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2.5 对数运算及对数函数考点一 对数的运算
【例1】求下列各式的值.
(1) ． (2)
(3) ． （4）
(5) （6） ；
【答案】(1) (2) (3) (4)1 (5) （6）2
【解析】（1）
（2）
.
（3）原式 .
（4） .
（5）
.
（6）原式 ．
【一隅三反】
1.（2024山东）计算化简：
(1) (2)
(3) ； (4) ．（5） . （6） ；
（7） ； （8） ；
【答案】(1) (2)8 (3) (4) （5） （6） （7）0（8）1
【解析】（1） .
（2） .
（3） ；
（4）
.
（5）原式 .
（6）原式
；
（7）原式 ；
（8）原式
；
2.已知 ， ，试用 ， 表示 .【答案】
【解析】因为 ，
所以 .
考点二 对数函数概念与解析式
【例2-1】（2024北京）已知函数① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；
⑥ .其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
【答案】C
【解析】根据对数函数的定义，只有符合 （ 且 ）形式的函数才是对数函数，
其中x是自变量，a是常数，
易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；
③中 ，是对数函数；④中 ，是对数函数；
⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
【例2-2】（2024湖北）函数 是对数函数，则实数a＝ .
【答案】1
【解析】由题意得 ，解得 或1，又 且 ，所以 故答案为：1
【一隅三反】
1．（2024广东湛江）已知对数函数过点 ，则 的解析式为 .
【答案】
【解析】设 ，结合已知有 ，∴ ，又 且 ，∴ ，则 ，
故答案为： .2．（2024上海）已知函数 是对数函数，则 ．
【答案】1
【解析】因为函数 是对数函数，则 ，解得 ．故答案为：1.
3．（2024上海静安）点 ， 都在同一个对数函数上，则t= .
【答案】9
【解析】设对数函数为 ，因为 在函数上，所以 ，解得 ；
因为 也在函数上，所以 ，解得 .故答案为：9
考点三 对数型函数的定义域
【例3-1】（2024高三·全国·专题练习）函数f(x)＝ 的定义域为（ ）
A．(－∞，3] B．(1，＋∞)
C．(1，3] D．[3，＋∞)
【答案】C
【解析】依题意log (x－1)＋1≥0，即log (x－1)≥－1，∴ 解得1<x≤3．故选C．
【例3-2】（2024河南）函数 的定义域为（ ）
A． 且 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得 ，解得 ，即函数 的定义域为 .故选：
【一隅三反】
1．（2024·北京怀柔·模拟预测）函数 的定义域是 .
【答案】
【解析】函数 有意义，则 ，解得 或 ，所以函数 的定义域是 .
故答案为：
2．（2024安徽安庆·开学考试）若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为
【答案】
【解析】当 时 ，所以 ，
所以 ，即 ，则 ，
即 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为：
3．（23-24高三下·上海·阶段练习）函数 的定义域为 ．
【答案】 ．
【解析】由题意 ，即 ，∴ ， ，∴定义域为 ．
故答案为： ．
4．（2024·全国·专题练习）若函数 的定义域为 ，则 的范围为 .
【答案】
【解析】由于函数 的定义域是 ，
故条件即为 ，这等价于 对任意实数 成立.
若 对任意实数 成立，取 知 ，即 ；
若 ，则对任意实数 都有 ，
故 对任意实数 成立.
综上， 的取值范围是 .故答案为： .
考点四 对数型函数的值域
【例4-1】（1）（2024·陕西·一模）已知函数 的定义域为 ，函数 的值域
为B，则
（2）（2024上海）函数 的值域是 ．
（3）（2024安徽宣城）已知实数x满足不等式 ，则函数 最大值
是 ．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】（1） ，则 且 ，
可得 的值域 ．故选：
（2）由题意得 ，即 ，所以 的定义域为 ，
因为 对称轴为 ，且开口向下，且 在定义域内单调递增，
由复合函数的单调性可知： 在 上单调递增，在 上单调递减，
当 （或 ）时， ，当 时， ，所以 ，故答案为：
．
（3）由 ，解得 ，
，当 时， 取得最大值 .
