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专题2.11 椭圆的标准方程
教学目标
①了解圆锥曲线的实际背景。
②了解圆锥
曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
③掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程。
④会根据相关的条件求椭圆的标准方程。
⑤会求与椭圆有关的量。
教学重难点
重点：①掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.
②掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程:
难点：理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
知识点01 椭圆的定义
1、椭圆的定义：平面内一个动点P 到两个定点F1、F2的距离之和
，
这个动点P 的轨迹叫椭圆. 这两个定点（
,
）叫椭圆的 ，两焦点的距离（
）
叫作椭圆的
说明：
若(|PF 1|+|PF 2|=|F1F2|)，P 的轨迹为 ；
若(|PF 1|+|PF 2|<|F1F2|)，P 的轨迹
2、定义的集合语言表述
集合
.
【即学即练】1．已知平面内两个定点
，
，动点P 满足
，则点P 的轨迹为
（ ）.
A．椭圆
B．线段
C．双曲线
D．抛物线
知识点02 椭圆的标准方程
焦点位置
焦点在
轴上
焦点在
轴上
标准方程
（
）
（
）
图象
焦点坐标
，
，
的关系
特别说明：
1、两种椭圆
，
（
）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有
,
;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
2、给出椭圆方程
(
，
,
),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭
圆的焦点在
轴上
标准方程中
⇔
项的分母较大;椭圆的焦点在
轴上
标准方程中
⇔
项的分母较大,这
是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.
【即学即练】已知动点
满足
，则动点M 的轨迹方程是 ．
题型01 椭圆的定义及辨析
【典例1】（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．已知
，
，平面内到
，
两点的距离之和等于的点的轨迹是线段
B．已知
，
，平面内到
，
两点的距离之和等于
的点的轨迹是椭圆
C．平面内到点
，
距离相等的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点
，
两点的距离之和等于点
到
，
的距离之和的点的轨迹是椭
圆
【变式1】已知点
，
，动点
满足
，则点
的轨迹为（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．线段
【变式2】如果点
在运动过程中，总满足关系式
，那么点
的
轨迹是（ ）
A．不存在
B．椭圆
C．线段
D．双曲线
【变式3】设定点
，
，动点
满足条件
，则点
的轨迹是
（ ）
A．椭圆
B．线段
C．射线
D．椭圆或线段
【变式4】（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．已知点
，
，到
，
两点的距离之和等于7 的点的轨迹是椭圆
B．已知点
，
，到
，
两点的距离之和等于8 的点的轨迹是椭圆
C．已知点
，
，到
，
两点的距离之和等于9 的点的轨迹是椭圆
D．已知点
，
，到
，
两点的距离之和等于10 的点的轨迹是椭圆
集合
.
题型02 利用椭圆定义求方程
【典例1】已知圆
为圆
上任意一点，线段BP 的垂直平分线和半径AP 相交
于
，当点
在圆
上运动时，点
的轨迹方程为 .
【变式1】已知动点
满足
，则动点M 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】平面内点P 到
，
的距离之和是8，则动点P 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知圆
及点
，在圆
上任取一点
，连接
，将点
折叠到点A，记
与折痕的交点为
（如图）. 当点
在圆
上运动时，点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】方程
表示的曲线的标准方程是 .
椭圆的定义：平面内一个动点P 到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(|PF 1|+|PF 2|=2a>|F1F2|)，
这个动点P 的轨迹叫椭圆. 这两个定点（
,
）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（
）叫作椭圆的焦
距.
题型03 椭圆上点到焦点距离（含最值）问题
【典例1】已知椭圆
的左焦点为
是
上一点，
是圆
上一点，则
的最大值为 .
【变式1】点
是椭圆
上任一动点，定点
，F 为右焦点，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．3
C．
D．
【变式2】设
是椭圆
上一点，
，
分别是两圆
和
上的点，则
的最小值、最大值分别为（ ）
A．8，11
B．8，12
C．6，10
D．6，11
【变式3】已知
是椭圆C：
的左焦点，
是椭圆C 上的任意一点，点
，则
的最大值为( )
A．
B．
C．
D．
【变式4】设
是椭圆
的左焦点，
是椭圆上的动点，
，则
的最小值为 .
