2026 年高考数学一轮复习检测卷01（举一反三）（全国通用）
（考试时间：120 分钟；满分：150 分）
注意事项：
1.本试卷分第I 卷(选择题)和第
卷
Ⅱ
(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第
卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
Ⅱ
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（2025·全国·模拟预测）已知z =i
2−i ，则z的虚部为（ ）
A．1
3
B．2
5
C．−1
5
D．1
5
【答案】B
【解题思路】先由复数乘除运算法则化简复数z，进而可得其虚部.
【解答过程】z =i
2−i =i (2+i )
(2−i )(2+i ) =2i +i
2
4−i
2 =−1+2i
5
=−1
5 +2
5 i ，得其虚部为2
5.
故选：B.
2．（5 分）（2024·全国·模拟预测）已知集合A ={a,a
2)，B ={1,4)，若1∈A，则A ∪B中所有元素之和
为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】C
【解题思路】由1∈A，求出a=1或a=−1，再分类讨论由集合的互异性可求出A ∪B ={−1,1,4)，即可
得出答案.
【解答过程】由1∈A得a=1或a
2=1，解得：a=1或a=−1，
若a=1，则a
2=1，不符合题意；
若a=−1，A ={−1,1)，从而A ∪B ={−1,1,4)，
所以A ∪B中所有元素之和为4.
故选：C.
3．（5 分）（2025·北京海淀·三模）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴
上，一条渐近线的方程为2 x−y =0，则它的离心率为（ ）
A．❑√5
B．
❑√5
2
C．❑√3
D．2
【答案】B
【解题思路】根据题意，得到b
a =1
2，结合e =c
a =
❑√1+( b
a )
2
，即可求解.
【解答过程】因为双曲线的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，一条渐近线的方程为2 x−y =0，
可得a
b =2，即b
a =1
2，所以双曲线的离心率为e =c
a =
❑√1+( b
a )
2
=
❑√5
2
.
故选：B.
4．（5 分）（2025·云南昆明·模拟预测）下列函数的周期不是3π 的为（ ）
A．y =sin 2 x
3
B．y =cos(
π
4 −2 x
3 )
C．y =sin(
x
3 +π
6 )
D．y =tan x
3
【答案】C
【解题思路】根据正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性求解即可.
【解答过程】对于y =sin 2 x
3 ，最小正周期为
2π
2
3
=3π
，故A 不符合题意；
对于y =cos(π
4 −2 x
3 )，最小正周期为
2π
| −2
3 |
=3π
，故B 不符合题意；
对于y =sin( x
3 +π
6 )，最小正周期为
2π
1
3
=6π
，故C 符合题意；
对于y =tan x
3 ，最小正周期为
π
1
3
=3π
，故D 不符合题意．
故选：C．
5．（5 分）（2025·广东惠州·模拟预测）已知函数f (x)的定义域为R，f (x +2)为偶函数，f (x +1)为奇函
数，则（ ）
A．f(−1
2)=0
B．f (−1)=0
C．f (2)=0
D．f (4)=0
【答案】B
【解题思路】根据题意可推出函数f (x)的周期，结合赋值法可确定f (−1)=0，判断B，其余选项结合赋
值，无法确定，即可判断正确.
【解答过程】因为函数f (x +2)为偶函数，则f (2+x)=f (2−x)，可得f (x +3)=f (1−x)，
因为函数f (x +1)为奇函数，则f (1−x)=−f (x +1)，
所以f (x +3)=−f (x +1)，即得f (x +2)=−f (x)，
即f (x +4)=f (x)，故函数f (x)是以4 为周期的周期函数，
对于f (1−x)=−f (x +1)，令x =0，则f (1)=−f (1)⇒f (1)=0，
对于f (x +2)=−f (x)，令x =−1，则f (−1)=−f (1)=0，B 正确；
由题意可知f(−1
2)=−f(
3
2)=−f(
5
2)，无法推出f(−1
2)=0，A 错误，
又f (2)=−f (0)，f (4)=f (0)，而f (0)是否为0 不确定，故CD 错误，
故选：B.
