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专题2.12 椭圆的几何性质
教学目标
①掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e 的几何意义。
②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题。
③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长。
教学重难点
重点:椭圆的几何性质
难点:椭圆的几何性质的理解和应用.
知识点01 椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在
轴上
焦点在
轴上
图形
标准方程
（
）
（
）
范围
，
，
顶点
，
，
，
，
轴长
短轴长＝ ，长轴长＝
焦点
焦距
对称性
对称轴：
轴、
轴 对称中心：原点
离心率
，
【即学即练】焦点在x 轴上的椭圆
的焦距为2，则m 的值等于（ ）
A．5
B．3
C．5 或3
D．8
知识点02 离心率
椭圆焦距与长轴长之比：e= c
a ⇒e=√1−( b
a )2. （0<e<1
）
当e 越接近1 时，
越接近
，椭圆越扁；
当e 越接近0 时，
越接近0，椭圆越接近圆；
当且仅当
时，图形为圆，方程为x2+ y2=a2
【即学即练】若椭圆
的短轴长为焦距的
倍，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点03 常用结论
1、与椭圆x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为：
x2
a2+m +
y2
b2+m=1(m>−b2)
2、有相同离心率：x2
a2 + y2
b2 =k （k>0
，焦点在
轴上）或y2
a2 + x2
b2=k （k>0
，焦点在
轴上）
3、椭圆x2
a2 + y2
b2 =1的图象中线段的几何特征（如下图）：
（1）
；
（2）
，
，
；
（3）
,
，a−c≤|PF 1|≤a+c ；
知识点04 直线与椭圆位置关系
1、直线与椭圆的位置关系
将直线的方程
与椭圆的方程
联立成方程组，消元转化为关于
或
的一
元二次方程，其判别式为
.
①
直线和椭圆
直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②
直线和椭圆
直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③
直线和椭圆
直线和椭圆无公共点．
2、直线与椭圆的相交弦
直线与椭圆问题（韦达定理的运用）
（1）弦长公式：若直线l: y=kx +b 与圆锥曲线相交与A 、B 两点，A （x1, y1),B( x2, y2)则：
弦长
弦长
这里
的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；
（2）结论1：已知弦
是椭圆
（
）的一条弦，中点
坐标为
，则
的
斜率为
运用点差法求
的斜率，设
，
；
、
都在椭圆上，
两式相减得：
，
即
，故
结论2：弦
的斜率与弦中心
和椭圆中心
的连线的斜率之积为定值：
（3）.已知椭圆方程x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)，长轴端点为A1
，A2
，焦点为F1
，F2
，P
是椭圆上一点，
∠F1PF 2=α ．求：ΔF1PF 2的面积（用a 、b 、α 表示）．
设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．
由余弦定理知： |F1F2|
2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|·|PF 2|cosα=4 c2 ①
由椭圆定义知： |PF 1|+|PF 2|=2a ②，则②2－①得 |PF 1|⋅|PF 2|=
2b2
1+cosα
故SΔF1PF 2=1
2|PF 1|¿|PF 2|sinα =1
2
2b2
1+cosα sinα =b2tan α
2
【即学即练】已知椭圆
，直线
被椭圆
截得的弦长为
，且
，过椭圆
的右焦点且斜率为
的直线
被椭圆
截的弦长
，求
(1)椭圆的方程；
(2)弦
的长度.
题型01 根据椭圆的标准方程研究其几何性质
【典例1】已知椭圆
的离心率为
，则
．
【变式1】已知椭圆
的左顶点为
，上顶点为
，左、右焦点分别为
，延长
交椭圆
于点
．若点
到直线
的距离为
，
的周长为16，则椭圆
的焦距为（ ）
A．3
B．2
C．5
D．4
【变式2】若椭圆
：
的短轴的一个端点为
，则椭圆
的长轴长为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
【变式3】若方程
表示焦点在
轴上的椭圆，则椭圆短轴长的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知椭圆
的焦点为
，且离心率
，若点
在椭圆上，
，则
.
题型02 根据椭圆的几何性质求其标准方程
【典例1】（1）求与椭圆
的焦点相同，且经过点
的椭圆的标准方程.
（2）求与椭圆
离心率相同，且经过点
的椭圆的标准方程.
【变式1】已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点分别为
，点
为
上的动
点，
的周长为6.求
的标准方程.
【变式2】求符合下列条件的方程：
(1)求过两点
和
，且圆心在
轴上的圆的标准方程．
(2)与椭圆
有相同的焦点的椭圆，且经过点
．
【变式3】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y 轴上；
(2)过点
，离心率
；
【变式4】分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的离心率为
，短轴长为
；
(2)椭圆
与
有相同的焦点，且经过点
，求椭圆
的标准方程.
