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专题2.3 直线的方程
教学目标
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，
2.掌握两点的直线斜率的计算公式，以及直线方程的五种形式。
教学重难点
教学重点:直线的倾斜角与斜率，直线方程的五种形式
教学难点:根据直线的斜率计算倾斜角，恰当地选择直线方程的某一种形式采用待定系
数法确定直线方程。
知识点01 直线的方程
一般地，如果直线上点的坐标都是方程 的解，而且以方程
的解为坐标的点都
在 ，则称
为直线的方程，而 .此时， ，并且记作
.
【即学即练】若
，且
，则经过
的直线的一般方程为
知识点02 直线的点斜式
已知条件（使用前提）
直线过点程 和斜率程 （已知一点+斜率）
图示
点斜式方程形式
适用条件
1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以.
2.当直线与
轴平行或重合时,方程可简写为
.特别地,
轴的方程是
;当直线与
轴平行或重
合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成
.特别地,
轴的方程是
.
【即学即练】经过点
且斜率为1 的直线方程为 .
知识点03 直线的斜截式
已知条件（使用前提）
直线的 且 （已知斜率+纵截距）
图示
点斜式方程形式
适用条件
1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它
在
轴上的截距和在
轴上的截距都为0.
3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在
轴上的截距,如直线
的斜率
,在
轴
上的截距为
.
【即学即练】直线
的倾斜角是 .
知识点04 直线的两点式
已知条件（使用前提）
直线上的两点
，
（
，
）（已知两点）
图示
点斜式方程形式
适用条件
当直线没有斜率(
)或斜率为0( y1= y2)时，不能用两点式求出它的方程
1.当过两点
,
的直线斜率不存在(
)或斜率为0(0( y1= y2))时,不能用两点式方
程表示.
2.在记忆和使用两点式方程时,必须注意坐标的对应关系,即
,
是同一个点的坐标
,
是另一个点的
坐标.
【即学即练】已知直线的两点式方程为
，则的斜率为 ．
知识点05 直线的截距式
已知条件（使用前提）
直线在
轴上的截距为 ，在
轴上的截距为
图示
点斜式方程形式
适用条件
，
直线的截距式方程是直线的两点式方程的特殊情况,由直线的截距式方程可以直接读出直线在
轴和
轴
上的截距,所以截距式在解决直线与坐标轴围成的三角形的面积和周长问题时非常方便.
【即学即练】求经过点
的直线的两点式方程，并把它化成点斜式、斜截式和截距式.
知识点06 直线的一般式
定义:关于
,
的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于
,
的二元一次方程
( 其中
,
不同时为0
)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
说明：
1．
、
不全为零才能表示一条直线，若
、
全为零则不能表示一条直线.
当
时，方程可变形为
，它表示过点
，斜率为
的直线．
当
，
时，方程可变形为
，即
，它表示一条与
轴垂直的直线．
由上可知，关于
、
的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于
、
的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可
以对应着无数个关于
、
的一次方程.
3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式.
【即学即练】过点
且倾斜角为
的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 直线的点斜式方程
【典例1】过点
，方向向量为
的直线方程是 .
