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专题2.4 不等式及其性质
教学目标
1、掌握配方法、作差法、综合法、反证法、分析法等熟悉思想方法.
2、反证法是一种间接证明的方法，如推论5 中用到的方法.
3、灵活选用不等式5 个性质与5 个推论。
教学重难点
教学重点：不等式的性质，并能利用性质解决问题；综合法、分析法证明问题的过程
和推理特点
教学难点：综合法、分析法证明问题的过程
知识点01 不等式定义
在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“
”“
”“
”“
”“
”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式.
自然语言
大于
小于
大于或等
于
小于或等
于
至多
至少
不少于
不多于
符号语言
知识点02 实数比较大小
1、如果
是正数，那么
；如果
等于
，那么
；如果
是负数，那么
，反过
来也对.
2、作差法比大小：①
；②
；③
3、不等式性质
性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变
性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变
性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变
【即学即练】比较大小：
（填“<”或“>”）
.
【答案】
【分析】平方计算判断大小.
【详解】因为
，
，所以
，所以
.
故答案为：<.
知识点03 不等式性质
性质1(可加性) 如果
，那么
性质2(可乘性) 如果
，
，那么
.
性质3(可乘性) 如果
，
，那么
.
性质4(传递性) 如果
，
，那么
.
注：如果性质4 中的不等式带有等号，那么结论是否仍然成立？
(1)如果性质4 中的两个不等式只有一个带有等号，那么等号是传递不过去的．例如：如果
且
，那么
；如果
且
，那么
.
(2)如果两个不等式都带有等号，那么有若
且
，则
，其中
时必有
且
.
推论1(移项法则) 如果
，那么
.
不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边．
推论2(同向可加性) 如果
，
，那么
我们把
和
(或
和
)这类不等号方向相同的不等式，称为同向不等式．
推论3(同向同正可乘性) 如果
，
，那么
推论4(可乘方性) 如果
，那么
(n∈N，n>1).
推论5(可开方性) 如果
，那么
.
注：(1)推论2 可以推广为更一般的结论：有限个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不
等式同向．推论2 是同向不等式相加法则的依据．
(2)同向不等式可以相加但不能相减，即由
，
，可以得到
，但不能得到
.需要特别注意的是，由
，
，不能得到
，但可以得到
.
这是因为若
，则
，又
，所以
【即学即练】“
”是“
”的（ ）条件.
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】B
【分析】由充分条件和必要条件的概念，结合不等式性质分别判断即可.
【详解】由
，当
时，则
，故充分性不成立；
由
，可知
，所以
，故必要性成立.
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
题型01 由已知条件判断不等式是否正确
【典例1】下列命题是假命题的为（ ）
A．若
，则
B．若
且
，则
C．若
且
则
；
D．若
， 则
【答案】D
【分析】利用不等式的性质和作差法来进行不等式变形即可得到判断，对于不成立的不等式可通过举反例
来判断.
【详解】对于A；由
，可知
，所以
，故A 正确；
对于B；由
可得：
，因为
，所以
，故B 正确；
对于C；由
可得：
，又因为
所以
，故C 正确；
对于D；取
，则
故D 错误；
故选：D.
【变式1】已知
，
，则下列大小关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据两个分子相同的分数，分母越大，分数值越小，以及不等式两边同时乘一个正数，不等号方
向不变，不等式两边同时乘一个负数，不等号方向改变，再结合不等式的传递性，进行大小比较即可.
【详解】因为
，所以
，
因为
，所以
，即
，
因为
，所以
，
综上，
，因此选项A 错误，选项B 正确；
因为
，所以
，
因为
，所以
，
综上，
和
无法判断正负，故选项C 错误，选项D 错误.
故选：B.
【变式2】（多选）下面说法正确的是（ ）．
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，
，则
D．若
，则
【答案】AC
【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可.
【详解】对于选项A：
因为
，且
，所以
，故选项A 正确；
对于选项B：
若
，则
，故选项B 错误；
对于选项C：
因为
，所以
，又因为
，所以
，故选项C 正确；
对于选项D：
若
，则
，不等式两边同时除以
得
，故选项D 错误．
故选：AC．
【变式3】（多选）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】AB 选项，利用不等式的基本性质进行判断；C 选项，作差法比较大小；D 选项，举出反例.