题型03 求椭圆的离心率的值
【典例1】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，点
为椭圆
上位于第一象限内
的一点，若
，
（
为坐标原点），则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知A，B，F 分别是椭圆
的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F
三点的圆恰与y 轴相切，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知椭圆
的左、右焦点分别是
，P 是椭圆外一点，直线
的倾斜
角为
，
，线段
的中点在C 上，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】如图，设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，若椭圆
上存在点
，使
得线段
的中垂线恰好过焦点
，则椭圆
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知
，
为椭圆
的两个焦点，若椭圆上存在点
满足
，则椭圆离心率的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得
、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于
、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
题型04 求椭圆的离心率的最值或范围
【典例1】若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率
为 .
【变式1】设椭圆
的一个焦点为
，
为椭圆
内一点，若椭圆
上
存在一点
，使得
，则椭圆
的离心率的取值范围是 ．
【变式2】已知椭圆
的右焦点为
，短轴的一个端点为
，直线
与椭
圆相交于
，
两点．若
，点
到直线的距离不小于
，则椭圆离心率的取值范围为
．
【变式3】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，椭圆
上存在一点
，使得
为等腰三角形，且
为钝角，则椭圆
的离心率的取值范围为 .
【变式4】已知椭圆C：
的右焦点为F，P 为C 上一点，∠OPF 的最大值为
．则C
的离心率为 ．
求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得
、的值，根据离心率的定义求建立不等关系求出离心率
取值范围；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于
、的齐次不等式，然后转化为关于的不等式；
题型05 根据椭圆离心率求参数
【典例1】已知椭圆
的离心率为
，则
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【变式1】已知椭圆
的离心率为
，则
的短轴长为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【变式2】已知椭圆
的离心率
，则实数
．
【变式3】已知椭圆
和椭圆
的离心率分别为
和
，若
，则
．
【变式4】椭圆
且
的离心率为
，则
.
题型06 直线与椭圆的位置关系
【典例1】直线
与椭圆
（
）的位置关系为（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【变式1】已知直线的方程为
，椭圆
的方程为
，则直线与椭圆
的位置关系
为（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不能确定
【变式2】已知直线
，椭圆
，则与
的位置关系为（ ）
A．相切
B．相交
C．相离
D．相交或相切
【变式3】直线l：
与椭圆C：
的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
【变式4】直线：
与椭圆
的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．相切或相交
将直线的方程
与椭圆的方程
联立成方程组，消元转化为关于
或
的一
元二次方程，其判别式为
.
①
直线和椭圆相交
直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②
直线和椭圆相切
直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③
直线和椭圆相离
直线和椭圆无公共点．
题型07 直线与椭圆相切
【典例1】直线与圆
和椭圆
同时相切，请写出一条符合条件的的方
程
【变式1】已知椭圆
过点
和
.
(1)求
的离心率；
(2)若直线
与
有且仅有一个交点，求的一般式方程.
【变式2】已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是
，
，且经过点
．
(1)求C 的标准方程；
(2)已知直线l 与
平行，且与C 有且只有一个公共点，求l 的方程．
将直线的方程
与椭圆的方程
联立成方程组，消元转化为关于
或
的一
元二次方程，其判别式为
.
①
直线和椭圆相切
直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
题型08 弦长
【典例1】已知椭圆
的离心率为
，点
在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)直线
与椭圆C 交于M，N 两点．
①求m 的取值范围；
②若
，求
的值．
【变式1】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，过
的直线与椭圆
交于
、
两点．
(1)求
的短轴长及
的周长；
(2)若直线过点
，求弦长
．
【变式2】已知椭圆
，直线
被椭圆
截得的弦长为
，且
，过
椭圆
的右焦点且斜率为
的直线
被椭圆
截的弦长
，求
(1)椭圆的方程；
(2)弦
的长度.
【变式3】已知椭圆
：
的右焦点为
，且过点
.
(1)求
的方程；
(2)设
为
上一动点，当
取得最大值时，求直线
被
截得的弦长.