6．（5 分）（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，在矩形ABCD中，E为边BC的中点，F为边CD上
靠近点D的三等分点，G为EF的中点，记⃗AG =λ⃗AB+μ⃗AD，则λ+μ=（ ）
A．17
12
B．13
12
C．7
12
D．5
12
【答案】A
【解题思路】根据向量线性运算可得AG
→
=2
3 AB
→
+3
4 AD
→
，计算即可求解.
【解答过程】由题意可得AF
→
=1
3 AB
→
+AD
→
，AE
→
=AB
→
+1
2 AD
→
，
因为G为EF的中点，
所以AG
→
=1
2 AF
→
+1
2 AE
→
=1
2 AD
→
+1
6 AB
→
+1
4 AD
→
+1
2 AB
→
=2
3 AB
→
+3
4 AD
→
，
则λ=2
3 , μ=3
4
，所以λ+μ=2
3 +3
4 =17
12
.
故选：A.
7．（5 分）（2025·四川·三模）已知圆C : x
2+y
2−2 x +4 y −20=0上恰有两个点到直线
l: x +y +m=0(m>0)的距离为2，则m 的取值范围是（ ）
A．(3 ❑√2,7 ❑√2)
B．(3 ❑√2+1,7 ❑√2+1)
C．(2❑√2,7 ❑√2)
D．(2❑√2+1,7 ❑√2+1)
【答案】B
【解题思路】求得圆心到直线的距离d，由r −2<d <r +2求解即可.
【解答过程】由题意可得圆C :(x −1)
2+( y +2)
2=25，则圆心C (1,−2)，半径r =5，
则圆心C到直线l 的距离d =|m−1)
❑√2
.
因为圆C上恰有两个点到直线l 的距离为2，
所以r −2<d <r +2，即3<|m−1)
❑√2
<7，又m>0，
解得：3 ❑√2+1<m<7 ❑√2+1.
故选：B.
8．（5 分）（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R 上的函数f (x)=x⋅e|x)，a=f (log3
❑√5)，
b=−f(log3
1
2)，c =f (ln3)，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．c>b>a
B．b>c>a
C．a>b>c
D．c>a>b
【答案】D
【解题思路】根据函数的解析式，求得函数为奇函数，化简b=f (log32)，再结合函数的单调性，即可求
解.
【解答过程】f (x)=x⋅e|x)，定义域为R，关于原点对称，
且f (−x)=−x⋅e|−x)=−x⋅e|x)=−f (x)，所以函数f (x)=x⋅e|x)为奇函数，
所以b=−f(log3
1
2)=f(−log3
1
2)=f (log32)，
又f (x)=x⋅e
x, x>0，
任取x1, x2∈(0,+∞)，且0<x1<x2
，则0<e
x1<e
x2，则f (x1)<f (x2)，
故f (x)在(0,+∞)上单调递增，
又由对数函数的单调性可得log32<log3
❑√5<1<ln3，
所以f (log32)<f (log3
❑√5)<f (ln3)，即c>a>b.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（6 分）（2025·山东潍坊·二模）在正方体ABCD−A1B1C1 D1中，E、F分别为线段A1 D1、AB的中
点，则（ ）
A．EF与BC异面
B．EF //平面CD D1C1
C．EF ⊥AC
D．BD⊥平面EF C1
【答案】AC
【解题思路】利用异面直线的定义可判断A 选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BCD 选
项.
【解答过程】以点D为坐标原点，DA、DC、D D1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直
角坐标系，
不妨设正方体的棱长为2，则A (2,0,0)、B (2,2,0)、C (0,2,0)、D (0,0,0)、
E (1,0,2)、F (2,1,0)、C1(0,2,2)，
对于A 选项，EF、BC既不平行，也不相交，故EF与BC异面，A 对；
对于B 选项，⃗EF =(1,1,−2)，易知平面CD D1C1的一个法向量为⃗m=(1,0,0)，
则⃗EF ⋅⃗m=1≠0，故EF与平面CD D1C1不平行，B 错；
对于C 选项，⃗AC =(−2,2,0)，所以，⃗EF ⋅⃗AC =−2+2=0，故EF ⊥AC，C 对；
对于D 选项，⃗DB =(2,2,0)，所以，⃗EF ⋅⃗DB =2+2=4，所以，EF、BD不垂直，
故BD与平面EF C1不垂直，D 错.
