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专题2.11 椭圆的标准方程
教学目标
①了解圆锥曲线的实际背景。
②了解圆锥
曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
③掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程。
④会根据相关的条件求椭圆的标准方程。
⑤会求与椭圆有关的量。
教学重难点
重点：①掌握椭圆的定义，会用椭圆的定义解决实际问题.
②掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程:
难点：理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
知识点01 椭圆的定义
1、椭圆的定义：平面内一个动点P 到两个定点F1、F2的距离之和等于常数
(|PF 1|+|PF 2|=2a>|F1F2|)，
这个动点P 的轨迹叫椭圆. 这两个定点（
,
）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（
）叫作椭圆的焦
距
.
说明：
若(|PF 1|+|PF 2|=|F1F2|)，P 的轨迹为线段F1F2；
若(|PF 1|+|PF 2|<|F1F2|)，P 的轨迹无图形
2、定义的集合语言表述
集合
.
【即学即练】1．已知平面内两个定点
，
，动点P 满足
，则点P 的轨迹为
（ ）.
A．椭圆
B．线段
C．双曲线
D．抛物线
【答案】A
【分析】根据题意，由椭圆的定义，即可得到结果.
【详解】因为
为平面内两个不同定点，且
，
，
则动点
的轨迹是以
为焦点的椭圆.
故选：A
知识点02 椭圆的标准方程
焦点位置
焦点在
轴上
焦点在
轴上
标准方程
（
）
（
）
图象
焦点坐标
，
，
的关系
特别说明：
1、两种椭圆
，
（
）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有
,
;不同点是:两种椭圆的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
2、给出椭圆方程
(
，
,
),判断该方程所表示的椭圆的焦点位置的方法是:椭
圆的焦点在
轴上
标准方程中
⇔
项的分母较大;椭圆的焦点在
轴上
标准方程中
⇔
项的分母较大,这
是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法.可简记作:焦点位置看大小,焦点跟着大的跑.
【即学即练】已知动点
满足
，则动点M 的轨迹方程是 ．
【答案】
【分析】设
，分析可知动点M 的轨迹是以
为焦点的椭圆，进而可得
和方程.
【详解】设
，
因为
，可得
，
可知动点M 的轨迹是以
为焦点的椭圆，
且
，则
，
所以动点M 的轨迹方程是
.
故答案为：
.
题型01 椭圆的定义及辨析
【典例1】（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．已知
，
，平面内到
，
两点的距离之和等于的点的轨迹是线段
B．已知
，
，平面内到
，
两点的距离之和等于
的点的轨迹是椭圆
C．平面内到点
，
距离相等的点的轨迹是椭圆
D．平面内到点
，
两点的距离之和等于点
到
，
的距离之和的点的轨迹是椭
圆
【答案】AD
【分析】根据椭圆的定义逐项分析点的轨迹.
【详解】待求轨迹的点记为
，
A：因为
，所以
的轨迹是线段
，故正确；
B：因为
，此时
的轨迹不存在，故错误；
C：因为
，所以
的轨迹是线段
的垂直平分线，故错误；
D：因为
，所以
，
所以
的轨迹是以
为焦点的椭圆，故正确；
故选：AD.
【变式1】已知点
，
，动点
满足
，则点
的轨迹为（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．线段
【答案】A
【分析】根据椭圆的定义，简单计算后可得结论.
【详解】因为
，
，则
，所以
，
根据椭圆的定义可知，点
的轨迹为椭圆.
故选：A．
【变式2】如果点
在运动过程中，总满足关系式
，那么点
的
轨迹是（ ）
A．不存在
B．椭圆
C．线段
D．双曲线
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义求解即可.
【详解】
表示平面内到点
，
的距离之和为
的动点
的轨迹，由于
，所以点
的轨迹是椭圆.
故选：B.