【变式4】已知椭圆
（
）的离心率为
，短轴长为2．
(1)求C 的方程；
(2)过左焦点
的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，O 为坐标原点，若
的面积为
，求
．
弦长|AB|=√( x1−x2)2+( y1−y2)2=√( x1−x2)2+(kx 1−kx 2)2 =√1+k2|x1−x2|
=√1+k2√( x1+x2)2−4 x1 x2
弦长|AB|=√
1+ 1
k2|y1−y2|
题型09 中点弦和点差法
【典例1】已知椭圆
的焦距为
，短半轴长为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知直线l 交椭圆C 于M，N 两点，且
的中点为
，求直线l 的方程．
【变式1】已知椭圆C 与双曲线
有相同的焦点，且椭圆C 经过点
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l 与椭圆C 相交于
，且
的中点为
，求直线l 的方程.
【变式2】已知
，过
的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程.
【变式3】已知椭圆
的焦距为12，长半轴长为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线与椭圆
相交于
两点，若线段
的中点坐标为
，求直线的方程.
【变式4】已知椭圆
：
的长轴长是短轴长的
倍.
(1)求
的方程；
(2)若倾斜角为
的直线与
交于
，
两点，线段
的中点坐标为
，求
.
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处
理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点M (x0, y0)， x0= x1+x2
2
， y0= y1+ y2
2
2、点差法
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入椭圆方程，得
x
12
a2 +
y
12
b2 =1；
x
22
a2 +
y
22
b2 =1；
将两式相减，可得
x
12−x
22
a2
+
y
12−y
22
b2
=0；( x1+x2)( x1−x2)
a2
=−( y1+ y2)( y1−y2)
b2
；
最后整理得：1=−a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=−k⋅a2
b2⋅y0
x0
题型10 椭圆中三角形面积问题
【典例1】如图所示，椭圆
的左、右焦点分别为
，一条直线经过
与椭圆交于A，B 两
点.
(1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率；
(2)若直线的倾斜角为
，求
的面积.
【变式1】已知椭圆
经过点
(1)求
的方程和离心率；
(2)若过点
且斜率为1 的直线与
的另一个交点为
，求
的面积．
【变式2】已知椭圆
．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)若点
为直线
上的动点，过点
作该椭圆的切线
切点分别为
，求
的面积的
最小值．
【变式3】在直角坐标系
中，
，
分别是
，
轴上一点，且
．动点
满足
，点
的轨迹为
．
(1)求曲线
的方程；
(2)过点
的直线与曲线
交于
，
两点，求
面积的最大值．
【变式4】已知椭圆
：
的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为
.
(1)求椭圆
的离心率；
(2)若直线
与椭圆
相交于
，
两点，若
的面积为
(
为坐标原点)，求椭圆
的标
准方程.
1．椭圆
的左、右焦点分别为
，过右焦点
作直线
轴交椭圆
于
点，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．3
2．已知斜率为1 的直线与椭圆
相交于
，
两点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知椭圆
的左顶点为
，上顶点为
，左、右焦点分别为
，延长
交椭
圆
于点
．若点
到直线
的距离为
，
的周长为16，则椭圆
的焦距为（ ）
A．3
B．2
C．5
D．4
4．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为
，若
，则
的长轴长为
（ ）
A．
B．
C．8
D．4
5．已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，点
为椭圆
上位于第一象限内的一
点，若
，
（
为坐标原点），则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．已知直线
与椭圆
相交于
两点，则线段AB 的中点M 的轨迹必经过点（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，若椭圆
上存在点
，使得线段
的中垂线恰好过焦点
，则椭圆
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，
如图所示．设椭圆
的两个焦点分别为
．若光线由
发出经椭圆
两次反射后回到
经过的路程为12c，点
是椭圆
上除顶点外的任意一点，
在点
处的切线为
在上的射影
在圆
上，则
的周长为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
9．（多选）已知
,
分别是椭圆
的左、右焦点，
是椭圆
上一点，则（ ）
A．当
时，满足
的点
共有4 个
B．
的周长不一定小于
C．
的面积不可能大于
D．若
恒成立，则
的离心率的可能值为
10．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，椭圆
上点
满足
．若点
是椭圆
上
的动点，则
的最大值为 ．
11．已知椭圆
的左、右顶点分别为
，且
，椭圆
的焦距为4.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知点
（
不在
轴上）在椭圆
上，求直线
的斜率之积.
12．设
，
分别是直线
和
上的动点，且
，动点
为线段
的中点．
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)已知线段
是圆
的一条直径，求
的最大值．
13．已知椭圆
上一点
，不过点
的直线交
于
两点，且
均位于
的左
侧，直线
的斜率之和为0．
(1)求直线的斜率；
(2)若
，求
的面积．
14．已知椭圆C：
，
，P 是椭圆C 上任意一点，F 是椭圆C 的右焦点，且
的最小值是1．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，若
，求直线l 的方程．
