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专题2.2 一元二次方程的解集及其根与系数的关系
教学目标
1.学生在初中已经掌握解一元二次方程的基础上，进一步深化对配方法的理解；
2.通过对一元二次方程实根个数的讨论，进一步深入理解分类讨论的数学思想；
3.引入换元法解一元二次方程的思想，体会数学学习过程中化繁为简解决问题的基本方法；
4.结合具体的实际应用问题，让学生借助数学抽象转化为方程求解问题进行求解运算，提升数
学抽象、数学运算的学科素养.
教学重难点
教学重点：配方法求解一元二次方程，结合配方法深化对判别式研究一元二次方程根的判别.
教学难点：对于通过换元可以化为一元二次方程的高次方程或者其他形式的方程的换元转化.
知识点01 一元二次方程的解集
一元二次方程
，其判别式Δ=b2−4ac
(1)当Δ=b2−4ac >0
时，方程的解为
，
(2)当Δ=b2−4ac=0 时，方程的解为x1=x2=−b
2a ；
(3)当Δ=b2−4ac <0 时，方程的解集为
.
【即学即练】关于x 的一元二次方程
的解为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
知识点02 一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
一元二次方程
有两个根分别是x1, x2，则：
，
，则
所以，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系
如果ax 2+bx +c=0(a≠0)的两个根分别为x1, x2，则：
，这一关系式也被称为韦达定理
.
【即学即练】若
，
分别是方程
的两个实根，试求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
题型01 一元二次方程的解
【典例1】解下列一元二次方程
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【变式1】已知
，则方程
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】方程
的解集为 .
【变式3】方程
的解集为 .
【变式4】判断下列关于
的方程（其中
为常数）的根的情况，如果方程有实数根，写出方程的实数
根．
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
一元二次方程的解法
（1）直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解；
（2）配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常
数，则可以直接开平方求解；
（3）公式法：将一元二次方程中的系数
，
，
的值代入式子
中求解；
（4）因式分解法：通过移项将等式右边变成0，再因式分解，令每个因式为0 即可求解。
题型02 一元二次方程的根的个数
【典例1】判别下列方程根的情况．若有两个实数根，求出两个根的和与积．
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
．
【变式1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数.
（1）2x2－3x＋1＝0；
（2）4y2＋9＝12y；
（3）5(x2＋3)－6x＝0.
【变式2】已知关于
的一元二次方程
．
(1)若方程有一根为
，求
的值及另一根的值；
(2)若方程有两个不等实根，求实数
的取值范围；
(3)若方程有两个相等实根，求实数
的值及此时方程的根．
【变式3】已知关于
的一元二次方程
，根据下列条件，分别求出
的范围：
（1）方程有两个不相等的实数根；
（2）方程有两个相等的实数根；
（3）方程有实数根；
（4）方程无实数根．
一元二次方程根的个数问题
(1)只有当方程是一元二次方程时，才能利用根的判别式确定字母的取值范围．
(2)对于一元二次方程
，其根的判别式为Δ=b2−4ac .
①“方程有两个不相等的实根”的充要条件是“Δ=b2−4ac >0 ”；
②“方程有两个相等的实根”的充要条件是“Δ=b2−4ac=0 ”；
③“方程有两个实根”的充要条件是“Δ=b2−4ac≥0 ”；
④“方程没有实根”的充要条件是“Δ=b2−4ac <0 ”．
题型03 利用根与系数的关系计算
【典例1】若
、
分别是一元二次方程
的两根，求下列代数式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
【变式1】已知关于
的一元二次方程
.
(1)若方程有实数根，求实数
的取值范围；
(2)若方程有两实根
，
，且满足
，求实数
的值.
【变式2】已知
是方程
的两个不相等的实根，求值：
(1)
(2)
(3)
【变式3】已知方程
的两个根为
、
，求下列各式的值：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
.
【变式4】已知
，
是方程
的两个实数根，且
．
(1)求k 的取值．
(2)求
的值．
【方法技巧与总结】
1.根与系数的关系
在求含有一元二次方程两根的代数式的值时，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作
用．在计算时，要先根据原方程求出两根之和与两根之积，再将代数式变形为局部含有两根之和与两根之
积的形式，然后代入求值．
如果ax 2+bx +c=0(a≠0)的两个根分别为x1, x2，则：
，这一关系式也被称为韦达定理.
