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专题2.12 椭圆的几何性质
教学目标
①掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c，e 的几何意义。
②会根据椭圆的方程解决椭圆的几何性质，会用椭圆的几何意义解决相关问题。
③会判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系，会求直线与椭圆相交的弦长。
教学重难点
重点:椭圆的几何性质
难点:椭圆的几何性质的理解和应用.
知识点01 椭圆的简单几何性质
焦点的位置
焦点在
轴上
焦点在
轴上
图形
标准方程
（
）
（
）
范围
，
，
顶点
，
，
，
轴长
短轴长＝
，长轴长＝
焦点
焦距
对称性
对称轴：
轴、
轴 对称中心：原点
离心率
，
【即学即练】焦点在x 轴上的椭圆
的焦距为2，则m 的值等于（ ）
A．5
B．3
C．5 或3
D．8
【答案】A
【分析】根据椭圆方程，根据焦点在x 轴表示出焦距可求出m．
【详解】由椭圆
焦距为2，焦点在x 轴上，
得
，则
，得
，解得
，∴m 的值为5，
故选：A．
知识点02 离心率
椭圆焦距与长轴长之比：e= c
a ⇒e=√1−( b
a )2. （0<e<1
）
当e 越接近1 时，
越接近
，椭圆越扁；
当e 越接近0 时，
越接近0，椭圆越接近圆；
当且仅当
时，图形为圆，方程为x2+ y2=a2
【即学即练】若椭圆
的短轴长为焦距的
倍，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意得
，又
，利用离心率的公式即可求解.
【详解】根据题意有
，
所以
.
故选：B.
知识点03 常用结论
1、与椭圆x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为：
x2
a2+m +
y2
b2+m=1(m>−b2)
2、有相同离心率：x2
a2 + y2
b2 =k （k>0
，焦点在
轴上）或y2
a2 + x2
b2=k （k>0
，焦点在
轴上）
3、椭圆x2
a2 + y2
b2 =1的图象中线段的几何特征（如下图）：
（1）
；
（2）
，
，
；
（3）
,
，a−c≤|PF 1|≤a+c ；
知识点04 直线与椭圆位置关系
1、直线与椭圆的位置关系
将直线的方程
与椭圆的方程
联立成方程组，消元转化为关于
或
的一
元二次方程，其判别式为
.
①
直线和椭圆相交
直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②
直线和椭圆相切
直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③
直线和椭圆相离
直线和椭圆无公共点．
2、直线与椭圆的相交弦
直线与椭圆问题（韦达定理的运用）
（1）弦长公式：若直线l: y=kx +b 与圆锥曲线相交与A 、B 两点，A （x1, y1),B( x2, y2)则：
弦长|AB|=√( x1−x2)2+( y1−y2)2=√( x1−x2)2+(kx 1−kx 2)2 =√1+k2|x1−x2|
=√1+k2√( x1+x2)2−4 x1 x2
弦长|AB|=√
1+ 1
k2|y1−y2|
这里
的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
；
（2）结论1：已知弦
是椭圆
（
）的一条弦，中点
坐标为
，则
的
斜率为
运用点差法求
的斜率，设
，
；
、
都在椭圆上，
两式相减得：
，
即
，故
结论2：弦
的斜率与弦中心
和椭圆中心
的连线的斜率之积为定值：−b2
a2
（3）.已知椭圆方程x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)，长轴端点为A1
，A2
，焦点为F1
，F2
，P
是椭圆上一点，
∠F1PF 2=α ．求：ΔF1PF 2的面积（用a 、b 、α 表示）．
设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P(x，y)，由椭圆的对称性，不妨设P 在第一象限．
由余弦定理知： |F1F2|
2=|PF 1|2+|PF 2|2−2|PF 1|·|PF 2|cosα=4 c2 ①
由椭圆定义知： |PF 1|+|PF 2|=2a ②，则②2－①得 |PF 1|⋅|PF 2|=
2b2
1+cosα
故SΔF1PF 2=1
2|PF 1|¿|PF 2|sinα =1
2
2b2
1+cosα sinα =b2tan α
2
【即学即练】已知椭圆
，直线
被椭圆
截得的弦长为
，且
，过椭圆
的右焦点且斜率为
的直线
被椭圆
截的弦长
，求
(1)椭圆的方程；
(2)弦
的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直线过
与
，得到
的关系式，再结合离心率求解即可；
（2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两交点坐标的关系式，再用弦长公式求解即可.
【详解】（1）
由被椭圆
截得的弦长为
，得
，①
又
，即
，所以
.②
联立①②得
，所以所求的椭圆的方程为
；
（2）椭圆的右焦点
的方程为：
，
代入椭圆
的方程，化简得，
，
由韦达定理知，
，
从而
.
由弦长公式，得
，
即弦
的长度为
.
题型01 根据椭圆的标准方程研究其几何性质
【典例1】已知椭圆
的离心率为
，则
．
【答案】2
【分析】把椭圆方程化为标准方程，然后利用椭圆方程中
的关系求解即可.
【详解】椭圆
，即
，
且
，故
，
即
，
因为离心率为
，故
，
所以
，故
，
所以
.
故答案为：2
【变式1】已知椭圆
的左顶点为
，上顶点为
，左、右焦点分别为
，延长
交椭圆
于点
．若点
到直线
的距离为
，
的周长为16，则椭圆
的焦距为（ ）
A．3
B．2
C．5
D．4
【答案】D
【分析】由题意得直线
为
，由点线距离、椭圆焦点三角形周长列方程，结合椭圆参数关
系求参数值，即可得.