【详解】A 选项，因为
，
，所以
，即
，故A 正确；
B 选项，因为
，
，所以
，故B 错误；
C 选项，由A 知，
，又
，因为
，所以
，故C 正确；
D 选项，当
，
，
，
时，
，故D 错误.
故选：AC.
【变式4】（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．若
，
，则
D．若
，
，则
【答案】ACD
【分析】根据不等式的性质以及特殊值验证法，对四个说法逐一分析，由此确定正确的说法.
【详解】对A：因为
，所以
，
，所以
，所以
，即
，故A 正
确；
对B：取
，
，则
，故B 错误；
对C：因为
，
，所以
，
所以
，故C 正确；
对D：因为
，
，所以
，所以
.故D 正确.
故选：ACD
题型02 由不等式的性质比较大小
【典例1】（多选）若
，则下列命题中错误的是（ ）
A．若
且
，则
B．若
且
，则
C．若
且
，则
D．若
，则
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质，结合作差法，比较大小即可.
【详解】对于A，因为
且
，则
，但不确定
的正负，当
时，
，故
A 错误；
对于B，
，因为
且
，所以
，则
即
，故B 错误；
对于C，若
，则
，所以
，故C 正确；
对于D，若
，则
则
故D 错误.
故选：ABD.
【变式1】英国数学家哈利奥特最先使用＂
＂和＂＞＂符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不
等式的发展影响深远．对于任意实数
，下列命题是真合题的是（ ）.
A．若
，则
；
B．若
，则
；
C．若
，则
；
D．若
，则
．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可.
【详解】对于选项A：
若
，满足
，但此时
，所以A 错误；
对于选项B：
若
，此时
，所以B 错误；
对于选项C：
若
，此时
，所以C 错误；
对于选项D：
因为
，所以
，所以D 正确.
故选：D.
【变式2】已知
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用赋值法可判断ABD；利用不等式性质可判断C.
【详解】
，但
，故A 错误；
，但
，故B 错误；
因为
，所以
，所以
，又
，所以
，
所以
，故C 正确；
，但
，故D 错误.
故选：C.
【变式3】若
，则下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】举反例令
可得A 错误；由不等式的性质可得B 错误；作差法可得C 正确；举反例可得D 错误.
【详解】对于A 选项，当
时不满足，故A 错误；
对于B 选项，由不等式性质知，
两边同时乘以
，可得
，故B 错误；
对于C 选项，若
，则
，
，
，
，
故
，即
，故C 正确；
对于D 选项，取
，
，可得
，故D 错误．
故选：C
【变式4】（多选）设
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】利用不等式性质推理，结合特殊值法验证，逐个判断正误即可.
【详解】因为
，
，故
，所以
，故A 正确；
不妨取
，
，则
，故B 错误；
因为
，
，所以
，即
，即
，故C 正确；
不妨取
，
，则
，故D 错误．
故选：AC.
题型03 作差法比较大小
【典例1】（1）已知
，比较
与
的大小．
（2）比较
与
的大小．
【答案】（1）
，（2）
【分析】（1）（2）利用作差法即可求解.
【详解】（1）
，
由于
，所以
，所以
，
故
（2）
，
因为
，即
所以
.
【变式1】互不相等的实数
满足：
且
，则下列关系成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用作差法先比较
的大小关系，再利用作差和配方法求得
的大小关系，从而得到正确选
项.
【详解】因为
，
又因为实数
互不相等，故
，即
；
又因为
，所以
，
即
，故
.
综上：
故选：D
【变式2】（多选）设
，则P，Q，R 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【详解】因为
，所以
．
因为
，
又
，所以
，所以
．
【变式3】若
，设
，则
的大小关系是
．
（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空）
【答案】＞；
【分析】利用作差法求解.
【详解】解：因为
，
所以
，
所以
，
，
则
，即
，
故答案为：＞
【变式4】（1）比较
与
的大小．
（2）已知
，
，比较
与
的大小．
【答案】（1）
；（2）
【分析】（1）作差法得出差值为负；
（2）作差并因式分解得出
即可判断正负.
