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专题2.13 双曲线的标准方程
教学目标
①掌握双曲线的定义，几何图形，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用。
②通过对双曲线标准方程的推导，提高求动点轨迹方程的能力。
③初步会按特定条件求双曲线的标准方程。
教学重难点
重点：双曲线的定义和标准方程
难点：动点的轨迹方程
知识点01 双曲线的定义
1、定义:一般地,我们把平面内与 等于非零常数(小于
)的点的轨
迹叫做 .
这两个定点叫做双曲线的 ,两焦点间的距离叫做双曲线的
2、集合语言表达式
双曲线就是下列点的集合:
.
3、说明
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点
的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于
与
的大小.
(1)若
,则
,点
的轨迹是靠近定点
的那一支;
(2)若
,则
,点
的轨迹是靠近定点
的那一支.
【即学即练】双曲线
两个焦点
，焦距为8，
为曲线上一点，
，则
（ ）
A．1
B．1 或9
C．9
D．3
知识点02 双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在
轴上
焦点在
轴上
标准方程
（
）
（
）
图象
焦点坐标
，
的关系
两种双曲线
，
（
）的相同点是:它们的形状、大小都相同,都有
,
;不同点是:两种双曲线的位置不同,它们的焦点坐标也不同.
【即学即练】已知
．若动点
满足
，则
的轨迹的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 双曲线定义的理解
【典例1】双曲线
上一点到其中一个焦点的距离为
，则这个点到另外一个焦点的距离为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知圆
，
，P 是圆C 上的动点，线段
的垂直平分线与直线
（点C 是圆C 的圆心）交于点M，则点M 的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线
【变式2】已知点P 是双曲线
：
上一点，
分别为C 的左、右焦点，若
，则
（ ）
A．5
B．13
C．5 或9
D．5 或6
【变式3】已知双曲线
的左、右焦点分别为
、
，设点
，则
的值为
．
【变式4】已知
，
是双曲线
的左右焦点，点P 在双曲线上，若
，则
.
双曲线就是下列点的集合:
.
若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点
的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于
与
的大小.
(1)若
,则
,点
的轨迹是靠近定点
的那一支;
(2)若
,则
,点
的轨迹是靠近定点
的那一支.
题型02 利用双曲线定义求方程
【典例1】方程
可化简为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知圆
：
和圆
：
，动圆
同时与圆
及圆
相外切，则动
圆的圆心
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知点
，曲线上的动点
到
的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知点
，
，动点
满足条件
.则动点
的轨迹方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知平面直角坐标系中
、
．若A 为动点且满足
，则动点
的
轨迹方程为 ．
双曲线就是下列点的集合:
.
题型03 利用双曲线定义求点到焦点距离及最值
【典例1】已知点
是双曲线
的上焦点，
是
下支上的一点，点
是圆
上一点，则
的最小值是（ ）
A．7
B．6
C．5
D．
【变式1】若双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，点
在双曲线
上，且
，则
【变式2】如果双曲线
上一点
到它的右焦点的距离是8，那么点
到它的左焦点的距离是
.
【变式3】已知双曲线
：
的左焦点为
，且
是双曲线上的一点，则
的最小值为
.
【变式4】已知双曲线
上一点
到双曲线的一个焦点的距离为3，则
到另一个焦点的距离为
．
题型04 利用双曲线定义求双曲线中线段和差最值
【典例1】已知双曲线
:
的右焦点为
，点P 在C 的右支上，且
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知点
，将函数
的图像绕原点顺时针旋转
得到曲线C，在C 上任取一点
P，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．不确定
【变式2】已知双曲线
的左焦点为
，M 为双曲线C 右支上任意一点，D 点的坐标为
，
则
的最大值为（ ）
A．3
B．1
C．
D．
【变式3】已知
是双曲线
的左焦点，
，
是双曲线右支上的动点，则
的最
小值为（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
【变式4】已知
分别是双曲线
的左、右焦点，动点P 在双曲线的左支上，点Q 为圆
上一动点，则
的最小值为（ ）
A．6
B．7
C．
D．5
题型05 判断方程是否表示双曲线
【典例1】已知
的两个顶点
的坐标分别是
，且
所在直线的斜率之积等于
，则（ ）
A．当
时，顶点
的轨迹是焦点在
轴上的椭圆，并除去
两点
B．当
时，顶点
的轨迹是焦点在
轴上的椭圆，并除去
两点
C．当
时，顶点
的轨迹是焦点在
轴上的双曲线，并除去
两点
D．当
时，顶点
的轨迹是焦点在
轴上的双曲线，并除去
两点
【变式1】（多选）平面内与两定点
，
连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨
迹，加上
，
两点所形成的曲线C 可以是（ ）
A．若
，C 是圆心在原点的圆
B．若
，C 是焦点在x 轴上的椭圆
C．若
，C 是焦点在x 轴上的椭圆
D．若
，C 是焦点在x 轴上的双曲线
【变式2】（多选）当
变化时，指出方程
表示的曲线的形状，下列说法正确
的是（ ）
A．存在实数
使得方程表示
轴
B．存在实数
使得方程表示圆
C．不存在实数
使得方程表示椭圆
D．存在实数
使得方程表示双曲线
【变式3】（多选）方程
，则下列说法正确的是（ ）
A．当
时，方程表示椭圆
B．当
时，方程表示焦点在
轴上的双曲线
C．当
时，方程表示圆
D．当
或
时，方程表示双曲线
【变式4】（多选）关于
、
的方程
表示的轨迹可以是
（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．直线
D．抛物线
题型06 求双曲线方程
【典例1】求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)与椭圆
有公共焦点，且离心率为
；
(2)经过
、
两点.
