文档内容
2024 年中考第三次模拟考试（浙江卷）
数学·参考答案
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A A C A B B C C D C
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．
12．
13．
14．2
15．
16． 10 /
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题6分）
（1）计算： ；
（2）解不等式组： ．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】本题考查了整式的混合运算以及解不等式组，正确掌握相关运算法则是解题的关键．（1）先根据完全平方公式以及单项式乘多项式法则进行展开，再合并同类项，即可作答；
（2）先分别解出每个不等式，再取它们的公共部分解集，即可作答．
【详解】解：（1）原式 ．························3分
（2）
解①式得 ，
解②式得 ，
．·······················6分
18．（本小题6分）
已知关于 的一元二次方程 有实数根．
(1)求 的取值范围；
(2)方程的两个实数根 ， 满足 ，求实数 的值．
【答案】(1) 且
(2)
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．根的判别式，熟记相关结论即可．
（1）一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 ；有两个相等的实数根，
则 ；没有实数根，则 ．据此即可求解．
（2）若一元二次方程 的两个根为 ，则 ．
【详解】（1）解：由题意得： 且
解得： 且 ·······················3分
（2）解：由题意得：
∵ ，∴ ，·······················4分
解得： （舍）
经检验， 是原方程的解
∴ ·······················6分
19．（本小题8分）
某校推出四种校本课程：A．象棋，B．数学游戏，C．击剑，D．趣味编程，学生可在中小学课后服务系
统选择自己心仪的选修课程，为了解学生最喜欢哪一项校本课程，随机抽取了部分学生进行调查，并将调
查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
(1)①这次被调查的学生共有_______人，②在扇形统计图中“C”对应的圆心角的度数为_______；
(2)在平时的“趣味编程”的课堂学习中，甲、乙、丙三人表现优秀，现决定从这三名同学中任选两名参加
趣味编程大赛，用树状图或列表法求出恰好同时选中甲、乙两位同学的概率．
【答案】(1)①200；②
(2)
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率：
（1）①用B项目的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；②先求出C项目的人数，再用360
度乘以C项目的人数占比即可得到答案．
（2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到同时选中甲、乙两位同学的结果数，最后利用概率计算
公式求解即可．
【详解】（1）解：① 人，
∴这次被调查的学生共有200人，故答案为：200；·······················2分
②C项目的人数为 人，
∴在扇形统计图中“C”对应的圆心角的度数为 ，
故答案为； ；·······················4分
（2）解：设分别用A、B、C表示甲、乙、丙三人，列表如下：
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中选中甲、乙两位同学的结果数有2种，
∴选中甲、乙两位同学的概率为 ．·······················8分
20．（本小题8分）
如图，点 在反比例函数 的图象上，点 在反比例函数 的图象上， 轴，
．
（1）若点 的坐标为 ，则 的值是 ．
（2）若点 在反比例函数 的图象上，点 在反比例函数 的图象上 ，
， 与 之间的距离为1，则 的值是 ．
【答案】 6或
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是解题的关键．
（1）先根据题意求出A，B两点的坐标，进而求出a，b的值，计算结果即可．（2）分情况讨论，利用反比例函数k的几何意义得出 的表达式，即可求出答案．
【详解】解：（1）∵点 的坐标为 ， 轴， ，
∴点 的坐标为 ，
，
故答案为： ·······················3分
（2）解：当 在x轴上方时，如图所示，
设 ，
∴ ，
， ，
∵ 与 之间的距离为1，
∴
∴
．·······················5分
当 在x轴下方时，如图所示，设 ，
∴ ，
， ，
∵ 与 之间的距离为1，
∴
∴
．·······················7分
综上所述， 或 ，
故答案为6或 ·······················8分
21．（本小题10分）
如图，在 中， ， 的面积为36，动点P从A点出发，以1个单位长度的速度
沿线段 向终点D运动，同时动点Q从点B出发以3个单位长度的速度在 间往返运动，当点P到达
点D时，动点P、Q同时停止运动，连结 ．设运动时间为t秒．
（1）则 和 之间的距离为 ；
（2）当 平分 的面积时，求t的值；【答案】 4 或 或
【分析】本题考查平行四边形的性质，中心对称：
（1）由平行四边形的面积公式即可求解；
（2）由平行四边形的性质，中心对称的性质得到 ，分三种情况讨论即可解决问题．
【详解】解：（1）设 和 之间的距离为h，
∵ 的面积为36，
∴ ，
∴ ，
∴ 和 之间的距离为4．
故答案为：4．·······················2分
（2）如图，连接 交 于点O，
∵ 平分 的面积， 是中心对称图形，
∴ 经过 的中心，即 ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ；·······················4分
当 时，
∵ ，∴ ，
∴ ；·······················6分
当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ．·······················8分
∴当 平分 的面积时， 或 或 ．
故答案为： 或 或 ．·······················10分
22．（本小题10分）
根据以下素材，探索完成任务．
如何设计采购方案？
素
为了迎接9月末至10月初在杭州举行的第19届亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣
材
已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元．
