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专题3.3 组合与组合数
教学目标
1.理解组合与组合数的概念，正确认识排列与组合的区别与联系。
2.会推导组合数公式，并组合数公式进行计算 。
3.能解决有限制的组合问题，掌握常见的类型与解题策略。
4.能解决简单的排列、组合的综合问题。
教学重难点
1.重点
（1）组合与组合数的概念，正确区分排列与组合的区别与联系；
（2）能解决简单的排列与组合的计算以及排列与组合的综合问题；
2.难点
（1）有限制的组合问题；
（2）分组分配问题与涂色问题。
知识点01 组合数公式的推导：
从4 个不同元素, , ,
a b c d 中取出3 个元素的组合数
3
4
C 是多少呢？
启发：由于排列是先 再 ，而从4 个不同元素中取出3 个元素的排列数 可
以求得，故我们可以考察一下
3
4
C 和
3
4
A 的关系，如下：
组 合 排列
dcb
cdb
bdc
dbc
cbd
bcd
bcd
dca
cda
adc
dac
cad
acd
acd
dba
bda
adb
dab
bad
abd
abd
cba
bca
acb
cab
bac
abc
abc
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
由此可知,每一个组合都对应着6 个不同的排列，因此，求从4 个不同元素中取出3 个元素的排列数
3
4
A ，可以分如下两步：① 考虑从4 个不同元素中取出3 个元素的组合，共有
3
4
C 个；② 对每一个组合的
3 个不同元素进行全排列，各有
3
3
A 种方法．由分步计数原理得：
3
4
A ＝
3
4
C
3
3
A ，所以，
3
3
3
4
3
4
A
A
C
．
知识点02 组合数公式的推广：
一般地，求从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数
m
n
A ，可以分如下两步：
① 先求从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数
m
n
C
；
② 求每一个组合中m 个元素全排列数
m
m
A ，根据分步计数原理得：
m
n
A ＝
m
n
C
m
m
A
．
知识点03 组合数公式：
(
1)(
2)
(
1)
!
m
m
n
n
m
m
A
n n
n
n
m
C
A
m
或
)!
(!
!
m
n
m
n
C m
n
)
,
,
(
n
m
N
m
n
且
奎屯
王新敞
新疆
规定:
0 1
n
C
.
知识点04 定位、定元的排列问题：
一般都是对某个或某些元素加以限制，被限制的元素通常称为特殊元素，被限制的位置称为特殊位置．
这一类问题通常以三种途径考虑：
（1）以元素为主考虑，这时，一般先解决特殊元素的排法问题，即先满足特殊元素，再安排其他元
素；
（2）以位置为主考虑，这时，一般先解决特殊位置的排法问题，即先满足特殊位置，再考虑其他位
置；
（3）用间接法解题，先不考虑限制条件，计算出排列总数，再减去不符合要求的排列数．
知识点05 相邻问题：
解决相邻问题的方法是“ ”，其模型为将n 个不同元素排成一排，其中某k 个元素排在
相邻位置上，求不同排法种数的方法是：先将这k 个元素“捆绑在一起”，看成一个整体，当作一个元素
同其他元素一起排列，共有
种排法；然后再将“捆绑”在一起的元素“内部”进行排列，共有
种
排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法共有
种．
知识点06 不相邻问题：
6、解决不相邻问题的方法为“ ”，其模型为将
个不同元素排成一排，其中某
个元素
互不相邻（
），求不同排法种数的方法是：先将（
）个元素排成一排，共有
种排法；
然后把
个元素插入
个空隙中，共有
种排法．根据分步乘法计数原理可知，符合条件的排法
共有
·
种．
题型01 组合数的化简及简单计算
【典例1】．（24-25 高二下·重庆·期中）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】．已知
，则
的值是（ ）
A．9
B．7
C．9 或
D．8
【变式2】．（24-25 高二下·广东惠州·期中）（多选题）下列结论正确的是（ ）
A．若
，则正整数
的值是
B．
C．
D．
【变式4】．（23-24 高二上·江西新余·期末）已知
，则
（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
题型02 代数中的组合问题
【典例2】．（2025·四川绵阳·模拟预测）将3 个2 和2 个1 随机排成一行，则2 个1 不相邻的概率为（
）
A．
B．
C．
D．
【变式1】．从2，3，5，7，11 这5 个素数中，随机选取两个不同的数，其积为偶数的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】．（24-25 高二下·吉林长春·阶段练习）若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上
的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360、253 等都是“凸数”．用0，1，2，3，4，5 这五个数字组