【变式3】设定点
，
，动点
满足条件
，则点
的轨迹是
（ ）
A．椭圆
B．线段
C．射线
D．椭圆或线段
【答案】D
【分析】由基本不等式可得
，再由椭圆的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
，所以
，
当且仅当
时等号成立，
当
时，
，而
，此时点
的轨迹是线段
；
当
时，
，
此时点
的轨迹是以
、
为焦点的椭圆.
综上所述，点
的轨迹是以
、
为焦点的椭圆或线段
.
故选：D
【变式4】（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．已知点
，
，到
，
两点的距离之和等于7 的点的轨迹是椭圆
B．已知点
，
，到
，
两点的距离之和等于8 的点的轨迹是椭圆
C．已知点
，
，到
，
两点的距离之和等于9 的点的轨迹是椭圆
D．已知点
，
，到
，
两点的距离之和等于10 的点的轨迹是椭圆
【答案】CD
【分析】根据椭圆定义分别判断各个选项即可.
【详解】根据题意，点
，
，则
，
对于A，
，到
，
两点的距离之和等于7 的点的轨迹不存在，错误；
对于B，
，到
，
两点的距离之和等于8 的点的轨迹为线段
，错误；
对于C，
，到
，
两点的距离之和等于9 的点的轨迹是椭圆，正确；
对于D，
，到
，
两点的距离之和等于10 的点的轨迹是椭圆，正确；
故选：CD.
集合
.
题型02 利用椭圆定义求方程
【典例1】已知圆
为圆
上任意一点，线段BP 的垂直平分线和半径AP 相交
于
，当点
在圆
上运动时，点
的轨迹方程为 .
【答案】
【分析】根据题设得到
，结合椭圆定义写出轨迹方程即可.
【详解】由题意
，且
，而
，已知圆的半径
，
所以
，
故
的轨迹是以
为焦点，且焦点在
轴上的椭圆，
，即
，
所以轨迹方程为
.
故答案为：
【变式1】已知动点
满足
，则动点M 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得
的值，可得答案.
【详解】由题意可得动点
到
与
两点的距离之和为
，
且
，则动点
的轨迹为椭圆，
易知
，
，
，即方程为
.
故选：C.
【变式2】平面内点P 到
，
的距离之和是8，则动点P 的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义，求得
，从而得解.
【详解】由题意，平面内点P 到
，
的距离之和是8，
所以动点
的轨迹
为椭圆，焦点在
轴上，且
，即
，
所以
，
所以动点P 的轨迹方程为
.
故选：D.
【变式3】已知圆
及点
，在圆
上任取一点
，连接
，将点
折叠到点A，记
与折痕的交点为
（如图）. 当点
在圆
上运动时，点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接由题意可得：
，符合椭圆定义，且得到长半轴和半焦距，再由
求得
，可求点
的轨迹方程可求．
【详解】连接
，
圆
的圆心坐标为
，半径为4．
因为将点
折叠到点A，记
与折痕的交点为
，所以
，
所以
，
所以点
的轨迹是以
为焦点的椭圆，且
，所以
，
所以
，所以点
的轨迹方程为
．
故选：A．
【变式4】方程
表示的曲线的标准方程是 .
【答案】
【分析】根据方程表示的几何意义结合椭圆的定义即可求得答案.
【详解】方程
，
表示点
到
两点的距离之和等于10，而
，
所以方程
表示的曲线是椭圆，
且长轴长
，焦距
，所以
，
所以短半轴长
，
所以其标准方程为
，
故答案为：
椭圆的定义：平面内一个动点P 到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(|PF 1|+|PF 2|=2a>|F1F2|)，
这个动点P 的轨迹叫椭圆. 这两个定点（
,
）叫椭圆的焦点，两焦点的距离（
）叫作椭圆的焦
距.
题型03 椭圆上点到焦点距离（含最值）问题
【典例1】已知椭圆
的左焦点为
是
上一点，
是圆
上一点，则
的最大值为 .
【答案】11
【分析】通过解析式求出椭圆的
的值，做出图像后知道圆与椭圆的位置关系，由椭圆的定义可知
为定值，所以当
三点共线时
最大，求出最大值.