【详解】（1）因为
，
所以
；
（2）
，
因为
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
．
用作差法比较两个实数大小的四步曲
题型04 作商法比较大小
【典例1】试比较下列组式子的大小：
(1)
与
，其中
；
(2)
与
，其中
，
；
(3)
与
，
．
【答案】(1)
;
(2)
;
(3)
.
【分析】(1)通过比较
与
的大小来确定
与
的大小；
(2)通过作差法来比较
的大小；
(3) 通过作差法或作商法比较
与
的大小.
【详解】（1）解：
，
，
因为
，
所以
，
即
；
（2）解：
．
因为
，
，所以
，
，
所以
，
即
；
（3）方法一（作差法）
．
因为
，所以
，
，
，
．
所以
，
所以
．
方法二（作商法） 因为
，所以
，
，
，
所以
，
所以
．
【变式1】设
，
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先配方判断
、
均大于零，然后作商即可比较大小.
【详解】
，
，
则
.
故
，当且仅当
时，取等号，
故选：D
【点睛】本题考查了作商法比较两个式子的大小，属于基础题.
【变式2】已知
，试比较
和
的大小.
【答案】
【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算
，从而可得
，进而可求解.
【详解】（方法1）因为
，所以
.
所以
.
因为
，所以
，即
；
（方法2）所以
，
又
，
所以
, 所以
.
【变式3】（1）设
，比较
与
的大小；
（2）已知
，
，
，求证：
．
【答案】（1）
；（2）证明见解析
【分析】（1）由题意得
，利用作商法即可得出答案；
（2）利用不等式的性质和作差法，即可证明结论.
【详解】（1）
，
，
，
.
（2）
，
，又
，
又
，
，
.
【变式4】（1）比较
与
的大小；
（2）已知
，试比较
和
的大小.
【答案】（1）答案见解析；（2）
.
【分析】（1）利用作差法得出
，然后对
与的大小进行分类讨论，进而
可得出
与
的大小关系；
（2）将
、
进行分子有理化，结合作商法可得出
、
的大小关系.
【详解】（1）
，
当
时，则
，则
；
当
时，则
，则
；
当
时，则
，则
；
（2）
，则
，
，
，
，
，所以，
，
因此，
.
【点睛】本题考查利用作差法和作商法比较大小，属于基础题.
题型05 不等式性质的应用
【典例1】对于任意实数
，给定下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】C
【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据不等式的性质证明C；
【详解】解：对于A：当
时，若
则
，故A 错误；
对于B：若
，
，
，
，满足
，则
，
，
不成
立，故B 错误；
对于C：若
，则
，所以
，故C 正确；
对于D：若
，
满足
，但是
，故D 错误；
故选：C
【变式1】已知
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对于选项A 根据题干用作差法比较大小，对于B，C，D 均用取特殊值验证的方法验证即可.
【详解】对于A，
，因为
，所以
，所以
即
，故选项A 正确.
对于B，
，取
，
，
，
，则
，故选项B 错误.
对于C，
，取
，
，
，
，则
，故选项C 错误.
对于D，
，取
，
，则
，故选项D 错误.
故选：A.
【变式2】下列命题中，正确的是（ ）
A．若
，
， 则
B．若
， 则
C．若
，
， 则
D．若
，则
【答案】C
【分析】根据不等式的基本性质及特殊值一一判断即可．
【详解】解：对于A：当
，
，
，
，满足
，
，但是
，故A 错
误；
对于B：当
时
，故B 错误；
对于C：由
，所以
，因为
，所以
，故C 正确；
对于D：当
，
满足
，但是
，故D 错误；
故选：C
【变式3】下列命题是真命题的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，
【答案】B
【分析】对于A、C、D 三个选项，取特殊值进行否定；
对于B：利用不等式性质中同向不等式相加进行证明.
【详解】对于A：取c=0，则
.故A 错误；
对于B：因为
，所以
.
又
，由同向不等式相加可得：
.故B 正确；
对于C：取
，符合已知条件
，而
，所以
不成立.
故C 错误；
对于D：取若
，则有
，所以
不成立.故D 错误.