故选：AC.
10．（6 分）（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知抛物线x
2=2 py( p>0)的焦点为F，A，B 是抛物线上两
动点，且|AF )的最小值为1，M 是线段AB 的中点，P(2,3)是平面内一定点，则（ ）
A．p=2
B．若| AF | +| BF | =8，则M 到x 轴距离为4
C．若⃗AF =2⃗FB，则|⃗AB)=9
2
D．| AP| +| AF | 的最小值为4
【答案】ACD
【解题思路】根据的最小值即为p
2
，求得p，判断A；利用抛物线的焦半径公式可判断B；根据求出的纵
坐标，结合焦半径公式判断C；判断P 点位置，利用的几何意义，几何作图分析，可求得其最小值，判断
D.
【解答过程】解：抛物线x
2=2 py( p>0)上的点A 到抛物线焦点F 距离的最小值为1，
则有p
2 =1，解得p=2，A 正确；
抛物线的方程为x
2=4 y，焦点F(0,1)，准线l: y =−1，设A(x1, y1)，B(x2, y2)，
对于B，点M(
x1+x2
2
, y1+y2
2 )
，由抛物线的定义知，| AF | +| BF | =y1+1+y2+1=8，
有y1+y2=6，所以M 到x 轴距离y1+y2
2
=3，B 不正确；
对于C，⃗AF =(−x1,1−y1)，⃗FB =(x2, y2−1)，
由⃗AF =2⃗FB得：1−y1=2( y2−1)，即y1+2 y2=3，
又|⃗AF)=2|⃗FB)，即y1+1=2( y2+1)，则y1−2 y2=1，解得y1=2，y2=1
2
，
于是得| AB| =| AF | +| BF | =y1+1+y2+1=9
2
，C 不正确；
对于D，抛物线x
2=4 y中，当x =2时，y =1<3，
因此点P(2,3)在抛物线x
2=4 y上方，
过点P 作P P
'⊥l于P
'，交抛物线于点Q，连接QF，
过A 作A A
'⊥l于A
'，连AF，AP，P A
'，如图，
显然| AP| +| AF | =| AP| +| A A
′| ≥| P A
′| ≥| P P
′| =| PQ| +| Q P
′| =| PQ| +| QF | ，
当且仅当点A 与Q 重合时取等号，
所以(| AP| +| AF | )min=| P P
′| =3−(−1)=4，D 正确．
故选：ACD.
11．（6 分）（2025·全国·模拟预测）已知三角形ABC 三个内角分别为A，B，C，且满足
sin
2 A
2 +sin
2 B
2 +sin
2 C
2 =cos
2 B
2
，则下列说法正确的是（ ）
A．cos A −C
2
=2cos A +C
2
B．sin A +sinC =3sin B
C．tan A
2 tan C
2 =1
3
D．B≤π
3
【答案】ACD
【解题思路】根据二倍角公式及两角和差的余弦公式化简得cos A −C
2
=2cos A +C
2
即可判断A，进而展
开后化弦为切得tan A
2 tan C
2 =1
3
判断C，通过两角和差的正弦公式化简得sin A +sinC =2sin B判断B，根
据正弦定理得a+c =2b，然后结合基本不等式及余弦定理得cos B≥1
2
，最后根据余弦函数性质求得B≤π
3
判断D.
