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2.1 等式的性质与不等式的性质
1. 一元一次方程、一元二次方程的解法；2. 一元二次方程根的判别式；3.一元二次方程根与系数的关系；
4. 用不等式表示不等关系；5. 比较数或式子的大小；6.利用不等式性质判断；7. 不等式的证明；8. 利
用不等式的性质求值或取值范围
一、单选题
1．（2021·浙江湖州·高一期中）设集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
集合 ， ，所以选项A错误， ，所以选项B正确，
A, ，所以选项C，D错误.
故选：B
2．（2021·浙江高一期中）已知集合 ， ，那么 =( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为 ， ，
所以 ，
故选：C
3．（2021·浙江高一单元测试）已知 ， ，则 和 的大小关系为
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】
s﹣t=a+b2+1﹣a﹣2b=b2﹣2b+1=（b﹣1）2≥0，
故有 s≥t，
故选D．
4．（2021·武汉外国语学校高一月考）下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， 则 D．若 ，则
【答案】C
【解析】
对于A，取 时， ，则A错误；
对于B，取 时， ，则B错误；
对于C，因为 ，所以由不等式的性质可知 ，则C正确；
对于D，取 时， ，则D错误；
故选：C
5．（2021·全国高三课时练习（理））若 ， ，则一定有
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
，，
．
故选： ．
6．（2021·全国高一课时练习）已知 ，那么 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由 ，则 ，所以 ，所以 ，故选C.
7．（2021·浙江高一单元测试）若 ， ，则 的值可能是（ ）．
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【解析】
， ， ．
故选：C.
8．（2021·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）若 ，则下列不等式不能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
选项A：由于 ，即 ， ，所以 ，所以 ，所以成立；
选项B：由于 ，即 ，所以 ，所以 ，所以不成立；
选项C：由于 ，所以 ，所以 ，所以成立；选项D：由于 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以成立.
故选：B.
9．（2021·浙江高一课时练习）设 ，则 的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
， ， ， ，
.又 ，故 ．综上可得： ．
故选： .
10．（2021·安徽金安·六安一中高一期中（文））已知二次函数 的图象过原点，且
，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
二次函数 的图像过原点，
设二次函数为： ，
， ，
……①， ……②，
则3①+6②得： 即 ，
故选：B.
二、多选题11．（2021·山东济南·高一期末）若 , ,则下列不等式成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】
对A,因为 , ,故 ,故A错误.
对B,因为 , ,故 ,故 ,故B正确.
对C,取 易得 ,故C错误.
对D,因为 为增函数,故D正确.
故选：BD
12．（2021·江苏省天一中学高一期中）对于实数 ，下列说法正确的是( )
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】ABC
【解析】
A.在 三边同时除以 得 ，故A正确；
B.由 及 得 ，故B正确；
C.由 知 且 ，则 ，故C正确；
D.若 ，则 ， ，
，故D错误.故选：ABC.
13．（2021·福建高一期末）（多选题）下列命题为真命题的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 且 ，则
【答案】BCD
【解析】
选项A：当 时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B: ，所以本命题是真命题；
选项C: ，所以本命题是真命题；
选项D: ，所以本命题是真命题，所以本题
选BCD.
14．（2021·湖南雁峰·衡阳市八中高二期中）已知 ， ，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
A中， ，又 ，
所以根据不等式的性质可得 ，故A正确；
B中， ， ，故B错误；C中， ， ，故C正确；
D中， ，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
15．（2021·全国高一）已知a，b，x均为正数，且a＞b，则 ____ （填“＞”、“＜”或
“＝”）．
【答案】<
【解析】
由题得 ，
因为a>0,x+a>0,b-a<0,x>0,
所以
所以 .
故答案为＜
16．（2021·浙江高一课时练习）设 ，且满足 ， ，则
的大小关系为_______．
【答案】 ．
【解析】
因为 ，所以 ．
又因为 ，所以 ，所以 ，
综上可得， ．
17．（2021·浙江高一课时练习）若 ， ，则在① ，② ，③ ，
④ ，⑤ 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是_______.