【详解】由题意
，
，
，则直线
的方程为
，即
，
所以点
到直线
的距离
①．
由
的周长为16，得
，即
②．
联立①②，解得
③．
因为
，所以
④．
联立②④，解得
，
，所以
．
故选：D
【变式2】若椭圆
：
的短轴的一个端点为
，则椭圆
的长轴长为（ ）
A．
B．3
C．
D．2
【答案】A
【分析】由题意可知椭圆焦点在
轴上，将端点
代入椭圆方程即可求解.
【详解】由题意知C 的焦点在x 轴上，椭圆C 的标准方程为
，且
，
所以
，所以C 的方程为
，所以其长轴长为
，故A 正确.
故选：A.
【变式3】若方程
表示焦点在
轴上的椭圆，则椭圆短轴长的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再列出不等式求解.
【详解】依题意，椭圆
的长半轴长为6，短半轴长为
，则
，
所以椭圆短轴长的取值范围是
.
故选：B
【变式4】已知椭圆
的焦点为
，且离心率
，若点
在椭圆上，
，则
.
【答案】2
【分析】根据椭圆的标准方程和离心率的概念求的
，结合椭圆的定义计算即可求解.
【详解】椭圆
，椭圆的焦点在
轴上，
，
则离心率
，即
，由
解得
，
椭圆的长轴长为
，
由椭圆的定义可知，
.
故答案为：2
题型02 根据椭圆的几何性质求其标准方程
【典例1】（1）求与椭圆
的焦点相同，且经过点
的椭圆的标准方程.
（2）求与椭圆
离心率相同，且经过点
的椭圆的标准方程.
【答案】（1）
；（2）
或
【分析】（1）根据给定的椭圆方程设出所求椭圆的方程，将已知点的坐标代入求解即得.
（2）求出已知椭圆的离心率，进而求得所求椭圆长短半轴长的关系，按焦点的位置分类设出椭圆方程求
解.
【详解】（1）椭圆
焦点为
，设所求椭圆的标准方程为
且
，
由点
在椭圆上，得
，整理得
，
而
，解得
，所以所求椭圆的标准方程为
.
（2）椭圆
离心率
，
令所求椭圆的长短半轴长分别为
，则
，
，
当所求椭圆的焦点在
轴上时，设椭圆方程为
，
于是
，解得
，方程为
；
当所求椭圆的焦点在
轴上时，设椭圆方程为
，
于是
，解得
，方程为
，
所以所求椭圆的标准方程为
或
.
【变式1】已知椭圆
的离心率为
，左、右焦点分别为
，点
为
上的动
点，
的周长为6.求
的标准方程.
【答案】
【分析】由已知条件结合椭圆定义、离心率公式，确定
的值，得出椭圆的标准方程.
【详解】
设椭圆的焦距
，
所以
的周长为
，
即
.又椭圆
的离心率为
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
所以
的标准方程为
.
【变式2】求符合下列条件的方程：
(1)求过两点
和
，且圆心在
轴上的圆的标准方程．
(2)与椭圆
有相同的焦点的椭圆，且经过点
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设所求圆的标准方程为：
，代入
，
，求解即可.
（2）求出椭圆的焦点坐标，利用待定系数法求得
的值，即得答案．
【详解】（1）设所求圆的标准方程为：
，
依题意得
，即
，
解得
，
所以所求圆的方程为：
.
（2）椭圆
的焦点坐标为
，
则所求椭圆的焦点坐标也为
，
设其方程为
，则
，
又椭圆经过点
，故
，联立
，
解得
，
故椭圆方程为
．
【变式3】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长为4，短轴长为2，焦点在y 轴上；
(2)过点
，离心率
；
【答案】(1)
(2)
或
【分析】（1）分焦点在x 轴，y 轴两种情形，结合几何性质列式求解；
（2）利用离心率并再分焦点在x 轴，y 轴两种情形求解.
【详解】（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y 轴上，
长轴长为4，短轴长为2，即
，
，
则有
，
，
故要求椭圆的标准方程为
；
（2）若椭圆的焦点在x 轴上，设方程为
.
则
，所以
，
，
，
即椭圆方程为
.
若椭圆的焦点在y 轴上，设方程为
，
则
，又
，解得
，
故椭圆方程为
.
【变式4】分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程．
(1)已知椭圆的离心率为
，短轴长为
；
(2)椭圆
与
有相同的焦点，且经过点
，求椭圆
的标准方程.
【答案】(1)
或
；
(2)
.
【分析】（1）由题意得
，解出该方程组即可由椭圆焦点在x 轴上或在y 轴上得解；
（2）先求出椭圆
焦点即可得椭圆
焦点坐标为
，进而可设圆
方程为
且
，解出
和
即可得解.
【详解】（1）由题得
，
所以椭圆的标准方程为
或
.
（2）椭圆
满足
，故该椭圆焦点坐标为
，
因为椭圆
与
有相同的焦点，且经过点
，
所以可设椭圆
方程为
，且
，解得
，
故
，解得
（舍去）或
，故
.
所以椭圆
的标准方程为
.
题型03 求椭圆的离心率的值
【典例1】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，点
为椭圆
上位于第一象限内
的一点，若
，
（
为坐标原点），则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意判断
为直角三角形，然后根据勾股定理列出方程，求得离心率.