2.应用一元二次方程的根与系数的关系时，常有以下变形：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
题型04 应用根与系数的关系求字母系数的值或范围
【典例1】已知
是关于方程
的两个根，且
都大于1．若
，求实数
的值．
【变式1】已知一元二次方程
的两实根为
、
，且
．求实数m 的值．
【变式2】已知
、
是关于
的方程
的两个实数根，根据下列条件，分别求出
的值：
(1)
；
(2)
．
【变式3】已知一元二次方程
的两实根为
、
，且
，求实数
的值.
【变式4】关于
的方程
有两个实数根．
(1)若
，且方程的两根为
和
，求
的值．
(2)若方程两根的平方和为11，求实数
的值．
题型05 实根分布问题
【典例1】关于
的方程
满足下列条件，求
的取值范围．
(1)有两个正根；
(2)一个根大于，一个根小于；
(3)一个根在
内，另一个根在
内；
(4)一个根小于
，一个根大于
；
【变式1】若方程
的两根满足一正一负，求出实数
的取值范围．
【变式2】已知
，
是方程
的两根，不解方程，求下列各式的值：
(1)
；（用含a 的代数式表示）
(2)写出一个“该方程有一个正根和一个负根”的充分不必要条件．
【变式3】已知关于x 的一元二次方程
.
(1)若上述方程无正数根，求实数k 的取值范围；
(2)若上述方程的两根都是正数，求实数k 的取值范围；
(3)若上述方程的两根恰有一个是正数，且k 为整数，如果有直接写出实数k 的取值，如果不存在说明理由.
【变式4】已知关于
的一元二次方程
.
(1)当
时，设方程的两个实根分别为
，求代数式
的值；
(2)若该方程有两个异号实根，求实数
的取值范围.
1．设
是关于
的一元二次方程
的两个不同实数根，则
的值是（ ）
A．
B．4
C．7
D．
2．若
是方程
的两个根，则
的值为（ ）
A．
B．1
C．6
D．
3．若
，
是方程
的两个实数根，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知关于x 的一元二次方程
有两个实数根
，
，若
，则m 的值为（ ）．
A．1
B．
C．2
D．
5．已知关于x 的一元二次方程
，则下列关于该方程根的判断，错误的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．两根互为相反数
C．两根异号
D．实数根的个数与实数b 的取值无关
6．已知关于
的一元二次方程
，则下列判断中不正确的是（ ）
A．若方程有一根为1，则
B．若
异号，则方程必有解
C．若
，则方程两根互为相反数
D．若
，则方程有一根为0
7．已知关于x 的一元二次方程
的两实数根为
，且满足
，则
的值为
（ ）
A．
B．6
C．4 或
D．
或6
8．如果关于
的一元二次方程
（
均为常数，
）有两个实数根，且其中一个根
比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．若一元二次方程
（
均为常数）为
“邻根方程”，下列选项符合
满足的数量关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（多选）已知关于x 的一元二次方程
，下列说法正确的是( )
A．二次项系数是1，一次项系数是9
B．二次项系数是1，常数项是9
C．方程只有一个实数根
D．若
，
是该方程的两个根，则
．
10．（多选）关于
的方程
有两个不相等的实数根
，
，则下列结论一定正确
的是（ ）
A．
，
B．
C．
D．当
时，
11．若关于
的方程
的两根分别是
，
，则
的值为 ．
12．已知关于
的一定二次方程
，有两个实数根
．设
则
的最大值为
13．已知关于
的一元二次方程
（
为常数）．
(1)当
时，该方程根的判别式
_____；
(2)求证：无论
取何值，方程总有两个不相等的实数根；
(3)若该方程有两个实数根
，且
，求
的值．
14．已知关于
的一元二次方程
．
(1)求证：无论
取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2)如果方程的两个实数根为
，求
的值．
15．已知关于x 的一元二次方程
．
(1)判断方程根的情况，并说明理由；
(2)若方程的一个根为6，求m 的值和方程的另一个根．
16．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x 的一元二次方程
（a≠0）的两个
实数根为x1，x2，则
，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定
理”．例：已知一元二次方程
的两个实数根分别为m，n，求
的值．
解：∵一元二次方程
的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则
．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
(1)一元二次方程
的两根为
，
，则：
____，
_____；
(2)一元二次方程
的两个根为
，
，求
的值；
(3)若
，
是关于x 的方程
的两个实数根且
，求m 的值．