故答案为： .
【例4-2】（1）（2024·贵州黔东南·二模）若函数 的值域为 .则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2024云南·阶段练习）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】（1）C （2）B
【解析】（1）依题意可得 要取遍所有正数，则需要求 ，因为 ，解得 ；
故 .故选：C
（2）当 时， ，
当 时， ，因为函数 的值域为 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 .故选：B．
【一隅三反】
1．（2024河北石家庄）下列各函数中，值域为 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于A， ，显然 取尽正实数，因此 的值域是 ，A不是；
对于B， ，则 ，即 ，函数 的值域为 ，B不是；
对于C， 的值域为R，因此 的值域为 ，C是；
对于D，由于 ，则 且 ，即函数 的值域为 ，D不是.
故选：C
2．（2024广西南宁·阶段练习）已知函数 ，则 的值域是 .【答案】
【解析】令 ，则 ，则 ，可得 ，
已知 单调递减，所以 ，则 的值域为 .故答案为： .
3．（2024上海青浦·期末）函数 的值域为 .
【答案】
【解析】由题意函数的定义域为 ，而 ，
不妨设 ，所以 ，
所以函数 的值域为 .
故答案为： .
4．（2024·全国·模拟预测）函数 的值域为 ．
【答案】
【解析】当 时， ，当 时， ，
所以 的值域为 ． 故答案为： .
5．（2024广东茂名·期中）函数 的值域是 .
【答案】【解析】令 ，则 ，
因为 ，则 ，且 的对称轴为 ，
可知 ，所以 的值域是 .故答案为： .
6．（2024江苏南京·期末）已知函数 在 上的值域为 ，则实数 的取值范围是 。
【答案】
【解析】设 ，因为 的值域为 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，
即 ，解得： 且 ，所以实数 的取值范围是 .
7．（2024湖南株洲·期末）若函数 在 上的最大值为2，则实数 ．
【答案】
【解析】令 ，因为 时， ，所以 ；
若 ，则 在 上为减函数，所以 ，此时a无解；
若 ．则 在 上为增函数，所以 ，此时
故 ．故答案为：
8．（2024山东菏泽）已知函数 ．若 的值域是 ，则实数 的取值范围是
．
【答案】
【解析】因为函数 的值域是 ，则 为二次函数 值域的子集．
当 时，内层函数为 ，不合题意；当 时，则有 ，解得 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
故答案为：
考点五 对数型函数的单调性
【例5-1】（2024河北沧州）函数 的单调递增区间是 ．
【答案】
【解析】函数 ，由 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 ，
设函数 ，则函数的图象是开口向下且以 为对称轴的抛物线，
所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，函数 在定义域内单调递减，
由复合函数的单调性可知 的单调递增区间为 （写成 也正确）．
故答案为：
【例5-2】（2024浙江丽水）若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围
是 ．
【答案】
【解析】令 ，对称轴为 ，
∵函数 在区间 上单调递增， 在 上单调递增，
∴ 在 上单调递增，且 ，
∴ 且 ，即 且 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为： .【例5-3】（2024广西）已知 是 上的单调函数，则 的取值范围是
.
【答案】
【解析】若 在 上单调递增，则 解得 .
若 在 上单调递减，则 解得 .
故 的取值范围是 .故答案为：
【一隅三反】
1．（2024湖北）函数 的单调递减区间为 ．
【答案】
【解析】由题意知函数 ，
令 ，则 ，
则 即由 复合而成，
由于 在 上单调递减，故要求函数 的单调递减区间，
即求 的单调递增区间，
而 的对称轴为 ，则 的单调递增区间为 ，
则函数 的单调递减区间为 ，故答案为：
2．（2024山西大同）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】对于函数 ，令 ，即 ，解得 ，
所以函数的定义域为 ，
又 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
函数 在定义域 上单调递增，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
故选：A
3．（2024湖北）若函数 在区间 内单调递增，则实数m的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得 ，解之得 ，即 的定义域为 ，
又 在区间 内单调递增，根据复合函数的单调性，
可得： ，解得 ．故选：D
4．（2024·重庆·模拟预测）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 在 上单调递增，
所以 ，解得 .故选：B.5．（2024河南信阳·阶段练习）已知 是减函数，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因函数 是定义在 上的减函数，
则有 ，解得 ，所以 的取值范围是 .故选：D
考点六 对数型函数单调性的应用
【例6-1】（2024江西·阶段练习）已知函数 ，则满足不等式 的 的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 的定义域为 ，
又 ，故 为偶函数，
而当 时，易知 单调递增，
而对于 ， 在 上恒成立，
所以 在 上也单调递增，
故 在 上单调递增，
则由 ，得 ，解得 或 .
