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专题2.7 均值不等式及其应用
教学目标
1. 理解两个实数的平方和不小于它们积的2 倍这一重要不等式的证明，并能从几何意
义的角度去解释，形成数形结合的完美统一．
2. 理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数定理的证明，及其几何意义，
会用这两个重要不等式解决简单的实际应用题．
3. 通过定理的证明培养学生的逻辑推理能力，通过定理的应用揭示数学的应用价值．
教学重难点
教学重点：1．均值不等式定理的证明和应用．
2．会用均值不等式解决简单的最大（小）问题．
教学难点：注意运用定理求最大（小）值的条件
知识点01 均值不等式
均值不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
均值不等式:
,
,（当且仅当a=b 时，取“=”号）其中
叫做正数
，
的几何平均数；
叫做正数
，
的算数平均数．
如果
a,b∈R ，有a2+b2≥2ab （当且仅当a=b 时，取“=”号）
特别的，如果
,用
分别代替
,代入a2+b2≥2ab ，可得：
，当且仅
当a=b 时，“=”号成立.
【即学即练】下列结论正确的是（ ）
A．若
，且
，则
B．当
时，
C．当
时，
的最小值为2
D．当
时，
知识点02 利用均值不等式求最值
①已知
，
是正数，如果积
等于定值
，那么当且仅当
时，和
有最小值
；
②已知
，
是正数，如果和
等于定值
，那么当且仅当
时，积
有最大值
；
【即学即练】已知
，求
的最大值；
题型01 对均值不等式的理解
【典例1】设a，b∈R，下列不等式中恒成立的是（ ）
A．
B．
C．a2+b2＞2ab
D．
【变式1】若
满足
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．
既不充分也不必要条件
【变式3】不等式
中，等号成立的条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】下列结论正确的是（ ）
A．当x<2 时，x＋
≥4
B．当x≥2 时，x＋
的最小值是2
C．当x>0 时，
＋
≥4
D．当x>0 时，x＋
的最小值为1
题型02 由均值不等式比较大小
【典例1】已知
，设
，
，则
与
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．不确定
【变式1】设a、b 为正数，且
，比较ab 的值与
的大小（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）已知a，
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】比较大小：
2(填“
”“
”“
”或“
”)．
题型03 由均值不等式证明不等关系
【典例1】（1）已知
，
，
，求证：
；
（2）已知
、
、都是正实数，且
，求证：
.
【变式1】（1）比较
与
的大小；
（2）证明不等式：
【变式2】已知正实数
，
满足
.
(1)求
的最小值；
(2)证明：
.
【变式3】证明：
(1)若
，求证：
；
(2)若
，求证：
.
【变式4】（1）已知
，求
的最大值；
（2）已知
，
都是正数，且
，求证：
.
题型04 利用均值不等式求积的最大值
【典例1】（1）已知
，求
的最大值；
（2）已知正实数
满足
，求
的最大值.
【变式1】利用基本不等式求下列式子的最值：
(1)若
，求
的最小值；
(2)已知
，且
，求
的最大值；
(3)若
，求
的最大值.
【变式2】设
，
，且
，则
的最大值．
【变式3】求下列各式的最值
(1)当
时，求
的最小值；
(2)已知
，求
的最大值.
【变式4】（1）已知
，
，
，求
的最小值；
（2）已知
，求
的最大值.
题型05 利用均值不等式求和的最小值
【典例1】已知
，求
的最大值；
【变式1】（1）已知
，求函数
的最小值及取最小值时
的值；
（2）已知
，求函数
的最大值及取最大值时
的值．
【变式2】（1）已知
，求
的最小值；
（2）已知
是正实数，且
，求
的最小值.
【变式3】（1）已知
，求
的最大值；
（2）已知两正数
，
满足
，分别求
和
的最小值.
【变式4】已知
.
(1)求
的最小值；
(2)求
的最小值
题型06 利用均值不等式求二次与二次（一次）商式的最值
【典例1】当
时，函数
的最小值是 ．
【变式1】若
，则函数
的值域为 ．
【变式2】函数
的最小值为 ．
【变式3】当
时，函数
的最小值为 ．
【变式4】若存在
，使
成立，则
的取值范围是 .
题型07 利用均值不等式求条件等式求最值
【典例1】若
，则
的取值范围是 ．
【变式1】已知
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式2】已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【变式3】已知实数
满足
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（多选）已知
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型08 均值不等式中的恒成立问题
【典例1】当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围是 ．
【变式1】已知
，若不等式
恒成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．5
【变式2】若对任意
，不等式
恒成立．则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
【变式3】若对任意的
，使得
均成立，则实数
的取值范围 ．
【变式4】已知正数
，
满足
，若
恒成立，则实数
的取值范围为 ．
题型09 均值不等式的应用
【典例1】一批货物随17 列货车从A 市以
的速度匀速直达B 市．已知两地铁路线长
，为了安
全，两列货车的间距不得小于
（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B 市最快需要
（ ）
A．2 小时
B．4 小时
C．6 小时
D．8 小时
【变式1】“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式
来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单
位：米）近似满足
的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ）
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
【变式2】某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量
（单位时间内经过测量点的车辆数，
单位：辆
）与车流速度（假设车辆以相同速度行驶，单位：
）及平均车长（单位：
）的值
有关，其公式为
．若不限定车型，
，则最大车流量为（ ）
A．1000 辆
B．1200 辆
C．1500 辆
D．1900 辆
【变式3】港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有
降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30 升的燃油，第二种方案是每次加200 元的燃油，
则下列说法正确的是（ ）
A．采用第一种方案更划算
B．采用第二种方案更划算
C．两种方案一样划算
D．无法确定采用哪种方案更划算
【变式4】现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：仓库每月土地
占地费
万元与仓库到车站的距离x 千米的函数关系近似为
；每月库存货物费
万元与x 的函数
关系近似为
．这家公司应该把仓库建在距离车站 千米处，才能使两项费用之和最少．
1．已知
，且
，
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
2．已知
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．4
C．8
D．16
4．已知
，则
的最小值是（ ）
A．
B．1
C．4
D．7
5．已知实数
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．8
B．16
C．5
D．10
6．若正实数x，y 满足
，则
的最大值为（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
7．已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
8．已知
为正数，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．
D．
9．（多选）下列命题为真命题的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
的最小值为2
D．
的最大值为5
10．（多选）若正实数a，b 满足
，则（ ）
A．
有最大值
B．
有最大值
C．
的最小值是
D．
的最小值是
11．已知函数
，则
的最小值为 ．
12．已知
，且
，则
的最小值为 .
13．（1）已知实数
、
满足
，
.求
的取值范围.
（2）已知
，求
的最小值.
14．已知
，求函数
的最小值.
15．已知
，
，且
．
(1)求
的最大值；
(2)求
的最小值．
