直于坐标轴，设切线方程为 ，
由 消去x并整理得 ①，于是 ，
设方程 的一个根为 ，则该方程的另一根为 ，
不妨令切线 的方程为 ，方程①中 取 得点 的纵坐标为 ，其横坐标为 ，
即点 ，
同理得 ，当 时，直线 方程为 ，整理得 ，
当 或 时，直线 方程为 ，因此直线 过定点 ， 为定值，
所以当 时，点O到直线AB的距离取得最大值1.
【变式11-1】（2024·全国·模拟预测）已知圆 的圆心 是椭圆 的
左焦点，圆 与 轴的两个交点是 ，其中 是椭圆的右顶点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过 且斜率不为0的直线与椭圆交于 两点，直线 与圆 在点 处的切线分别交于 两点，
求证： ．
【解析】（1）圆 的方程 可化为 ，
所以圆心 ．
由 解得 或 ，
易得 ．因此 ，
于是 ，故椭圆的标准方程为 ．
（2）当直线 的斜率不存在时，不妨设 ， ，从而直线 的方程分别为
和 ，于是 ，则 ，
因此有 ，所以 成立．
当直线 的斜率存在时，设斜率为 ，则直线 的方程为 ，
联立得 ，消去 得 ．
设 ，
则 ，得 ．
易知直线 的方程为 ，圆 在 点处的切线方程为 ，
设 ，则 ，于是 ，
同理可得 ． 则直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ，
，
所以 ，即 ，因此 ，
即 ， 故 成立．
综上， ．
【变式11-2】（2024·广东广州·高三广州市从化区从化中学校考阶段练习）已知动点P到点 的距离
与到直线 的距离相等.
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过动点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ， ，求证： ．【解析】（1）由抛物线定义可得： 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线．
所以曲线 的方程为 ．
（2）
由题意，过点 的切线斜率存在，设切线方程为 ，
联立 ，消去 可得 ，
所以 ，即 （*），
因为 ，所以方程（*）存在两个不等实根，设为 ，
由韦达定理可得 ，所以 ．
考点十二：定比点差法
【例12】（2024·山东济南·统考一模）已知椭圆C的焦点坐标为 和 ，且椭圆经过点
.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若 ，椭圆C上四点M，N，P，Q满足 ， ，求直线MN的斜率.
【解析】（1）由题意可知，c=1，
设椭圆方程为 ，将点 代入椭圆方程，
得 ，
解得 （舍）， ，
所以椭圆方程为 .
（2）设 ， ， ， ， ，因为 ，所以 ，即 ，
又 ， 都在椭圆上，
所以 ， ，
即 ，
②-①得 ，
即 ……③，
又 ，同理得 ……④
④-③得 ，
所以 .
【变式12-1】（2024·重庆·统考模拟预测）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，点 ，
是椭圆 上关于原点对称的两点，其中 点在第一象限内，射线 ， 与椭圆 的交点分别为 ，
.
（1）若 ， ，求椭圆 的方程；
（2）若直线 的斜率是直线 的斜率的2倍，求椭圆 的方程.
【解析】（1）由 ，根据椭圆的对称性知 轴， 过右焦点
所以 ， ， ，
则 ，由 ，可得
解得 ，代入椭圆方程得 ，解得 ，所以 ，即 ，所以 ，故椭圆方程为 ；
（2）设 ， ，令 ，则 ，
代入椭圆方程得 ，即 ，
又 ，所以 ，化简得到 ①
同理：令 ，同理解得 ，代入椭圆方程同理可得 ②
由题知 ，解得 ，③
① ②得 ，将③式代入得 ，故 ，
故椭圆方程为 .
