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专题3.1 基本计数原理
教学目标
1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．
2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．
教学重难点
1.重点
（1）分类加法计数原理；
（2）分部乘法计数原理；
（3）分类加法计数原理与分步乘法计数原理的综合应用。
2.难点
（1）数字排列问题；
（2）涂色问题。
知识点01 分类加法计数原理
完成一件事，有
类办法，在第1 类办法中有
种不同的办法，在第2 类办法中有
种不同的方法，
…，在第
类办法中有
种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法．
知识点02 分布乘法计数原理
完成一件事，需要分成
个步骤，做第1 步有
种不同的方法，做第2 步有
种不同的方法，…，做
第
步有
种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法．
注意：两个原理及其区别
分类加法计数原理和“分类”有关，如果完成某件事情有
类办法，这
类办法之间是互斥的，那么
求完成这件事情的方法总数时，就用分类加法计数原理．
分步乘法计数原理和“分步”有关，是针对“分步完成”的问题．如果完成某件事情有
个步骤，而
且这几个步骤缺一不可，且互不影响（独立），当且仅当依次完成这
个步骤后，这件事情才算完成，那
么求完成这件事情的方法总数时，就用分步乘法计数原理．
当然，在解决实际问题时，并不一定是单一应用分类计数原理或分步计数原理，有时可能同时用到两
个计数原理．即分类时，每类的方法可能运用分步完成；而分步后，每步的方法数可能会采取分类的思想
求方法数．对于同一问题，我们可以从不同的角度去处理，从而得到不同的解法（但方法数相同），这也
是检验排列组合问题的很好方法．
知识点03 两个计数原理的综合应用
完成一件事，有
类办法，在第1 类办法中有
种不同的办法，在第2 类办法中有
种不同的方法，
…，在第
类办法中有
种不同的方法，那么完成这件事共有：
种不同的方法．
题型01 分类加法计数原理的应用
【典例1】.（24-25 高二下·江苏南京·期末）将各位数字之和为6 的三位数叫“幸运数”，比如123，402，
则所有“幸运数”的个数为（ ）
A．19
B．20
C．21
D．22
【变式1】.（24-25 高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某同学从
个球类项目和
个田径类项目中选个项目
参加，则不同的选择方案共有（ ）
A．
种
B．种
C．
种
D．
种
【变式2】．（25-26 高二上·全国·课前预习）完成一件事，如果有
类办法，且：第一类办法中有
种不
同的方法，第二类办法中有
种不同的方法……第
类办法中有
种不同的方法，那么完成这件事共有
种不同的方法．
【变式3】．（24-25 高二下·河南·期末）一个三位数的百位、十位、个位上的数字依次为
．三位数
中，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，134 等）．若
，且
互不相同，则这个三位数为“有缘数”共 个．
题型02 分布乘法计数原理的应用
【典例2】.（2025 高二·全国·专题练习）甲、乙、丙、丁四人各写一张贺卡，先将贺卡集中起来，然后每
人从中拿一张别人写的贺卡，则不同的分配方式有（ ） 种.
A．
B．
C．
D．
【变式1】．（24-25 高二下·山东威海·期末）用0，1，2，3，4 可组成无重复数字的三位奇数的个数为（
）
A．48
B．36
C．24
D．18
【变式2】．（2025 高三·全国·专题练习）将27，37，47，48，55，71，75 这7 个数排成一列，使任意连
续4 个数的和为3 的倍数，则这样的排列有 种．
【变式3】．（24-25 高二下·福建福州·期末）春节期间，甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《哪吒之魔
童闹海》、《唐探1900》、《熊出没·重启未来》及《蛟龙行动》四部电影中任选一部，则不同的选法有
种．
题型03 两个原理的综合应用
【典例3】．（24-25 高二下·福建三明·期中）某校开展社团活动，其中有知识性社团诗词赏析，趣味数学
等6 个社团，有活动类社团木工、种植等4 个社团，甲乙两人按顺序依次选择一社团参加，不得重复.乙选
择活动类社团参加的概率为 ．
【变式1】．随着外地返乡人员的增加，当前防疫形势愈加严峻，射洪已经发现了多起新冠阳性病人.射洪
中学计划下周星期一、二、三，连续三天对我校在校师生进行核酸检测.高三数学组有金老师、赵老师、谭
老师、黄老师四人主动申请参与信息采集.每人自行选择其中的某一天参与，但金老师和谭老师不能在同一
天参加，则不同的安排方式有 .（用数字作答）
【变式2】．（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定
点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，
每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，
则不同的安排方法共有（ ）
A．12 种
B．14 种
C．7 种
D．9 种
【变式3】．为了纪念我国成功举办北京冬奥会，中国邮政发行《北京举办2022 年冬奥会成功纪念》邮票，
图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物
“雪容融”及“志愿者标志”，现将一套5 枚邮票任取3 枚，要求取出的邮票既含会徽邮票又含吉祥物邮
票，则不同的取法种数为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．18
题型04 代数中的计数问题
【典例4】．（23-24 高二下·广东广州·期末）
有（ ）个不同的正因数
A．8
B．10
C．12
D．15
【变式1】．（24-25 高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知
，且
，则所有满足条件的数对
的个数为（ ）
A．12
B．13
C．20
D．24
【变式2】．（24-25 高二下·河南商丘·期末）已知x，y，z 均为正整数，且
，则满足方程
的解有 组.