【详解】如图，
由
，
得，
，
其中
，所以
，
可得
为直角三角形，
，且
，
解得
，
，
再由勾股定理可得：
得
，
．
故选：D．
【变式1】已知A，B，F 分别是椭圆
的右顶点，上顶点和右焦点，若过A，B，F
三点的圆恰与y 轴相切，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用过A，B，F 三点的圆恰与y 轴相切，求出圆的标准方程，再利用点A 在圆上，坐标适合方程
即可求解．
【详解】由已知可得：
，
，
，
线段
的垂直平分线方程为
，过A，B，F 三点的圆恰与y 轴相切，
所以圆心坐标为
，圆的半径为
，
所以经过A，B，F 三点的圆的圆的方程为
，
在圆上，所以
，
整理得：
，所以
，所以
，
化为：
，由
，解得
．
故选：B．
【变式2】已知椭圆
的左、右焦点分别是
，P 是椭圆外一点，直线
的倾斜
角为
，
，线段
的中点在C 上，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合离心率的意义求解.
【详解】令椭圆半焦距为c,M 为线段
的中点，连接
，
由
,
，得
为等边三角形，则
，
所以C 的离心率为
.
故选：B
【变式3】如图，设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，若椭圆
上存在点
，使
得线段
的中垂线恰好过焦点
，则椭圆
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解法一：通过焦半径的取值范围得到关于
，的不等关系，进而可求离心率范围．
解法二：通过点
横坐标的范围得到关于
，的不等关系，进而可求离心率范围．
【详解】解法一：因为线段
的中垂线恰好过焦点
，所以
，
由焦半径的范围可知
，即
，
则
且
，解得
，
故选：B．
解法二：设
≠
，则线段
的中点坐标为
，
，
可得线段
的中垂线所在的直线方程为
，
把点
代入得
，
从而得到
，则
或
（舍去），
因为
，所以
，
则
且
，解得
，
故选：B．
【变式4】已知
，
为椭圆
的两个焦点，若椭圆上存在点
满足
，则椭圆离心率的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】把
点坐标设为参数形式，再由
及三角函数性质得到离心率的范围.
【详解】设
，
，
，
．
化简得
，因
，所以
，
整理得
，
，所以
．即
.
故选：B．
求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得
、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于
、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
题型04 求椭圆的离心率的最值或范围
【典例1】若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率
为 .
【答案】
/
【分析】不妨设椭圆方程为
，由椭圆和正方形的对称性可知正方形与椭圆中心点
相
对的顶点可以是长轴顶点或短轴顶点，分两种情况求出正方形顶点，代入椭圆方程，结合离心率公式即可
求解.
【详解】不妨设椭圆方程为
，由椭圆和正方形的对称性可知正方形与椭圆中心点
相
对的顶点可以是长轴顶点或短轴顶点.
如上图，当正方形与点
相对的顶点为长轴顶点时，如点
,因
，则易得
在椭圆上，将其代
入椭圆方程得
，即
，则
，解得
；
如上图，当正方形与点
相对的顶点为短轴顶点时，如点
,因
，则易得
在椭圆上，将其代
入椭圆方程得
，即
，这显然与
矛盾，故这种情况不存在..
故答案为：
.
【变式1】设椭圆
的一个焦点为
，
为椭圆
内一点，若椭圆
上
存在一点
，使得
，则椭圆
的离心率的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令椭圆
的左焦点为
，利用椭圆的定义可求出
的最大值和最小值，即可
得出
的取值范围，即可求得椭圆
的离心率的取值范围.
【详解】
设左焦点为
，则由椭圆的定义知，
，
因为
，所以
，
则
，可得
，此时满足点
在椭圆内，所以
．
故答案为：
.
【变式2】已知椭圆
的右焦点为
，短轴的一个端点为
，直线
与椭
圆相交于
，
两点．若
，点
到直线的距离不小于
，则椭圆离心率的取值范围为
．
【答案】
【分析】椭圆的对称性可知，A，
关于原点对称，得四边形
为平行四边形，利用椭圆定义求出
，，再根据点
到直线的距离不小于
，求出
，进而求得离心率的取值范围.
【详解】设椭圆的左焦点为
，
为短轴的上端点，连接
，
，如图，
由椭圆的对称性可知，A，
关于原点对称，则
，又
，
所以四边形
为平行四边形，
则
，又
，解得
，
由点
到直线的距离
，解得
，即
，
所以
，故
．
故答案为：
.
【变式3】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，椭圆
上存在一点
，使得
为等腰三角形，且
为钝角，则椭圆
的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】不妨设点
在第一象限，根据题意求出
的取值范围，结合椭圆方程可得出
的取值范
围，由此可得出关于
、的齐次不等式，即可解出椭圆的离心率的取值范围.
【详解】设椭圆
的半焦距为，则
，
，
因为
为等腰三角形，且
为钝角，则
，
设点
，则
，
，
则
，可得
，又因为
，故
，
所以
，
所以
，化简得出
.
故答案为：
.
【变式4】已知椭圆C：
的右焦点为F，P 为C 上一点，∠OPF 的最大值为
．则C
的离心率为 ．
【答案】
【分析】又题设
，则
，
，则
，可得到
，且
等号需成立，即可得到离心率.
