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高考仿真重难点训练03 指对幂函数 函数的应用
一、选择题
1．若集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解分式不等式求出集合A，根据指数函数性质求出集合B，然后由集合的补集运算、交集运算可
得.
【解析】解不等式 得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 .
故选：D
2．“ ”是“函数 在区间 上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案
【解析】令 ， ，
当 在 上单调递增时，
因为 是 上的增函数，
则需使 是 上的增函数且 ，则 且 ，
解得 ，必有 ，故必要性成立；当 时，取 ，可知 在 上有小于零的情况，
此时 无意义，即充分性不成立，
故“ ”是“函数 在区间 上单调递增”的必要不充分条件.
故选：C．
3．已知幂函数 是偶函数，且 在 上是减函数，则 （ ）
A． B． C．0 D．3
【答案】B
【分析】利用幂函数的定义与性质即可得解.
【解析】因为 是幂函数，
所以 ，解得 或 ，
又 在 上是减函数，则 ，即 ，
所以 ，此时 ，易知其为偶函数，符合题意.
故选：B.
4．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数以及对数函数的单调性，即可得 .
【解析】由于 ， ， ，
所以 ，
故选：C
5．19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表中以1开头的数出现的频率更高．约半个
世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出的大量数据中，以1开头的数出现的频数
约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量b进制随机数据中，以n开头的数出现的概率为，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律，后来常有数学爱好者用此定律来检
验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若 （ ， ），则k的
值为（ ）
A．674 B．675 C．676 D．677
【答案】B
【分析】结合条件及对数的运算法则计算即可.
【解析】 ，
，故 ．
故选：B
6．已知函数 ，满足 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先结合幂函数和对数函数的性质得到函数为单调递增函数，则得到 ，解出即可.
【解析】当 时， ，此时 单调递增，
当 时， ，此时 单调递增，且 ，
则 时， 单调递增，
若有 ，则有 ，解得 ，
故选：A.
7．函数 的所有零点之和为（ ）
A．0 B．-1 C． D．2【答案】A
【分析】令 ，即 ，构造函数 与函数 ，画出函数图象，可知两个函
数图象相交于两点，设为 ，得 ，进而得到 ，即
【解析】由零点定义可知，函数的零点，就是方程 的实数根，令 ，
则 ，显然 ，所以 ，
构造函数 与函数 ，则方程 的根，
可转化为两个函数图象的交点问题，根据图象可知，两个函数图象相交于两点，
所以此方程有两个实数根，即函数 有两个零点，
设为 ，所以 ， ，
即 ，
另外发现，将 代入，可得 ，
所以 也是函数 的零点，说明 ，即 .
故选:A.
8．已知函数 ，设函数 ，则函数 有6个零点的充
要条件是（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】由题意通过数形结合在同一平面直接坐标系内画出直线 与函数 的图象，研究方程
的根的分布情况，再接着结合关于 的一元二次方程 的根的个数分类讨论可得关
于 的一元二次方程 的根的个数只能为2，由此不妨设 或 ，根
据二次函数的根的分布情况列出不等式或方程组即可求解.
【解析】由题意先来研究方程 的根的分布情况，
我们将其转换为直线 与函数 的图象的交点分布情况即可，
在同一平面直角坐标系中画出它们的图象如图所示，
所以当 时，方程有0个根；
当 时，方程有1个根；
当 时，方程有2个根；
当 或 时，方程有3个根；
当 时，方程有4个根；
而关于 的一元二次方程 的根的个数可能为0，1（两个相等的实数根），2，
若关于 的一元二次方程 的根的个数为0，则函数 的零点个
数为0，
若关于 的一元二次方程 的根的个数为1，则函数 的零点个
数至多为4个，所以关于 的一元二次方程 的根的个数只能为2，
若函数 有6个零点，
且注意到在0，1，2，3，4这些数中，两个数之和为6只有两种情况： 和 ，
即设方程 的两个根为 ，
不失一般性，不妨设 或 ，或 ，
当且仅当此时满足题意，
而若 ，且注意到二次函数 开口向上，
则当且仅当 ，解得 ；
若 ，且注意到二次函数 开口向上，
则当且仅当 ，此时 矛盾；
若 ，则 ，此时无解，
综上所述，函数 有6个零点的充要条件是 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：关键是通过换元不断迭代，利用数形结合的思想来讨论方程的根或者函数的零点分布
情况，由此即可顺利得解.
二、多选题
9．下列函数中，不能用二分法求其零点的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】AC
【分析】利用二分法的定义结合零点存在定理分析即可得解.