成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为 ．（用数字作答）
【变式3】．（24-25 高二下·江苏·期末）已知
，
，且
．则满足条件的集合
共有 个．
题型03 几何中的组合问题
【典例3】．（2025·安徽·模拟预测）在三棱锥的顶点和各棱中点中取
个不共面的点，不同的取法共有
（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【变式1】．（24-25 高二下·河南南阳·期中）观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10 条直线相交，
交点的个数最多是（ ）
A．40 个
B．45 个
C．50 个
D．55 个
【变式2】．（23-24 高二下·四川眉山·期末）一个直四棱柱的底面为梯形，这个四棱柱的每两个顶点相连
形成多条直线，这些直线最多能组成（ ）对异面直线
A．174
B．180
C．210
D．368
【变式3】．（24-25 高二下·广东广州·期末）以平行六面体的顶点为顶点的四面体的个数为（ ）
A．70
B．64
C．58
D．24
题型04 分组分配问题
【典例4】．（24-25 高二下·福建泉州·期末）为了提高人们的环保意识，让所有人都能为保护环境出一份
力，学校安排A，B，C，D 4 名学生去甲、乙、丙三个社区宣讲，每个学生去且只去一个社区，每个社区
至少有1 名学生，其中学生A 不能去甲社区，则不同安排方式的总数是（ ）
A．20
B．24
C．32
D．36
【变式1】．（24-25 高三下·山西大同·期末）在全国人口普查过程中，甲、乙、丙、丁四位普查员要去
A、B、C 三个小区进行数据采集，若甲普查员不能去A 小区，且每个小区至少去一名普查员，每人只能去
一个小区．则不同的安排方法共有（ ）
A．24 种
B．36 种
C．6 种
D．12 种
【变式2】．（25-26 高三上·上海·阶段练习）某校安排甲，乙，丙，丁共4 位教师分别去高一，高二，高
三三个年级任教，其中每个年级至少安排一位教师，若甲，乙不去高三年级但能去其他两个年级，丙，丁
都能去三个年级，则不同的安排方案的种数为 ．（用数字作答）
【变式3】．（25-26 高三上·广东·阶段练习）为了表扬三位乐于助人的同学，班主任购买了4 个价钱相同
的礼盒全部分给这3 名同学，若购买的4 个礼盒仅有2 个相同，按一人2 个礼盒，另两人各1 个礼盒进行
分配，共有 种分法.（用数字作答）
题型05 x+y+z=n 的整数问题
【典例5】．方程
的非负整数解的个数为 .
【变式1】．（2024·湖北·二模）已知
，且
，
，
，则方程
的解的组
数为 .
【变式2】．（24-25 高二下·青海西宁·期末）已知方程
，若x，y，z 均为正整数，则称
为该方程的正整数解.则方程
共有（ ）个正整数解.
A．171
B．190
C．342
D．380
【变式3】．（24-25 高二下·湖北·期中）已知
元一次方程
（
，
，
，
）的正整数解的个数为
，则方程
满足
（
）的整数解的个数为
（ ）
A．35
B．56
C．84
D．120
题型06 其它排列与组合的综合问题
【典例6】．埃及金字塔之谜是人类史上最大的谜，它的神奇远远超过了人类的想象.在埃及金字塔内有一
组神秘的数字142857，因为
，…，所以这组数
字又叫“走马灯数”.该组数字还有如下发现：
，…，若从这
组神秘数字中任选3 个数字构成一个三位数x，剩下的三个数字构成另一个三位数y，
，将所有
可能的三位数x 按从小到大依次排序，则第12 个三位数x 为（ ）
A．214
B．215
C．248
D．284
【变式1】．（24-25 高二上·重庆沙坪坝·期中）将4 个相同的白球、5 个相同的黑球放入4 个不同盒子中
的3 个中，使得有1 个空盒且其他3 个盒子中球的颜色齐全的不同放法共有 种．用数字作答
一、单选题
1．（24-25 高二上·福建宁德·期末）若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·山东临沂·一模）将1 到30 这30 个正整数分成甲乙两组，每组各
､
15 个数，使得甲组的中位数
比乙组的中位数小2，则不同的分组方法数是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高二上·江西·阶段练习）北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记
载，它们组成的图形像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判
断季节的依据之一.如图，用点
，
，
，
，
，
，
表示某一时期的北斗七星，其中
，
，
，
看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为（ ）
A．4
B．13
C．15
D．16
4．（2025·江西南昌·模拟预测）四面体的顶点和各棱的中点共10 个点．在这10 点中取4 个不共面的点，
则不同的取法种数为（ ）
A．141
B．144
C．150
D．155
6．已知
，
，
，则关于
，
，
的方程
共有（ ）组不同的解.
