文档文本内容
2026 年高考一轮复习检测卷（全国一卷01）
高三数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．若复数z 满足
（其中i 是虚数单位），则（ ）
A．
的实部是2
B．
的虚部是
C．
D．
【答案】D
【详解】因为复数
满足
，
所以
.
因为复数
的实部是1，故A 错误；
因为复数
的虚部是2，故B 错误；
因为复数
，故C 错误；
因为复数
，故D 正确.
故选：D
2．
已知集合
，集合
，则下列各选项中属于
的元素是（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】D
【详解】由
可得：
则
，
所以
，
则
，
，
，
.
故选：D.
3．已知双曲线
的离心率为
，则双曲线
的焦点到渐近线的距离为（ ）
A．
B．2
C．4
D．
【答案】A
【详解】由双曲线
的离心率为
，
可得
，解得
，即双曲线
，
则双曲线
的右焦点为
，其中一条渐近线方程为
，即
，
所以双曲线
的焦点到渐近线的距离为
.
故选：A.
4．已知函数
的部分图象如图所示，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题图可知
相邻对称轴间的距离为
，可得
，
因此
，
，
当
时，
，
，故
，
．
由
可得
，
由函数的最大值为3 可得
，因此
，
由
，得
，
∴
．
故选：A．
5．已知函数
的定义域为
，函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．10
【答案】A
【详解】由
的图象向右平移3 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，可得函数
的图象，
因为函数
是奇函数，
即该函数图象关于
中心对称，
所以函数
的图象关于
中心对称，
所以
，
因此
，
，
，
所以
，
故选：A.
6．已知边长为1 的正方形
，动点P 在以点A 为圆心且与
相切的圆上.若
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【详解】以点
为坐标原点，建立如图平面直角坐标系，
则
，
，以
为圆心与
相切的圆的半径为
，
设
，则
，由
，
，则
，
，当且仅当
时，取等号，
所以
的最大值为1.
故选：B.
7．已知圆
和
，动圆
与圆
均相切，
是
的内
心，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【详解】圆
圆心
，半径
，圆
圆心
，半
径
，
由
，得
，是圆
内含于圆
，设圆M 的半径为r，
由P 为
的内心，设内切圆的半径为
，由
，
得
，整理得
，
当动圆M 内切于圆
，与圆
外切（
），则
，
，则
，
，因此a＝17；
当动圆M 内切于圆
，圆
内切于动圆M 时，则
，
，则
，
，得a＝19
所以a＝17 或19.
故选：C．
8．已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，
则
，
令
，得
，
所以在
上
，
单调递增，在
上
，单调递减，
所以
，
所以
，即
，
所以
，即
，
因为
，
所以
，即
所以
．
故选：C．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．如图所示，
为圆锥
的底面圆的直径，
为母线
的中点，点
为底面圆上异于
的任一点，
则圆
上存在点
满足（ ）
A．
B．
平面
C．
D．
平面
【答案】BC
【详解】对于A，若存在点
使得
，则
四点共面，
因为
，所以
平面
，易得
为平面
与平面
的公共点，所以
三点共
线，与题设矛盾，故A 错误；
对于B，如图所示，
过点
作
，交劣弧
于点
，连接
.
由于
分别为
的中点，所以
，
由于
平面
平面
，所以
平面
，
平面
，
又因为
，所以平面
平面
，由于
平面
，所以
平面
，故B
正确；
对于C，由
为底面圆的直径，可知
，
又
，所以
，
又易知
，
，
平面
，
因此
平面
，
平面
，可得
，故C 正确；
对于D，假设存在点
使
平面
，则
，
又因为
平面
，所以
平面
，
故平面
与平面
平行，与题意不符，故D 错误，
故选：BC.