【详解】
由题意，
．
设
，则
，
．P 在椭圆上，则
，
故
，
即
．而
，故
，
整理得
，
所以
，
，
．
由题意，最大值可取到，即等号须成立，否则不存在
使得
．
故
，
，C 的离心率为
.
故答案为：
.
求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得
、的值，根据离心率的定义求建立不等关系求出离心率
取值范围；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于
、的齐次不等式，然后转化为关于的不等式；
题型05 根据椭圆离心率求参数
【典例1】已知椭圆
的离心率为
，则
（ ）
A．2
B．4
C．
D．
【答案】A
【分析】利用椭圆的离心率列出关系式，求解
即可求得结果．
【详解】
，
，所以
，
，
，解得
，
.
故选：A.
【变式1】已知椭圆
的离心率为
，则
的短轴长为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】首先判断焦点在
轴上，根据离心率求出
，即可得解.
【详解】依题意，
，即
，则
的焦点在
轴上，
因此
，所以
，故
的短轴长为
.
故选：B．
【变式2】已知椭圆
的离心率
，则实数
．
【答案】或
【分析】对焦点的位置进行分类讨论，根据离心率的定义结合方程运算求解.
【详解】①若焦点在
轴上，则
，即
，
，
则
，
可得
，解得
；
②若焦点在
轴上，则
，即
，
则
可得
，即
；
故答案为：或
.
【变式3】已知椭圆
和椭圆
的离心率分别为
和
，若
，则
．
【答案】或
.
【分析】根据离心率定义求椭圆
的离心率，结合条件确定椭圆
的离心率，讨论焦点位置列方程求
.
【详解】设椭圆
的长半轴长为
，短半轴长为
，半焦距为
，
则
，
，
，
所以椭圆
的离心率
，又
，
所以
，
设椭圆
的长半轴长为
，短半轴长为
，半焦距为
，
则
，所以
，
所以
，
当椭圆
的焦点在
轴上时，
，所以
，
当椭圆
的焦点在
轴上时，
，所以
，
所以
或
.
故答案为：或
.
【变式4】椭圆
且
的离心率为
，则
.
【答案】
【分析】将焦点分为在
轴上两种情况，利用椭圆的离心率列方程，由此求得
的值.
【详解】椭圆的离心率满足
.
当椭圆焦点在
轴上时，
且
，
解得
.
当椭圆焦点在
轴上时，
且
，
解得
.
故答案为：
.
题型06 直线与椭圆的位置关系
【典例1】直线
与椭圆
（
）的位置关系为（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【答案】C
【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可.
【详解】因为直线
过点
，
而
为椭圆
的右端点和上端点，
故直线
与椭圆
相交.
故选：C.
【变式1】已知直线的方程为
，椭圆
的方程为
，则直线与椭圆
的位置关系
为（ ）
A．相离
B．相交
C．相切
D．不能确定
【答案】B
【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系.
【详解】
，即
，令
，解得
，
则直线所过定点
，代入椭圆方程，
，则该定点在椭圆内，
则直线与椭圆
的位置关系为相交.
故选：B.
【变式2】已知直线
，椭圆
，则与
的位置关系为（ ）
A．相切
B．相交
C．相离
D．相交或相切
【答案】D
【分析】首先判断直线所过的定点，再判断定点与椭圆的位置关系，即可判断直线与椭圆的位置关系.
【详解】直线：
，
令
，解得：
，
，
所以直线恒过定点
，
，所以点
在椭圆
上，则直线与椭圆
相交或相切.
故选：D
【变式3】直线l：
与椭圆C：
的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．不能确定
【答案】A
【分析】判断出直线过定点，且定点在椭圆内可得答案.
【详解】将直线l：
变形为l：
，
由
得
，于是直线l 过定点
，
而
，于是点
在椭圆C：
内部，
因此直线l：
与椭圆C：
相交．
故选：A．
【变式4】直线：
与椭圆
的位置关系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．相切或相交
【答案】A
【分析】方法1：先求含参直线l 恒过定点M，研究定点M 与椭圆的位置关系可判断直线l 与椭圆的位置关
系；
方法2：代数法，联立直线l 与椭圆方程，消参后可由
判断出直线l 与椭圆的位置关系.
【详解】方法1：
∵
，即：
，
∴直线l 恒过定点
，
又∵椭圆
∴
，
∴定点M 在椭圆内，
∴直线l 与椭圆相交.
方法2：
∴
恒成立，
∴直线l 与椭圆相交.
故选：A.
将直线的方程
与椭圆的方程
联立成方程组，消元转化为关于
或
的一
元二次方程，其判别式为
.
①
直线和椭圆相交
直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）；
②
直线和椭圆相切
直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
③
直线和椭圆相离
直线和椭圆无公共点．
题型07 直线与椭圆相切
【典例1】直线与圆
和椭圆
同时相切，请写出一条符合条件的的方
程
【答案】
或
或
（只需写一条）
【分析】画出它们的图像，由图像易得满足题意的两条公切线，再根据相切条件解得第三条公切线.
【详解】圆
的圆心坐标为
，半径为
，椭圆
中，
，它们的图象如下图：
由图可知，
或
与圆
和椭圆
同时相切，
即符合条件的的方程可以为
或
假设公切线斜率存在且不为零时方程为
，由图可知
所以
①
由
得
由
得
②
由①②解得
故答案为：
或
或
（只需写一条）
【变式1】已知椭圆
过点
和
.