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高三上·云南临沧·开学考试）为了提升数学素养，甲、乙、丙等五名同学打算选修学校开设的
数学拓展课程，现有几何画板、数学与生活、趣味数学、数独四门课程可供选修，每名同学均需选修且只
能选修其中一门课程，每门课程至少有一名同学选修，则甲不选修几何画板，且数独只能由乙和丙中一人
或两人选修的情况的种数为（ ）
A．48
B．50
C．52
D．54
8．（24-25 高二下·湖北·期末）某校将开展三项不同的社会实践活动，现招募了5 名学生志愿者参与.要求
每个活动项目至少安排1 名志愿者，至多安排2 名志愿者.已知学生甲和乙是好朋友，须一起参与同一个活
动项目，那么不同的人员分配方案共有（ ）种?
A．18
B．24
C．30
D．36
9．（24-25 高二下·重庆·期中）如图，在某城市中，M，N 两地之间有整齐的方格形道路网，其中
，
，
，
是道路网中位于一条对角线上的4 个交汇处.今在道路网M，N 处的甲、乙两人分别要到N，M 处，
他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M 处为止，则甲、乙两
人相遇的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2023·山东潍坊·一模）过去的一年，我国载人航天事业突飞猛进，其中航天员选拔是载人航天事业
发展中的重要一环.已知航天员选拔时要接受特殊环境的耐受性测试，主要包括前庭功能、超重耐力、失重
飞行、飞行跳伞、着陆冲击五项.若这五项测试每天进行一项，连续5 天完成.且前庭功能和失重飞行须安排
在相邻两天测试，超重耐力和失重飞行不能安排在相邻两天测试，则选拔测试的安排方案有（ ）
A．24 种
B．36 种
C．48 种
D．60 种
二、多选题
11．（24-25 高二下·广东江门·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．
B．
（
，
为正整数且
）
C．
D．满足方程
的
值可能为
或
或
或
三、填空题
12．（2025·江西·二模）为吸引顾客，某大型超市开业期间租了含甲、乙在内的五个迎宾机器人，现将这
五个机器人分别分配到一、二、三楼担任迎宾工作，若要求每个楼层至少分配一个机器人，一个机器人只
能去一个楼层，且机器人甲、乙不在同一个楼层，则不同的分配方法种数为 .(用数字作答)
13．已知集合
，则A 中的元素的个数为 .
14．（25-26 高二上·全国·期末）基础学科对于一个国家科技发展至关重要，是提高核心竞争力，保持战略
领先的关键，其中数学学科尤为重要．某双一流大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了《九章算
术》《古今数学思想》《数学原理》《世界数学通史》《算术研究》五门选修课程，要求数学系每位同学
每学年至多选三门，至少选一门，且已选过的课程不能再选，大一到大三三学年必须将五门选修课程选完，
则每位同学的不同选修方式种数为 ．
15．（24-25 高二下·河北邯郸·期末）已知小张、小王等6 名同学需要到甲、乙、丙、丁4 个单位去实习，
要求每名同学只去一个单位实习，每个单位都有学生参加实习，则在小张去丁单位实习的前提下，小王不
去丁单位实习的概率为 .
16．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）如图是某城区的街道平面网格，它由24 个全等的小正方形构成，
每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家
居住在街道网格的M 处，她的工作单位在街道网格的N 处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上
班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有 种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，
途中要先到达街道P 处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有 种最短路径的走法．
17．设集合A 是由所有满足下面条件的有序实数组
构成的：每一个元素
等于0、1、
中
之一，其中
，2，3，4，5.那么集合A 中满足条件“
”的元素个数为 .