故选：D.【例6-2】（1）（2024·天津南开·一模）已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2024·安徽阜阳·一模）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
（3）（2024·河北邯郸·三模）已知 是定义在 上的偶函数， ，且 在 上单调递减，
若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】（1）A （2）D（3）B
【解析】（1）由指数函数与对数函数的性质可得， ， ，
，所以 ，故选：A.
（2） ，
，
，
.
故选：D．
（3）因为 是偶函数， ， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减． ， ，
因为 ， ，所以 ， ，所以 ，
所以 ，故 ．
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024山西·阶段练习）已知函数 若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】画出 的图象如图所示，由图可知 在 上单调递增，
又 ，所以 ，解得 .
故选：D.
2．（2024江苏连云港·阶段练习）已知 ， ， ，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，即 .故选：A
3（2024·陕西西安·三模）已知函数 ，设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 的定义域为 ， ，函数 是偶函数，当 时， 是增函数，而 ，
所以 ，即 .
故选：A
4．（2024河北邢台·开学考试）已知函数 ，则 的解集是 ．
【答案】
【解析】 则 ，由 可得 ，解得 .
又 ，即 ，故 ，化简可得 ，解得 .
综上可得 .故答案为：
考点七 与对数函数有关的图像
【例7-1】（2024江苏）当 时，在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时，函数 与 分别在各自的定义域内单调递减、单调递增，
故可排除BCD，且函数 与 图象分别过定点 ，经检验，A符合题意.
故选：A.
【例7-2】（2024辽宁·期末）函数 的部分图象大致为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对A、D： 的定义域为 ，关于原点对称，因为
，所以 为偶函数，故A、D错误；对B、C：当 时，因为
， ，所以 ，故B错误，故C正确.故选：C.
【例7-3】（2023吉林长春）已知函数 的图像经过二、三、四象限，则实数 的范围为
.
【答案】
【解析】函数 的图像经过二、三、四象限，，
可得函数单调递减，所以 ，且 时， ，解得 ，综上： .故答案为： .
【一隅三反】
1．（2024河北石家庄）在同一平面直角坐标系中，函数 ， （ 且 ）的图象可能是
（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， 与 单调递增，A，B均不符合题意；
当 时， 与 单调递减，
对于 ，当 时 ，C不正确.故选：D.
2．（2024陕西汉中）函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ， 的定义域为 ，
，所以 是偶函数，图象关于 轴对称，所以D选项错误.
，所以C选项错误当 时， ，所以A选项错误.故选：B
3．（2024山东潍坊）已知指数函数 ，对数函数 的图象如图所示，则下列关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】B
【解析】由图象可得，指数函数 为减函数，对数函数 为增函数，
所以 ，即 .故选：B
考点八 对数型函数的定点
【例8】（2024山西临汾·阶段练习）已知函数 且 恒过定点 ，则点 的坐标为
.
【答案】
【解析】令 得 ，此时 ，即函数 且 恒过定点 .
故答案为：
【一隅三反】
1．（2024河南南阳）函数 的图象恒过定点 ，且点 在幂函数 的图象上，则
.
【答案】
【解析】因为 的图象恒过定点 ，
令 ，则 ， ，则 ，
设 ，则 ，得 ，故 ，
故答案为： .
2．（2024贵州安顺·期末）已知函数 图象恒过定点 ，在直角坐标系 中，角 以原
点为顶点，以 轴的非负半轴为始边，角 的终边也过点 ，则 的值是 .