故选：B
【变式4】对于实数
，下列命题正确的是（ ）
A．如果
，那么
B．如果
，那么
C．如果
，那么
D．如果
，那么
【答案】B
【分析】采用举反例的方法，可判断A，C，D，利用不等式性质可判断B.
【详解】对于A 选项：如果
，
，
，则
，但是
，故A 错误；
对于选项B：如果
，则
，根据不等式的性质：不等式两边同时加上
或减去同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则
，故B 正确；
对于选项C：如果
，
，
，
，则
，
但是
，故C 错误；
对于选项D：
，当
时，那么
，故D 错误.
故选：B
题型06 利用不等式求值或取值范围
【典例1】已知
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用整体思想，来表示所求式子，再结合不等式的性质来求解即可.
【详解】设
，则有
，
即
，解得
，
所以由
，可得
,
两同向不等式相加得：
化简得
故选：C.
【变式1】已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由不等式性质得到
，
.
【详解】
，故
，
又
，所以
故选：D
【变式2】已知
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知根据不等式的乘法性质求出
的范围，再同向相加即可得结论．
【详解】因为
，
所以
，
所以
.
故选：D.
【变式3】已知实数
满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用不等式性质得到
，得到答案.
【详解】
，又
，
故
，即
.
故选：D
【变式4】已知实数
，
满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，求出
和
，再根据不等式的性质求解即可.
【详解】设
，
则
，解得
，所以
，
因为
，所以
，
又
，所以
，即
，
所以
的取值范围是
.
故选：A.
1．已知实数
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由作差法结合不等式的性质即可判断.
【详解】不等式
，等价于
，
因为
，所以
，显然
，得出
；
，得
或
，未必
.
故选：A.
2．对于实数
，下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【分析】根据不等式性质及特殊值法判断各个选项即可.
【详解】若
，则
，A 选项错误；
若
，则
，B 选项错误；
若
，则
，C 选项错误；
若
，则
，则
，D 选项正确.
故选：D.
3．对于实数
，下列命题正确的是（ ）
A．如果
，那么
B．如果
，那么
C．如果
，那么
D．如果
，那么
【答案】D
【分析】由不等式的性质和特殊值逐个判断即可.
【详解】对于A，等
时，不成立，错误；
对于B，取
，
不成立，错误，
对于C，取
，
不成立，错误；
对于D，因为
，不等式两端同除
，可得
，正确，
故选：D
4．已知正实数
满足
，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对
分
和
两种情况讨论，当
时，
，当
时，
；由此可以
直接判断AB 选项，取特殊值排除C 选项，对D 选项，由
得
，再分
和
两种情况证明.
【详解】A 选项，当
时，
，此时
即
，
当
时，
，此时
即
，所以A 错误；
B 选项，当
时，
，
成立，
当
时，
，
，所以B 错误；
C 选项，当
时，取
，此时
，不满足
，
当
时，取
，此时
，不满足
，故C 错误；
D 选项，
等价于
，
当
时，
，
，此时
，
当
时，
，
，此时
，D 正确；
故选：D.
5．已知
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据不等式的性质求解．
【详解】因为
，又
，
，所以
的取值范围是
．
故选：C．
6．已知实数x，y 满足
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用待定系数法求得
，然后利用不等式的基本性质可求得
的取
值范围.
【详解】设
，则
，
所以，
，解得
，即
，
，则
，
因此，
.
故选：D.
7．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论
基础，当天平平衡时，由杠杆原理可推出：左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臂长与右盘物品质量的乘
积.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，其中左臂长和右臂长之比为
，一位顾客到店里购
买10 克黄金，售货员先将5 克砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 克
砝码放在天平右盘中，然后取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，最后将两次称得的黄金交给顾客，
则顾客购得的黄金质量（ ）
A．大于10 克
B．小于10 克
C．等于10 克
D．当
时，大于10 克；当
时，小于10 克
【答案】A
【分析】设天平左臂长为
，右臂长为
（不妨设
），先称得的黄金的实际质量为
，后称得的黄金
的实际质量为
.根据天平平衡，列出等式，可得
表达式，利用作差法比较
与10 的大小，即
可得答案.