【答案】②④
【解析】
令 ，则 ，故①错误；
令 ，则： ，故③错误；
令 ，则： ，故⑤错误；
由于 ， ，根据不等式的性质可知 ，故②正确；
由于 ， ，则 ，根据不等式的性质可知 ，故④正确.
故答案为：②④
四、双空题
18．（2021·全国高一课时练习）关于 的一元一次不等式组 中两个不等式的解集在同一数轴
上的表示如图所示，则该不等式组的解集是_______， 的值为_______.
【答案】 2
【解析】解 得 ，解 得 .
由题图知这个不等式组的解集是 ，且 ， .
故答案为 ； 2
19．（2021·湖北高三月考（文））张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心
果、腰果、核桃，价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元千克，为增加销量，张军对这
四种干果进行促销:一次购买干果的总价达到150元，顾客就少付x(2x∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功
后，张军会得到支付款的80%.
①若顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付180元，则x=________；
②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_____.
【答案】
【解析】
①顾客一次购买松子和腰果各1千克，需要支付 元，则 .
②设顾客一次购买干果的总价为 元，当 时，张军每笔订单得到的金额显然不低于促销前总
价的七折.当 时， .即 对 恒成立，则 ， ，
又 ,所以 .
20．（2021·上海）（1）“ 且 ”是“ 且 ”的________条件；（2）“
且 ”是“ 且 ”的________条件.
【答案】充要 充分非必要
【解析】
（1）根据不等式性质可得“ 且 ” “ 且 ”，
所以“ 且 ”是“ 且 ”的充分条件；
“ 且 ” “ 且 ”，所以“ 且 ”是“ 且 ”的必要条件.
所以“ 且 ”是“ 且 ”的充要条件.
（2）根据不等式性质可得“ 且 ” “ 且 ”，
所以“ 且 ”是“ 且 ”的充分条件；
例如： 满足“ 且 ”，但是不满足“ 且 ”.
“ 且 ”不能推出“ 且 ”.
所以“ 且 ”是“ 且 ”的非必要条件.
所以“ 且 ”是“ 且 ”的充分非必要条件.
故答案为：充要；充分非必要.
21．（2021·全国高一课时练习）已知 ，则 的取值范围为_______， 的取
值范围为_________.
【答案】
【解析】
∵ ，
∴ .
又∵ ，∴ .
由 ，得 ，即 .
故答案为：(1) (2) .五、解答题
22．（2021·全国高一课时练习）如果 ， ，证明： .
【答案】证明见解析.
【解析】
证明：由 ， ，则 ，
又 , ，则 ，又 ，故 .
23．（2021·全国高一课时练习）已知 ， ，求证： .
【答案】证明见解析.
【解析】
，
因为 ， ，所以 ， ，
故 ，即证： .
24．（2021·全国高一课时练习）已知a，b均为正实数，试利用作差法比较 与 的大小.
【答案】
【解析】
∵
.
又a，b均为正实数，
当 时， ；
当 时， ，
则 .综上所述， .
25．（2021·浙江高一单元测试）当 都为正数且 时，试比较代数式 与
的大小．
【答案】
【解析】
因为 ，所以
因此
因为 为正数，所以
因此 ，当且仅当 时等号成立
26．（2021·浙江高一课时练习）甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速度为a，另
一半时间的速度为b；乙车一半路程的速度为a，另一半路程的速度为b．若 ，试判断哪辆车先到达
B地．
【答案】甲先到达B地．
【解析】
设 两地间的路程为s，甲、乙两辆车所用的时间分别为 ，则 ， ．
方法一 因为 ，即 ，所以甲先
到达B地．
方法二 ，因为 ，所以 ，从而 ，即 ，所以甲先到达B地．
27．（2021·全国高一课时练习）比较下列各组中两个代数式的大小：（1） 与 ；
（2）当 ， 且 时， 与 .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
（1） ，
因此， ；
（2） .
①当 时，即 ， 时， ， ；
②当 时，即 ， 时， ， .
综上所述，当 ， 且 时， .