(1)求
的离心率；
(2)若直线
与
有且仅有一个交点，求的一般式方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆
过点
和
，求得
，进而求得，即可得到
的离心率；
（2）联立
和的方程，得到关于
的一元二次方程，由
，可求得
，即可得到的一般式
方程.
【详解】（1）因为椭圆
过点
和
，
所以
，解得
，
由
，得
，
所以
的离心率
.
（2）
由（1）可得
的方程为，
，
联立
，得
，
由
，得
，
直线的一般式方程为：
.
【变式2】已知椭圆C 的两个焦点坐标分别是
，
，且经过点
．
(1)求C 的标准方程；
(2)已知直线l 与
平行，且与C 有且只有一个公共点，求l 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆定义得
，
，再结合
关系即可得到答案；
（2）求出
，设直线方程为
，联立椭圆方程，利用
即可.
【详解】（1）由于椭圆
的焦点在
轴上，
所以设它的标准方程为
，
由椭圆的定义知，
，
可得
，所以
，
所以椭圆
的标准方程为:
.
（2）已知
，所以
，设直线方程为
，
由方程组
消去
，得
，
该方程的判别式
，
由
，得
，
此时与
有且只有一个公共点，所以的方程为:
.
将直线的方程
与椭圆的方程
联立成方程组，消元转化为关于
或
的一
元二次方程，其判别式为
.
①
直线和椭圆相切
直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；
题型08 弦长
【典例1】已知椭圆
的离心率为
，点
在椭圆C 上．
(1)求椭圆C 的标准方程．
(2)直线
与椭圆C 交于M，N 两点．
①求m 的取值范围；
②若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)①
；②
．
【分析】（1）根据离心率和过点
，代入计算得到答案；
（2）将直线的方程与椭圆方程联立得
，利用根的判别式求解即可；
（3）由（2）结合
，利用韦达定理和弦长公式即可求解.
【详解】（1）因为点
在椭圆C 上，所以
．
椭圆C 的离心率为
，解得
．
故椭圆C 的标准方程为
．
（2）联立
得
．
①
，解得
，
所以m 的取值范围为
．
②因为
，所以
，解得
．
．
【变式1】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，过
的直线与椭圆
交于
、
两点．
(1)求
的短轴长及
的周长；
(2)若直线过点
，求弦长
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的定义即可求解；
（2）联立直线
与椭圆方程，求出
的坐标，利用两点间的距离公式即可求得弦长.
【详解】（1）由题意
，所以短轴长为
，且
，
所以
的周长为
，
即
的周长为
．
（2）
，又直线过点
，所以
，
所以直线
的方程为
，
联立
，整理可得
，可得
或
，可得
或
，
所以
．
【变式2】已知椭圆
，直线
被椭圆
截得的弦长为
，且
，过
椭圆
的右焦点且斜率为
的直线
被椭圆
截的弦长
，求
(1)椭圆的方程；
(2)弦
的长度.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直线过
与
，得到
的关系式，再结合离心率求解即可；
（2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两交点坐标的关系式，再用弦长公式求解即可.
【详解】（1）
由被椭圆
截得的弦长为
，得
，①
又
，即
，所以
.②
联立①②得
，所以所求的椭圆的方程为
；
（2）椭圆的右焦点
的方程为：
，
代入椭圆
的方程，化简得，
，
由韦达定理知，
，
从而
.
由弦长公式，得
，
即弦
的长度为
.
【变式3】已知椭圆
：
的右焦点为
，且过点
.
(1)求
的方程；
(2)设
为
上一动点，当
取得最大值时，求直线
被
截得的弦长.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的性质结合点在椭圆上代入解方程可得；
（2）由椭圆的性质得到当
，
，
三点共线时
取得最大值，再直曲联立，由弦长公式计算可
得.
【详解】（1）设
半焦距为，因为
，故
.
又
过点
，故
.
由椭圆的几何性质有
，
故
，
.
所以
的方程为
.
（2）
设
的左焦点为
，则
，当且仅当
，
，
三点共线时等
号成立，此时
.
因为
，故直线
的方程为
.
与
的方程联立有
，
整理有
，
，解得
，
.
故直线
被
截得的弦长为
.
【变式4】已知椭圆
（
）的离心率为
，短轴长为2．
(1)求C 的方程；
(2)过左焦点
的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点，O 为坐标原点，若
的面积为
，求
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据离心率以及短轴长的概念，由
的关系式，建立方程组，可得答案；
（2）设出直线方程，联立写出韦达定理，利用点到直线距离公式以及弦长公式，根据三角形面积公式，
建立方程，可得答案.
【详解】（1）由题设知：
，解得
，
所以C 的方程为
（2）
∵
，设直线的方程为
，
，
∵
∴
∴
，整理得
，
可得
，∴
，
∴
，
∴
，∴
.
弦长|AB|=√( x1−x2)2+( y1−y2)2=√( x1−x2)2+(kx 1−kx 2)2 =√1+k2|x1−x2|
=√1+k2√( x1+x2)2−4 x1 x2
弦长|AB|=√
1+ 1
k2|y1−y2|
题型09 中点弦和点差法
【典例1】已知椭圆
的焦距为
，短半轴长为
．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)已知直线l 交椭圆C 于M，N 两点，且
的中点为
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可；
（2）利用点差法求解即可.
【详解】（1）因为
，
，所以
，
故椭圆C 的方程为
．
（2）易知直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k，
，
，
则
两式相减得
，整理得
．
因为
的中点为
，所以
，
所以
，
所以直线l 的方程为
，即
，经检验，符合题意.