【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为
，右臂长为
，
所以
，所以
，
先称得的黄金的实际质量为
，后称得的黄金的实际质量为
.
由杠杆的平衡原理：
，
．解得
，
，
则
.
下面比较
与10 的大小：
因为
，
因为
，所以
，即
，
所以这样可知称出的黄金质量大于
.
故选：A.
8．黄金不仅可以制成精美的首饰佩戴，还因其价值高，并且是一种稀少的资源，长久以来也是一种投资
工具.小李计划投资黄金，根据自身实际情况，他决定分两次进行购买，并且制定了两种不同的方案：方案
一是每次购入一定数量的黄金：方案二是每次购入一定金额的黄金.已知黄金价格并不稳定，所以他预设两
次购入的单价不同.现假设他两次购入的单价分别为
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．当且仅当
时，方案一的平均购买成本比方案二更低
B．当且仅当
时，方案二的平均购买成本比方案一更低
C．无论
的大小关系如何，方案一的平均购买成本比方案二更低
D．无论
的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低
【答案】D
【分析】根据题意，分别计算出方案一与方案二的平均购买成本，然后作差比较大小，即可判断.
【详解】方案一：设每次购入的黄金数量为
，则平均购买成本
；
方案二：设每次购入的黄金金额为
，则平均购买成本为
，
所以
，
且
，则
，即
，
无论
的大小关系如何，方案二的平均购买成本比方案一更低.
故选：D
9．（多选）下列四个命题中正确命题有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AD
【分析】由不等式的性质可判断AD，取特殊值可判断BC.
【详解】对于A，
，故A 正确；
对于B，取
，但
，不满足
， 故B 不正
确；
对于C，取
，满足
，但是
，故C 不正确；
对于D，
，故D 正确．
故选：AD.
10．（多选）已知实数a，b 满足
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据不等式的性质，判断AB，再根据凑配法，利用
和
表示
和
，再结合不等
式的性质，即可求范围.
【详解】由条件可知
，
，两式相加得
，即
，故A 正
确；
由条件可知，
，
，两式相加得
，得
，故B 正确；
设
，得
，得
，
即
，且
，
，
所以
的范围是
，故C 正确；
设
，得
，得
，
即
，且
，
，
所以
的范围是
，故C 正确；
设
，得
，得
，
即
，且
，
，
所以
的范围是
，故D 错误.
故选：ABC
11．如果
，那么
与
的大小关系是 ．
【答案】
【分析】直接由作差法即可求解.
【详解】因为
，所以
.
故答案为：
.
12．
．（填“>”“<”或“=”）
【答案】<
【分析】分母有理化后比较即可.
【详解】分母有理化有
，
显然
，所以
．
故答案为：
.
13．已知
，求
的取值范围．
【答案】
【分析】由
即可求解.
【详解】因为
，
所以
，
所以
14．（1）已知
，求证：
（2）已知
，求
的取值范围
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）利用作差法推理得证.
（2）利用待定系数法，结合不等式性质求出范围.
【详解】（1）证明：因为
，
所以
；
（2）设
，
于是
，解得
，则
，
由
，得
，因此
，即
，
所以
的取值范围是
15．为衡量房屋的采光效果，行业一般采用窗地面积比（房间窗洞口面积与该房间地面面积的比值）作为
标准，民用住宅的窗地面积比应不小于10%，且不超过50%，而且这个比值越大，采光效果越好.设某住宅
的窗洞口面积与地面面积分别为a
，b
.
(1)若这所住宅的地面面积为100
，求这所住宅的窗洞口面积的范围；
(2)若窗洞口面积和地面面积在原来的基础上都增加了x
，判断这所住宅的采光效果是否变好了，并说明
理由.
【答案】(1)
(2)变好，理由见解析
【分析】（1）依题意得出不等关系，解不等式即可得出结果；
（2）利用作差法计算比较出大小，可得结论.
【详解】（1）因为
，所以
，
解得
，
所以这所住宅的窗洞口面积的范围为
.
（2）由题意得
，
，
原来的窗地面积比为
，现在的窗地面积比为
则
.
因为
，
，所以.
，
所以
，即
.
所以窗洞口和地面同时增加了相等的面积，住宅的采光效果变好了.
