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2.5 对数运算及对数函数（精讲）
考向一 对数的运算
【例1-1】计算下列式子
(1)
(2)
．
(3)
．
(4)
；
（5）
【例1-2】（2025·海南海口·模拟预测）若
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【一隅三反】
1．（24-25 陕西咸阳）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.计算下来式子
（1）
.
（2）
（3）
．
（4）
（5）
．
（6）
；
考向二 对数型函数的定义域
【例2-1】（2025 辽宁）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-2】（24-25 辽宁）
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-3】（24-25 辽宁）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2-4】（23-24 北京·期中）已知函数
的定义域是
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（24-25 吉林四平）函数
的定义域是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 广东梅州）函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（24-25 上海）函数
的定义域为
4.（24-25 辽宁沈阳）函数
的定义域为 ．
5．（2025 高三·全国·专题练习）求函数
的定义域 ．
考向三 对数型函数的单调性
【例3-1】（2025 高三·全国·专题练习）函数
的单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-2】（2025·吉林·三模）若函数
（
且
）在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例3-3】（24-25 山西）已知函数
，若对任意的
，都有
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（24-25 广东揭阳）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 安徽蚌埠 ）函数
的单调递增区间是 .
3．（24-25 湖南岳阳 ）已知
是R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三下·江苏镇江·开学考试）“
是
函数
”
“
在
上单调递增”
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
考向四 对数型函数单调性的应用---比较大小
【例4-1】（2025·四川·模拟预测）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-2】（2025·浙江金华·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例4-3】（2025·陕西商洛·三模）已知
是偶函数，且
在
上单调递增，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·河北秦皇岛·二模）已知
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·陕西咸阳·二模）下列不等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025·山东菏泽·一模）已知
，则下列不等关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·江西赣州·一模）已知
，记
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考向五 对数型函数单调性的应用---解不等式
【例5-1】（24-25 江苏苏州 ）已知函数
，且
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5-2】（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（24-25 广东佛山·阶段练习）已知函数
是定义在
上的偶函数，在区间
上单调递增，且
.则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三下·甘肃白银·阶段练习）若函数
，则不等式
的解集为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 云南德宏 ）已知实数a 满足
，
，则不等式
的解集为（
）
A．
B．
C．
D．
考向六 对数型函数的值域
【例6-1】（2025 陕西）函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【例6-2】（24-25 高三下·河南·开学考试）已知函数
的最大值为1，则实数
（ ）
A．1
B．2 或
C．4
D．4 或
【例6-3】（24-25 江苏）若函数
的值域为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.（2025 高三·全国·阶段练习）函数
的最小值为
2（2024·上海·模拟预测）函数
的最小值为 .
3．（2023·云南·模拟预测）已知
，设
，则函数
的最大值
为 .
4.（24-25 高三下·广西·开学考试）函数
值域为R 的一个充分不必要条件是
5．（24-25 广东揭阳·阶段练习）已知函数
的值域为
，则实数
的取值范围是
考向七 对数型函数过定点
【例7-1】（24-25 河南 ）已知
为正实数，函数
的图象经过点
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．6
C．
D．8
【一隅三反】
1.（24-25 ·广东潮州 ）已知函数
（
，
）的图象经过定点P，且点P 在角
的终
边上，则
的值等于（ ）
A．
B．
C．2
D．
2．（24-25 江西）已知函数
且
的图象恒过定点
，且点
在直线
上，
则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 山东德州）已知函数