【变式12-2】（2024·全国·高三专题练习）过 的直线与椭圆 交于P，Q，过P作
轴且与椭圆交于另一点N，F为椭圆的右焦点，若 ，求证：
【解析】设 ，则
设直线NQ与x轴相交于点 ，
由题设知： ，所以
， ，即 ， ①
设 ，则 ， ，即 ， ②
比较①②得 ， ，又 ，两式作差得 ，
得到 ，
得到 ，即M和F重合．
所以 ．
考点十三：齐次化
【例13】已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线 交于P，Q两点， 为坐标原点．证明：
．
【解析】直线
由 ，得
则由 ，得： ，
整理得： ，即： ．
所以 ，
则 ，即： ．
【变式13-1】（2024·广东·统考一模）已知椭圆 的离心率为 ，过椭圆C右焦点并
垂直于x轴的直线PM交椭圆C于P，M（点P位于x轴上方）两点，且△OPM（O为坐标原点）的面积为
．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l交椭圆C于A，B（A，B异于点P）两点，且直线PA与PB的斜率之积为 ，求点P到直线l
距离的最大值．
【解析】（1）由题意可得 ，∴由题意可得 且 ，解得 ， ，∴椭圆的方程为： ．
（2）解法1：由（1）可得 ，
当直线 没有斜率时，设方程为： ，则 ，此时
，化简得： 又 ，解得 或 （舍
去），此时P到直线l的距离为
设直线l有斜率时，设 ， ，设其方程为： ，联立可得 且整理可得：
，
，且 ， ，
，整理可得： ，
整理可得 ，整理可得 ，
即 ， 或 ，
若 ，则直线方程为： ，直线恒过 ，与P点重合，
若 ，则直线方程为： ，∴直线恒过定点 ，∴P到直线l的距离的
最大值为 的值为 ，
由于
∴点P到直线l距离的最大值 ．
解法2：公共点 ，左移1个单位，下移 个单位， ，， ，
，等式两边同时除以 ，
， ， ， ，
过 ，右移1个单位，上移 个单位，过 ，∴P到直线l的距离的最大值为
的值为 ，
由于
∴点P到直线l距离的最大值 ．
【变式13-2】（2024·广东汕头·高二汕头市第一中学校考期末）如图，点 为椭圆
的右焦点，过 且垂直于 轴的直线与椭圆 相交于 ､ 两点( 在 的上方)，
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设点 ､ 是椭圆 上位于直线 两侧的动点，且满足 ，试问直线 的斜率是否为
定值，请说明理由.
【解析】（1）由 得： ，
椭圆 的方程：（2）依题意知直线 的斜率存在，设 方程：
，
代入椭圆方程 得： (*)
，
由 得
，
整理得：
或
当 时，直线 过定点 ，不合题意
， ， 直线 的斜率是定值
另设直线 的方程为
椭圆 的方程即：
即：
联立得：
即
由 得 即：
直线 的斜率为 ，是定值.考点十四：极点极线问题
【例14】（2024·广西·校联考模拟预测）已知F为抛物线 的焦点，直线 与C
交于A，B两点且 .
（1）求C的方程.
（2）若直线 与C交于M，N两点，且 与 相交于点T，证明：点T在定直线上.
【解析】（1）设 ， ，由 ，得 ，
则 ，
从而 ，
解得 ，故 的方程为 .
（2）证明：设 ， ， ， .
因为 ，所以 .
根据 得 ，则 ，
同理得 .
又 两式相加得 ，
即 ，由于 ，所以 .
故点 在定直线 上.
【变式14-1】（2024·福建福州·统考一模）已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，
为原点.以 为对角线的正方形 的顶点 ， 在 上.
（1）求 的离心率；
（2）当 时，过 作与 轴不重合的直线 与 交于 ， 两点，直线 ， 的斜率分别为 ，
，试判断 是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.
【解析】解法一：（1）以 为对角线的正方形 的顶点坐标分别为 ， ， .因为 ， 在椭圆上，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以椭圆的离心率 ；
（2）当 时， ，所以椭圆的方程为 .
为定值 ，理由如下：
①当直线 的斜率不存在时， 的方程为 ，则 ， ，
所以 ， ，所以 .
②当直线 的斜率存在时，设 的方程为 ， ，
设 ， ，
不妨设 ，且 .
由 可得 ，
， ， .
要证 ，只要证明： ，
只要证： ，
只要证： ，
只要证： ，因为 ， ，即证 ，
因为 ， ，所以 .
所以 成立，
综上所述： .
解法二：（1）同解法一；
（2）当 时， ，所以椭圆的方程为 .
设 的方程为 ， ，
设 ， ，不妨设 .
由 可得 ，
， ， .
所以 ，即 .
.
综上所述： .解法三：（1）同解法一；
（2）当 时， ，所以椭圆的方程为 .
设 的方程为 ， ，
设 ， ，不防设 .
由 可得 ，
， ， .
因为 在椭圆上，所以 ，即 ，
所以 .
，
.
所以 .
综上所述： .
解法四：（1）同解法一；
当 时， ，所以椭圆的方程为 .
设 ， ，
因为 在椭圆上，所以 ，所以 .
所以 ，同理 .
设 ，则 ，
所以 ，①
，②
①+②得 ，
当 时得 ，不合题意，舍去.
当 时， ，
所以直线 经过点 ，
又 过定点 ，故 ，解得 .
综上所述： .