【变式1】已知
是直线上一点，
是直线的一个法向量，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】经过点
，倾斜角为
的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知直线经过点
，且方向向量
，则的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】斜率为
，且经过点
的直线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
①已知条件（使用前提）：直线过点
和斜率
（已知一点+斜率）
②点斜式方程形式：
③适用条件：斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直
线方程）
题型02 直线的斜截式方程
【典例1】根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)写出斜率为
，在y 轴上截距为
的直线的斜截式方程；
(2)求过点
，斜率为
的直线的斜截式方程；
(3)已知直线方程为
，求直线的斜率，在y 轴上的截距，以及与y 轴交点的坐标．
【变式1】直线的倾斜角30°，过点
，则直线的斜截式方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】倾斜角为
，在
轴上的截距是
的直线方程为 .（写成一般式方程）
【变式3】倾斜角为
，且过点
的直线斜截式方程为 ．
【变式4】经过点
，且以
为一个方向向量的直线的斜截式方程为 ；
①已知条件（使用前提）：直线的斜率为
且在
轴上的纵截距为
（已知斜率+纵截距）
②点斜式方程形式：
③适用条件：斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程）
题型03 直线的两点式方程
【典例1】已知直线l 经过点
，
，则下列不在直线l 上的点是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知直线的两点式为
，则（ ）
A．直线经过点
B．直线的斜截式为
C．直线的倾斜角为锐角
D．直线的点斜式为
【变式2】已知直线过
两点，则直线
的一般式方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）已知直线l 过点
，
，则（ ）
A．直线l 的倾斜角为150°
B．直线l 的两点式方程为
C．直线l 的一个方向向量为
D．直线l 的截距式方程为
【变式4】已知
，则直线
的一般式方程为 ，斜率为 ．
①已知条件（使用前提）：直线上的两点
，
（
，
）（已知两点）
②点斜式方程形式
③适用条件：斜率存在且不为0；当直线没有斜率(
)或斜率为0( y1= y2)时，不能用两点式求出它
的方程
题型04 直线的截距式方程
【典例1】已知直线在
轴和
轴上的截距互为相反数且过点
，则这条直线的方程为 .
【变式1】若直线过点
且在两坐标轴上的截距相等，则为 .
【变式2】直线过点
，且在
轴上的截距是在
轴上截距的 2 倍，则该直线的斜率是
【变式3】直线l 过点
且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程为 ．
【变式4】已知直线过点
，求满足下列条件的直线的方程.
(1)与直线
：
垂直；
(2)两坐标轴上截距相反.
①已知条件（使用前提）：直线在
轴上的截距为
，在
轴上的截距为
②点斜式方程形式
③适用条件：
，
题型05 直线的一般式方程
【典例1】已知三角形三顶点
，
，
，求：
(1)直线AB 的一般式方程;
(2)
边上的高所在直线的一般式方程.
【变式1】根据下列条件，写出直线方程的一般式：
(1)经过点
，且倾斜角为
；
(2)经过点
和点
(3)经过点
，在x，y 轴上有相等的截距．
【变式2】写出满足下列条件的直线的方程.
(1)经过点
，斜率是
；
(2)经过点
，且与
轴垂直；
(3)斜率是
，在
轴上的截距是7；
(4)在
轴上的截距是2，且与
轴平行；
【变式3】根据下列条件分别写出直线的一般式方程
(1)斜率为
，且经过点
；
(2)过点
，且垂直于x 轴；
(3)斜率是4，在y 轴上截距为
；
(4)经过
两点；
(5)在x 轴y 轴上的截距分别为
.
【变式4】已知
的三个顶点分别是
，求：
(1)
边所在直线的一般式方程；
(2)
边的垂直平分线所在直线
的斜截式方程．
题型06 直线与坐标轴围成三角形问题
【典例1】在
中，已知点
，
，且边
的中点
在
轴上，边
的中点
在
轴
上.求：
（1）点
的坐标；
（2）直线
的方程；
（3）直线
与两坐标轴围成三角形的面积.
【变式1】直线过点
且与
轴、
轴的正半轴分别交于
两点，
为坐标原点，求分别满足下
列条件的直线方程：
(1)
的周长为12；
(2)
的面积为6．
【变式2】已知直线经过点
．
(1)求直线的方程；
(2)求直线与两坐标轴围成三角形的面积．
【变式3】已知直线
(1)求证：不论实数
取何值，直线恒过一定点；
(2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，求的方程.
【变式4】已知直线的方程为
．
(1)求直线的斜率；
(2)求直线与两条坐标轴所围成的三角形的面积．
题型07 直线过定点
【典例1】不论m，n 取什么值，直线
必过一定点，试证明，并求此定点.