【详解】如图：
由椭圆
可知，
，
在椭圆中
，
又因为圆心为
，所以当
三点共线时（如图），
最大，
此时
，
故答案为：11.
【变式1】点
是椭圆
上任一动点，定点
，F 为右焦点，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义与三角形两边之差小于第三边的性质即可得解.
【详解】依题意，设
为椭圆
的左焦点，
因为椭圆
，则
，
，
所以
，
故选：D．
【变式2】设
是椭圆
上一点，
，
分别是两圆
和
上的点，则
的最小值、最大值分别为（ ）
A．8，11
B．8，12
C．6，10
D．6，11
【答案】C
【分析】求出两圆圆心和半径，得到圆心
和
刚好为椭圆的两个焦点，从而利用椭圆定义求
出
，可得
的最大值为
，
的最小值为
，求出答
案.
【详解】
的圆心为
，
的圆心为
，两圆半径均为
，
由于
，
，所以椭圆的两个焦点分别为
和
，
由椭圆定义可知：
，
所以
的最大值为
，
的最小值为
.
故选：C
【变式3】已知
是椭圆C：
的左焦点，
是椭圆C 上的任意一点，点
，则
的最大值为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】标出椭圆的右焦点，利用椭圆定义转换|PF|，利用平面几何知识即可得最大值﹒
【详解】由题意，点
为椭圆
的左焦点，∴
．
∵点
为椭圆
上任意一点，点
的坐标为
，如图，
设椭圆
的右焦点为
，连接
，
根据椭圆定义知，
．
∵
，
∴
，当
在线段
上时，等号成立.
即要求的最大值为
，
故选：D．
【变式4】设
是椭圆
的左焦点，
是椭圆上的动点，
，则
的最小值为 .
【答案】5
【解析】先把椭圆方程化为标准方程，由此求得两焦点坐标，利用椭圆定义把
化为
，再根据
数形结合即可求出结果.
【详解】解：由已知可得椭圆的标准方程为
，则
，
，
焦点坐标分别为
，
，
又由椭圆定义可得
，
，
，
利用几何性质可得当点
在椭圆左端点时
有最小值，
且此时最小值为
，
故答案为：5
【点睛】本题考查了椭圆定义以及根据椭圆的几何性质求最值的问题，属于基础题.
题型04 椭圆上点到焦点和定点距离的和差最值
【典例1】已知动点
在椭圆
上，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义，将问题化为
的最小值，数形结合即可得解.
【详解】
由题意，
为一个焦点，另一焦点为
，且
；
因为
，所以
在椭圆外部，所以
，即求
的最小值；
由于
，当
三点共线时取等号；
所以
的最大值为
；
故选：D.
【变式1】已知点
，且
是椭圆
的左焦点，
是椭圆上任意一点，则
的最小值
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义，结合三点共线，即可求解.
【详解】取椭圆的右焦点为
，故
,
由于
,故
，
因此
，
故
的最小值为5，当且仅当
三点共线，且
在上半椭圆时取到最小值，
故选：B
【变式2】已知动点
在椭圆
上，
，
，则
的最小值为（ ）
A．5
B．
C．2
D．1
【答案】D
【分析】利用椭圆定义转化为
，即求
的最小值，根据三角形性质，
当
三点共线得答案.
【详解】
，
为一个焦点，设另一焦点为
，
且
，
因为
，所以
在椭圆外部，
所以
，
即求
的最小值，
由于
，当
三点共线时取到最小值，
此时，
，
所以
的最小值为1.
故选：D
【变式3】已知F 为椭圆
的右焦点，P 为C 上一点，Q 为圆
上一点，则
的最大值为（ ）
A．5
B．
C．
D．6
【答案】B
【分析】由题意设椭圆的左焦点为
，作出图形，结合图形和椭圆的定义可知当
三点共线时
取到最大值.