【变式14-2】（2024·安徽·高考真题）设椭圆 过点 ，且左焦点为
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）当过点 的动直线 与椭圆 相交与两不同点 时，在线段 上取点 ，满足
，证明：点 总在某定直线上
【解析】(1)由题意：
，解得 ，所求椭圆方程为
(2)方法一
设点Q、A、B的坐标分别为 ．
由题设知 均不为零，记 ,则 且
又A，P，B，Q四点共线，从而
于是 ，，
从而
， （1） ， （2）
又点A、B在椭圆C上，即
（1）+（2）×2并结合（3），（4）得
即点 总在定直线 上
方法二
设点 ，由题设， 均不为零．
且
又 四点共线，可设 ,于是
（1）
（2）
由于 在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程 整理得
（3）
(4)(4)－(3) 得
即点 总在定直线 上
考点十五：同构问题
【例15】（2024·贵州·校联考一模）抛物线 的焦点到准线的距离等于椭圆
的短轴长．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设 是抛物线 上位于第一象限的一点，过 作 （其中 ）的两条切线，
分别交抛物线 于点 , ,证明：直线 经过定点．【解析】（1）由椭圆方程 可知短轴长为 ，
∴抛物线 的焦点到准线的距离 ，
故抛物线方程为 ．
（2）∵ 是抛物线 上位于第一象限的点，∴ 且 ，∴ ．
设 ， ，则直线 方程为 ，
即 ，
∵直线DM： 与圆E： 相切，
∴ ，整理可得， ，①
同理，直线DN与圆E相切可得， ，②
由①②得a，b是方程 的两个实根，
∴ ， ，
代入 ，化简整理可得，
，
令 ，解得 ，
故直线MN恒过定点 ．
【变式15-1】（2024·湖北武汉·统考一模）设抛物线 的焦点为F，过F作直线l交抛物线
E于A，B两点.当l与x轴垂直时， 面积为8，其中O为坐标原点.
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若l的斜率存在且为 点 ，直线 与E的另一交点为C，直线 与E的另一交点为D，设直
线 的斜率为 ，证明： 为定值.
【解析】（1）由题意不妨设 .
∴ .
；（2）设 .
则直线l的斜率为 ，直线 为 .
则 .
又点 在直线上，则 .
同理，直线 为 .
点 在直线 上，则 .
同理，直线 为 .
点 在直线 上，则 .
又 ，则 ，
得证.
【变式15-2】（2024·江西吉安·高三统考期末）已知椭圆 的焦距为2，离心率为 ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）直线 与 轴正半轴和 轴分别交于点 ，与椭圆分别交于点 ，各点均不重合且满足
．若 ，证明：直线 恒过定点．
【解析】（1）依题意， ．由 ，得 ．
故椭圆方程为 ．
（2）设 ，
．
由 ，得 ， ．
∵点 在椭圆上， ，整理得 ．
同理，由 可得 ．为方程 的两不相等实数根， ．
．又 ．∴直线 恒过定点 ．
考点十六：蝴蝶问题
【例16】（2024·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知椭圆 的离心率为 ，且点
在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，椭圆C的左、右顶点分别为A，B，点M，N是椭圆上异于A，B的不同两点，直线 的斜率
为 ，直线 的斜率为 ，求证：直线 过定点．
【解析】（1）由椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆上，
可得 ，所以 ，
又点 在该椭圆上，所以 ，所以 ，
所以椭圆C的标准方程为
（2）由于 的斜率为 ，设 的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
所以 ，所以 ，从而 ，即 ，
同理可得：由于 的斜率为 ，则 ，
联立方程组 ，可得 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
从而 ，即 ，
当 时即 ；时， ，过点 ，
当 时， ， ，即
，所以直线 过点 ，
综上可得，直线 过点 .
【变式16-1】（2024·广东·高二校联考期末）椭圆有两个顶点 过其焦点 的直线 与椭
圆交于 两点，并与 轴交于点 ，直线 与 交于点 ．
（1）当 时，求直线 的方程；
（2）当 点异于 两点时，证明： 为定值．
【解析】（1）由题意，椭圆的方程为
易得直线 不与两坐标轴垂直，故可设 的方程为 ，设 ，
由 消去 整理得 ，判别式
由韦达定理得 ，①
故 ，解得 ，
即直线 的方程为 ．
（2）证明：直线 的斜率为 ，故其方程为 ，
直线 的斜率为 ，故其方程为 ，
由 两式相除得
即
由（1）知 ，
故
解得 ．易得 ，
故 ，
所以 为定值1
【变式16-2】（2024·全国·高三专题练习）设抛物线 的焦点为F，点 ，过F的直
线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时， ．(1)求C的方程；
(2)设直线 与C另一个交点分别为A，B，记直线 的斜率为 ，求 的值．
【解析】（1）抛物线C的方程为
（2） 解法一：
设 ，直线 ，
联立直线 ，得 ， ，
联立直线 ，得 ， ，
∴ ，同理可得 ，
由斜率公式可得 ， ，∴ ．
解法二：三点共线
设 ，
由M、N、F三点共线，得 ，
由M、D、A三点共线，得 ，由N、D、B三点共线，得 ，
则 ，AB过定点（4，0）．