10．已知
为平面直角坐标系的原点，抛物线
的焦点到准线距离为2，过抛物线的焦点
的直
线与抛物线交于
两点，则（ ）
A．当
与
轴垂直时，
B．
是钝角
C．设
点的横坐标为
，
点的横坐标为
，则
D．延长
与准线交于
，则
【答案】BCD
【详解】由抛物线
的焦点到准线距离为2 可得：
，
过抛物线的焦点
的直线与抛物线交于
两点，当
与
轴垂直时，
由焦点坐标为
，把
代入抛物线方程
得
，
此时
，所以
，故A 错误；
当斜率存在时，设过抛物线的焦点
的直线方程为
，与抛物线
，
联立消
得：
，
又设交点
，则
，当直线斜率不存在时，
，
而
，故C 正确，
再由
，
又因为点
不在直线
上，所以
是钝角，故B 正确；
由直线
方程为：
，与准线
的交点纵坐标为：
，
又因为
，所以纵坐标为：
，
又因为
，所以纵坐标为：
，即
,故D 正确；
故选：BCD.
11．已知
的内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
边上的高为，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A，
，由
，得
，由正弦定理得
，而
，因此
，A 正确；
对于B，由
及正弦定理得
，
即
，则
，即
，又
，
因此
，又
，则
，
，B 正确；
对于C，若
，则
，由正弦定理得
，由选项B 知，
，而
解得
，即
，矛盾，C 错误；
对于D，由选项A 知，
，而
，
则
，整理得
，
而
，因此
，又
，则
，
，D 正确.故选：ABD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．已知函数
，则
在点
处的切线方程为 ．
【答案】
【详解】由题可知：
，所以
.
则切线方程为：
.
故答案为：
13．
已知1，m，n 是公比不为1 的等比数列，将1，m，n 调整顺序后可构成一个等差数列，则满
足条件的一组m，n 的值依次为 .
【答案】
，（或
）（两组任写一组即可）
【详解】依题意可知
，即
；
若顺序调整为
，即
，
联立
，解得
，此时公比为1，不合题意，舍去；
若顺序调整为
或
，即
，
联立
，解得
或
（舍去）；
若顺序调整为
或
，即
，
联立
，解得
或
（舍去）；
综上可得，m，n 的值依次可以为
或
.
故答案为：
（或
）（两组任写一组即可）
14．2025 年五四青年节，某高中学校为了表彰工作认真负责，业务能力强的优秀团员干部，学校给高中三
个年级共分配9 个优秀团员干部名额，每个年级至少一个名额.从所有可能的分配方案中随机选择一种，用
表示这三个年级中分配的最少名额数，则
的数学期望
.
【答案】
/
【详解】若三个年级人数分别为
，则
，又每个年级至少一个名额，
所以，相当于9 个球分成3 份，且每份至少有一个球，即用2 个隔板插入8 个空，则有
种，
由题意
，则
，且各年级人数为
，
其中
的情况有
一种情况，即
，
的情况有
、
、
、
、
、
、
、
、
九种情
况，即
，所以
，
综上，
.
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）为了了解高中学生课后自主学习数学时间（x 分钟/每天）和他们的数学成绩（y 分）的关系，
某实验小组做了调查，得到一些数据如下表：
编号
1
2
3
4
5
x
10
20
30
40
50
y
70
80
100
120
130
(1)若该组数据中y 与x 之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求y 关于x 的回归直线方程．（参考数据：
）
(2)基于上述调查，某校提倡学生课后自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了160 位学生．按照参与
课后自主学习与成绩进步情况得到如下2×2 列联表：
成绩没有进步
成绩有进步
合计
参与课后自主学习
5
135
140
未参与课后自主学习
5
15
20
合计
10
150
160
依据
的独立性检验，分析“课后自主学习与成绩进步”是否有关．
附：回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
，其中
．
0.1
0.05
0.01
0.00
0.001
5
2.70
6
3.84
1
6.63
5
7.87
9
10.82
8
【详解】（1）由题意有
，....................2 分
，
，...........................................................................................5 分
所以
，
，
所以
；............................................................................................................................................8 分
（2）由题意有
，..................................................................11 分
所以在犯错概率不超过
的前提下，认为“课后自主学习与成绩进步”有关.................................13 分
16．（15 分）已知
为等差数列，
记
分别为数列
的前
项和，
．
(1)求
的通项公式；
(2)对任意
，将数列
中落入区间
内项的个数记为
，求数列
的前
项和
．
【详解】（1）设等差数列
的首项为
，公差为
．
因为
，
所以
.............................................3 分
因为
，
所以
，...........................................................................6 分
整理得
，解得
，
所以
的通项公式为
．................................................................................................................8 分
（2）对
，若
，则
，
因此
，
，
故得
，.............................................................................................................12 分
于是
．.................................................15 分
17．（15 分）如图，四棱锥
中，
是以AD 为斜边的等腰直角三角形，
，
，
，E 为PD 的中点.