【详解】由题意知，
，设椭圆的左焦点为
，
如图，P 为C 上一点，Q 为圆
上一点，
，半径为1，
，
当且仅当
三点共线时，等号成立，
所以
的最大值为
.
故选：B
【变式4】已知
为椭圆
的焦点，P 为椭圆上一动点，
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．6
C．
D．
【答案】A
【分析】根据焦点求得
，利用椭圆的定义求得
的最大值.
【详解】由于椭圆的焦点为
，所以
且焦点在
轴上，则
，
且
，
，所以椭圆方程为
，
所以
，设左焦点为
，
根据椭圆的定义得
，
当
是
的延长线与椭圆的交点时等号成立，
所以
的最大值为
.
故选：A
题型05 判断方程是否表示椭圆
【典例1】（多选）已知曲线
，则（ ）
A．当
时，
是圆
B．当
时，
是焦距为4 的椭圆
C．当
是焦点在
轴上的椭圆时，
D．当
是焦点在
轴上的椭圆时，
【答案】AB
【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果.
【详解】对于选项A，当
时，曲线
为
，此时曲线表示圆，所以选项A 正确；
对于选项B，当
时，曲线
为
，此时曲线为椭圆且椭圆
的焦距为
，所以选项
B 正确；
对于选项C，若曲线
是焦点在
轴上的椭圆，则
，解得
，所以选项C 错误；
对于选项D，若曲线
是焦点在
轴上的椭圆，则
，解得
，所以选项D 错误，
故选：AB.
【变式1】椭圆
的焦距为4，则
的值为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】D
【分析】先把椭圆
化为标准形式，分焦点在
，
轴上两种情况进行分类讨论，能求出
的
值．
【详解】由椭圆
化为标准形式得：
，
且椭圆
的焦距
，
当椭圆焦点在
轴上时，
，
，
则由
，所以
，
此时方程为：
不是椭圆，所以不满足题意，
当椭圆焦点在
轴上时，
，
，
，解得
，
此时方程为：
，满足题意
综上所述，
的值为
．
故选：D．
【变式2】（多选）若方程
所表示的曲线为C，则下面四个说法中正确的是（ ）
A．曲线C 可能是圆
B．若
，则C 为椭圆
C．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则
D．若C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则
【答案】AD
【分析】根据方程为圆列式求解判断A，排除B，根据椭圆标准方程的特征列不等式求解范围即可判断CD.
【详解】当
即
时，方程
为
，
表示圆心为原点，半径为1 的圆，故选项A 正确，选项B 错误；
若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则
，解得
，故选项C 错误；
若C 为椭圆，且焦点在y 轴上，则
，解得
，故选项D 正确.
故选：AD.
【变式3】“
”是“方程
表示的曲线为椭圆”的 条件．
【答案】必要不充分
【分析】由充分、必要性的定义，结合圆锥曲线的性质判断题设条件的推出关系，即可确定答案.
【详解】当
时表示圆，当
且
时表示椭圆，充分性不成立；
当
为椭圆，则
，可得
且
，必要性成立；
综上，“
”是“方程
表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分
【变式4】方程
表示椭圆的充要条件是 ．
【答案】
答案不唯一
【分析】两个分母为不相等的正值时，所给方程表示椭圆.
【详解】方程
表示椭圆,
则必有
解之得
或
故答案为：
,（答案不唯一，其他等价情况也对）
题型06 求椭圆方程
【典例1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是
，并且经过点
，则它的标准方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据条件设出椭圆的标准方程，再代点列方程组求系数即可.
【详解】因为椭圆的焦点在
轴上，所以设它的标准方程为
，
所以
，解得
，
所以椭圆的标准方程为
.
故选：B.
【变式1】若椭圆的短轴顶点为
，焦距为8，则该椭圆的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】方法一：根据椭圆的定义和已知条件求出椭圆的标准方程；方法二：根据椭圆的定义进行理解辨
析，利用排除法求得答案.