题型04 椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值
【典例1】已知动点
在椭圆
上，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知点
，且
是椭圆
的左焦点，
是椭圆上任意一点，则
的最小值
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知动点
在椭圆
上，
，
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．
C．2
D．1
【变式3】已知F 为椭圆
的右焦点，P 为C 上一点，Q 为圆
上一点，则
的最大值为（ ）
A．5
B．
C．
D．6
【变式4】已知
为椭圆
的焦点，P 为椭圆上一动点，
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．6
C．
D．
题型05 判断方程是否表示椭圆
【典例1】（多选）已知曲线
，则（ ）
A．当
时，
是圆
B．当
时，
是焦距为4 的椭圆
C．当
是焦点在
轴上的椭圆时，
D．当
是焦点在
轴上的椭圆时，
【变式1】椭圆
的焦距为4，则
的值为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【变式2】（多选）若方程
所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（ ）
A．曲线C 可能是圆
B．若
，则C 为椭圆
C．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则
D．若C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则
【变式3】“
”是“方程
表示的曲线为椭圆”的 条件．
【变式4】方程
表示椭圆的充要条件是 ．
题型06 求椭圆方程
【典例1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是
，并且经过点
，则它的标准方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】若椭圆的短轴顶点为
，焦距为8，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】若椭圆的两焦点为
和
，且椭圆过点
，则椭圆方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】椭圆
上一点
到其两焦点
，
的距离之和等于20，则椭圆
的标准方程为
.
【变式4】已知椭圆C 的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆
C 的标准方程可能为 ．
题型07 根据椭圆方程求参数
【典例1】若方程
表示焦点在
轴上的椭圆，则实数
的取值范围是
【变式1】若方程
表示椭圆，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】方程
所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是 .
【变式3】设方程
表示椭圆，则实数
的取值范围是 .
【变式4】方程
表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ．
题型08 椭圆中的轨迹方程问题
【典例1】已知曲线
，从
上任意一点
向
轴作垂线段
，
为垂足，则线段
的中点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知
，点
分别在
轴、
轴上运动，
为坐标原点，点
在线段
上，且
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】长为1 的线段
的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则点B 关于点A 的对称点M 的
轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知动圆
在圆
的外部且与圆
相切，同时还在圆
的内
部且与圆
相切，则动圆的圆心
的轨迹
的方程是 .
【变式4】已知圆
内有一点
，
为圆
上的一个动点，线段
的垂直平分线
与线段
交于点
，则动点
的轨迹方程为 ．
题型09 椭圆中焦点三角形面积问题
【典例1】已知点
是椭圆
上的一点，
和
是焦点，焦距为
，且
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若
，求
的面积．
【变式1】已知点
为椭圆
上第一象限的一点，左、右焦点为
，
，
的平分线与
轴交于点
，过点
作直线
的垂线，垂足为
，
为坐标原点，若
，则
面积为
．
【变式2】已知椭圆
中，点
是椭圆上一点，
是椭圆的焦点，且
，则
的面积为 .
【变式3】设点
为椭圆
上一点，
，
分别为
的左、右焦点，且
，
则
的面积为 .
【变式4】设点
为椭圆
上一点，
，
分别为
的左、右焦点，且
，求
的面积.
①定义|PF 1|+|PF 2|=2a|
②
③余弦定理
题型10 椭圆中焦点三角形其他问题
【典例1】已知椭圆
，焦点是
，
，动点P 在椭圆上，则
的最小值（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知
，
为椭圆
的两个焦点，
是椭圆上第一象限的点，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知
，
分别是椭圆C：
的左，右焦点，M 是椭圆C 上一点，且
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知椭圆
的两个焦点为
、
，
为椭圆上一点，且
，则
的值为 ．
【变式4】椭圆
的焦点为
，点
在该椭圆上，若
，则
的大小为 ．
1．已知点
，
，动点
满足
，则动点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知椭圆
的两焦点分别为
，
，点
为椭圆上任意一点，则
的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
3．设
为椭圆
的两个焦点，点
在
上，若
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
4．已知动圆
与圆
内切，同时与圆
外切，则动圆
的圆心轨迹方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知曲线
，设
，q：曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知椭圆
：
的上、下顶点分别为
，
，点
为
上异于
，
的任意一点，若
满足
，
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．在圆
上任取一点
，过点
作
轴的垂线段
，
为垂足.当点
在圆上运动时，线段
的
中点
的轨迹方程（当点
经过圆与
轴的交点时，规定点
与点
重合）为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．已知
是椭圆
上的一点，且在
轴上方，
分别是该椭圆的左、右焦点，直线
的斜率为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）关于曲线
，下列说法正确的是（ ）
A．若曲线
表示两条直线，则
，
或
，
B．若曲线
表示圆，则
C．若曲线
表示焦点在
轴上的椭圆，则
D．若曲线
表示椭圆，则仅需
10．（多选）下列是真命题的是（ ）
A．已知定点
，则满足
的点
的轨迹为椭圆
B．已知定点
，则满足
的点
的轨迹为线段
C．到定点
距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点
到定点
的距离的和等于点
到定点
的距离的和，则
点
的轨迹为椭圆
11．已知椭圆方程为
，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭
圆方程是 ．
12．已知
是椭圆
上的动点，
，且
，则
.
13．求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)过三点
、
、
的圆；
(2)过两点
、
的椭圆．
14．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)
，
，焦点在y 轴上；
(2)
，
．
(3)经过点
，
两点；
15．已知圆
：
，点M 为圆
上任意一点，
，
的中垂线交
于点E．求
点E 的轨迹方程．