【变式1】求证：
为任意实数时，直线
必过一定点．
【变式2】已知直线l：
．（其中a 为参数，
）
(1)若不论x 取何值，直线l 恒过一定点A，求该定点A 的坐标；
(2)若直线l 不过第二象限，求实数a 的取值范围．
【变式3】已知直线的方程是
.求证：对于任意
，直线均经过定点，并求
此定点的坐标.
题型08 直线的一般式方程与其他形式的相互转化
【典例1】根据下列条件求直线的一般式方程．
(1)直线的斜率为
，且经过点
；
(2)斜率为
，且在
轴上的截距为
；
(3)经过两点
,
；
(4)在
轴上的截距分别为
．
【变式1】写出下列直线的方程，并化为一般式方程．
(1)经过点
，倾斜角是30°；
(2)经过两点
；
【变式2】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程
(1)斜率是
，且经过点
；
(2)斜率为4，在y 轴上的截距为
；
【变式3】根据下列条件，分别求出直线的一般式方程：
(1)经过点
，平行于直线
；
(2)倾斜角是
，截距是4；
(3)经过点
，点
；
(4)经过点
，且在两坐标轴上截距的和为5．
【变式4】根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是
，且经过点
；
(2)经过
，
两点；
(3)在
轴、
轴上的截距分别为
；
(4)经过点
，且平行于
轴.
题型09 直线与坐标轴围成三角形最值问题
【典例1】已知直线
.
(1)求证：直线过定点；
(2)若直线不经过第二象限，求实数
的取值范围；
(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程.
【变式1】已知直线
．
(1)求证直线恒过定点，并求出该定点坐标；
(2)是否存在实数
，使得直线与
轴和
轴的正半轴都相交？若存在，求出
的范围，并求出与两坐标轴
围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【变式2】已知直线
．
(1)证明：直线过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求
的取值范围；
(3)若直线交
轴负半轴于点
，交
轴正半轴于点
，
为坐标原点，设
的面积为，求的最小
值．
【变式3】已知直线l 过点
(1)它在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2 倍，求直线l 的方程．
(2)若直线l 与x 轴，y 轴的正半轴分别交于点A，B，求
的面积的最小值及此时直线的方程．
【变式4】在平面直角坐标系中，已知射线
，过点
作直线分别交射线OA、x 轴正
半轴于点A、B．
(1)当AB 的中点为P 时，求直线AB 的一般式方程；
(2)求
面积的最小值．
1．直线
的倾斜角为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知直线
的一个方向向量为
，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
3．直线
在
轴的截距为（ ）
A．
B．
C．
D．3
4．若直线
经过第一、二、四象限，则（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
5．已知点
，
，若直线
与线段
（含端点）有公共点，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知
的三个顶点分别为
，则
边上的中线所在直线的方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．直线
分别与x 轴，y 轴交于A、B 两点，若三角形
面积为5，则实
数m 的解有几个（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
8．已知直线
在
轴上的截距为1，则直线在
轴上的截距
是（ ）
A．
或
B．
或
C．
或5
D．
或5
9．（多选）下列说法中，正确的是（ ）
A．直线
的一个方向向量为
B．
，
，
三点共线
C．直线
（其中
）必过定点
D．经过点
，倾斜角为
的直线方程为
10．（多选）已知直线过点
，且在
轴上的截距是
轴上的截距的3 倍，则直线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．在直线方程
中，当k 变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 .
12．已知直线的斜率小于
，且经过点
，并与坐标轴交于
两点，
，当
的面积
取得最小值时，直线的斜率为 .
13．已知直线经过点
．
(1)若在两坐标轴上的截距互为相反数，求
的方程
(2)若直线l 交x 轴负半轴于点A，交y 轴正半轴于点B，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S，求S 的最小
值及此时直线l 的方程.
14．已知直线过点
，且分别与
轴的正半轴、
轴的正半轴交于
两点，
为原点，当
取得最小值时，求直线的方程.