【详解】方法一：由题意椭圆的焦点在
轴上，且
，则
，
，
所以椭圆的标准方程为
．
方法二：由题意，知椭圆长轴在
轴上，则
下面的分母数值大于
下面的分母数值，
则排除C，D；选项B 中椭圆的焦距为6，不符合题意，排除B，所以A 正确.
故选：A．
【变式2】若椭圆的两焦点为
和
，且椭圆过点
，则椭圆方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组求解出
，
，进而即可得出结果
【详解】根据题意可设椭圆的标准方程为：
，
.
则
，解得：
，
，
所以椭圆的方程为
.
故选：B.
【变式3】椭圆
上一点
到其两焦点
，
的距离之和等于20，则椭圆
的标准方程为
.
【答案】
【分析】根据题意及椭圆的定义求出
，即可得解.
【详解】由题意可知椭圆的焦点在
轴上，设其标准方程为
，
由题意可知焦距
，
所以
，
所以椭圆
的标准方程为
.
故答案为：
.
【变式4】已知椭圆C 的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，若椭圆的长轴长为6，焦距为4，则椭圆
C 的标准方程可能为 ．
【答案】
或
【分析】求出
的值，再分焦点位置直接写出方程.
【详解】由题意，有
，
∴椭圆C 的标准方程可能为
或
.
故答案为：
或
题型07 根据椭圆方程求参数
【典例1】若方程
表示焦点在
轴上的椭圆，则实数
的取值范围是
【答案】
【分析】根据方程表示焦点在
轴上的椭圆建立不等式，并解出不等式即可
【详解】由题意可知：方程
表示焦点在
轴上的椭圆
则有：
解得：
故答案为：
.
【变式1】若方程
表示椭圆，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先化为椭圆标准方程，再根据椭圆方程性质列不等式组计算即可求参.
【详解】因为方程
表示椭圆，
所以
且
与
不相等，
所以
.
故选：C.
【变式2】方程
所表示的曲线是椭圆，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据椭圆的标准方程的特征，列出不等式组，即可求解.
【详解】因为方程
所表示的曲线是椭圆，
所以满足
，解得
或
,
因此的取值范围为
.
故答案为：
.
【变式3】设方程
表示椭圆，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用二元二次方程与椭圆标准方程的关系得到关于
的不等式组，解之即可得解.
【详解】由题意，方程
表示椭圆，
则满足
，解得
且
，
则实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式4】方程
表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据焦点在x 轴上的椭圆的标准方程的特征列不等式求解.
【详解】方程
可化为
，
由题意得
解得
，
故实数k 的取值范围是
．
故答案为：
．
题型08 椭圆中的轨迹方程问题
【典例1】已知曲线
，从
上任意一点
向
轴作垂线段
，
为垂足，则线段
的中点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设点
，由题意，根据中点的坐标表示可得
，代入圆的方程即可求解.
【详解】设点
，则
，
因为
为
的中点，所以
，即
，
又
在圆
上，
所以
，即
，
即点
的轨迹方程为
.
故选：A
【变式1】已知
，点
分别在
轴、
轴上运动，
为坐标原点，点
在线段
上，且
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，
，
，结合已知有
，再由
及向量共线的坐标表示有
，联立即可得轨迹.
【详解】设
，
，由
，可得
①．
设
，由于点
在线段
上，且
，即
，
所以
，可得
，即
，
代入①式，可得
，整理得
.
故选：A
【变式2】长为1 的线段
的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动，则点B 关于点A 的对称点M 的
轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，
，找出
，再根据
得到
，即可求解．
【详解】设
，
，
，
则有
，
即
，由题意可得
，
即
，即
，
故选：A．
【变式3】已知动圆
在圆
的外部且与圆
相切，同时还在圆
的内
部且与圆
相切，则动圆的圆心
的轨迹
的方程是 .
【答案】
【分析】利用两圆相切可得到
，再利用椭圆的定义可得到点
的轨迹.