【变式1】已知椭圆C 与双曲线
有相同的焦点，且椭圆C 经过点
.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)若直线l 与椭圆C 相交于
，且
的中点为
，求直线l 的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆与双曲线的性质先确定焦点坐标，结合椭圆的定义与两点距离公式计算即可；
（2）设
利用点差法确定直线斜率，根据点斜式计算直线方程即可.
【详解】（1）由题意可设椭圆方程
，焦距为
，
易知双曲线
焦点坐标为
，则椭圆C 的焦点坐标为
，即
，
又椭圆C 经过点
，
根据椭圆的定义可知：
，
所以
，
所以
，
所以椭圆C 的标准方程为
；
（2）易知点
在椭圆内部，设
，则
，作差得
，
则
，
所以
，则直线l 的斜率为
，
由点斜式可知直线l 的方程为
所以直线l 的方程为：
.
【变式2】已知
，过
的直线与椭圆相交，求被截得的弦的中点轨迹方程.
【答案】
（在椭圆
内部的部分）.
【分析】设弦的中点坐标为
，根据点差法，结合题意，即可求得其轨迹方程.
【详解】设弦的端点为
，
，其中点是
，
则
，
，由于点
，
在椭圆上，则有：
，
两式做差可得
，所以
，
化简得
（在椭圆
内部的部分）．
所以被截得的弦的中点轨迹方程为：
（在椭圆
内部的部分）.
【变式3】已知椭圆
的焦距为12，长半轴长为
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线与椭圆
相交于
两点，若线段
的中点坐标为
，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）依题意，根据椭圆的几何性质求得
，即得椭圆方程；
（2）设
，利用点差法化简，得
，代入弦的中点坐标，求出直线斜
率，即得其方程.
【详解】（1）由题意可知
则
，所以椭圆
的方程为
.
（2）
由题意直线l 的斜率存在，如图，设
，则
两式相减得
，整理可得
.
因为线段
的中点坐标为
，所以
，
所以直线的斜率
，
故直线的方程为
，即
.
【变式4】已知椭圆
：
的长轴长是短轴长的
倍.
(1)求
的方程；
(2)若倾斜角为
的直线与
交于
，
两点，线段
的中点坐标为
，求
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件确定
的值，即得椭圆的标准方程；
（2）涉及中点弦问题，可以考虑“点差法”解决问题.
【详解】（1）由题意可得
，得
，所以
的方程为
.
（2）由题意得
.
设
，
，依题意可得
，且
，
由
得
，
则
，解得
.
经检验，点
在椭圆
内.
所以
为所求.
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处
理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点M (x0, y0)， x0= x1+x2
2
， y0= y1+ y2
2
2、点差法
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入椭圆方程，得
x
12
a2 +
y
12
b2 =1；
x
22
a2 +
y
22
b2 =1；
将两式相减，可得
x
12−x
22
a2
+
y
12−y
22
b2
=0；( x1+x2)( x1−x2)
a2
=−( y1+ y2)( y1−y2)
b2
；
最后整理得：1=−a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=−k⋅a2
b2⋅y0
x0
题型10 椭圆中三角形面积问题
【典例1】如图所示，椭圆
的左、右焦点分别为
，一条直线经过
与椭圆交于A，B 两
点.
(1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率；
(2)若直线的倾斜角为
，求
的面积.
【答案】(1)焦距为
，短轴长为6，离心率为
(2)
【分析】（1）求出
，
，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案；
（2）求出直线方程为
，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由
求出
面积.
【详解】（1）由已知方程得到
，所以
，
，
由
得
，
故焦距为
，短轴长为
，离心率
.
（2）由（1）知焦点坐标为
，设
，
由已知得直线的方程为
，即
，
与
联立消去
得
，
则
，
故
，
所以
的面积为
.
【变式1】已知椭圆
经过点
(1)求
的方程和离心率；
(2)若过点
且斜率为1 的直线与
的另一个交点为
，求
的面积．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）将点代入得到关于
的方程组，解出即可得
的方程，再求离心率即可；
（2）易得直线方程为
，求出交点坐标，再求面积即可.
【详解】（1）由题意得
解得
所以
的方程为
．
的离心率为
．
（2）由题意知直线的方程为
，
联立得
得
或
所以
观察可知
是等腰三角形，且
与
轴平行，
所以
．
【变式2】已知椭圆
．
(1)求该椭圆的离心率；
(2)若点
为直线
上的动点，过点
作该椭圆的切线
切点分别为
，求
的面积的
最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用椭圆离心率定义即可求得该椭圆的离心率；
（2）先求得直线
的方程，求得弦
的长度，进而求得
的面积表达式，进而求得
的面
积的最小值．
【详解】（1）椭圆
中，
，则
，
则
，则椭圆的离心率为
（2）设
，
，
设过点
的切线方程为
，
由
，
则
，
此时方程的根为：
，
则切线方程为：
，
当切线斜率不存在时，其切点为
或
，切线方程为：
，满足
，
所以过点
的椭圆的切线方程为：
，
同理过点
的切线方程为
，
又
在两条切线上，则
，
，
则直线AB 的方程为
，即
由
整理得，
，
则
，
则
，
又点M 到直线AB 的距离
，
则
的面积为
令
，则
，
，
则
，
令
，
，
则
恒成立，
则
在
上单调递增，则
当且仅当
即点M 坐标为
时等号成立，
则
的面积的最小值为
.