【解析】对于A， ，则A中的函数不能用二分法求零点，故A正确；
对于B， ，且 ，则B中的函数能用二分法求零点，故B错误；
对于C，因为 ，所以 ，则C中的函数不能用二分法求零点，故C正确；
对于D， ，且 ，则D中的函数能用二分法求零点，故D错误.
故选：AC.
10．给出下列五个结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数 的最大值为
B．已知函数 （ 且 ）在 上是减函数则a的取值范围是
C．在同一直角坐标系中，函数 与 的图象关于y轴对称
D．在同一直角坐标系中，函数 与 的图象关于直线 对称
E．已知定义在R上的奇函数 在 内有1010个零点，则函数 的零点个数为2021
【答案】DE
【解析】根据指数函数，对数函数性质判断AB，由对称性判断CD，由奇函数性质及零点的概念判断E．
【解析】A错，令 ，则t的最大值为1，∴ 的最小值为 ；
B错，∵函数 在 上是减函数，∴ 解得 ；
C错，在同一直角坐标系中，函数 与 的图象关于x轴对称；D正确，在同一直角坐标系中，函数 与 的图象关于直线 对称；
E正确，∵定义在R上的奇函数 在 内有1010个零点，∴ 在 内有1010个零点，∴函
数 的零点个数为 .故选DE.
【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质，考查函数的对称性，奇偶性，考查零点概念，考查的知识
点较多，属于中档题．
11．函数 的定义域为R， 为偶函数，且 ，当 时， ，则下
列说法正确的是（ ）．
A． 在 上单调递增
B．
C．若关于x的方程 在区间 上的所有实数根之和为 ，则
D．函数 有2个零点
【答案】BD
【分析】先根据题干中的轴对称，点对称的条件可以推出周期性，奇偶性，A选项根据奇偶函数的性质结
合周期性判断，B选项，由于函数的周期性可将待求表达式分组求和，CD选项需借助画出 的图像，
数形结合来处理.
【解析】由于 为偶函数，则 关于 对称，则 ，故 ，
结合 可得， ，用 取代 ，得到 ，
用 取代 ，得到 ，于是 的周期为 ，
由 可得 ，结合 可得 ，故 为奇函数.
A选项，根据幂函数的性质， 在 上递增，根据奇函数性质， 在 上递增，又 关于 对称，则 在 上递减，又 的周期为 ，故 在 上递减，A选项错误；
B选项，奇函数 的定义域为 ，故 ，由于 的周期为 ，故 ，
由 ，取 得到 ，取 ，得到 ，
故 ，由于 的周期为 ，故
C选项，先作出 在 上的图像，
若 时，横坐标交点之和为 ，
若 时，横坐标交点之和为
若 ，根据 的对称性可得，交点的横坐标之和为 ，
故 ，除了交点 之外，根据对称性，其余四个点的横坐标之和为： ，
设 的横坐标为 ，则 ，解得 ，当 时， ， ，
根据周期性， ，C选项错误；
D选项，在同一坐标系下作出 和 的图像如下，由图像可知有两个交点，故
有2个零点，D选项正确.故选：BD
【点睛】本题综合考察了幂函数的性质，抽象函数中，点对称，轴对称，周期性，奇偶性的推导，由此可
作出函数图像，数形结合是解题的关键.
三、填空题
12．已知 ， 则 .（用含 的式子表示）
【答案】
【分析】根据指数与对数的关系得到 ，再由换底公式及对数的运算性质计算可得.
【解析】因为 ，所以 ，又 ，
所以
.
故答案为：
13．已知 与 的图像上恰有两对关于 轴对称的点，则 的取值范围为.
【答案】
【分析】由题意可得 在 上有两个解，即 在 上有两个解，令
，即直线 与 在 上有两个交点，利用导数求出函数 的最小值
即可得答案．
【解析】由题意可得 在 上有两个解，
所以 在 上有两个解，
即 在 上有两个解，
令 ，
则直线 与 在 上有两个交点，
则 ，
因为 ，所以 ， ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
所以 ，且当 时 ，当 时 ，
则 的图象如下所示：
由图可知 ，即 的取值范围为 ．
故答案为： ．
14．已知函数 ， .给出下列四个结论：① ；
②存在 ，使得 ；
③对于任意的 ，都有 ；
④ .
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】②③④
【分析】
构造函数，根据函数的单调性可判断各选项.
【解析】
对于①， ，而 ，
，故 ，故 ，
故 .