【详解】设圆的半径为，则根据题意，得
，
于是
，
由椭圆的定义可知：点
的轨迹为满足
的椭圆，
因此点
的轨迹方程为
．
故答案为：
【变式4】已知圆
内有一点
，
为圆
上的一个动点，线段
的垂直平分线
与线段
交于点
，则动点
的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】本题根据中垂线的性质可得点
的轨迹是椭圆
【详解】连接
，因为圆
，所以圆心为
，半径
，
由垂直平分线的性质可知
，则
，
而
，
故点
的轨迹是焦点为
，
的椭圆，
且
，即
，则
，
因此，点
的轨迹方程为
．
题型09 椭圆中焦点三角形面积问题
【典例1】已知点
是椭圆
上的一点，
和
是焦点，焦距为
，且
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若
，求
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出
、的值，可得出
的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）利用椭圆定义结合余弦定理可求得
的值，结合三角形的面积公式可求得
的面积.
【详解】（1）因为椭圆的焦距为
，得
，
又
，则
，得
，
因此，椭圆的标准方程为
.
（2）因为点
是椭圆
上的一点，则有
，
可得
，①
又由
结合余弦定理，得
②
①
②可得
，即
，
则
的面积
.
【变式1】已知点
为椭圆
上第一象限的一点，左、右焦点为
，
，
的平分线与
轴交于点
，过点
作直线
的垂线，垂足为
，
为坐标原点，若
，则
面积为
．
【答案】
【分析】延长
，交
的延长线于点
，得
为等腰三角形，由中位线定理得
，然后结
合椭圆定义求得
，利用余弦定理和平方关系求得
，由三角形面积公式计算面积．
【详解】如图所示，延长
，交
的延长线于点
，
因为
为
的平分线，
⊥
，由三线合一得
为等腰三角形，
即
，
为
的中点，
因为
为
的中点，所以
为
的中位线，
故
，设
，
由椭圆定义知，
，
由
得
，解得
，
故
，
，
在
中，由余弦定理得
，
故
，
故
.
故答案为：
【变式2】已知椭圆
中，点
是椭圆上一点，
是椭圆的焦点，且
，则
的面积为 .
【答案】
【分析】利用余弦定理求得
，然后由面积公式计算面积．
【详解】由题意
，
，
，
，
中，
，
所以
，
∴
，
所以
.
故答案为：
．
【变式3】设点
为椭圆
上一点，
，
分别为
的左、右焦点，且
，
则
的面积为 .
【答案】
/
【分析】利用给定条件，利用椭圆的定义及余弦定理求出
，再利用三角形面积公式计算即得.
【详解】依题意，椭圆
的半焦距
，
在
中，
，
，
，
由余弦定理得
，
即
，
则
，所以
.
故答案为：
【变式4】设点
为椭圆
上一点，
，
分别为
的左、右焦点，且
，求
的面积.
【答案】4
【分析】先根据勾股定理得，
，然后结合椭圆定义及完全平方式得
，
代入面积公式求解即可.
【详解】
，
.
又
，
，
.
①定义|PF 1|+|PF 2|=2a|
②
③余弦定理
题型10 椭圆中焦点三角形其他问题
【典例1】已知椭圆
，焦点是
，
，动点P 在椭圆上，则
的最小值（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义以及基本不等式可求得
的最小值.
【详解】在椭圆
中，
，
，
，
由椭圆定义可得
，
，
由余弦定理可得
，
当且仅当
时，等号成立，
因此，
的最小值为
.
故选：C.
【变式1】已知
，
为椭圆
的两个焦点，
是椭圆上第一象限的点，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由椭圆的定义得
，结合余弦定理即可求解．
【详解】不妨令
分别为椭圆
的左、右焦点，如图．
由题意
．
在
中，由余弦定理得，
，
即
，所以
．
故选：A.
【变式2】已知
，
分别是椭圆C：
的左，右焦点，M 是椭圆C 上一点，且
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意
，代入椭圆方程可得
，再根据椭圆的定义求解即可.
