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专题4.2.1 随机变量及其与事件的联系&专题4.2.2 离散型随
机变量的分布列
教学目标
1．准确理解随机变量、离散型随机变量的定义，能结合简单实例识别离散型随机变
量；
2．熟练掌握离散型随机变量分布列的概念，牢记并理解其概率非负、总和为1 的核心
性质；
3．理解两点分布的定义与特征，明确成功概率的含义，能规范写出两点分布的分布
列。
教学重难点
重点：离散型随机变量分布列的概念、核心性质及基础应用；两点分布的结构特点、
分布列形式及成功概率的定义。
难点：结合具体试验场景，准确判断随机变量是否为离散型随机变量；灵活运用分布
列的性质，解决概率补充、分布列验证等相关问题。
知识点01 随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母
，…表示．
离散型随机变量：所有取值可以一一______的随机变量，称为离散型随机变量
【即学即练】
1．（多选）将一个骰子掷两次，能作为随机变量的是（ ）
A．两次掷出的点数之和
B．两次掷出的最大点数
C．第一次与第二次掷出的点数之差
D．两次掷出的点数
2．某人进行投篮训练，最多投篮4 次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为
，则
表示的试验结
果是（ ）
A．第2 次投篮命中
B．第3 次投篮未命中
C．前3 次投篮均未命中
D．前2 次投篮均未命中，第3 次投篮命中
知识点02 离散型随机变量分布列的概念及性质
①离散型随机变量的分布列的概念
设离散型随机变量X 可能取的不同值为
，
，…，
，X 取每一个值
(
)的概率
，则下表称为随机变量X 的概率分布，简称为X 的分布列.
X
…
…
P
…
…
有时也用等式
表示X 的分布列．
②离散型随机变量的分布列的性质
（1）
(i＝1，2，…，n)；（2）
______．
【即学即练】
1．若随机变量X 的分布列为：
0
1
2
0.3
0.5
则
（ ）
A．0.1
B．0.2
C．0.3
D．0.4
2．某班有学生45 人，其中O 型血的有10 人，A 型血的有12 人，B 型血的有8 人，AB 型血的有15 人.现
从中抽取1 人，其血型为随机变量
，求
的分布列.
知识点03 两点分布的分布列
______
若随机变量
的分布列为两点分布列,就称
服从两点分布或
分布,并称
为成功概率.
【即学即练】
1．已知随机变量
服从
分布，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知随机变量
服从两点分布，
，则
.
题型01 （离散型）随机变量的辨析
【例1】判断下列各个量，指出其中哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)北京国际机场候机厅中，2030 年4 月1 日的旅客数量；
(2)体积为
的球的半径；
(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品所获得的奖次．
【例2】下列是离散型随机变量的是（ ）
A．种子含水量的测量误差
B．某品牌电视机的使用寿命
C．某网页在24 小时内被浏览的次数
D．测量某一零件的长度产生的测量误差
【变式1-1】（多选）下列随机变量中属于离散型随机变量的是（ ）
A．高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数X
B．测量一个年级所有学生的体重，在
范围内的体重记为X
C．测量全校所有同学的身高，在
范围内的人数记为X
D．某电子元件的寿命X
【变式1-2】甲进行次射击，记甲击中目标的次数为
，则
的可能取值为 .
【变式1-3】指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由.
(1)从10 张已编好号码的卡片（1 号到10 号）中任取一张，被取出的卡片的号数；
(2)一个袋中装有5 个白球和5 个黑球，从中任取3 个，其中所含白球和黑球的个数；
(3)某林场的树木最高达30m，则此林场中树木的高度；
(4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差.
题型02 分布列的性质
【例3】已知离散型随机变量
的分布列如表所示，则常数为（ ）
0
1
A．
B．
C．
或
D．
【例4】设x，
，已知随机变量的分布列如下，
0
1
2
P
x
y
x
则
的最小值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【变式2-1】已知随机变量X 的分布列如下表所示，则
（ ）
X
1
2
3
4
P
0.1
m
0.3
0.2
A．
B．
C．
D．
【变式2-2】已知离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
P
0.36
则常数
．
【变式2-3】已知离散型随机变量X 的 分布列如下表：若离散型随机变量
，则
X
0
1
2
3
P
a
5a
题型03 利用分布列求概率
【例5】设离散型随机变量X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.2
0.4
0.3
0.1
若随机变量
，则
（ ）
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
【例6】若随机变量
的分布列为
，则
．
【变式3-1】若随机变量
的分布如下表：
1
2
3
P
0.2
0.1
2m
0.25
m
则
的值为（ ）
A．0.3
B．0.4
C．0.55
D．0.85
【变式3-2】某位射箭运动员命中目标的环数
的分布列为：
6
7
8
9
10
0.05
0.15
0.25
0.35
0.20
如果命中9 环或10 环为优秀，那么他一次射击成绩为优秀的概率是（ ）
A．0.55
B．0.45
C．0.35
D．0.20
【变式3-3】已知随机变量X 的概率分布规律为
，其中a 为常数，则
．
题型04 两个相关离散随机变量的分布列问题
【例7】设离散型随机变量X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求随机变量
的分布列．
【例8】设离散型随机变量
的分布列如下表，若随机变量
，则
.
【变式4-1】已知X 的分布列为：
X
0
1
P
a
若随机变量
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4-2】已知离散型随机变量
的分布列
，
.令
，则
.