【变式3】．（23-24 高二下·北京顺义·期中）哥德巴赫猜想描述为：任何不小于4 的偶数，都可以写成两
个质数之和.（质数是指在大于1 的自然数中，除了1 和它本身以外不再有其他因数的自然数）.在不超过
17 的质数中，随机选取两个不同的数，其和为奇数取法有 种.
题型05 几何中的计数问题
【典例5】．从正方体的6 个面中选取3 个面，其中有2 个面不相邻的选法共有（ ）.
A．20 种
B．16 种
C．12 种
D．8 种
【变式1】．在直角坐标系
中，已知
三边所在直线的方程分别为
，则
内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A．95
B．91
C．88
D．75
【变式2】．圆周上有
个等分点
，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 ．
【变式3】．（24-25 高二上·全国·课后作业）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相
同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中
有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到
正八边形，从该正八边形的8 个顶点中任意取出4 个构成四边形，其中梯形的个数为 ．
题型06 数字排列问题
【典例6】．（24-25 高二上·辽宁·期末）用数字
，，
，，
组成的没有重复数字的三位数且是偶数
的个数为（ ）
A．60
B．30
C．36
D．21
【变式1】．（23-24 高二下·北京延庆·期中）由数字，
，，
构成的三位数有（ ）
A．
个
B．个
C．
个
D．
个
【变式2】．（2025·河南·模拟预测）用，
，，…，这个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶
数的个数为 ．
【变式3】．（24-25 高二上·上海·期末）用0，1，2，3 四个数字组成的没有重复数字的四位数中，偶数的
个数是
题型07 涂色问题
【典例7】．（24-25 高二下·云南临沧·阶段练习）用
种不同颜色的粉笔写黑板报，板报设计如图所示，
要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔，则该板报共有 种不同的书写方案．
【变式1】．（2025·江苏南京·二模）英国数学家弗朗西斯·格思里提出四色猜想（四色定理）：任何平面
或球面上的地图只需不超过四种颜色即可实现相邻区域颜色不同.该猜想于1976 年由阿佩尔和哈肯借助计
算机完成证明.如图，一个地区分为6 个行政区域，现给地图上的行政区域涂色（注：人工湖不需要涂色），
要求：每个区域涂1 种颜色，相邻区域不同色.现有红、黄、蓝、绿4 种颜色可供选择，则不同的涂色方法
有 种（用数字作答）.
【变式2】．（23-24 高二下·安徽池州·期中）如图为我国数学家赵爽（约3 世纪初）在为《周髀算经》作
注时验证勾股定理的示意图，现在提供5 种颜色给其中5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相
邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．120
B．26
C．340
D．420
【变式3】．（23-24 高三下·重庆·开学考试）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，
F 涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ）
A．120
B．72
C．48
D．24
题型08 其它计数模型
【典例1】．寒假里5 名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排
五个
座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐
法有 种.
【变式1】．已知集合
，
，
，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标
系中的点的坐标，则确定不同点的坐标个数为 ．
一、单选题
1．（24-25 高二下·福建福州·期末）某天小丁要从福州出发去厦门，已知当天的飞机有5 班，动车有12 趟，
高铁有10 个车次，则小丁当天出行的方案共有（ ）
A．12 种
B．27 种
C．120 种
D．600 种
2．（25-26 高二上·广东江门·阶段练习）集合
，从
中各任意取一个数，构成一个
两位数，则所有样本点的个数为（ ）
A．12
B．11
C．8
D．6
3．如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有
，
，
，
，
五个水闸，若上游有充足的
水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
4．（2024·陕西西安·三模）方程
的非负整数解的组数为（ ）
A．40
B．28
C．22
D．12
5．（24-25 高二上·北京西城·期末）从数字
中，可重复地取出3 个数字，组成各位数字之和等于6
的三位数，这样的三位数的个数为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
6．（24-25 高二上·河南南阳·阶段练习）用红、黄、蓝等6 种颜色给如图所示的五连圆涂色，要求相邻两
个圆所涂颜色不能相同，且红色至少要涂两个圆，则不同的涂色方案种数为（ ）
A．25
B．630
C．605
D．580
二、填空题
7．（24-25 高二下·安徽·阶段练习）已知有4 名工人分别在4 个不同的岗位，现根据需要进行轮岗调整，则
至少有3 名工人岗位变动的轮岗方式种数有 .
8．（24-25 高二下·陕西咸阳·期末）如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重
复，则不同的参观路线共有 种．
9．（24-25 高二下·四川广元·期中）1800 有 个不同的正因数．
10．用数字
，，
，，
，，
，
组成没有重复数字且至多有一位数字是偶数的四位个数，那么这
样的四位数一共有 个.
11．（24-25 高二下·安徽·阶段练习）某学校为培养学生的动手能力、合作能力和环保意识，在新的学期建
立了一块劳动基地（形状如图），并进行花卉种植活动．现有4 种不同的花卉，在基地的5 个区域种植，
只要求相邻区域种植不同的花卉，则不同的种植方法共有 种．
12．（2025 高三·全国·专题练习）在
共13 个数中挑出
个数，使得这
个数中
任意两个的差都不是5 或8，则
的最大值是 ．(用数字作答)
13．已知有红绿黄蓝4 个不同颜色的球及红绿黄蓝4 个不同颜色的盒子,现在在每个盒子里放一个球,并且确
保4 个盒子与盒子里的球的颜色都不相同,则不同的放法有 种.