【详解】由椭圆的方程，得
，
，因为
，所以
，
又
在椭圆C 上，所以
，解得
，即
，
，所以
．
故选：C．
【变式3】已知椭圆
的两个焦点为
、
，
为椭圆上一点，且
，则
的值为 ．
【答案】
【分析】根据椭圆的定义及余弦定理计算可得.
【详解】椭圆
，则
，
，
，
所以
，
又
，由余弦定理
，
即
，
所以
，所以
.
故答案为：
【变式4】椭圆
的焦点为
，点
在该椭圆上，若
，则
的大小为 ．
【答案】
【分析】由椭圆方程，结合椭圆的定义求
，在焦点三角形中应用余弦定理求
的余弦值，进而
确定其大小.
【详解】∵
，
，
∴
，
∴
，又
，
，
∴
，由余弦定理，得
，
∴
.
故答案为：
1．已知点
，
，动点
满足
，则动点
的轨迹方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题可得动点
的轨迹是椭圆，即可求出动点
的轨迹方程.
【详解】由题设知
，所以动点
的轨迹是椭圆，且焦点在
轴上，
设椭圆方程为
，则
，
，
所以
，
，故所求轨迹方程为
.
故选：A
2．已知椭圆
的两焦点分别为
，
，点
为椭圆上任意一点，则
的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【答案】D
【分析】根据椭圆的定义，即可求得答案.
【详解】由于椭圆
，故椭圆长半轴长为
，
故
，
故选：D
3．设
为椭圆
的两个焦点，点
在
上，若
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】根据题意可知
，可得
，然后可求
.
【详解】
，
，
又椭圆
，
则
，
.
故选：D.
4．已知动圆
与圆
内切，同时与圆
外切，则动圆
的圆心轨迹方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用两圆位置关系建立等式，再利用椭圆的定义求出轨迹方程.
【详解】圆
圆心
，半径
，圆
圆心
，半径
，
设动圆
的圆心
，半径，而
，点
在圆
内，
由动圆
与圆
内切，与圆
外切，得动圆
在圆
内，且
，
因此
，动圆圆心C 的轨迹为以
为左右焦点，
长轴长
的椭圆，半焦距
，短半轴长
，
所以动圆圆心C 的轨迹方程为
．
故选：D
5．已知曲线
，设
，q：曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，则p 是q 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先得到曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆的充要条件是
，再进一步判断即可.
【详解】曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆的充要条件是
，即
．
所以当
时，
成立，所以p 是q 的充分条件，
反之当
时，
不一定成立．所以p 是q 的充分不必要条件．
故选：A．
6．已知椭圆
：
的上、下顶点分别为
，
，点
为
上异于
，
的任意一点，若
满足
，
，则点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，得
，设
，结合
，
，得到
，代入得到点
的轨迹方程．
【详解】设
，由已知得
，
，则
，即
，
所以
，
设
，因为
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
，
所以
，因此
，即
，
所以点
的轨迹方程为
．
故选：A.
7．在圆
上任取一点
，过点
作
轴的垂线段
，
为垂足.当点
在圆上运动时，线段
的
中点
的轨迹方程（当点
经过圆与
轴的交点时，规定点
与点
重合）为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设点
、
，则
，由中点坐标公式可得
，由已知条件可得出
，将
代入等式
，化简可得出轨迹
的方程；
【详解】设点
、
，则
，
由中点的坐标公式可得
，所以，
，
因为点
在圆
上，则
，则
，整理可得
.
因此，轨迹
的方程为
.
故选：A.
8．已知
是椭圆
上的一点，且在
轴上方，
分别是该椭圆的左、右焦点，直线
的斜率为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由椭圆方程可得
，设
，根据题设求出
，再根据余弦定理得到求
解即可.
【详解】椭圆
，即
，
则
，即
，设
，
，
则
，解得
，即
，
则
，
，
，
所以
.
故选：C.