【变式1】求满足下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
，焦点在
轴上；
(2)
，经过点
，焦点在
轴上；
(3)双曲线过两点
．
【变式2】求符合下列要求的曲线的标准方程：
(1)已知椭圆的焦点在
轴，且长轴长为
，离心率为
；
(2)已知双曲线以椭圆
长轴的端点为焦点，且经过点
.
【变式3】求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
，经过点
，焦点在
轴上；
(2)与双曲线
有相同的焦点，且经过点
；
【变式4】求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)
，经过点
，焦点在
轴上；
(2)与椭圆
有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为
.
题型07 双曲线中的轨迹方程问题
【典例1】已知两圆
，
，动圆C 与圆
外切，且与圆
内切，求动
圆圆心C 的轨迹方程．
【变式1】如图，点
的坐标分别是
，直线
，
相交于点
，且它们的斜率之积是
，试求点
的轨迹方程．
【变式2】已知
，
，对于平面内一动点
，
轴于点
，且
.求点
的轨迹
的方程.
【变式3】动点
与定点
的距离和它到定直线
距离的比是常数
，求动点M 的轨迹.
【变式4】已知动点M 与两定点
，
构成
，且直线
，
的斜率之积为4，求动点
M 的轨迹方程.
题型08 双曲线中的焦点三角形问题
【典例1】已知
､
是双曲线
的两个焦点，点M 是双曲线C 上一点，且
，求
的面积.
【变式1】双曲线
的两个焦点分别是
与
，焦距为4，M 是双曲线上的一点，且
，则
的面积是 .
【变式2】已知双曲线
的左右焦点为
，点
为双曲线
上一点，若
，则
的周长是 ．
【变式3】设双曲线C：
的左焦点和右焦点分别是
，
，点P 是C 右支上的一点，则
的最小值为 ．
【变式4】已知双曲线
的上、下焦点分别是
，P 为双曲线C 上支上的动点，
．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
，求
．
①定义
②
③余弦定理
1．已知双曲线
的上、下焦点分别为
，过
的直线与双曲线
的上支交于A，B 两点，
若
，则
的周长为（ ）
A．14
B．12
C．10
D．8
2．已知方程
表示双曲线，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若双曲线
的实轴长为4，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知
是双曲线
的左、右焦点，点
在双曲线上，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．双曲线
的两个焦点分别是
、
，焦距为，
是双曲线上的一点，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．或
D．
6．已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，点
在
的右支上，且
，则
的面积为（ ）
A．
B．6
C．3
D．
7．双曲线
：
，焦距为10，左右焦点分别为
，
，M 为E 上一点满足
，则
（ ）
A．13
B．1 或13
C．10
D．4 或10
8．已知双曲线T：
的左、右焦点分别为
，
，T 上的一点P 满足
，若
的内切圆面积为
，且与y 轴相切，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
9．（多选）已知方程
表示的曲线为
.给出以下四个判断，其中正确的是（ ）
A．当
时，曲线
表示椭圆
B．当
或
时，曲线
表示双曲线
C．若曲线
表示焦点在
轴上的椭圆，则
D．若曲线
表示焦点在
轴上的双曲线，则
10．已知双曲线
（
）的左、右焦点分别为
、
．通过
且倾斜角为
的直线与双曲
线交于第一象限的点
，延长
至
使得
．若
的面积为
，则
的值为 ．
11．已知双曲线
的左、右焦点分别为
．
(1)若双曲线
与椭圆
有共同的焦点，且双曲线
过点
，求该双曲线的标准方程；
(2)若
，点
在双曲线右支上，且
，求
的面积．
12．已知定点
，定直线
，曲线
上有一动点
，过点
作直线的垂线，垂足为
，且
．
(1)求曲线
的方程；
(2)若点
在
轴的右侧，
，求
周长的最小值．
13．已知点
，
，动点
使直线
，
的斜率之积为
，其轨迹为曲线
.
(1)求曲线
的方程；
(2)已知点
，点
在曲线
上，直线
与
轴交于点
，满足
，求直线
的方程.