【变式3】在直角坐标系
中，
，
分别是
，
轴上一点，且
．动点
满足
，点
的轨迹为
．
(1)求曲线
的方程；
(2)过点
的直线与曲线
交于
，
两点，求
面积的最大值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）设出点坐标，表达出向量，即可根据关系式得出曲线
的方程；
（2）作出图象，设出直线与椭圆的交点坐标和点
到直线的距离，直曲联立得出一元二次方程，利用
韦达定理得出
面积的表达式，结合基本不等式即可求出最大值.
【详解】（1）由题意，
，
分别是
，
轴上一点，且
．
动点
满足
，
设
，
，
，
∴
，
，
，
即
∴
，解得：
，
∴曲线
的方程为：
．
（2）由题意及（1）得，
在
中，
过点
的直线与曲线
交于
，
两点，
易知直线的斜率存在，设其方程为
，即
，设
，
，
由
消去
得
，
由
，得
，
，
．
设点
到直线距离为
，
的面积为
，
，解得：
设
，则
，
，
当且仅当
时取等号，
∴
面积的最大值为1．
【变式4】已知椭圆
：
的上顶点与椭圆的左右顶点连线的斜率之积为
.
(1)求椭圆
的离心率；
(2)若直线
与椭圆
相交于
，
两点，若
的面积为
(
为坐标原点)，求椭圆
的标
准方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)由条件可得
，再根据
, 求出
，
可得答案；
(2)联立直线与椭圆方程可得
，
，
，可得AB 弦长，求出原点到直线的距离，
代入面积公式即可求解.
【详解】（1）椭圆上顶点的坐标为
，左右顶点的坐标分别为
，
，
所以
，即
.则
，又
，
，
；
（2）设
，
，
由
得：
，
，
，
，
，
又原点到直线的距离
，
，
即
，解得
，满足
，
，
故椭圆的方程为
.
1．椭圆
的左、右焦点分别为
，过右焦点
作直线
轴交椭圆
于
点，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】C
【分析】解法1：设
，利用椭圆的定义得
，结合
轴，利用勾股定理求解即得；
解法2：利用椭圆的通径公式和椭圆的定义即可求得.
【详解】解法1：由题意知
，设
，则由
可得
，
在
中，
，即
，解得
．
解法2：由题意知椭圆
的长轴长
，短轴长
是椭圆通径长的一半，所以
，
则
．
故选：C.
2．已知斜率为1 的直线与椭圆
相交于
，
两点，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设直线的方程为
，联立椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式将
表示成
的函数即
可求解.
【详解】设直线的方程为
，由
，得
，
由
，得
，
则
，
所以
，
当
时取到最大值，此时直线的方程为
．
故选：B．
3．已知椭圆
的左顶点为
，上顶点为
，左、右焦点分别为
，延长
交椭
圆
于点
．若点
到直线
的距离为
，
的周长为16，则椭圆
的焦距为（ ）
A．3
B．2
C．5
D．4
【答案】D
【分析】由题意得直线
为
，由点线距离、椭圆焦点三角形周长列方程，结合椭圆参数关
系求参数值，即可得.
【详解】由题意
，
，
，则直线
的方程为
，即
，
所以点
到直线
的距离
①．
由
的周长为16，得
，即
②．
联立①②，解得
③．
因为
，所以
④．
联立②④，解得
，
，所以
．
故选：D
4．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，上顶点为
，若
，则
的长轴长为
（ ）
A．
B．
C．8
D．4
【答案】C
【分析】利用
为等腰直角三角形求出
，再由
求出
可得答案.
【详解】由题设知
，
，结合
，
可知
为等腰直角三角形，
所以
，故
，
所以
，解得
，所以
的长轴长为
．
故选：C.
5．已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，点
为椭圆
上位于第一象限内的一
点，若
，
（
为坐标原点），则椭圆
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意判断
为直角三角形，然后根据勾股定理列出方程，求得离心率.
【详解】如图，
由
，
得，
，
其中
，所以
，
可得
为直角三角形，
，且
，
解得
，
，
再由勾股定理可得：
得
，
．
故选：D．
6．已知直线
与椭圆
相交于
两点，则线段AB 的中点M 的轨迹必经过点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，联立得到
，进而得到中点
的坐标及轨迹方程即可.
【详解】设
，
，
，
，即
，
又
为线段AB 的中点，所以
，则
的轨迹方程为
，
所以
，
都在
上，
又
，所以
，因为
，所以D 错误.
故选：C.
7．如图，设
，
分别是椭圆
的左、右焦点，若椭圆
上存在点
，使得线段
的中垂线恰好过焦点
，则椭圆
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解法一：通过焦半径的取值范围得到关于
，的不等关系，进而可求离心率范围．
解法二：通过点
横坐标的范围得到关于
，的不等关系，进而可求离心率范围．
【详解】解法一：因为线段
的中垂线恰好过焦点
，所以
，
由焦半径的范围可知
，即
，
则
且
，解得
，
故选：B．
解法二：设
≠
，则线段
的中点坐标为
，
，
可得线段
的中垂线所在的直线方程为
，
把点
代入得
，
从而得到
，则
或
（舍去），
因为
，所以
，
则
且
，解得
，
故选：B．
8．椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，
如图所示．设椭圆
的两个焦点分别为
．若光线由
发出经椭圆
两次反射后回到
经过的路程为12c，点
是椭圆
上除顶点外的任意一点，
在点
处的切线为
在上的射影
在圆
上，则
的周长为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】D
【分析】先根据题意求出
的关系，然后根据几何关系列出等式，求出
，进而求出
的周长.