【答案】 /
【解析】当 时 ，故 ，则 .故答案为：
3．（2024江苏南京）函数 （ 且 ）的图象恒过定点A，若点A在直线 上，其中 ，则 的最小值为 .
【答案】5
【解析】对于函数 ，令 ，可得 ，可知 ，
若点 在直线 上，则 ，即 ，
则 ，且 ，则 ，
可得 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为5.故答案为：5.
考点九 反函数
【例9-1】（2024北京海淀·阶段练习）函数 的反函数为 ，则 .
【答案】12
【解析】由 可得 ，所以 ， ，故答案为：12
【例9-2】（2024辽宁·期末）函数 （ 且 ）的反函数过定点 ．
【答案】
【解析】对于函数 （ 且 ），令 ，即 ，所以 ，
即函数 （ 且 ）恒过点 ，所以函数 （ 且 ）的反函数恒过点 .
故答案为：
【一隅三反】
1．（2023湖北）设 ，函数 ，则 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，由 得： ， 的定义域为 ；
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递减，且值域为 ，
在 上单调递减，
， ，则由 得： ， .
故选：C.
2．（2024云南昆明·）若 的反函数为 ，且 ，则 的最小值为
.
【答案】
【解析】因为 和 （ ， ）互为反函数，
若 ，则 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，且 ， ，
又 ，当且仅当 时等号成立，所以 的最小值为 .
故答案为： .
3．（2024陕西西安 ）已知 分别是方程 与 的根，则 的值为 .
【答案】
【解析】易知 分别是函数 与 及函数 与 交点 的横坐标，
易知函数 与函数 互为反函数，即其图象关于 对称，
且 也关于 对称，即函数 与 及函数 与 交点 关于 对称，
又易得 与 交点为 ，所以 的中点为 ，
故 .
故答案为： .
考点十 对数函数实际应用
【例10】（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1开头的数出现的频率较
高，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的
概率为 ，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定律
来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 （ ， ），则k的值为
（ ）
A．11 B．15 C．19 D．21
【答案】A
【解析】 ，
即 ，则 ，得 .
故选：A
【一隅三反】
1．（2024·陕西·模拟预测）某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道
加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2021年全年投入资金120万元，在此基础上，每年投
入的资金比上一年增长 ，则该政府全年投入的资金翻一番（2021年的两倍）的年份是（ ）（参考数据：）
A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年
【答案】C
【解析】设再过 年，该政府全年投入的资金翻一番，则 ，即
，
所以该政府全年投入的资金翻一番的年份是 年.故选：C.
2．（2024·贵州贵阳·一模）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通、安全法规
各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展
方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量 、放电时间 和
放电电流 之间关系的经验公式： ，其中 为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池
容量不变的条件下，当放电电流为 时，放电时间为 ；当放电电流为 时，放电时间为 ，则该蓄
电池的Peukert常数 约为（参考数据： ， ）（ ）
A．1.12 B．1.13
C．1.14 D．1.15
【答案】D
【解析】由题意知 ，
所以 ，两边取以10为底的对数，得 ，
所以 ，
故选：D.
3．（2024山西大同·期末）头孢类药物具有广谱抗菌、抗菌作用强等优点，是高效、低毒、临床应用广泛的重
要抗生素.已知某人服用一定量某种头孢类药物后，血浆中的药物浓度在2h后达到最大值80mg/L，随后按照确
定的比例衰减，半衰期（血浆中的药物浓度降低一半所需的时间）为2.4h，那么从服药后开始到血浆中的药物
浓度下降到8mg/L，经过的时间约为（参考数据： ）（ ）
A．8h B．9h C．10h D．11h
【答案】C【解析】设血浆中的药物浓度从最大值80mg/L下降到8mg/L需要经过 ，则 ，
所以 ，则 ，
故从服药后开始到血浆中的药物浓度下降到8mg/L需要8+2=10（h）.
故选：C.
一．单选题
1．（2024广东湛江）函数 （ 且 ）的图象所过的定点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 （ 且 ），令 ，解得 ，则 ，
所以 的图象所过的定点为 .故选：A.
