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专题2.10 曲线与方程
教学目标
1、了解曲线与方程的对应关系，领会“曲线的方程与方程的曲线”的概念.
2、熟悉求曲线方程的步骤以及利用方程研究曲线的性质.
3、掌握求动点轨迹方程的方法
教学重难点
1.重点:曲线与方程的概念;求动点的轨迹方程
2.难点:分析、判断曲线与方程的关系;求动点的轨迹方程
知识点01 曲线的方程与方程的曲线
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线
与方程
之间具有如下关系：
1.曲线
上的点的 都是
2.以 为坐标的点都
则称曲线
为方程
的曲线，方程
为曲线
的方程.
【即学即练】已知坐标满足方程
的点都在曲线C 上，则下列命题中正确的是（ ）
A．曲线C 上的点的坐标都适合方程
B．不在曲线C 上的点的坐标必不适合方程
C．凡坐标不适合方程
的点都不在曲线C 上
D．不在曲线C 上的点的坐标有些适合方程
知识点02 两曲线的交点
己知两条曲线
和
的方程分别为
，
，求两条曲线
和
的交点坐标，只要联
立两个方程得 求方程组的实数解就可以得到.
【即学即练】曲线
与直线
交于A、B 两点，则线段AB 的长度为 ．
知识点03 点的轨迹
曲线一般都可以看成动点依某种条件运动的轨迹, 也常称为满足某种条件的
【即学即练】在平面直角坐标系中，已知
，
，直线
与
的斜率之积为
，则动点
的轨迹方程为 ．
题型01 曲线与方程的概念
【典例1】方程
表示的曲线是（ ）
A．—个圆
B．两个圆
C．一个半圆
D．两个半圆
【变式1】已知坐标满足方程
的点都在曲线
上，那么（ ）
A．曲线
上的点的坐标都满足方程
B．坐标不满足
的点都不在曲线
上
C．不在曲线
上的点的坐标必不满足
D．不在曲线
上的点的坐标有些满足
，有些不满足
【变式2】下列四组方程中，表示同一曲线的是（ ）
A．
与
B．
与
C．
与
D．
与
【变式3】方程
：
所对应的曲线是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】方程
表示的曲线是 .
题型02 点与曲线的位置关系
【典例1】若点
在方程
的曲线上，则
．
【变式1】方程
表示的曲线经过的一点是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】方程
表示的图形经过点
，
，
，
中的（ ）
A．
个
B．个
C．
个
D．个
【变式3】曲线
经过的一点是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（多选）定义：
曲线的方程为
（
是常数）．若点
在
曲线上，
是坐
标原点，
，则（ ）
A．当
时，
的最小值为
B．当
时，
的最小值为
C．当
时，
的最大值为
D．当
时，
的最大值为
题型03 由方程求曲线的图形
【典例1】已知曲线
，则曲线
的大致图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】方程
表示的曲线是（ ）
A．
轴上方的半圆 B．
轴下方的半圆
C．
轴左侧的半圆
D．
轴右侧的半圆
【变式2】在平面直角坐标系中，方程
所表示的曲线是（ ）
A．椭圆
B．两条平行线
C．三角形
D．菱形
【变式3】方程
表示的图形是 .
【变式4】方程
表示的曲线的形状是 ．
题型04 由方程研究曲线性质
【典例1】（多选）如图，数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，例如：四叶草曲线就是其中一种，
其方程为
，给出下列结论正确的有（ ）
A．曲线
有4 条对称轴
B．曲线
上的点到原点的最大距离为
C．曲线
第一象限上任意一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积最大值为
D．四叶草面积小于
【变式1】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C：
的周长为（ ）
A．12
B．14
C．16
D．20
【变式2】已知曲线
的方程为
，则曲线
上的点的纵坐标的最大值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【变式3】已知曲线
，则该曲线的一条对称轴方程为 .（写出满足条件的一个方
程即可）
【变式4】2022 年卡塔尔世界杯会徽近似伯努利双纽线，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一的
美，同时也具有特殊的有价值的艺术美.曲线
是“双纽线”，若直线
与曲线
只有一个交点，则实数
的取值范围是 .
题型05 判断两曲线交点的个数
【典例1】（多选）给定下列四条曲线中，与直线
仅有一个公共点的曲线是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】曲线
和
公共点的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知A（﹣1，0），B（1，1），若曲线C：x2﹣y2＝0 上的点P 满足：|PA|＝
|PB|，则符合
条件的点P 的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式3】曲线
与曲线
的交点有 个．
题型06 两曲线交点
【典例1】直线
与曲线
交点的坐标为 ．
【变式1】方程
有且仅有两个不同实根，则实数的取值范围是 ．
【变式2】已知曲线
与曲线
恰好有三个不同的公共点，则实数
的取值范围
是 .
【变式3】已知曲线
的方程是
，曲线
的方程是
，判断
与
是否有交点，如果有，
求出交点坐标；如果没有，说明理由．
题型07 求平面轨迹方程
【典例1】已知定点A，B，且
，动点P 满足
．请选择恰当的坐标系，求相应点
P 的轨迹方程，并指明轨迹是什么曲线．
【变式1】已知A，B 两点的坐标分别是
，直线AM、BM 相交于点M，且直线AM 的斜率是直
线BM 的斜率的2 倍，则点M 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知等腰
底边两端点的坐标分别为
，
，则顶点A 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知动点
到点
的距离与它到直线
的距离之比为
，则动点
的轨迹方程为
．
【变式4】动点
在曲线
上移动，点
和定点
连线的中点为
，求点
的轨迹方程.
1．曲线
的对称轴的条数为（ ）
A．9
B．1
C．2
D．3
2．如图，是某心形二次曲线
，则
的方程可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知曲线
的方程为
，则曲线
关于（ ）对称
A．
轴
B．
轴
C．原点
D．直线
4．在平面直角坐标系中，已知两点
，点
为动点，且直线
与
的斜率之积为
，
则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点
的距离之比
为定值
的点的轨迹是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏
圆．现有一种防护新冠病毒消毒液，
两地均有销售（两地价格相同），但是某地区的居民从两地往回
采购商品时，每单位距离
地的运费是
地的运费的3 倍，已知
两地距离是10km（居民购买意愿是包
括运费总费用最低），以
的中点为原点建立直角坐标系，则
两地销售区域的分界线的轨迹方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．曲线
和曲线
组合围成“心形图”（如下图所示），记“心
形图”为曲线
，曲线
所围成的“心形”区域的面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
与曲线
有两个不同交点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．古希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇编》中对圆锥曲线给出了统一定义，即到定点的距离与到定
直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线.当
时，轨迹为椭圆；当
时，轨迹为抛物
线；当
时，轨迹为双曲线.若方程
表示的曲线是双曲线，则实数k 的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）在平面直角坐标系中，已知定点
和定直线
，若到点
与直线的距离之和等于
10 的点的轨迹记为曲线
.给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A．曲线
关于
轴对称
B．若点
在曲线
上，则
C．若点
在曲线
上，则
D．若点
在曲线
上，则
11．在等腰
中，若一腰的两个端点分别为
，
，
为顶点，求另一腰的一个端点
的
轨迹方程．
12．过原点的直线与曲线
交于
两点，求弦
中点的轨迹．
13．已知
，点P 在y 轴上，满足
．
(1)求点P 的坐标；
(2)若动点Q 与
的距离的比为
，求动点Q 的轨迹方程．