【详解】由光线由
发出经椭圆
两次反射后回到
经过的路程为
，得
，即
．
延长
交于点
，如图，由光的反射定律知
垂直平分线段
（关键点），连接OH，
则OH 是
的中位线，于是
，
而点
在圆
上，则
的周长等于
．
故选：D.
9．（多选）已知
,
分别是椭圆
的左、右焦点，
是椭圆
上一点，则（ ）
A．当
时，满足
的点
共有4 个
B．
的周长不一定小于
C．
的面积不可能大于
D．若
恒成立，则
的离心率的可能值为
【答案】AC
【分析】焦点三角形的顶点
运动到短轴顶点时，
和
的面积最大，可解A、C 选项；利用椭
圆的定义可知，焦点三角形的周长为
，可解B 选项；椭圆上动点
到焦点的距离范围为
，建立不等式，可解D 选项.
【详解】对于A，当点
的坐标为
或
时，
最大，
若
，此时
，所以
，
所以
，即
最大值为
，
故使
的点
有
个，故A 正确；
对于B，由椭圆的定义可知
的周长为
，故B 错误；
对于C，
的面积为
，故C 正确；
对于D，因为
，所以
，
两边平方结合
可得
，
得
，解得
，又
，所以
，
因为
，故D 错误.
故选：AC.
10．已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，椭圆
上点
满足
．若点
是椭圆
上
的动点，则
的最大值为 ．
【答案】
/
【分析】由已知可得点A，
，
的坐标，再利用数量积运算法则和点P 的纵坐标的取值范围即可得出最
大值．
【详解】由椭圆C：
可得：
，
，
，
．
，由对称性，不妨令
．
设
，则
又
，
，
的最大值为
．
故答案为：
.
11．已知椭圆
的左、右顶点分别为
，且
，椭圆
的焦距为4.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知点
（
不在
轴上）在椭圆
上，求直线
的斜率之积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由椭圆的性质结合
关系求解可得；
（2）设
，由
在椭圆
上，得
，再利用斜率的定义代入化简可得.
【详解】（1）由
，得
，解得
，
设椭圆
的焦距为
，由焦距为4，得
，解得
.
又
，所以椭圆
的标准方程为
.
（2）由题意，得
，
设
，由
在椭圆
上，得
，即
，
所以
，
即直线
的斜率之积为
.
12．设
，
分别是直线
和
上的动点，且
，动点
为线段
的中点．
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)已知线段
是圆
的一条直径，求
的最大值．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）根据已知条件设出点
的坐标，再利用
为线段
的中点得到
，代入
中即可求解；
（2）将
转化为用
和
表示，代入点的坐标得到关于
的一元二次函数即可求得最大值.
【详解】（1）
，
分别是直线
和
上的动点，
设
，
，
，
点
为线段
的中点，则
，
，
又
，
，即
，
动点
的轨迹方程为
.
（2）
线段
是圆
的一条直径，
圆心为
，半径为，
，
，
，
当
时，
取得最大值
．
13．已知椭圆
上一点
，不过点
的直线交
于
两点，且
均位于
的左
侧，直线
的斜率之和为0．
(1)求直线的斜率；
(2)若
，求
的面积．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）设直线的方程为
，与椭圆联立得
，再结合韦达定理
及
从而可求得
，即可求解；
（2）不妨设直线
的倾斜角分别为
，结合题意可求出
，则得直线
的
方程为
，直线
的方程为
，再与椭圆联立并结合韦达定理及弦长公式即可求解.
【详解】（1）由题意可得直线的斜率存在，可设直线的方程为
，且
，
，
，联立
消
得
，
则
，即
，
，
因为
，
，
所以
，即
，
所以
，
化简得
，
又
，所以
，即
，所以直线的斜率为1．
（2）不妨设直线
的倾斜角分别为
，由
得
，
因为点
均位于点
的左侧，
则点
在
上方，
在
下方，如图，
结合倾斜角的定义可得
，
因为
，
所以
，解得
（负值舍去），
所以直线
的方程为
，直线
的方程为
，故
．
联立
消去
整理得
，
因为
是方程的一个解，由韦达定理得
，故
，即
，
所以直线的方程为
，所以
，
点
到直线的距离
，
所以
．
即
的面积为
．
14．已知椭圆C：
，
，P 是椭圆C 上任意一点，F 是椭圆C 的右焦点，且
的最小值是1．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A，B 两点，若
，求直线l 的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先由
，结合
最小值得到方程，求出
，得到椭圆方程；
（2）当过点
的直线的斜率为0 时不合要求，当过点
的直线的斜率不为0 时，设出方程，联立椭圆
方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式列出方程，求出直线方程.
【详解】（1）因
，
，所以
，
，即
．
当P 是椭圆右顶点时，
取得最小值，最小值为
，故
，
则
，
，椭圆C 的方程为
．
（2）当过点F 的直线l 的斜率为0 时，
，不符合要求．
当过点F 的直线l 的斜率不为0 时，设直线l 的方程为
，
代入
，得
，
恒成立．
设
，
，则
，
，
故
，
故
，解得
，
故直线l 的方程为
．