【解答过程】因为sin
2 A
2 +sin
2 B
2 +sin
2 C
2 =cos
2 B
2
，所以sin
2 A
2 +sin
2 C
2 =cos
2 B
2 −sin
2 B
2 =cos B，
所以1−cos A
2
+1−cosC
2
=cos B，所以2−cos A −cosC =−2cos( A +C)，
所以2−cos(
A +C
2
+A −C
2 )−cos(
A +C
2
−A −C
2 )=−2cos2(
A +C
2 )，
化简得cos A −C
2
cos A +C
2
=2cos
2 A +C
2
，又cos A +C
2
≠0，
所以cos A −C
2
=2cos A +C
2
，故选项A 正确；
由cos A −C
2
=2cos A +C
2
得cos A
2 cos C
2 +sin A
2 sin C
2 =2(cos A
2 cos C
2 −sin A
2 sin C
2)，
所以cos A
2 cos C
2 =3sin A
2 sin C
2
，所以tan A
2 tan C
2 =1
3
，故选项C 正确；
sin A +sinC =sin(
A +C
2
+A −C
2 )+sin(
A +C
2
−A −C
2 )=2sin A +C
2
cos A −C
2
=2sin A +C
2
×2cos A +C
2
=2cos B
2 ×2sin B
2 =2sin B≠3sin B，故选项B 错误；
由sin A +sinC =2sin B及正弦定理得a+c =2b，
所以cos B =a
2+c
2−b
2
2ac
=
a
2+c
2−(
a+c
2 )
2
2ac
=
3
4 (a
2+c
2)−ac
2
2ac
=
3
4 (a
2+c
2)
2ac
−1
4 ≥
3
4 ×2ac
2ac
−1
4 =1
2
，当且仅当a=c时等号成立，
又y =cos B在(0,π )上单调递减，所以B≤π
3
，故选项D 正确.
故选：ACD.
第II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（5 分）（2025·安徽合肥·模拟预测）曲线f (x)=ln (x +a)在x =1处的切线与直线y =x
2 +1平行，则a=
．
【答案】1
【解题思路】根据导数的几何意义以及两直线平行，斜率相等可得结果.
【解答过程】函数f (x)=ln (x +a)的定义域为(−a,+∞)，由已知1>−a，故a>−1，
函数f (x)=ln (x +a)的导函数f
′ (x)= 1
x +a
，所以f
′ (1)= 1
1+a
，
因为函数f (x)=ln (x +a)在x =1处的切线与直线y =x
2 +1平行，
所以1
1+a =1
2
，所以a=1，经验证，此时满足题意．
故答案为：1.
13．（5 分）（2025·云南临沧·模拟预测）已知数列{an)中，a1=2，an+1=3an−2，n∈N+
，则数列{an)的
通项公式为
．
【答案】an=1+3
n−1
【解题思路】结合给定递推关系构造等比数列，进而求出an=1+3
n−1即可.
【解答过程】由an+1=3an−2，得an+1−1=3(an−1)，
由于a1−1=1≠0，因此{an−1)是首项为1，公比为3的等比数列，
从而可得an−1=3
n−1×1=3
n−1，则an=1+3
n−1．
故答案为：an=1+3
n−1．
14．（5 分）（2025·湖北鄂州·一模）一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能
的概率向左或向右跳动1 个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色，则蚂蚱跳动4 次后染上颜色的点数个数
X 的期望E( X )=
.
【答案】27
8
【解题思路】由题意分析蚂蚱跳动4 次后染色的点数，根据独立事件的概率公式求解.
【解答过程】蚂蚱跳动4 次后染上颜色的点数个数X 的可能取值为2,3,4,5，
X =2表示蚂蚱在0,1或者0,−1之间来回跳动，
则P(X =2)=(
1
2)
4
×2=1
8；
X =3表示蚂蚱由0向右最远跳到2，
可以为
右右左左
，
右左右右
，
右右左右
共
“
”
“
”
“
”
3种，
由对称性知由0向左最远跳到−2，也有3种，
由0向左最远跳到−1，最右跳到1，可能为
左右右左
，
右左左右
有
“
”
“
”
2种，
故一共有8种，
则P(X =3)=(
1
2)
4
×8=1
2；
X =4表示蚂蚱跳动为
右右右左
，
左左左右
，
左右右右
，
右左左左
，共
“
”
“
”
“
”
“
”
4种，
则P(X =4)=(
1
2)
4
×4 =1
4 ；
X =5表示蚂蚱跳动为
右右右右
，
左左左左
，共
“
”
“
”
2种，
则P(X =5)=(
1
2)
4
×2=1
8；
则E( X )=2× 1
8 +3× 1
2 +4× 1
4 +5× 1
8 =27
8
，
故答案为：27
8
.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（2025·湖南永州·模拟预测）
村厨
是湖南省宁远县举办的
九嶷山村厨大会
的简称．
“
”
“
”
在2023 年火爆
出圈
后，
村厨
热度不减．
“
”
“
”
2025 年4 月12 日，万众瞩目的2025 年
村超
新赛季在
“
”
九嶷山景区拉开帷幕，为了解不同年龄的游客对
村厨
的满意度，某组织进行了一次抽样调查，分别抽
“
”
取年龄超过35 周岁和年龄不超过35 周岁各200 人作为样本，每位参与调查的游客都对
村厨
给出满意
“
”
或不满意的评价．设事件A = 游客对
村厨
满意
，事件
“
”
“
”
B = 游客年龄不超过
“
35 周岁
，据统计，
”
P( A ∣B)=4
5 , P(B∣A)= 8
15
．
(1)根据已知条件，填写下列2×2列联表并说明理由；
年龄
满意
不满意
合计
年龄不超过35 周岁
年龄超过35 周岁
合计
(2)由（1）中2×2列联表数据，根据小概率值α =0.01的独立性检验，能否认为游客对
村厨
的满意度与
“
”
年龄有关联?