（
且
）恒过定点
，则过点
的幂函数经过
（ ）
A．第一、二象限B．第三、四象限
C．第一、三象限
D．第二、四象限
考向八 对数型函数图像
【例8-1】（24-25 安徽合肥）函数
（
且
）的图象恒过定点
，若点
在幂函数
的图象上，则幂函数
的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例8-2】（2025 高三·全国·专题练习）已知
，函数
与
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（24-25 高三下·福建福州·开学考试）若函数
的图象如图所示，则函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
（
为常数，其中
，
）的图象如图所示，
则下列结论中成立的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
3．（24-25 贵州六盘水·期末）如图，
不可能是函数
①②③④
或
（其中
且
）的部分图
象的是（ ）
A．①
B．②
C．③
D．④
4．（24-25 湖南岳阳）若如图是函数
（
且
，
）的大致图象，则函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向九 对数函数的对称性
【例9-1】（24-25 高三下·广西柳州·阶段练习）若函数
是奇函数，则b 的值为（ ）
A．
B．2
C．-2
D．4
【例9-2】．（2025·福建厦门·一模）若函数
的图象关于直线
对称，则
的值域
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1.．（24-25 北京·期中）关于函数
的性质，下列说法正确的是（ ）
A．
在
上是增函数，且曲线
存在对称轴
B．
在
上是增函数，且曲线
存在对称中心
C．
在
上是减函数，且曲线
存在对称轴
D．
在
上是减函数，且曲线
存在对称中心
2．（2025·天津·模拟预测）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 湖北 ）若函数
为奇函数，则实数
的值为 ．
考向十 对数函数的实际应用
【例10-1】（2025·甘肃）中国的5G 技术领先世界，5G 技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C
取决于信道带宽W，经科学研究表明：C 与W 满足
，其中S 是信道内信号的平均功率，N 是
信道内部的高斯噪声功率，
为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1 可以忽略不计.若不改变带宽
W，而将信噪比
从1000 提升至4000，则C 大约增加了（ ）(附：
)
A．10%
B．20%
C．30%
D．40%
【例10-2】（2025 安徽）对数的应用很广泛，有些速算的原理来自对数，例如：如果正整数
的
次方是个
位数，那么根据
，取常用对数得到
，即可得到
，由下面的对数
表可知这个数是
，已知某个正整数的
次方是个
位数，则该正整数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【一隅三反】
1．（2025·河北秦皇岛·二模）科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出来的能量
（单位：
焦耳）与地震里氏震级
之间的关系为
．2025 年1 月7 日西藏日喀则市发生里氏6.8 级地震，
释放出来的能量为
，2025 年1 月10 日山西临汾市发生里氏4.1 级地震，释放出来的能量为
，则
（ ）
A．10
B．4.05
C．
D．
2．（2025·广东深圳·模拟预测）为了给地球减负，提高资源利用率，2025 年全国掀起了垃圾分类的热潮，垃
圾分类已经成为新时尚。某市2025 年全年用于垃圾分类的资金为5000 万元，在此基础上，每年投入的资金比
上一年增长20%，则该市全年用于垃圾分类的资金开始超过1.28 亿元的年份是（ ）（参考数据：
，
）
A．2028 年
B．2029 年
C．2030 年
D．2031 年
3．（2025·贵州·模拟预测）2023 年，深度求索（DeepSeek）公司推出了新一代人工智能大模型，其训练算力
需求为1000PetaFLOPS（千亿亿次浮点运算/秒）．根据技术规划，DeepSeek 的算力每年增长
．截止至
2025 年，其算力已提升至2250PetaFLOPS，并计划继续保持这一增长率．问：DeepSeek 的算力预计在哪一年首
次突破7500PetaFLOPS？（ ）
（参考数据：
，
，
）
A．
年
B．
年
C．
年
D．
年
考向十一 反函数
【例11-1】（23-24 湖南株洲）已知函数
与
互为反函数．若
的反函
数为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【例11-2】（2025·上海）若函数
存在反函数，则常数a 的取值范围为（ ）
A．（
，
﹣∞
1]
B．[1，2]
C．[2，+∞）
D．（
，
﹣∞
1] [2
∪
，+∞）
【一隅三反】
1．（23-24 福建 ）已知函数
，
是
的反函数，则
（ ）
A．10
B．8
C．5
D．2
2．（2025·河南）已知函数
的图象与
的图象关于直线
对称，且满足
，则
（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
3．（2025·浙江·二模）（多选）若函数
与函数
的图象关于直线
对称，则函数
的解析
式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
考向十二 对数函数的综合应用
【例12-1】（23-24 高三上·山东德州·阶段练习）已知函数
为偶函数.
(1)解关于x 的不等式
；
(2)若
在区间
上恒成立，求a 的取值范围.
【一隅三反】
1（2025 ·陕西西安 ）已知函数
且
.
(1)当
时，
若
①
，求
的值；
当
②
时，用定义证明函数
是
上的减函数；
(2)若
为偶函数，且
，求
的取值范围.
2．（2025·上海宝山·二模）已知函数
，（
且
）
(1)若
，求方程
的解；
(2)已知
，若关于
的不等式
在区间
上恒成立，求实数
的最大值.
3．（2025·上海金山·二模）已知函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
.
(1)求
的值；
(2)若
，求函数
的值域.