1
素
材 小明在该店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣共花费130元．
2
素 已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进
材 行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在该店同时购买吉祥物钥匙扣和明
3 信片两种商品若干件，本次交易商家-共获得600元的销售额．其中售出吉祥物钥匙扣不少于15个．
问题解决
任
假设明信片的售价为x元/套，钥匙扣的售价为y元/个，请协助解决右 问： _______（用含 的
务
边问题． 代数式表示）
1
任
基于任务1的假设和索材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信
务
片的售价．
2
【拟定设计方案】
任
务
请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买
3
方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高．【答案】任务1： ；任务2：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元；任务3：购买吉
祥物钥匙扣15个，明信片24套商家获利最高．
【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题．
任务1：根据一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，得 ；
任务2：根据小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣与共花费130元，得 ，可
解得答案；
任务3：设购买吉祥物钥匙扣m个，明信片n张，得： ，由 是非负整数，可求出
的值，再计算每种方案商家的利润，比较可得答案．
【详解】解：任务1：
一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，
．
故答案为： ．······················2分
任务2：
由素材2，得 ，
解得 ，······················4分
（元），······················6分
答：吉祥物钥匙扣的售价为30元，明信片的售价为10元．
任务3：
设购买吉祥物钥匙扣 个，明信片 套，
根据题意，得 ，
．······················7分
是非负整数， ，
吉祥物钥匙扣每件利润为 （元），明信片每套利润为 （元），
购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套，商家获利 元；
购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套，商家获利 元；
购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套，商家获利 元；
购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套商家获利最高．······················10分23．（本小题12分）
已知二次函数 的图象过点 ．
(1)求二次函数的表达式．
(2)若 和 都是二次函数图象上的点，且 ，求 的最小值．
(3)若点 和 都在二次函数的图象上，且 ． 对于某一个实数 ，若 的最小值为
1，则 的最大值为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)2
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，掌握二次函数
的性质是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据图象上点的坐标特征得出 ，由 可知 ，即可求得
，利用二次函数的性质即可求得最小值；
（3）由题意可知当点 和 在对称轴的同侧时 的值最小，当点 和 在异
侧是 的值最大，据此求解即可．
【详解】（1）解： 二次函数 的图象过点 ，
，
，
二次函数的表达式为 ；······················3分
（2）解： ， 和 ， 都是二次函数图象上的点，， ，
，
，
，
，
，
的最小值是 ；······················6分
（3）解： 抛物线 ，
图象开口向上，对称轴为直线 ，
点 和 都在二次函数的图象上，且 ．对于某一个实数 ，若 的最小值为1，
点 和 在对称轴的右侧，此时 ，则 ，
①， ②，
② ①得 ，
，
此时点 ， 和 ， ，······················8分
当点 是点 ， 的对称点时，则 的值最大，对称轴为直线 ，
点 ， 的对称点为 ， ，
此时 ，······················10分
的最大值为： ．······················12分
24．（本小题12分）
如图 ， 为 外接圆，点 、 分别为 、 中点，连结 、 、 ， 分别与 、
交于点 、 ．已知 ．
(1)求证： ．
(2)如图2，连结 交 于点 ，连结 交 于点 ，连结 、 ．若 ，求证：
是等边三角形．
(3)在（2）的基础上，若 ，
①求DN的长；
②求 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)① ，② ．
【分析】本题考查了圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由 分别为 、 中点， ，由圆周角定理可得 ，进而得
到 即可求证；
（2）过 点作 于点 ，先证明 ，得到 ，即可求证；
（3）①过 点作 于点 ，由三角函数得到 ，再证明 ，根据勾股
定理可得 ，再由 即可求解；
②由 可得 设 则 ，即可求解．
【详解】（1）证明：如图：
∵ 分别为 、 中点，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．······················3分
（2）证明：∵ 分别为 、 中点，
，
∴ ， ，∴
∴ ，
∵
∴
∴ 是等边三角形······················5分
（3）解：∵ ，
∴ 为等边三角形，
过 点作 于点 ，如图：
∵ ，
∴
∴
∴ ，······················6分
由（1）知， ， ，
∴ ，
∴ 即
∴ ，······················7分
，
；······················9分， ，
∴ 为等边三角形，
又∵ 为等边三角形，
∴ ，
∴ ，
······················10分
设 则 ，
，
，
，
∴ ．······················12分