附：K
2=
n(ad −bc)
2
(a+b)(c +d)(a+c)(b+d) ,n=a+b+c +d．
P(K
2≥k 0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)列联表见解析，理由见解析
(2)没有关联
【解题思路】（1）根据题意可求出不超过35 岁的人中，对
村厨
满意的有
“
”
160 人，对
村厨
满意的
“
”
人中超过35 岁的有140 人，从而可完成列联表；
（2）根据列联表中的数据结合公式计算K
2，再与临界值比较即可．
【解答过程】（1）由P( A | B)=4
5
，得游客年龄不超过35 周岁且对
村厨
满意的有
“
”
4
5 ×200=160人，
由P(B| A )= 8
15
，得对
村厨
满意的游客人数为
“
”
160× 15
8 =300，
则对
村厨
满意的人中超过
“
”
35 岁的有300−160=140人，
所以2×2列联表如下：
年龄
满意
不满意
合计
年龄不超过35 周岁
160
40
200
年龄超过35 周岁
140
60
200
合计
300
100
400
（2）由（1）得K
2=400(160×60−140×40)
2
300×100×200×200
=16
3 ≈5.333<6.635，
所以没有把握认为游客对
村厨
的满意度与年龄有关联
“
”
.
16．（15 分）（2024·四川德阳·模拟预测）记数列{an)的前n项和为Sn
.
(1)设a1=1，若Sn=2an−1，求{an)的通项公式；
(2)记f (x)=1+x +x
2+x
3+...+x
n，设an=f
′ (2)，求Sn
.
【答案】(1)an=2
n−1
(2)Sn=(n−2)×2
n+1+n+4
【解题思路】（1）由an，Sn的关系即可求解，
（2）通过求导确定通项公式，再由错位相减法、等比数列求和公式即可求解；
【解答过程】（1）当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2an−2an−1
，整理得an
an−1
=2，当n=1时，有a1=1=S1
.
数列{an)是以q =2为公比，以a1=1为首项的等比数列， 所以an=2
n−1．
（2）当x≠0时，
f (x)=1+x +x
2+x
3+...+x
n=x
n+1−1
x−1
，
所以f
′ (x)=(n+1) x
n(x−1)−(x
n+1−1)
(x−1)
2
，
所以an=f
′ (2)=(n+1)2
n−(2
n+1−1)=n⋅2
n−2
n+1，
令bn=n⋅2
n，其前n项和为T n
，
∴T n=1×2
1+2×2
2+3×2
3+4×2
4+…+(n−1)⋅2
n−1+n⋅2
n①
∴2T n=1×2
2+2×2
3+3×2
4+4×2
5+(n−1)⋅2
n+n⋅2
n+1②
①−②得：−T n=2+1×2
2+1×2
3+…+1×2
n−n⋅2
n+1
=(1−n)⋅2
n+1−2
.
∴T n=(n−1)⋅2
n+1+2.
令cn=2
n，其前n项和易知为：2
n+1−2，
所以Sn=(n−1)⋅2
n+1+2−(2
n+1−2)+n=(n−2)×2
n+1+n+4.