，而 ，
而 ，故 ，故 ，
故①错误.
对于②，设 ，
因为 在 均为减函数，故 为 上的减函数，
而 ， ，故 为 上存在唯一零点 ，
且 即 即 ，故 ，所以 ，
故存在 ，使得 .故②正确.
对于③，由②的分析可得 在 上为减函数，
故 即 恒成立.
设 ，
同理可得 为 上的增函数，故 ，故 ，
对于④，由 ， ，
所以 ，④正确；
故答案为：②③④.
【点睛】
函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看
似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能
起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，
这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许
多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
四、解答题
15．计算下列各式的值：
(1) ；
(2)
【答案】(1) ；
(2)0.【分析】 结合指数的运算性质即可求解；
结合对数的运算性质即可求解．
【解析】（1）
；
（2）
16．设函数 .
(1)求 及 的值.
(2)解关于 的不等式 .
【答案】(1)6，4
(2)
【分析】（1）根据分段函数求函数值的方法代入求解即可；
（2）根据分段函数的分类来分类讨论，列出各部分不等式分别求解再取并集即可.
【解析】（1）
（2）当 时， ，即 ，
即 ，解得
当 时， ，
即 ，
即 ，解得
综上，不等式的解集为
17．已知函数 ，其中 .
(1)求证： 是奇函数；
(2)若关于 的方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证；
（2）分离参数，将原问题等价转换为 在 上有解，由此转换为求函数值域问题.
【解析】（1）函数 的定义域为 ，
在 中任取一个实数 ，都有 ，并且 .
因此， 是奇函数.
（2） 等价于 即 在 上有解.
记 ，因为 在 上为严格减函数，
所以， ， ，故 的值域为 ，因此，实数 的取值范围为 .
18．2023年8月8日，为期12天的第31届世界大学生夏季运动会在成都圆满落幕.“天府之国”以一场青春
盛宴，为来自世界113个国家和地区的6500名运动员留下了永恒的记忆.在这期间，成都大熊猫繁育研究
基地成为各参赛代表团的热门参观地，大熊猫玩偶成为了颇受欢迎的纪念品.某大熊猫玩偶生产公司设计了
某款新产品，为生产该产品需要引进新型设备.已知购买该新型设备需要5万元，之后每生产
万件产品，还需另外投入原料费及其他费用 万元，且 ，
已知每件产品的售价为20元且生产的该产品可以全部卖出.
(1)写出利润 （万元）关于产量 （万件）的函数解析式.
(2)该产品产量为多少万件时，公司所获的利润最大？其最大利润为多少万元？
【答案】(1) ；
(2)当该产品产量为100万件时，利润最大，最大利润为271万元．
【分析】（1）由销售额与成本费用之差，计算利润；
（2）利用配方法和函数的单调性，求最大值.
【解析】（1）当 时， .
当 时， ，
所以 .
（2）当 时， ，
则当 时， 取得最大值，最大值为195；当 时， ，且 单调递减，
则当 时， 取得最大值，最大值为271.
综上，当该产品产量为100万件时，利润最大，最大利润为271万元.
19．设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件：存在 ，使 在 上的值域为
（其中 ），则称 为区间 上的“ 倍缩函数”．
(1)若存在 ，使函数 为 上的“ 倍缩函数”，求实数 的取值范围；
(2)给定常数 ，以及关于 的函数 ，是否存在实数 ，使 为区间 上的
“1倍缩函数”．若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在； ；
【分析】（1）根据函数 是“ 倍缩函数”，结合题意中的定义即可求解；
（2）由题意可得 ，然后分类讨论，从而求解出 的值，从而求解.
【解析】（1）由题意得 ， 为“ 倍缩函数”，则 ，
因为 在其定义域 上为单调递增函数，在其定义域 上单调递增，
由复合函数可得 在区间 上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以 为 的两个解，令 ， ，
得 有两大于零的不同的根，所以 ，解得 .
故 的取值范围为 .
（2）存在， ， ，理由如下：
由题意得 为区间 上的“ 倍缩函数”，
所以 ，
所以当 时，因为 ，故此种情况不符合题意；
所以当 时， ，此时 在区间 上单调递减，
所以 ，解得： ，故此种情况不符合题意；当 时， ，此时 在区间 上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以 是方程 的两正根，所以 ，得 ，
此时： ， ，故此种情况符合题意；
当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
当 时， 有最小值 ，故此种情况不符合题意.
综上所述：存在 ， 使 为区间 上的“1倍缩函数”.