9．（多选）关于曲线
，下列说法正确的是（ ）
A．若曲线
表示两条直线，则
，
或
，
B．若曲线
表示圆，则
C．若曲线
表示焦点在
轴上的椭圆，则
D．若曲线
表示椭圆，则仅需
【答案】ABC
【分析】根据曲线方程形式可得A 正确，根据椭圆以及圆方程可判断BCD 正确.
【详解】对于A，若曲线
表示两条直线，则
两者须有一个为零，此时表示的两条直线为
或
，可得A 正确；
对于B，若曲线
表示圆，则根据圆的方程可知
，即B 正确；
对于C，若曲线
表示焦点在
轴上的椭圆，可将
化为
，
所以
，可得
，即C 正确；
对于D，若曲线
表示椭圆，则根据椭圆方程可知
，且
，即D 错误.
故选：ABC
10．（多选）下列是真命题的是（ ）
A．已知定点
，则满足
的点
的轨迹为椭圆
B．已知定点
，则满足
的点
的轨迹为线段
C．到定点
距离相等的点的轨迹为椭圆
D．若点
到定点
的距离的和等于点
到定点
的距离的和，则
点
的轨迹为椭圆
【答案】BD
【分析】根据椭圆定义可依次判断各个选项.
【详解】对于A，
，根据椭圆定义，点
的轨迹不存在，故A 错误；
对于B，
点
的轨迹为线段
，故B 正确；
对于C，到定点
距离相等的点的轨迹为线段
的垂直平分线，故
错误；
对于D，
到定点
的距离的和为
，
所以点
的轨迹为椭圆，故D 正确．
故选：BD.
11．已知椭圆方程为
，若椭圆上的点到左焦点距离的最大值为3，最小值为1，则椭
圆方程是 ．
【答案】
【分析】根据已知及椭圆性质有
，结合椭圆参数关系求参数，即可得方程.
【详解】椭圆上的点到左焦点距离的最大值为
，最小值为
，
联立
，解得
，
，根据
，得
，
则椭圆方程是
.
故答案为：
12．已知
是椭圆
上的动点，
，且
，则
.
【答案】5
【详解】根据椭圆的定义确定点
的轨迹，进而得到椭圆参数，再由椭圆参数关系求参数值.
【分析】因为
，
所以点
的轨迹是以
为焦点的椭圆.
易知
，即
，
所以
.
故答案为：5
13．求满足下列条件的曲线的标准方程：
(1)过三点
、
、
的圆；
(2)过两点
、
的椭圆．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）设出圆的一般方程，根据题意列方程组求出参数，然后化为标准方程即可；
（2）设椭圆方程为
，根据题意列方程组求出参数可得.
【详解】（1）设圆的方程为
，
由题可得
，解得
，
所以圆的一般方程为
，
化为标准方程得
.
（2）设椭圆方程为
，
由题可得
，解得
，
所以所求椭圆标准方程为
.
14．求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)
，
，焦点在y 轴上；
(2)
，
．
(3)经过点
，
两点；
【答案】(1)
(2)
或
(3)
【分析】（1）根据
求出
，结合焦点位置即可求解椭圆标准方程.
（2）根据
求出
，按照焦点位置分类求解即可.
（3）由题意确定焦点位置及
，即可得解.
【详解】（1）因为
，
，所以
，
因为椭圆焦点在y 轴上，所以其标准方程为：
；
（2）因为
，
，所以
，
因为椭圆焦点位置不确定，所以其标准方程为：
或
；
（3）由题意得P、Q 分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x 轴上，
所以
，
所以椭圆的标准方程为
．
15．已知圆
：
，点M 为圆
上任意一点，
，
的中垂线交
于点E．求
点E 的轨迹方程．
【答案】
【分析】作图分析，由中垂线性质可得，即有点M 到两定点的距离之和为定值，结合椭圆的定义求解即可
得.
【详解】
，
，
的中垂线交
于点E．
则有
，
，
所以E 点在以
，
为焦点的椭圆上，
设该椭圆的方程为
（
），半焦距为
，
由
，得
，由
，得
，
所以
．
故点E 的轨迹方程为
．