17．（15 分）（2025·天津南开·模拟预测）如图，在三棱柱ABC −A1B1C1中，C C1⊥平面ABC，且D
，E，F，G分别为A A1
，AC，A1C1
，B B1
的中点，AB =BC =❑√5, AC =A A1=2．
(1)求证：AC ⊥平面BEF；
(2)求平面BCD与平面CDC1夹角的余弦值；
(3)求点G到平面BCD的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
❑√21
21
(3)4 ❑√21
21
【解题思路】（1）由AB =BC，且E为AC的中点，得到AC ⊥BE，再由C C1⊥平面ABC，证得
AC ⊥EF，结合线面垂直的判定定理，即可证得AC ⊥平面BEF；
（2）以E为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面BCD和平面CDC1的一个法向量⃗n=(1,2,4)和⃗
EB =(2,0,0)，结合向量的夹角公式，即可求解；
（3）由G为B B1的中点，得到⃗GB =(0,0,−1)，再由（2）平面BCD的法向量为⃗n=(1,2,4)，结合向量的
距离公式，即可求解.
【解答过程】（1）证明：在△ABC中，因为AB =BC，且E为AC的中点，所以AC ⊥BE，
在矩形AC C1 A1中，因为E和F分别为AC和A1C1的中点，可得EF / / C C1，
因为C C1⊥平面ABC，且AC ⊂平面ABC，可得AC / / C C1，所以AC ⊥EF，
又因为BE∩EF =E，且BE , EF ⊂平面BEF，所以AC ⊥平面BEF.
（2）解：以E为原点，以EB , EC , EF所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，
则B(2,0,0),C(0,1,0), D(0,−1,1)，可得⃗BC =(−2,1,0),⃗CD =(0,−2,1)，
设平面BCD的法向量为⃗n=( x , y , z)，则{⃗
n⋅⃗BC =−2 x +y =0⃗
n⋅⃗CD =−2 y +z =0)
取y =2，可得x =1, z =4，所以⃗n=(1,2,4)；
因为C C1⊥平面ABC，且BE⊂平面ABC，可得BE⊥C C1，
又因为AC ⊥BE，且AC ∩C C1=C，AC ,C C1⊂平面AC C1 A1，
所以BE⊥平面AC C1 A1，即BE⊥平面CDC1，
所以⃗EB =(2,0,0)为平面CDC1的一个法向量，
设平面BCD与平面CDC1的夹角为θ，则cosθ =|cos⟨⃗n,⃗EB))=|⃗n⋅⃗EB)
|⃗n)|⃗EB)
=
2
❑√21×2 =
❑√21
21
，
所以平面BCD与平面CDC1夹角的余弦值
❑√21
21
.
（3）解：因为G为B B1的中点，可得G(2,0,1)，所以⃗GB =(0,0,−1)，
由（2）知，平面BCD的法向量为⃗n=(1,2,4)，
设点G到平面BCD的距离为d，则d =|⃗GB⋅⃗n)
|⃗n)
=
4
❑√1+4 +16 =4 ❑√21
21
.
则点G到平面BCD的距离为4 ❑√21
21
.
18．（17 分）（2025·全国·模拟预测）已知椭圆E: x
2
a
2 +y
2
b
2 =1(a>b>0)过点(1,
❑√2
2 )
，右焦点F(1,0)．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)设直线l: y =kx(k ≠0)与椭圆E 交于P，A 两点，过点P(x0, y0)作PC ⊥x轴，垂足为点C，直线AC交
椭圆E 于另一点B．
（i）证明：AP⊥BP．
（
）求
ⅱ
△ABP面积的最大值．
【答案】(1) x
2
2 +y
2=1
(2)（i）证明见解析；（ii）8
9
.
【解题思路】（1）根据题意求出a,b，即可得到椭圆方程；
（2）（i）根据椭圆对称性设点A的坐标为(−x0,−y0)，则点C的坐标为(x0,0)，设B (x , y)，利用点差法
可得出k AB⋅k BP=−1
2
，再由斜率公式可得出k AB=1
2 ⋅k PA，代入可得出k AP⋅k BP=−1即可证明AP⊥BP
；
（
）由对称性不妨设
ⅱ
k >0，P(x0,k x0)在第一象限，联立曲线方程求出|AP)，利用
S△ABP=1
2|AP)⋅|BP)=1
2|AP)
2⋅tan ∠PAB进行求解即可.