【变式4-3】设离散型随机变量X 的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求
的分布列．
题型05 两点分布
【例9】已知随机变量
，
均服从两点分布，且
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例10】已知随机变量
服从两点分布，且
，设
，则
＝（ ）
A．0.72
B．0.28
C．0.16
D．0.84
【变式5-1】随机变量
服从两点分布，其分布列如下表所示：
0
1
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【变式5-2】设随机变量
服从两点分布，若
，则
（ ）
A．0.7
B．0.75
C．0.3
D．0.25
【变式5-3】已知随机变量
服从两点分布，且
，令
，则
．
题型06 求离散型随机变量的分布列
【例11】一个不透明的口袋中装有3 个红球､3 个黄球和2 个白球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这
个口袋中一次性地摸出3 个球.
(1)求摸出的白球个数比黄球个数多的概率；
(2)记摸出的球的颜色种类为
，求
的分布列.
【例12】袋中有大小形状相同的5 个球，其中3 个红色，2 个黄色．
(1)两人依次不放回各摸一个球，求第一个人摸出红球，且第二个人摸出黄球的概率；
(2)甲从中随机且不放回地摸球，每次摸1 个，当两种颜色的球都被摸到时即停止摸球，记随机变量
为此
时已摸球的次数，求：①
的值；②随机变量
的分布列．
【变式6-1】一袋子中有大小相同的10 个小球，其中有3 个白球，7 个黑球．现从中依次摸出2 个球，记摸
到白球的个数为X．若采用不放回摸球，求X 的分布列．
【变式6-2】某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计，
新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．某新生通过考核选拔进入“摄影”“棋类”“国
学”三个社团的概率依次为m，
，n，三个社团他都能进入的概率为
，至少能进入一个社团的概率为
，且
．
(1)求m 与n 的值；
(2)该校规定，对进入“摄影”社的学生增加校本选修学分1 分，对进入“棋类”社的学生增加校本选修学
分2 分，对进入“国学”社的学生增加校本选修学分3 分，求该新生在社团方面获得校本选修学分的分布
列．
【变式6-3】甲、乙、丙三名乒乓球选手进行单打对抗比赛，每两人比赛一场，共赛三场，每场比赛胜者
得3 分，负者得0 分．在每一场比赛中，甲胜乙的概率为
，丙胜甲的概率为
，乙胜丙的概率为
，且
各场比赛结果互不影响．甲获得第一名且乙获得第三名的概率为
．
(1)求
的值；
(2)设在该次对抗比赛中，丙的得分为
，求
的分布列．
一、单选题
1．某人进行投篮训练，最多投篮4 次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为
，则
表示的试验结
果是（ ）
A．第4 次投篮命中
B．第4 次投篮未命中
C．前3 次投篮均未命中
D．投篮命中4 次
2．设离散型随机变量
的分布列为下表，若随机变量
，则
（ ）
0
1
2
3
0.1
0.6
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
3．若
服从两点分布，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知盒中有6 个灯泡，其中4 个正品，2 个次品．从中取出2 个正品，每次取出1 个，取出后不放回，
直到取出2 个正品为止．设X 为取出的次数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知随机变量
均服从两点分布，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设
为实数，若随机变量
的分布列为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若离散型随机变量X 的分布列为
，则
的值为
（ ）.
A．
B．
C．
D．
二、多选题
8．（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（ ）
A．从10 张已编好号码的卡片(从1 号到10 号)中任取一张，被取出的卡片的号数
B．一个袋中装有5 个白球和5 个黑球，从中任取3 个，其中所含白球的个数
C．某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度
D．某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差
9．已知离散型随机变量X 的分布列为
X
2
4
6
8
P
a
则（ ）
A．
B．
C．
D．
10．一批产品有
的次品，现从中随机抽样（不放回），直到抽出1 件次品为止，令
表示直到抽出一
件次品时已经抽出的产品个数，且
的概率分布由下列公式给出：
，
，则下
列说法正确的是（ ）
A．
B．
表示前四次抽到正品，第五次抽到次品的概率
C．
表示第三次抽到次品的概率
D．
三、填空题
11．一个木箱中装有6 个大小相同的篮球，编号分别为1，2，3，4，5，6，现随机抽取3 个篮球，以
表
示取出的篮球的最大号码，则
所有可能的取值为 ，其中
表示的试验结果有 种．
12．已知随机变量X 的分布列如下表所示，其中a 是常数，则
．
1
2
3
…
50
…
13．已知集合
，从集合
中任取3 个不同的元素，其中最小的元素用
表示，
从集合
中任取3 个不同的元素，其中最大的元素用
表示，记
，则
为
四、解答题
14．写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10 个，白球5 个，从袋中每次任取1 个球，取后不放回，直到取出的球是白球为
止，所需要的取球次数；
(2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6 的6 张卡片中任取2 张，所取卡片上的数字之和．
15．已知随机变量X 的分布列为
X
1
2
3
4
5
6
P
求随机变量
的分布列．
16．若盒中装有同一型号的灯泡共9 只，其中有6 只合格品，3 只次品．某工人师傅用该盒中的灯泡去更
换会议室的一只坏灯泡，每次从中取一只灯泡，若是合格品则用它更换坏灯泡，若是次品则将其报废（不
再放回原盒中），求成功更换会议室的坏灯泡前取出的次品灯泡数X 的分布列．