(1)证明：
平面PAB；
(2)求直线CE 与平面PAB 间的距离.
【详解】（1）若
为
的中点，连接
，E 为PD 的中点，则
且
，.....2 分
由
，
，则
且
，故
为平行四边形，
所以
，.................................................................................................................................................4 分
平面
，
平面
，故
平面
；..........................................................................6 分
（2）由（1）知直线CE 与平面PAB 间的距离，即为点E 与平面PAB 间的距离
，
由
，
，
，取
的中点
，连接
，
所以四边形
为矩形，
，
由
是以AD 为斜边的等腰直角三角形，
，
，
由
，
且都在平面
内，则
平面
，
由
，则
平面
，
平面
，则平面
平面
，.............................9 分
以
为原点构建空间直角坐标系
，则
，
由
平面
，
平面
，则
，
在
中
，则
，
由
，所以
，可得
，....................................................11 分
所以
，
，则
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，则
，取
，则
，...13 分
所以
，
所以直线CE 与平面PAB 间的距离为
......................................................................................................15 分
18（17 分）已知椭圆
过点
，右焦点
．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设直线
与椭圆E 交于P，A 两点，过点
作
轴，垂足为点C，直线
交椭
圆E 于另一点B．
（i）证明：
．
（ⅱ）求
面积的最大值．
【详解】（1）由题意椭圆右焦点
可得
，
过点
可得
，由
整理得
，得
，........................3 分
所以
，椭圆
的方程为
．...................................................................................................4 分
（2）(i)证明：
直线
与椭圆
交于
，
两点，设P 为第一象限点，
，
轴，
如图，
点
的坐标为
，点
的坐标为
，
设
，则有
，
，
两式相减得：
，.............................................................................................................7 分
又
，
，
，
又
，
，
又
，
，因此，
．........................................................................10 分
(ii)解：由对称性不妨设
，
在第一象限，
由
与椭圆联立得
，
所以
，则
．.........................................................................12 分
设直线
与
倾斜角分别为
，则
，
所以
，
由(i)，
，..........................................................14 分
令
，则
，
当
时
，当
时
，
即
在
上单调递增，在
上单调递减，因此
，
即
的最大值为
．..................................................................................................................................17 分
19．已知函数：
．
(1)若当
时，
恒成立；求实数a 的取值范围；
(2)若关于x 的方程
有两个不同实数根
；且
，
（i）求实数a 的取值范围；
（ii）求证：
．
【详解】（1）若当
时，
恒成立，
即
恒成立，即
在
上恒成立，.......................................................................................2 分
令
，则
所以当
时，
单调递增，
当
时
单调递减，
所以
，所以
，即a 的取值范围是
．....................................................5 分
（2）（i）若关于x 的方程
有两个不同实数根
，
即
有两个不同实数根
，
等价于
与
的图象有两个交点，...................................................................................7 分
因为
，
所以当
和
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
且当
时，
，当
时，
，
所以
，作出函数
的图象：....................................................................10 分
所以直线
与
的图象有两个交点的a 的取值范围是
．..................................12 分
（ii）由（i）知，
，由（1）知，
因为
，所以
，
设
的根为
，即
，所以
，
从而
，所以
，...........................................................15 分
令
，则
，
所以当
时，
单调递增，
从而
，从而
．................................................17 分