【解答过程】（1）由题意椭圆右焦点F (1,0)可得c =1，
过点(1,
❑√2
2 )
可得1
a
2 + 1
2b
2 =1，
由a
2−b
2=c
2=1整理得(2b
2+1)(b
2−1)=0，得b=1，
所以a=❑√2，椭圆E的方程为x
2
2 +y
2=1．
（2）(i)证明：∵直线l: y =kx (k ≠0)与椭圆E交于P，A两点，设P 为第一象限点，P(x0, y0)，PC ⊥x
轴，如图，∴点A的坐标为(−x0,−y0)，点C的坐标为(x0,0)，
设B (x , y)，则有x0
2
2 +y0
2=1
，x
2
2 +y
2=1，
两式相减得：( y0−y)( y0+y)
(x0−x)(x0+x)
=−1
2
，
又k AB=y0+y
x0+x
，k BP=y0−y
x0−x
，∴k AB⋅k BP=y0−y
x0−x ⋅y0+y
x0+x =−1
2
，
又k AB=k AC = y0
2 x0
=1
2 ⋅k PA =k
2
，∴k BP=−1
2 ⋅2
k =−1
k
，
又k AP=k，∴k AP⋅k BP=k ⋅(−1
k)=−1，因此，AP⊥BP．
(ii)解：由对称性不妨设k >0，P(x0,k x0)在第一象限，
由AP: y =kx与椭圆联立得(2k
2+1) x
2=2，
所以x0=❑√
2
2k
2+1
，则|AP)=2|OP)=2
❑√k
2+1⋅❑√
2
2k
2+1
．
设直线AP与AB倾斜角分别为θ1,θ2，则tanθ1=k ,tanθ2=k
2
，
所以tan ∠PAB =tan(θ1−θ2)=
k −k
2
1+k ⋅k
2
= k
k
2+2
，
由(i)，S△ABP=1
2|AP)⋅|BP)=1
2|AP)
2⋅tan ∠PAB =
4 k (k
2+1)
(k
2+2)(2k
2+1)
，
令f (k )=
4 k (k
2+1)
(k
2+2)(2k
2+1)
，则
f
′ (k )=−8k
6−4 k
4+4 k
2+8
(k
2+2)
2(2k
2+1)
2
=−4(k
2−1)(2k
4+3k
2+2)
(k
2+2)
2(2k
2+1)
2
，
当k ∈(0,1)时f
′ (k )>0，当k ∈(1,+∞)时f
′ (k )<0，
即f (k )在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，因此f (k )max=f (1)=8
9
，
即S△ABP的最大值为8
9
．
19．（17 分）（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知f (x)=asin x +x
2ln x−ax−xsin xln x．
(1)若f (x)有两个零点，求a的取值范围；
(2)若2f (x)
x−sin x ≤ae
ax−2ln x
x
−a恒成立，求实数a的最小值；
(3)a<−1
e
时，设g(x)=
f (x)
xln x−a
，判断g(x)=xsin x
3
在(0,+∞)上解的个数．
【答案】(1)(−1
e ,0)
(2)2
e
(3)一个解
【解题思路】（1）由f (x)=0得(x−sin x)(x ln x−a)=0，问题转化为a=x ln x在(0,+∞)上有两个解，构
造函数分析单调性可得结果；
（2）转化题设为(x
2+1)ln x
2≤(e
ax+1)lne
ax恒成立，构造函数，利用导数分析单调性，可得a≥2ln x
x
在
(0,+∞)上恒成立，分析函数最值可得结果；
（3）由题意得3 x
x +3 −sin x =0，设v (x)= 3 x
x +3 −sin x，x∈(0,+∞)，利用导数分析单调性，可得函数
v (x)在(0,π
2 )上有一个零点，在x∈[
π
2 ,+∞)没有零点，由此可得答案.
【解答过程】（1）令f (x)=asin x +x
2ln x−ax−xsin xln x =0，x∈(0,+∞)，得
(x−sin x)(x ln x−a)=0，
令y =x−sin x , x∈(0,+∞)，则y
′ =1−cos x ≥0, x∈(0,+∞)，
所以y =x−sin x在(0,+∞)上单调递增，
因为x =0时，y =0，所以x−sin x>0, x∈(0,+∞)，故x =sin x在(0,+∞)上无解，
所以要使f (x)有两个零点，则a=x ln x在(0,+∞)上有两个解.