2．（2024广东江门）若函数 是函数 （ ，且 ）的反函数，且满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数 （ 且 ）的反函数为 ，即 ，又 ，所以 ，所
以 ，则 .选：A
3．（2024河南郑州·阶段练习）已知函数 在 上单调递减，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【解析】令 ，则 ，即由 和 复合而成，
而 在 上单调递增，
故要使得函数 在 上单调递减，
需满足 在 上恒成立，且 在 上单调递减，
即得 ，解得 ，即 ，
故选：A
4．（2024浙江杭州）已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 是 上的减函数，所以 ，解得 ，即实数 的
取值范围为 .故选：D
5．（2024四川成都·）若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ， ，
又 ，即 ，，即 ，
又 ， ，
又 ，即 ，所以 ，
所以 .
故选：D
6．（2024河南新乡）若函数 且 在 上的值域为 ，则 的值为（ ）
A． 或 B．0或 C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】因为函数 在 上单调递增，所以函数 在 上的值域为 ，
当 时， 在 上单调递减，则 ，解得 ，则 ，得 ，
当 时， 在 上单调递增，则 ，解得 或 （舍去），
则 ，得 ，综上， 或 .故选：A.
7．（2024·陕西西安·一模）已知函数 为偶函数，满足 ，且 时，
，若关于 的方程 至少有两解，则 的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知 ，则 ，则 ，
可知函数 为周期函数，最小正周期 ，
又当 时， ，可知函数 的图象如图所示，且 的值域为 ，
关于 的方程 至少有两解，
可得函数 与函数 的图象至少有两个交点，
如图所示，
可知当 时， ，解得 ，即 ，
当 时， ，解得 ，即 ，
综上所述 ，
故选：C.
8．（2023·河南信阳·三模）已知函数 ，则对任意实数 是
（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．不充分且不必要条件
【答案】A
【解析】由于 在R上单调递增，
且 的定义域为R，则 在R上单调递增，
又
，即 为奇函数，
对任意实数 ，即 ，可得 ；
反之， 时，可得 ，则 ，即 ，故对任意实数 是 的充分必要条件，
故选：A
二．多选题
9．（2024河南南阳）已知函数 ，若 存在最小值，则实数a的可能取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】CD
【解析】函数函数 ，
当 时， 的范围是 ；
时， ， ，
由题意 存在最小值， ，
故选：CD．
10．（2024广东揭阳·期末）下列结论正确的有（ ）
A．函数 的最小值为2
B．函数 且 的图像恒过定点
C． 的定义域为 ，则
D． 的值域为 ，则
【答案】BD
【解析】对于A中，函数 ，
当且仅当 ，此时 ，此式无解，
所以函数 的最小值不为2，所以A错误；
对于B中，令 ，即 ，则 ，则函数 且 的图像恒过定点 ，所以B正确；
对于C中，若 的定义域为 ，则 在 上恒成立，
所以 ，解得 ，所以C错误；
对于D中，若 的值域为 ，则 在 上有解，
所以 ，解得 或 ，所以D正确.
故选：BD.
11．（2024江苏盐城·阶段练习）已知函数 ，若 的值域为 ，则 的取值可以是
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】AB
【解析】在同一坐标系中画出函数 及 的图象，
结合图象，当 时，
有 时， ，
当 时， ，
其中 ，
故 的值域为 为 ，不符合题意，故舍去；
当 时，易得 时， ，
当 时， ，此时 ，故 的值域为 ，符合要求；
当 时，易得 时， ，
当 时， ，故 的值域为 ，符合要求；
综上所述， 的取值可以是3、4，不能是5或6.
故选：AB.
三．填空题
12（2024·全国·模拟预测）写出一个同时满足下列三个性质的函数： .
① 的图象在 轴的右侧；
②若 ，则 ；
③当 时， （ 为函数 的导函数）.
【答案】 （答案不唯一）
【解析】结合①③不妨设 ，其定义域为 ，
其图象在 轴的右侧，且 ，所以满足条件①③；
若 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 ，令 ，可得 （答案不唯一）.