设F (x)=x ln x，x∈(0,+∞)，则F
′ (x)=ln x +1，
令F
′ (x)>0，得x>1
e
；令F
′ (x)<0，得0<x<1
e
，
所以函数F (x)在(0, 1
e)上单调递减，在(
1
e ,+∞)上单调递增，
又F(
1
e)=−1
e ，且x→0时，F (x)→0，x→+∞时，F (x)→+∞，
所以−1
e <a<0，即a的取值范围为(−1
e ,0).
（2）由（1）得f (x)=(x−sin x)(x ln x−a)，x∈(0,+∞)，
所以2f (x)
x−sin x ≤ae
ax−2ln x
x
−a恒成立等价于2 x ln x−2a≤ae
ax−2ln x
x
−a恒成立，
等价于2(x +1
x)ln x ≤ae
ax+a恒成立，即x
2+1
x
ln x
2≤ae
ax+a恒成立，
即(x
2+1)ln x
2≤axe
ax+ax =ax(e
ax+1)=(e
ax+1)lne
ax恒成立，
设ℎ(x)=(x +1)ln x，x∈(0,+∞)，则ℎ(x
2)≤ℎ(e
ax)，且ℎ
′ (x)=ln x +1
x +1，
设H (x)=ln x +1
x +1，x∈(0,+∞)，则H
′ (x)=1
x −1
x
2 =x−1
x
2 ，
令H
′ (x)>0，得x>1，令H
′ (x)<0，得0<x<1，
所以函数H (x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以H (x)≥H (1)=2>0，即ℎ
′ (x)≥2>0，故函数ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，
所以x
2≤e
ax在(0,+∞)上恒成立，即a≥2ln x
x
在(0,+∞)上恒成立，
设u(x)=2ln x
x
，x>0，则u
′ (x)=2−2ln x
x
2
，
令u
′ (x)>0，得0<x<e，令u
′ (x)<0，得x>e，
所以函数u(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，故u(x)max =u (e)=2
e
，
所以a≥2
e
，即实数a的最小值为2
e
.
（3）由（1）得，a<−1
e
时，xln x−a>0，g(x)=
f (x)
xln x−a =(x−sin x)(x ln x−a)
xln x−a
=x−sin x，
由g(x)=x−sin x =xsin x
3
，x∈(0,+∞)得3 x
x +3 −sin x =0，
设v (x)= 3 x
x +3 −sin x，x∈(0,+∞)，则v
′ (x)=
9
(x +3)
2 −cos x，
设q(x)=
9
(x +3)
2 −cos x，x∈(0,+∞)，则q
′ (x)=−
18
(x +3)
3 +sin x，
因为函数q
′ (x)在(0,π
2 )上单调递增，且q
′ (0)=−2
3 <0，q
′(
π
2 )=−
18
(
π
2 +3)
3 +1>0
，
所以存在x0∈(0,π
2 )，使得q
′(x0)=0，
当x∈(0, x0)时，q
′ (x)<0；当x∈(x0,π
2 )时，q
′ (x)>0，
所以函数q(x)在(0, x0)上单调递减，在(x0,π
2 )上单调递增，
又q(0)=0,q(
π
2 )=
9
(
π
2 +3)
2 >0
，所以存在x1∈(x0,π
2 )，使得q(x1)=0，
当x∈(0, x1)时，q(x)=v
′ (x)<0；当x∈(x1,π
2 )时，q(x)=v
′ (x)>0，
所以函数v (x)在(0, x1)上单调递减，在(x1,π
2 )上单调递增，
因为v (0)=0,v(
π
2 )=2π −6
π +6
>0，所以函数v (x)在(0,π
2 )上有一个零点.
当x∈[
π
2 ,+∞)时，v (x)= 3 x
x +3 −sin x =3−
9
x +3 −sin x ≥3−
9
π
2 +3
−sin x>1−sin x ≥0，
即v (x)>0，故函数v (x)在[
π
2 ,+∞)上无零点.
综上所述，函数v (x)在(0,+∞)上有一个零点，即g(x)=xsin x
3
在(0,+∞)上有一个解.