故答案为： （答案不唯一）
13．（2024·湖北·一模）已知函数 ，则关于x的不等式 的解集为 ．
【答案】
【解析】当 时， 得 ，
当 时， ，得 ，所以 ，综上： 的解集为 ，
故答案为： .
14．（2024广东·期末）已知函数 ，若对任意的正数a、b，满足 ，则 的
最小值为： ．
【答案】4
【解析】对任意的 ， ，所以，函数 的定义域为 ，
因为 ，即函数 为奇函数，
又因为 ，且函数 在 上为增函数，
所以，函数 在 上为增函数，
对任意的正数 ，满足 ，则 ，
所以， ，即 ，
所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，故 的最小值为4.
故答案为：4.
四．解答题
15．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数 ，且函数 的图象经过点
.
(1)求实数 的值；
(2)求函数 的最小值和最大值.
【答案】(1)(2)函数 的最小值为2，最大值为6
【解析】（1）由题意，将点 代入函数 的解析式，
得： ，即 ，解得 .
（2）由换底公式得： ，
所以函数 ，
令 ，因为 ，所以 .
设 ，
显然函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以 ，
即函数 的最小值为2，最大值为6.
16．（2024·北京·模拟预测） 技术的价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一
是香农公式： ，其中： （单位： ）是信道容量或者叫信道支持的最大速度， 单位；
）是信道的带宽， 单位： ）是平均信号功率， （单位： ）是平均噪声功率， 叫做信噪比.
(1)根据香农公式，如果不改变带宽 ，那么将信噪比 从1023提升到多少时，信道容量 能提升
(2)已知信号功率 ，证明： ；
(3)现有3个并行的信道 ，它们的信号功率分别为 ，这3个信道上已经有一些相
同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信
道容量？（只需写出结论）
【答案】(1)2047
(2)证明见解析
(3)把那一小份分配到信道 上能获得最大的信道容量【解析】（1）当 时， ，
令 ，
得 ，
解得： ，
所以若不改变带宽 ，将信噪比从1023提升到2047时，信道容量 能提升 .
（2）证明：
右边
=左边，
所以，原式成立；
（3）分配到信道 上能获得最大的信道容量.
理由：由（2）可知当 时， ，
随着 的增大 也会增大，但增加的速度会越来越慢，
所以把那一小份分配到信道 上能获得最大的信道容量.
17．（2023·浙江·模拟预测）已知函数 .(1)若 ，求m的值：
(2)若方程 恰有一个实根，求m的取值范围：
(3)设 ，若对任意 ，当 时，满足 ，求m的取值范围.
【答案】(1)3
(2)
(3)
【解析】（1）
（2）方程
由①可得
当 时，方程有唯一解 ，代入此时 ，∴不满足②
当 时，方程有两相等解 ，此时 ，∴不满足②.
当 且 时，方程有两不等解 ，
若 满足
若 满足
则若 是唯一解，则有
若 是唯一解，则有
综上，当 时方程恰有一个实根.
（3）当 时， 恒成立，则有 ,由已知 ，由复合函数的单调性知 在 上单调递减，
所以
∴ 对 恒成立
令 ，∴ 在 上单调递增，
∴
∴实数 的取值范围是 .
18．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ．
(1)求 的解析式；
(2)若关于 的方程 在 上有解，求实数 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）当 时， ，
则 ，
因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，
故 ，
当 时， ，符合上式，综上，所以 的解析式为 .
（2）当 时， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
由对称性可知，当 时， ，
当 时， ，
综上， ，
所以实数 的取值范围是 ．
19．（2024安徽合肥）已知函数 是偶函数.
(1)求 的值;
(2)设 ， ，若对任意的 ，存在 ，使得 ，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 是偶函数，
所以 ，
即 ，
，，
，
，
，
，
，
所以 ，即 .
（2） ，
因为对任意的 ，存在 ，使得 ，
所以 在 上的最小值不小于 在 上的最小值，
因为 在 上单调递增，
所以 ，
因为 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
